信号与系统课后答案

1、Signals and Systems信号与系统济南大学信息科学与工程学院机动 目录 上页 下页 返回 结束 Signals and Systemsdttttta442)2(2)()23()(4426)2(24)(2dttt442)2()()5()1()(dtttttbdtttt44)2(5)()5(261.18 求以下积分的值求以下积分的值)()()()(000tttxtttx)()0()()(txttxdttttttt4422)2()23(2)()23(dttt44)2()264(2)()200(6)2(5)(44dtttSignals and Systems1) 2/() 2/cos1

2、() 2/()cos1 ()(dttdtttc4)231 ()21 ()21 ()231 ()(cos)231 ()21 ()21 ()231 ()23()2()2()23( )1 ()(cos)1 (20022222dttdttttttdttt)(| )(|1)(cos)(iiitttftdSignals and Systems波波形形波波形形，求求已已知知)()23(txtx 0124X(3-2t)2t1.19反转反转扩展扩展2倍倍右平移右平移3解解:0-1-2-4X(3+2t)2t-3t0-2-4-8X(3+t)4-6-5-3-112X(t)t4t - -tt - t/2t - t-3S

3、ignals and Systems322,)4/3cos(2)(00 Tta解解：是是连连续续的的周周期期信信号号222,)(00)1( Tebtj解解：是是连连续续的的周周期期信信号号7,7427/8227/8cos)(00 Nnc，是是离离散散的的周周期期信信号号解解： 周期信号。为无理数，不是离散的解：8124/124/cos)(0nd 。的的图图形形可可知知，周周期期解解：由由4414414)( Nknknknknekkkk n01481.21 1.21 判断以下信号是否周期信号判断以下信号是否周期信号? ?如果是周期的如果是周期的, ,试求出它的基波周期。试求出它的基波周期。为为有

4、有理理数数Nm /2/0 Signals and Systems1644122/2,1616128/288124/2)2/cos(2)8/sin()4/cos(2)(0332211 NNNNnnng离离散散信信号号周周期期为为别别为为解解：各各离离散散项项的的周周期期分分 3575,5,71)(05/27/45/27/4 NNeNeeehnjnjnjnj是是离离散散周周期期信信号号解解： 022112422,51022,)14sin()110cos(2)(TTTttf基基波波周周期期解解：是是连连续续的的周周期期信信号号Signals and Systems的的响响应应，并并求求波波形形求求：

5、该该系系统统对对输输入入如如图图所所示示的的响响应应系系统统对对信信号号已已知知一一个个)(),()()(3211tttytxLTIxx1.24)(1tx12301t)(1ty1201tSignals and Systemst214t)(2ty2)2()()(112 tttyyy)(2tx1 23401)2()()(112 txtxtxt-10122)(3ty)()1()(113tttyyy )()1()(113txtxtx )(3tx2-112t1)(1tx)1(1 tx)(1tx12301t)(1ty1201tSignals and Systems求求:(a)当初始状态 时的零输入响应。

6、(b)当x(t)=2u(t)时的零状态响应。2)0(, 1)0(21 xx1.27 LTI系统的输入x(t)=u(t),初始状态).()56()(2)0(, 1)0(3221tueetyxxtt 时时响响应应).()78()(32tueetytt如果输入改为x(t)=3u(t)而初始状态不变，那么输出Signals and Systems解解1： (a) 当输入当输入x(t)=u(t)时时,全响应全响应 )()56()()()(3201tueetytytyttx).()78()(3)()(3202tueetytytyttx当输入当输入x(t)=3u(t)时时,全响应全响应)()()()()()

7、(3201tueetytytybttx时的零状态响应为可得，由 u(t)x(t)a)所以零输入响应所以零输入响应).()45()()(321)(32210tueetytytytt)()22()(2 2u(t)x(t)32tueetyttx 时的零状态响应为时的零状态响应为Signals and Systems解解2： (b) 当输入当输入x(t)=u(t)时时,全响应全响应 )()22()()()(23212tueetytytyttx时的零状态响应为 2u(t)x(t)()56()()()(3201tueetytytyttx)(2)()( 2u(t)x(t)0tytytyx 时时，全全响响应应

