[数学]高三数学一轮复习 第七章 第七节 立体几何中的向量方法 理 新人教A版ppt课件

1、第七节立体几何中的向量方法第七节立体几何中的向量方法1直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：假设表示非零向量直线的方向向量：假设表示非零向量a的有向线段所的有向线段所在直线与直线在直线与直线l_或或_，那么称此向量，那么称此向量a为直线为直线l的方向向量的方向向量(2)平面的法向量：直线平面的法向量：直线l，取直线，取直线l的方向向量的方向向量a，那，那么向量么向量a叫做平面叫做平面的法向量的法向量平行平行重合重合2空间位置关系的向量表示空间位置关系的向量表示位置关系位置关系向量表示向量表示直线直线l1，l2的方向向量的方向向量分别为分别为n1，n2l1

2、l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线直线l的方向向量为的方向向量为n，平面平面的法向量为的法向量为mlnmnm0lnmnm平面平面，的法向量分的法向量分别为别为n，mnmnmnmnm03.利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角(1)求两条异面直线所成的角求两条异面直线所成的角设设a，b分别是两异面直线分别是两异面直线l1，l2的方向向量，那么的方向向量，那么l1与与l2所成的角所成的角a与与b的夹角的夹角a，b范围范围_0a，b 关系关系cos |cosa，b|_(2)求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角设直线设直线l的方向向量为的方向向量为a，平面，平面的法向量为的法向量

3、为n，直线，直线l与平与平面面所成的角为所成的角为，那么，那么sin _(3)求二面角的大小求二面角的大小假设假设AB、CD分别是二面角分别是二面角l的两个面内与棱的两个面内与棱l垂 直 的 异 面 直 线 ， 那 么 二 面 角 的 大 小 就 是垂 直 的 异 面 直 线 ， 那 么 二 面 角 的 大 小 就 是_的夹角的夹角(如图如图771) |cosa，n|设设n1，n2分别是二面角分别是二面角l的两个面的两个面，的法向的法向量，那么向量量，那么向量n1与与n2的夹角的夹角(或其补角或其补角)的大小就是的大小就是_(如图如图771)二面角的平面角的大小二面角的平面角的大小1怎样求平面

4、的法向量？怎样求平面的法向量？2如何确定一个二面角的两个半平面的法向量夹角与如何确定一个二面角的两个半平面的法向量夹角与这个二面角的平面角的大小关系？这个二面角的平面角的大小关系？【提示】可从两个方面判别：一是察看图形，确定二【提示】可从两个方面判别：一是察看图形，确定二面角的平面角是锐角还是钝角；二是根据两个半平面的法向面角的平面角是锐角还是钝角；二是根据两个半平面的法向量的方向来确定量的方向来确定 1(人教人教A版教材习题改编版教材习题改编)设设u(2，2，t)，v(6，4，4)分别是平面分别是平面，的法向量假设的法向量假设，那么，那么t()A3B4C5D6【解析】【解析】，那么，那么uv

5、262(4)4t0，t5.【答案】【答案】C【答案】【答案】A3知两平面的法向量分别为知两平面的法向量分别为m(0，1，0)，n(0，1，1)，那么两平面所成的二面角为，那么两平面所成的二面角为()A45 BC45或或 D90【答案】【答案】C【答案】【答案】A 如图如图774所示，在四棱锥所示，在四棱锥PABCD中，中，PC平平面面ABCD，PC2，在四边形，在四边形ABCD中，中，BC90，AB4，CD1，点，点M在在PB上，上，PB4PM，PB与平面与平面ABCD成成30的角的角(1)求证：求证：CM平面平面PAD；(2)求证：平面求证：平面PAB平面平面PAD.【尝试解答】以【尝试解答

6、】以C为坐标原点，为坐标原点，CB所在直线为所在直线为x轴，轴，CD所在直线所在直线为为y轴，轴，CP所在直线为所在直线为z轴建立如轴建立如图所示的空间直角坐标系图所示的空间直角坐标系Cxyz.PC平面平面ABCD，1恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键标，是运用向量法证明平行和垂直的关键2证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后阐明

