动力学辅导2014教材

1、3.研究问题：第一类：已知运动求力；第二类：已知力求运动；综合：已知主动力求约束反力。动力学1.研究对象：研究力与运动关系。2.主要内容：包含质点质点动力学问题、质点系质点系动力学问题和刚体动力学三部分。4.4.重点：掌握重点：掌握动力学普遍定理动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些定理)，并熟练应用。第九章第九章 质点动力学的基本方程质点动力学的基本方程一、质点动力学的基本方程一、质点动力学的基本方程二、质点动力学的两类问题二、质点动力学的两类问题动力学动力学第九章第九章 质点动力学的基本方程质点动力学的基本方程第十章第十章 动量定理动量定理一、动量定理一

2、、动量定理二、质心运动定理二、质心运动定理动力学动力学第十章第十章 动量定理动量定理 一、动量定理一、动量定理 1.1.质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和。niiim1vp式中n为质点数，mi为第i个质点的质量，vi为质点速度矢量。计算式Cmvp上式表明，质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。 刚体是由无限多个质点组成的不变质点系，质心是刚体内某一确定的点。对于质量均匀的规则刚体，质心就是几何中心，由上式可以方便的计算刚体或者刚体系统的动量。 对刚体系有Ciimvp2质点系的动量定理质点系的动量定理1）质点系动量定理的微分形式质点

3、系动量定理的微分形式 dd1)e(niitFp2 2）质点系动量定理的积分形式）质点系动量定理的积分形式 1(e)i0niIpp动量定理是矢量式，在应用时应采用投影式，在直角坐标系的投影式分别为：)e()e()e(dd ,dd ,ddzzyyxxFtpFtpFtp(e)0(e)0(e)0, ,zzzyyyxxxIppIppIpp 如果质点系受到外力之主矢等于零，质点系的动量将保持不变，即3质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律 0常矢量 pp常量xxpp0同样，如果质点系受到外力之主矢在某一坐标轴上的投影等于零，质点系的动量在该坐标轴上的投影也保持不变，即以上结论称为质点系动量守恒定律。二二.

4、质心运动定理质心运动定理上式表明质点系质量与质心加速度乘积等于质点系外力矢量和，该规律称为质心运动定理；它同质点动力学基本方程 相似，可以把质点系质心运动看作一个质点的运动，此质点集中了质点系的质量和外力。 FaCm为质心加速度）CniiCmaFa( 1)e(1. 投影形式：投影形式：。 , , )()()(eizCCzeiyCCyeixCCxFzMMaFyMMaFxMMa 。 0 , , )()(2)(eibeinCCneiCFFvMMaFdtdvMMa)(eixCiiCixiFxmam )(eiyCiiCiyiFymam )(eizCiiCiziFzmam 2. 刚体系统：刚体系统：设第

5、i 个刚体 mi，vCi，则有 或)(eiCiiFam)(eiCiiFrm 4. 质心运动守恒定律质心运动守恒定律 从质心运动定理知，如果作用于质点系外力主矢为零，则质心作匀速直线运动；若开始静止，则质心位置不变。如果作用于质点系的所有外力在某个轴上投影的代数和恒为零，则质心速度在该轴上投影不变；若开始速度为零，则质心在该轴坐标不变。该结论称为质心运动守恒定律。 只有外力才能改变质点系质心的运动只有外力才能改变质点系质心的运动, , 内力不能改变质心内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。的运动，但可以改变系统内各质点的运动。思考题：思考题： 图示杆开始静止，手受一微小干扰倒地，

6、地面光图示杆开始静止，手受一微小干扰倒地，地面光滑。问：倒地过程，杆作何运动？其质心作何运动？滑。问：倒地过程，杆作何运动？其质心作何运动？一、质点系的动量矩定理一、质点系的动量矩定理二、刚体绕定轴的转动微分方程二、刚体绕定轴的转动微分方程三、刚体的平面运动微分方程三、刚体的平面运动微分方程第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理动力学动力学第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理一、质点系的动量矩定理一、质点系的动量矩定理niiOOt1)e()(ddFMLniizzniiyyniixxMLtMLtMLt1)e(1)e(1)e()(dd)(dd)(ddFFF对固定点对固定点对固定轴对固定轴)(dd

7、 ) )(dd 1221FFFnizzzzinizzMtJMJMtJ或（也可为以上各式称为刚体绕定轴转动微分方程以上各式称为刚体绕定轴转动微分方程二、二、刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴转动主要解决两类问题：刚体绕定轴转动主要解决两类问题：已已知作用在刚体的知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律；外力矩，求刚体的转动规律；已已知刚体的转动规律，求知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。作用于刚体的外力（矩）。但不能求出轴承处的约束反但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。力，需用质心运动定理求解。平行移轴定理平行移轴定理 刚体对于某轴的转动惯量，等于刚体