8、而而).()78()(3)()(3202tueetytytyttx当输入当输入x(t)=3u(t)时时,全响应全响应)()()()(21)()(3212tueetytytyattx时的零状态响应为可得，由 u(t)x(t)b)所以零输入响应所以零输入响应)()45()()()(3210tueetytytyttxSignals and Systems连续时间系统：连续时间系统： 1 数学模型：微分方程数学模型：微分方程 2 求解方法：求解方法：1 齐次解齐次解+特解特解 齐次解：根本形式齐次解：根本形式 ，P43表表2-1，关键，关键点：求特征根点：求特征根 特解：见课本特解：见课本P44表表2

9、-2tiiec时域分析总结离散时间系统：离散时间系统： 1 数学模型：差分方程数学模型：差分方程 2 求解方法：求解方法： 1 递推法：适于较简单的方程递推法：适于较简单的方程 2齐次解齐次解+特解不常用特解不常用 mrrrnkkktxDbtyDa00)()(MrrNkkrnxbknDya00i机动 目录 上页 下页 返回 结束 Signals and Systems连续时间系统：连续时间系统： 2 求解方法：求解方法：2 零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应 零输入响应：解的形式同齐次解，零输入响应：解的形式同齐次解， 关键点：初始条件关键点：初始条件 零状态响应：解的形式为齐次解零状

10、态响应：解的形式为齐次解+特解特解 关键点：初始条件关键点：初始条件 离散时间系统：离散时间系统： 2 求解方法：求解方法：3零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应 零输入响应：解的形式同齐次解零输入响应：解的形式同齐次解 关键点：初始条件关键点：初始条件 零状态响应：利用卷积和求解零状态响应：利用卷积和求解)0()0()()(0kkyy0)0()(kxy)0()0()()(kxkxyy不一定等于,.22,1 100yyyy求解方程：机动 目录 上页 下页 返回 结束 Signals and Systems稳定系统：稳定系统：h(t)/hn是绝对可积/和的 单位冲激抽样响应：系统特性的表征

11、 输入是单位冲激信号时所产生的响应因果系统：因果系统：h(t)=0(hn =0),t0(n0) 级联系统：级联系统： */ )(*)()(2121nhnhnhththth并联系统：并联系统： / )()()(2121nhnhnhththth恒等系统：恒等系统： )()(tth微分系统：微分系统： )()(tth积分系统：积分系统： )()(tuth机动 目录 上页 下页 返回 结束 Signals and Systems连续时间系统：连续时间系统： 步骤：步骤： 可先求可先求 ：解的形式同齐次解，：解的形式同齐次解， 关键点：初始条件关键点：初始条件 离散时间系统：离散时间系统：可先求可先求

12、：解的形式同齐次解，：解的形式同齐次解， 初始条件初始条件0)0 ()0 (.)0 (,/ 1)0 () 1 () 2() 1(hhhahnnnmrrrnkkktDbthDa00)()()(thmrrrmrrrthDbthtDb00)()()(对应的输出输入mrrnkkrnbknha00nh0)1. 1,/ 1 0 0nhhahmrrmrrrnhbnhrnb00对应的输出输入h(t)的求解：的求解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 Signals and Systems 关键点：有限长序列求和上下限的求取关键点：有限长序列求和上下限的求取离散时间系统：离散时间系统： 定义：定义：零状态响应卷

13、积法：dtxtx)()()(dthxtyx)()()(anknhakh的边界为则的边界坐标为设,kkxknhkxnykkknkxnx连续时间系统：连续时间系统： 定义：定义： 关键点：分段函数积分上下限的求取关键点：分段函数积分上下限的求取atthath的边界为则的边界坐标为设)(,)( 卷积和的另一解法：阵列图法卷积和的另一解法：阵列图法机动 目录 上页 下页 返回 结束 Signals and Systems00y10y0ty2D3Db12 )(,)(;)()()()(21023212 ，解解：特特征征方方程程：etettyhcc21)(齐次解ececyttth221)1(2)( 由初始条