7、直线在平面外即可这的不共线的两个向量共面，然后阐明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为向量运算样就把几何的证明问题转化为向量运算3证明直线与直线垂直，只需求证明两条直线的方向证明直线与直线垂直，只需求证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明线与直线垂直证明 如图如图775所示，知直三棱柱所示，知直三棱柱ABCA1B1C1中，中，ABC为等腰直为等腰直角三角形，角三角形，BAC90，且，且ABAA1，D、E、F分别为分别为B1A、C1C、BC的中点求证：的中点求证：(1)DE平面平面ABC；

8、(2)B1F平面平面AEF.【证明】如图建立空间直角坐标系【证明】如图建立空间直角坐标系Axyz，令，令ABAA14，那么那么A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(2，2，0)，B(4，0，0)，B1(4，0，4) (2021湖南高考湖南高考)如图如图776所示，在四棱锥所示，在四棱锥PABCD中，中，PA平面平面ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90，E是是CD的中点的中点(1)证明：证明：CD平面平面PAE；(2)假设直线假设直线PB与平面与平面PAE所成的角和所成的角和PB与平面与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥所成的角相等，求四棱锥PABCD的体积的体积【思绪点拨】【思

9、绪点拨】(1)以点以点A为坐标原点建系，用向量法证为坐标原点建系，用向量法证明明CDAE，CDAP.(2)先确定平面先确定平面PAE和平面和平面ABCD的法向量，再根据直线的法向量，再根据直线PB的方向向量和两个平面的法向量的夹角余弦值的绝对值的方向向量和两个平面的法向量的夹角余弦值的绝对值相等求相等求AP.【尝试解答】如下图，以【尝试解答】如下图，以A为坐标原点，为坐标原点，AB，AD，AP所在所在直线分别为直线分别为x轴，轴，y轴，轴，z轴建立轴建立空间直角坐标系设空间直角坐标系设PAh，那么相关各点的坐标为：那么相关各点的坐标为：A(0，0，0)，B(4，0，0)， (2021山东高考山

10、东高考)在如图在如图778所示的几何体中，所示的几何体中，四边形四边形ABCD是等腰梯形，是等腰梯形，ABCD，DAB60，FC平面平面ABCD，AEBD，CBCDCF.(1)求证：求证：BD平面平面AED；(2)求二面角求二面角FBDC的余弦值的余弦值 【思绪点拨】【思绪点拨】(1)(1)先证先证ADBDADBD，再根据，再根据AEBDAEBD可证明可证明结论成立结论成立(2)(2)根据根据ADBDADBD知知ACBCACBC，以点，以点C C为坐标原点建立空间直为坐标原点建立空间直角坐标系，用向量法求解角坐标系，用向量法求解【尝试解答】证明【尝试解答】证明 (1) (1)由于四边形由于四边

11、形ABCDABCD是等腰梯是等腰梯形，形，ABCDABCD，DABDAB6060，所以所以ADCADCBCDBCD120120. .又又CBCBCDCD，所以，所以CDBCDB3030，因此因此ADBADB9090，即，即ADBD.ADBD.又又AEBDAEBD，且，且AEADAEADA A，AEAE，ADAD平面平面AEDAED，所以所以BDBD平面平面AED.AED.(2)由由(1)知知ADBD，所以，所以ACBC.又又FC平面平面ABCD，因此因此CA，CB，CF两两垂直两两垂直以以C为坐标原点，分别以为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为所在的直线为x轴，轴，y轴，轴，z轴，建

12、立如下图的空轴，建立如下图的空间直角坐标系无妨设间直角坐标系无妨设CB1，1利用空间向量求二面角可以有两种方法：一是分别利用空间向量求二面角可以有两种方法：一是分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，那么这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面两个向量，那么这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二是经过平面的法向量来求：设二面角的两个半角的大小；二是经过平面的法向量来求：设二面角的两个半平面的法向量分别为平面的法向量分别为n1和和n2，那么二面角的大小等于，那么二面角的大小等于n1，n2(或或n1，n2)2利

13、用空间向量求二面角时，留意结合图形判别二面利用空间向量求二面角时，留意结合图形判别二面角是锐角还是钝角角是锐角还是钝角【解】【解】(1)证明由题设知，三棱柱的侧面为矩形由证明由题设知，三棱柱的侧面为矩形由于于D为为AA1的中点，故的中点，故DCDC1. (2021北京高考北京高考)如图如图7710(1)，在，在RtABC中，中，C90，BC3，AC6.D，E分别是分别是AC，AB上的点，上的点，且且DEBC，DE2，将，将ADE沿沿DE折起到折起到A1DE的位的位置，使置，使A1CCD，如图，如图(2)(1)求证：求证：A1C平面平面BCDE；(2)假设假设M是是A1D的中点，求的中点，求CM