8、对于过质心、并与刚体对于某轴的转动惯量，等于刚体对于过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体质量与轴距平方的乘积，该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体质量与轴距平方的乘积，即即2mdJJzCz 对于均匀直杆，细圆环，薄圆盘（圆柱）对过质心垂直于对于均匀直杆，细圆环，薄圆盘（圆柱）对过质心垂直于质量对称平面的转轴的转动惯量要熟记。质量对称平面的转轴的转动惯量要熟记。解解: JO = JOD + JAB231mlJOD2221213)(121mlODmmlJAB2221217121331mlmlmlJOOABD求系统对垂直于图面且过求系统对垂直于图面且过 O 点的轴的转动惯量。点的轴的转动惯量。或

9、xCxFmayCyFma)(FCCMJxCFxm yCFym )(FCCMJ 三刚体平面运动微分方程三刚体平面运动微分方程一、力的功一、力的功二、动能定理二、动能定理三、动力学普遍定理的综合应用举例三、动力学普遍定理的综合应用举例第十二章第十二章 动能定理动能定理动力学动力学第十二章第十二章 动能定理动能定理一、力的功一、力的功力在全路程上作的功为元功之和，即ZdzYdyXdxWsMMs21ddcos0rFFW1重力的功重力的功 对质点系，重力功为： )()(212112CCiiizzmgzzgmW 质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置

10、重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。2弹性力的功弹性力的功 弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与质点运动的路径无关。而与质点运动的路径无关。)(2 2221kW 022011,lrlrk弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力。N/m , N/cm。21d)(12FzMW作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。21d12MW若M= 常量, 则)(1212 MW注意：功的符号的确定。注意：功的符号的确定。如果作用力偶M， 且力偶的作用面垂直转轴，则3作用于

11、转动刚体上的力的功，力偶的功作用于转动刚体上的力的功，力偶的功3）柔索约束（不可伸长的绳索）柔索约束（不可伸长的绳索）拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。4理想约束反力的功理想约束反力的功约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。1）光滑固定面约束）光滑固定面约束)d( 0dNNrFrFW5）刚体沿固定面作纯滚动中的摩擦力）刚体沿固定面作纯滚动中的摩擦力2）活动铰支座、固定铰支座和向心轴承）活动铰支座、固定铰支座和向心轴承4）联接刚体的光滑铰链（中间铰）联接刚体的光滑铰链（中间铰）221PJT （P为速度瞬心）2MdJJCP2222221

12、 21)(2121CCCJvMdMJ22222121)(2121CiiiMvMvvmvmT222221)(2121ziiiiJrmvmT1）平动刚体）平动刚体2）定轴转动刚体）定轴转动刚体3）平面运动刚体）平面运动刚体1刚体的动能刚体的动能二动能定理二动能定理即 质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的微分形式iWTd21MMWTT12 质点系动能定理的积分形式质点系动能定理的积分形式在理想约束的条件下，质点系的动能定理可写成以下的形式)(12)( ; dFFWTTWT对整个质点系，有2质点系的动能定理质点系的动能定理将上式沿路径 积分，可得 卷扬机如图所示。鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱沿斜坡

13、上拉。已知鼓轮的半径为R1，质量为m1，质量分布在轮缘上；圆柱的半径为R2 ，质量为m1 ，质量均匀分布。设斜坡的倾角为，圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱中心C经过路程s时的速度。例例1 圆柱和鼓轮一起组成质点系。作用于该质点系的外力有：重力m1g和m2g ，外力偶M，水平轴支反力FOx和FOy ，斜面对圆柱的作用力FN和静摩擦力Fs。 应用动能定理进行求解，先计算力的功。 因为点O没有位移。力FOx ， FOy和m1g所作的功等于零；圆柱沿斜面只滚不滑，边缘上任一点与地面只作瞬时接触，因此作用于瞬心D的法向约束力FN和摩擦力Fs不作功，此系统只受理想约束，且内力作功为零。OMCm1g

14、FOxFOym2gFNFsD12解：解：质点系的动能计算如下： 式中J1 ，JC分别为鼓轮对于中心轴O，圆柱对于过质心C 的轴的转动惯量： 1和2分别为鼓轮和圆柱的角速度，即 主动力所作的功计算如下： OMCm1gFOxFOym2gFNFsD12由动能定理得 以 代入，解得： 于是 OMCm1gFOxFOym2gFNFsD12例例2 行星齿轮传动机构, 放在水平面内。动齿轮半径r ,重P, 视为均质圆盘；曲柄重P1, 长l , 作用一力偶, 矩为M(常量), 曲柄由静止开始转动； 求曲柄的角速度 (以转角 的函数表示) 和角加速度。MW01T212212212 2 2121321grPvgPg

15、lPTrlrvlv111 , 22122222121292)( 4 )(26lgPPrlgrPlgPglPT 根据动能定理，得 01292221MlgPPPPgMl92321 将 式对t 求导数，得 21)92(6lPPgM解解：取整个系统为研究对象例例3 质量为m 的杆置于两个半径为r ，质量为的实心圆柱上，圆柱放在水平面上，求当杆上加水平力时，杆的加速度。设接触处都有摩擦，而无相对滑动。2mP解：用动能定理求解。解：用动能定理求解。取系统为研究对象，杆作平动，圆柱体作平面运动。设任一瞬时，杆的速度为v，则圆柱体质心速度为 v/2，角速度rv2系统的动能222221611)2)(221(21