14、件由初始条件: 0122121cccc 1221cc解得：解得：0,)(22ttyeett2.1 解微分方程解微分方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 Signals and Systems2)0(, 1)0(, 1)0(,0)()1()()2()1(23 yyytyDDDd110110132,1223 ，）（）（）解解：（ttttthtttthttthectecececectyectececectyectececty32221)2(3221)1(321)()()( 4/12/34/3221132132132131ccccccccccc0,4/12/34/3)(teteetyttthet 3

15、机动 目录 上页 下页 返回 结束 Signals and Systems0) 0() 0()()() 34()(122 yytuetyDDbt13844)(,2)()(3)()(3103422222)2(2)1(2321)1(321212 AeAeAeAeAetyAetyAetyecectyecectytttttptptptthtth代代入入方方程程得得：设设特特解解，解解： 2.3机动 目录 上页 下页 返回 结束 Signals and Systems0),2/12/1 ()(2/12/1023)0(01)0(23)()()()(322121) 1 (212321) 1 (2321tee

16、etyccccyccyeecectyeecectytytytttttttttph完全解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 Signals and Systems)()1(1)()()(20)(tueaatdetuettucatttaat t0)()1(12tueaat at 2.50)( tae t图形图形设设)()(, 1tuettuaat 0 ae 图图解解法法)()(tuettuat 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Signals and Systems40,)cos1(1,040,)4()(sin,0)4()()(sin)(0ttttdtututtututtuet其它其它t024

17、2机动 目录 上页 下页 返回 结束 Signals and Systems40,)cos1(1,04()()cos1(1)4()(*)()cos1(1)4()(*)(sin)4()(*)(sin)4()()(sin2)(0ttttututtttutttduttdutututtu：ett其它解机动 目录 上页 下页 返回 结束 Signals and Systems 1)1 (3110) 1()()1(31)(33tedettutuetttt t01)(ty31t011) 1( u)()(3tuet0 t1 tt：解解法法1注意注意机动 目录 上页 下页 返回 结束 ) 1()()(3 tut

18、uegtSignals and Systems 1)1(3110)1()()1(31033tedettutuettt t011)(3 ue )()(3tuet t01)(ty311 0 t1 tt) 1( tu1 t：解解法法2)(* gSignals and Systems0)0(1)0(0)0(0)0(0)0(0)0()()(34)()() 1()() 34() 1 () 1 () 1 (22hhhhhhtthDDthtxDtyDD，可得：，由初始条件，）解：设（。求，已知2.7机动 目录 上页 下页 返回 结束 Signals and Systems)(21212123)()()()()

19、1()()(2/12/1)(2/1, 2/10)0(1)0()(13034)()(34333321)1(2312122tueeeeethdtthdththDthtueethcchhececthrrrrtthDDttttttttt 可可得得：，代代入入初初始始条条件件特特征征根根，的的特特征征方方程程：）（ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Signals and Systems2.15求求系系统统总总冲冲激激响响应应。图图中中),()(),1()(),()(321tthtthtuth h2(t)h1(t)h3(t)h1(t)(tx)(ty) 1()() 1(*)()()(*) 1(*)()(

20、)(*)(*)()()(3211 tututtututttutuththththth 解解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 Signals and Systems系系统统的的零零状状态态响响应应。时时程程，并并计计算算当当输输入入由由图图写写出出系系统统的的微微分分方方,)(2)(tuetxt y(t)*2.19)(6)(5)()( tytytxty x(t)+-5-6(a)(ty)( ty机动 目录 上页 下页 返回 结束 Signals and Systems122265)(, 2, 30)0()0(),(2)()()(6)(5)()(6)(5)()(21) 1 ( AeAeeAeAe

21、AeAetyyytuetxtxtytytytytytxtyatttttttt把特解代入方程中特解：特征根：时）（解：tttxtttxeecectyeececty2132)1(213223)()(零状态响应：机动 目录 上页 下页 返回 结束 Signals and Systems 0123)0(01)0(12)1(12ccyccyxx)()2()(123221tueeetycctttx 解解得得：机动 目录 上页 下页 返回 结束 Signals and Systems。求求总总系系统统图图中中)(),3()()();1()(21thtututhtth )5()4()3()2() 1()()3