14、与平面与平面A1BE所成角的所成角的大小；大小；(3)线段线段BC上能否存在点上能否存在点P，使平面，使平面A1DP与平面与平面A1BE垂直？阐明理由垂直？阐明理由【思绪点拨】【思绪点拨】(1)经过证明经过证明DE平面平面A1CD来证明来证明DEA1C.(2)以点以点C为坐标原点建立空间直角坐标系，求平面为坐标原点建立空间直角坐标系，求平面A1BE的法向量，用向量法求解的法向量，用向量法求解(3)假设点假设点P存在，设出其坐标，然后求出平面存在，设出其坐标，然后求出平面A1DP的的法向量，利用两个平面的法向量垂直求解法向量，利用两个平面的法向量垂直求解【尝试解答】【尝试解答】(1)ACBC，D

15、EBC，DEAC.DEA1D，DECD，又，又A1DCDD，DE平面平面A1DC.DEA1C.又又A1CCD，CDDED，A1C平面平面BCDE.立体几何开放性问题求解方法有以下两种：立体几何开放性问题求解方法有以下两种：(1)根据标题的知条件进展综合分析和察看猜测，找出点根据标题的知条件进展综合分析和察看猜测，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论或线的位置，然后再加以证明，得出结论(2)假设所求的点或线存在，并设定参数表达知条件，根假设所求的点或线存在，并设定参数表达知条件，根据标题进展求解，假设能求出参数的值且符合知限定的范据标题进展求解，假设能求出参数的值且符合知限定的范围，那么存

16、在这样的点或线，否那么不存在围，那么存在这样的点或线，否那么不存在如图如图7711，在三棱锥，在三棱锥PABC中，中，ABAC，D为为BC的中点，的中点，PO平面平面ABC，垂足，垂足O落在线段落在线段AD上，知上，知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：证明：APBC；(2)在线段在线段AP上能否存在点上能否存在点M，使得二面角，使得二面角AMCB为直二面角？假设存在，求出为直二面角？假设存在，求出AM的长；假设不存在，请阐的长；假设不存在，请阐明理由明理由用向量法处理立体几何问题，是空间向量的一个详细运用向量法处理立体几何问题，是空间向量的一个详细运用，表达了向量的工具性，这种方法可

17、把复杂的推理证明、用，表达了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，表达了由推理的难度，表达了由“形转形转“数的转化思想数的转化思想利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面、的法向量的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中察看法向时，要根据向量坐标在图形中察看法向量的方向，从而确定二面角与向量量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点是互补，这是利

18、用向量求二面角的难点、易错点从近两年高考试题看，利用空间向量求空间角是每年必从近两年高考试题看，利用空间向量求空间角是每年必考内容，重点调查向量方法的运用，在利用平面的法向量求考内容，重点调查向量方法的运用，在利用平面的法向量求二面角大小时，两个向量的夹角与二面角的平面角相等还是二面角大小时，两个向量的夹角与二面角的平面角相等还是互补，是学生的易错易误点，解答此类标题时应特别留意答互补，是学生的易错易误点，解答此类标题时应特别留意答题的规范化题的规范化(1)证明：证明：AA1BC；(2)求求AA1的长；的长；(3)求二面角求二面角ABCA1的余弦值的余弦值【规范解答】【规范解答】(1)取取BC，B1C1的中点分别为的中点分别为D和和D1，衔接衔接A1D1，DD1，AD.由由BB1C1C为矩形知，为矩形知，DD1B1C1.由于平面由于平面BB1C1C平面平面A1B1C1，所以所以DD1平面平面A1B1C1.又由又由A1B1A1C1知，知，A1D1B1C1.(2)判别法向量的夹角与二面角的大小关系，普通有两种判别法向量的夹角与二面角的大小关系，普通有两种方法：一是察看法，借助几何体察看二面角是锐二面角还是方法：一是察看法，借助几何体察看二面角是锐二面角还是钝二面角；二是判别法向量的方向，同指向二面