16、)2(221221mvrvrmvmmvT主动力的元功之和：SPWFd)(由动能定理的微分形式：)(dFWTSPmvd)1611(d2两边除以，并求导数，得t dvPavm21611mPa118 mLmvpC6122218121mLJTO2243mRT mRp mvp 2222434121mvmRmvT 例例 基本量计算基本量计算 (动量动量,动能动能)举例说明动力学普遍定理的综合应用：举例说明动力学普遍定理的综合应用：三、动力学普遍定理及综合应用三、动力学普遍定理及综合应用解解：1取杆为研究对象2312lPlgPlg 2/3由质心运动定理：OxCxFagP 0PFPFlgPagPOyOyCy4

17、1 2例例1 均质杆OA，重P，长l，绳子突然剪断。求求该瞬时，角加速度及O处反力。2.由定轴转动动力学方程：顺正）（ )( FzzMJPaCCOFOxFOy 例例2 两根均质杆AC和BC各重为P，长为l，在C处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，C 点高度为h，求铰C 到达地面时的速度。讨论 动量守恒定理动能定理求解。 计算动能时，利用平面运动的运动学关系。解解：由于不求系统的内力，可以不拆开。研究对象：整体分析受力：，且初始静止，所以水平方向质心位置守恒。 0)e(xFPhhPWF22)(01T222223123121lgPlgPT代入动能定理：ghvPhvgP

18、CC3 03122231 CCvgPTlv 例例33 物体A、B，质量分别为 mA、mB，用弹簧相连，放在光滑水平面上。弹簧原长为 l0 ，刚度系数为k。现将弹簧拉长到 l 后无初速释放，求当弹簧恢复原长时物体 A、B 的速度，弹簧质量不计。BAAByxmAgFmBgvAvBFNAFNBF 作受力图。质点系包含两个质点A、B由于质点位移在水平方向，外力不作功；但两质点间的距离是可变的，故内力F、F所做的功不为零。设当弹簧恢复原长时物体A、B的速度分别为 vA、vB，方向如图示。由动能定理：解：解：(i)(e)12WWTT2002022)()(200)2121(llllkvmvmBBAA2022

19、)(llkvmvmBBAA即由质点系动量定理得0BBAAvmvm)()(0llmmmkmvBAABA)()(0llmmmkmvBABAB联立解之得例例4 重150N的均质圆盘与重60N、长24cm的均质杆AB在B处用铰链连接。 系统由图示位置无初速地释放。求求系统经过最低位置B点时的速度及支座A的约束反力。解解：（1）取圆盘为研究对象）取圆盘为研究对象; 0)(FBM0 0BBBJ00B，圆盘平动。（2）用动能定理求速度）用动能定理求速度。 取系统研究。初始时T1=0 ， 最低位置时：22222121BAvgPJT221222163213121BBBvgPPvgPvgP)30sin)(2()3

20、0sin()30sin22(2121)(llPPllPllPWF)(12FWTT)30sin)(2(06321221llPPvgPPB代入数据，得m/s 58. 1Bv（3）用动量矩定理求杆的角加速度）用动量矩定理求杆的角加速度 。)31(312221221lgPlgPvlgPlgPLA由于0)(dd) e (FAAMtL所以 0 。盘质心加速度：盘质心加速度：)0( 22CnCCalaa)0( 2BnBBalaarad/s 58. 624. 058. 1lvB杆质心杆质心C的加速度：的加速度： 相对质心动量矩守恒定理相对质心动量矩守恒定理+动能定理动能定理+动量矩定理动量矩定理+质心运动质心

21、运动定理。定理。 可用对积分形式的动能定理求导计算可用对积分形式的动能定理求导计算，但要注意需取杆，但要注意需取杆AB在一般位置进行分析在一般位置进行分析。（4）由质心运动定理求支座反力。）由质心运动定理求支座反力。 研究整个系统 0t2t1AxBCixiFagPagPam 代入数据，得 N401 , 0AyAxFF2122212PPFlgPlgPamAyiyi 例例55图示均质杆长2l, 重G，细绳长l，f =0，不计摩 杆由静止滑到虚线位置时，求v vB及A, B处反力。2lBAlGBA解:虚线位置时，AB瞬时平动。CBAvvv(C为质心)由有WTT02133222CGvmgl (l l)

22、gCvgl第六章 质点系动能定理6-4 动力学普遍定理的综合应用BA aAB杆 加速度如图(a)BAnBAAnABaaaaa(a)其中20nBAABaBAglvaAnA2(a)式向y方向投影lgcos22BAal cos0 nABAaa , 得2 3cos2 而nAaAaBAaBanAaAanBAay第六章 质点系动能定理6-4 动力学普遍定理的综合应用yBA bCnCAACAaaaa又(b)如图(b)(b)式向y方向投影，得cos2nCACAaaag /0 xF ,Ca沿铅垂方向，设向上。0C xCa , a故nAaAanAaAaCAa第六章 质点系动能定理6-4 动力学普遍定理的综合应用BA cCAB杆受力如图(c)，有NTCGFFGag() cosTNCFFlJTFGNF将ac, 代入上式，可得33()418