22、()(*)2() 1()()3()(*)1(*) 1() 1()()(*)(*)()()()(2111 tututututututututtttututtttththththtth 解解：x(t)(1th)(1th)(1th)(2th+-y(t)2.21机动 目录 上页 下页 返回 结束 Signals and Systemsnnnnnyccccyccyccnyaaaayynynynyb)2(12) 1(41241)2() 1(22)2() 1( 1)2() 1(2, 1023:12, 2 1, 022 131 . 32122211211210212得由初始条件特征方程：解）（解差分方程3.1

23、(b)机动 目录 上页 下页 返回 结束 Signals and Systems10121 2 1, 0 2 12)(212 aaaayynynynyc解解：特特征征方方程程：nnnnnnnnyccnccny) 1)(23() 1(2) 1( 32, 3) 1() 1(2121 由由初初始始条条件件得得：3.1(c)机动 目录 上页 下页 返回 结束 Signals and Systems2 . 05/18 . 05/4,)2 . 0()8 . 0(2 . 0, 8 . 0, 016. 06 . 00216. 0 16 . 000 1, 100, 00216. 0 16 . 0216. 0 1

24、6 . 0)(3 . 32121212ccccnhaaaanhnhnhnhhnhnnnhnhnhnxnynynyann由初始条件解：求单位抽样响应) 2 . 0( 2 . 0) 8 . 0(8 . 0nunhnn3.3(a)机动 目录 上页 下页 返回 结束 Signals and Systems232)3 . 0 8/35 . 0 8/5(8/58/305 . 03 . 015 . 03 . 05 . 0, 3 . 0015. 02 . 001,10215. 012 . 0232215. 012 . 0)(21212121212 nhnhnhnunhccccccccnhhhnnhnhnhnx

25、nxnynynycnnnn 得：得：由由解：解：3.3(c)机动 目录 上页 下页 返回 结束 Signals and Systems2) 3 . 0447 5 . 0425( 15224254475013141005221032, 5 . 0 3 . 05 . 0, 3 . 0015. 02 . 0501312,52 1 ,20232215. 0 12 . 02232215. 0 12 . 0)(2122121212nunnnhcccccnccnhhhhnnnhnhnhnxnxnynynycnnnn得：由：解3.3(c)机动 目录 上页 下页 返回 结束 Signals and System

26、s全全响响应应。）零零状状态态响响应应（零零输输入入响响应应求求初初始始条条件件输输入入已已知知系系统统的的差差分分方方程程为为)(;)(,)/()/()/(.cbayynunxnxnynynyn25261512611656300nnnnnyccccnyaaaaa)2/1(2/7)3/1(3/132/73/13)2/1()3/1(2/13/106/16/5(021210212 由由初初始始条条件件得得，）零零输输入入响响应应解解：3. 6机动 目录 上页 下页 返回 结束 Signals and Systems)3/1(2)2/1(33, 2)2/1()3/1(001, 10:26/116/5

27、: )(21210nunhccccnhnhnhhnnhnhnhnhbnnnn 由由初初始始值值得得：齐齐次次解解：时时初初始始值值先先求求零零状状态态响响应应 ) 5/ 1 () 3/ 1 () 5/ 1 ( 2) 5/ 1 () 2/ 1 () 5/ 1 ( 3) 5/ 1() 3/ 1 (2) 5/ 1() 2/ 1 (3) 5/ 1 (*) 3/ 1 ( 2) 5/ 1 (*) 2/ 1 ( 3*0000nunuknukuknukunununununhnxnykknknkknknknknkknknknnnnx机动 目录 上页 下页 返回 结束 Signals and Systems)/(

28、)/()/()/()/()/()/(/)/()/(/)/()/()/()/()/()/(nu51315215nu135513125512nu135135512251251513nu35512nu25513nnn1nn1nn1nn1nnkn0knkn0kn )/()/(/)/(/)(nunyynycnnnx513132212300全全响响应应：机动 目录 上页 下页 返回 结束 Signals and Systems 022/1112022/112210nnknnknnknk2*,28 . 3kunkunhnxnynunhnunxcknkn 解解：）（计计算算卷卷积积3.8xn-kk0kuk0n

29、nk0 x-k机动 目录 上页 下页 返回 结束 Signals and Systems 0,22/11120,22/112201nnkknnknk2*knukunhnxnykk 或或：*,)(21212121nnnnknnknynnnnhnxnynnnhnnnxdk 另另解解：解解：kun-k0 xkk0nn机动 目录 上页 下页 返回 结束 Signals and Systems*)(*)(.,)(;,11. 31000knhnhknhknnhknnhnunhnsansnhbnhnsnunxaLTIkkkk 解解：求求已已知知求求单单位位抽抽样样响响应应为为阶阶跃跃响响应应）时时的的零零状

30、状态态响响应应（单单位位）已已知知（离离散散时时间间系系统统中中在在3.11机动 目录 上页 下页 返回 结束 Signals and Systems111*1*1100 nsnsnhknhknhknnhnunhnskkk *)(0knhkuknhkhknukhnunhnsbkknkk 1 1 1 1 1,nsnsnhnsnsnununnsnunsnu或：机动 目录 上页 下页 返回 结束 Signals and Systems第四章机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续时间傅里叶变换连续时间信号的谱分析和时-频分析Signals and Systems 4.1引言引言 4.2复指数函数的正

31、交性复指数函数的正交性 4.3周期信号的表示：连续时间傅里叶级数周期信号的表示：连续时间傅里叶级数 4.4波形对称性与傅里叶系数波形对称性与傅里叶系数 4.5周期信号的频谱与功率谱周期信号的频谱与功率谱 4.6傅里叶级数的收敛性傅里叶级数的收敛性 吉伯斯现象吉伯斯现象 4.7非周期信号的表示：连续时间傅里叶变换非周期信号的表示：连续时间傅里叶变换 4.8傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数与傅里叶变换的关系 4.9连续时间傅里叶变换的性质与应用连续时间傅里叶变换的性质与应用 4.10卷积定理及其应用卷积定理及其应用 4.11相关相关 4.12能量谱密度与功率谱密度能量谱密度与功率谱密度 4.

32、13信号的时信号的时-频分析和小波分析简介频分析和小波分析简介Signals and Systems本章重点与难点：本章重点与难点：机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.周期信号的连续时间傅里叶级数；周期信号的连续时间傅里叶级数；2.非周期信号的连续时间傅里叶变换；非周期信号的连续时间傅里叶变换；3.频谱与功率谱及能量谱密度与功率谱密度概念；频谱与功率谱及能量谱密度与功率谱密度概念；4.连续时间傅里叶变换的性质与应用；连续时间傅里叶变换的性质与应用； 5.时域、频域卷积定理及其应用时域、频域卷积定理及其应用 ；6.相关的概念。相关的概念。Signals and Systems时域分析：时域分

33、析：1解微分差分方程，求系统响应。解微分差分方程，求系统响应。2利用卷积积分，求系统零状态响应利用卷积积分，求系统零状态响应 yx(t)=h(t)*x(t).把把x(t)表示成表示成 为根本信号，为根本信号， h(t) 为根本响应。为根本响应。 )(t)()()()()(ttxdtxtx 4.1 引言Signals and Systems频域分析傅里叶分析：频域分析傅里叶分析：根本信号：复指数函数。根本信号：复指数函数。根本响应：复指数信号响应。根本响应：复指数信号响应。 ktjkk0ectx )(tjetx )(tjHjtjtjeeHeHdehtxthty)(arg)(| )(|)()()(

34、)()( dehHj )()( 频率响应频域分析：把信号表示为一组不同频率的复指数函数或正弦信号的加权和/积分，称为信号的频谱分析。用频谱分析的观点分析系统，称为系统的频域分析。Signals and Systems机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.2 复指数函数的正交性1、正交函数的定义 mnKmndtttittmn, 0)()(21* 在区间 内函数集 中的各个函数间，若满足正交条件： )(),.(),(10tttN),(21tt则称 为正交函数集 )(),.(),(10tttN 若 ，则称 为归一化正交函数集 )(),.(),(10tttN1iKSignals and System

35、s机动 目录 上页 下页 返回 结束 Nmdtttttm, 1 , 0, 0)()(21*则称 为完备的正交函数集 )(),.(),(10tttN 对于区间 内的正交函数集 若再也找不到一个函数 能够满足 )(),.(),(10tttN),(21tt)(t若 为完备的正交函数集，则区)(),.(),(10tttN间 内的任意函数 可以用这 个正交函数的加权和精确表示，即),(21tt1N)(tx),(, )()()()()(2101100ttttctctctctxNnnnNN且 2121)()()()(*ttnnttnndtttdtttxcSignals and Systems机动 目录 上页

36、 下页 返回 结束 NnnnNNtctctctctx01100)()()()()(证： 21)()(*ttmdtttx两边同乘 并在区间 内积分，得 )(*tm),(21tt21)()(*0ttmnNnndtttc 21)()(*0ttmNnnndtttc21)()(*ttnnndtttcnttnnKdtttxc21)()(*所以 21)()(*ttnnndtttK21)()(*ttndtttxSignals and Systems机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、复指数函数是正交函数0110001100*)(TtttjmtjnTtttjmtjndteedtee0110)(Ttttmnj

37、dte2, 1, 0,0netjn 复指数函数集 在 内是正交函数集，其中 为基波周期。 ),(011Ttt0TmnTmn, 00Signals and Systems机动 目录 上页 下页 返回 结束 正弦函数 和余弦函数 在 内是正交函数，其中 为基波周期。 ),(011Ttt0Ttn0 sintn0 cosmnTmntdtmtnTtt, 2/, 0sinsin000011mnTmntdtmtnTtt, 2/, 0coscos000011nmtdtmtnTtt, 0cossin01100所有 Signals and Systems机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.3 周期信号的表示

38、傅里叶级数1、复指数形式的傅里叶级数 00/2T00/2T 基波角频率 基波周期0/20, 2, 1, 0,)(0Tkettjkk 具有共同的周期为周期函数。ktjkkectx0)(0k 直流分量 1k 一次谐波 2k 二次谐波 Nk N 次谐波 Signals and Systems机动 目录 上页 下页 返回 结束 周期信号可以表示成一组成谐波关系的复指数函数的加权和，称其为该周期信号的傅里叶级数表示或该周期信号的复指数形式的傅里叶级数ktjkkectx0)(Signals and Systems机动 目录 上页 下页 返回 结束 330)(ktjkkectx例题： 一周期信号的傅里叶级数

39、表示式为式中 ，3/1, 2/1, 4/1, 13322110ccccccc20求三角函数表示式并绘制波形图。解： 直流分量 一次谐波 二次谐波 1三次谐波 4/)(22tjtjeet2cos)2/1 (2/)(44tjtjeet4cos3/)(66tjtjeet6cos)3/2()(tx1t2cos)2/1 (t4cost6cos)3/2(Signals and Systems机动 目录 上页 下页 返回 结束 -3-2-101230123-3-2-10123-1-0.500.51Signals and Systems机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、三角函数形式的傅里叶级数 ktjk

40、kktjkkecectx00*)(*若信号 为实信号)(txktjkkectx0)(有kkcc*或*kkcc10000)(ktjkktjkkktjkkececcectx1*000ktjkktjkkececc100Re2ktjkkeccktjkkectx0)(Signals and Systems机动 目录 上页 下页 返回 结束 100Re2)(ktjkkecctx1)(00Re2ktkjkkeAckjkkeAc100)cos(2kkktkAc100Re2)(ktjkkecctxkkkjDBccossinsincosRe2001000tkDtkBjtkDtkBckkkkk1000)sincos

41、(2kkktkDtkBc极坐标形式三角函数形式直观，但不如指数形式运算方便正弦-余弦形式Signals and Systems机动 目录 上页 下页 返回 结束 3、傅里叶级数系数确实定0000000)(TtjktjkTtjkkdteedtetxc0000)(1TtjkdtetxTktjkkectx0)(0110)(10TtttjkkdtetxTc综合公式分析公式傅里叶系数/频谱傅里叶级数表示Signals and Systems机动 目录 上页 下页 返回 结束 1000)sincos(2)(kkktkDtkBctx011)(100TttdttxTctdtktxTBTttk00cos)(22

42、011tdtktxTDTttk00sin)(22011正弦-余弦形式傅里叶级数的系数Signals and Systems机动 目录 上页 下页 返回 结束 极坐标与直角坐标系数之间的关系100)cos(2)(kkktkActx22kkkDBAkkkBDtg/1000)sincos(2)(kkktkDtkBctxkkkBAcoskkkDAsinSignals and Systems机动 目录 上页 下页 返回 结束 1000)sincos(2)(kkktkDtkBctxRekkcB 0,kcIDkmk0,*kccjDBcjDBkkkkkkk复指数系数与直角坐标系数的关系：复指数系数与直角坐标系

43、数的关系：若 为实数kc 级数中只包含余弦项若 为纯虚数kc 级数中只包含正弦项0kD0kBSignals and Systems机动 目录 上页 下页 返回 结束 例题： 解：。的频谱求nTnTtt)()(0-T-2TT2Tt)(tTktjkTeTt01 )( 220)(1TTtjkkdtetTcTdtetTTT1)(1220k002002T1kcSignals and Systems机动 目录 上页 下页 返回 结束 例题： 解：tttttx00002sin42cos5sin3cos7)(求其复指数形式的傅里叶级数。对照1000)sincos(2)(kkktkDtkBctx可写出42, 5

44、2 , 32, 722211DBDB由知kkkjDBc所以5 . 15 . 31jc5 . 15 . 31jckkkjDBc25 . 22jc25 . 22jc)(txtjej0)5 . 15 . 3(tjej0)5 . 15 . 3(tjej02)25 . 2(tjej02)25 . 2(Signals and Systems机动 目录 上页 下页 返回 结束 例题： 解：周期信号 如下图，求其傅里叶级数)(tx0t)(tx21T21T20T20T0T0T可写出一个周期内的表达式为其它, 02/|,)(1TtAtx计算系数012/2/00111TTAAdtTcTTASignals and S

45、ystems机动 目录 上页 下页 返回 结束 2/2/01101TTtjkkdtAeTc)(2/2/001010TjkTjkeeTjkA)2/sin(21000TkjTjkA)2/sin(21000TkTkA)(5)(3)(2)(0000005533tjtjtjtjtjtjeeAeeAeeAAtx所以级数的复指数形式为由于 为实数，所以 ， kc0kD)2/sin(22kkABktAtAtAAtx0005cos523cos32cos22)(所以级数的正弦-余弦形式为)2/sin()4/sin(20000kkATkTkAck2/01TT 假设Signals and Systems机动 目录 上

46、页 下页 返回 结束 例题： 解：周期信号 如下图，求其傅里叶级数)(tx0t)(tx20T20T0T0T2121可写出一个周期内的表达式为2/2/,/)(000TtTTttx计算系数02112/2/2202/2/2000000TTTTtTtdtTcSignals and Systems机动 目录 上页 下页 返回 结束 由于 为纯虚数，所以kc0kBkDkk) 1(2ttttx0003sin312sin21sin1)(所以级数的正弦-余弦形式为jkeejkeeTTjkejkteTjkdtteTckjkjkjkjkTTtjkTTtjkTTtjkk2) 1(121111002002/2/02/2

47、/2002/2/20000000000200TSignals and Systems机动 目录 上页 下页 返回 结束 )()(:)(txtx，tx即是偶函数若dttxTT2/2/00)(dttxdttxTT2/002/00)()(dttxT2/00)(2tt偶函数在对称区间内的积分dttxdttxTT2/02/000)()(dttxdttxTT2/002/00)() (4.4 波形对称性与傅里叶系数Signals and Systems机动 目录 上页 下页 返回 结束 )()(txtx奇函数在对称区间内的积分dttxTT2/2/00)(dttxdttxTT2/002/00)()(dttxt

48、 dtxTT2/002/00)()(0ttdttxdttxTT2/02/000)()(dttxdttxTT2/002/00)()(Signals and Systems机动 目录 上页 下页 返回 结束 Fourier级数中只含级数中只含常数项、余弦项。常数项、余弦项。02kDtdtktxTBTk02/00cos)(420kkkBcc0,kkkkBcA1.偶对称：)()(txtx1000)sincos(2)(kkktkDtkBctx)(tx02T00T 1tdtktxTBTTk02/2/0cos)(2200tdtktxTDTTk02/2/0sin)(2200dttxTcTT2/2/0000)(1Signals and Systems机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.奇对称：00c02kBtdtktxTDTk02/00s