数模作业4(讨论题)

1、精选优质文档-倾情为你奉上 姓名：晏福刚 学号： 班级：数学一班一、问题描述 某部门现有资金10万元，五年内有以下投资 项目供选择： 项目A：从第一年到第四年每年初投资，次年末收回本金且获利15%； 项目B：第三年初投资，第五年末收回本金且获利25%，最大投资额为4万元； 项目C：第二年初投资，第五年末收回本金且获利40%，最大投资额为3万元； 项目D：每年初投资，年末收回本金且获利6%； 问如何确定投资策略使第五年末本息总额最大？2、 问题分析本题为投资组合问题，且属于数学规划问题。其中项目A前4年每年初都可以进行投资但只能在第二年末才能收回本利息。B、C在五年中只能进行投资一次，分别在第三

2、年、第四年初进行投资均在第五年末收回且有金额限定。D项目每年初进行投资，每年末就能收回本利息。并且在本题中并没有涉及到风险的问题，所以不考虑有损失。在此题中首先目标是使第五年末的本息最大，约束条件为总的金额及个项目投资金额的限制。3、 模型假设 假设每项投资不存在风险，不会出现损失。 在投资中一旦投资，就在上面题中所说的时间收回本利息，不考虑中途撤销资金投资的情况。4、 符号假设 x1i 第i年用于A项目的投资金额 x2 第三年用于B项目的投资金额 x3 第二年用于C项目的投资金额 x4j 第j年用于D项目的投资金额五、模型建立 1.约束条件和目标函数的建立 首先假设第i年用于投资A项目的资金

3、为x1i(i=1、2、3、4)。第三年投资B项目的资金为x2（由于B项目投资条件的限定在五年内只能进行一次投资）。第2年投资C项目的金额为x3。D项目第i年投资金额为x4j(j=1、2、3、4、5)。那么五年内的投资情况及收益情况将如下表所示：第一年第二年第三年第四年第五年收益Ax11x12x13x140x14(1+15%)B00x200x2(1+25%)C0x3000x3(1+15%)Dx41x42x43x44x45x45(1+6%)下面对上述表格进行具体的表述：总的资金为10万。（以下单位均为：万元）第一年初：可投资金额：10万 可投资项目：A、D项目 A的投资金额：x11（将在第二年末收

4、回） D的投资金额：x41则必有x11+x41=10 第一年Error! No bookmark name given.末：收回D项目的本利息：x41*(1+6%)第二年初：可投资金额：x41*(1+6%) 可投资项目：A、C、D项目 A的投资金额：x12 （将在第三年末收回） C的投资金额：x3（将在第五年末收回且x3<3） D的投资金额：x42 则必有x12+x3+x42=x41(1+6%)第二年末：收回第一年A项目的本利息：x11(1+15%) 第二年D的本利息：x42(1+6%) 总的收回：x11(1+15%) +x42(1+6%)第三年初：可投资金额：x11(1+15%) +x

5、42(1+6%) 可投资项目：A、B、D项目 A的投资金额：x13（将在第四年末收回） B的投资金额：x2（将在第五年末收回且x2<4） D的投资金额：x43 则必有x13+x2+x43= x11(1+15%) +x42(1+6%)第三年末：收回第二年A项目的本利息：x12(1+15%) 第三年D项目的本利息：x43(1+6%) 总的收回x12(1+15%) +x43(1+6%)第四年初：可投资金额：x12(1+15%) +x43(1+6%) 可投资项目：A、D项目 A的投资金额：x14（第五年末收回） D的投资金额：x44 则必有x14+x44= x12(1+15%) +x43(1+6

6、%)第四年末：收回第三年A项目的本利息：x13(1+15%) 第四年D项目的本利息：x44(1+6%) 总的收回x13(1+15%) +x44(1+6%)第五年初：可投资金额：x13(1+15%) +x44(1+6%) 可投资项目：D项目 D的投资金额：x45=x13(1+15%) +x44(1+6%)第五年末：收回C项目的本利息:x3(1+40%) B项目本利息：x2(1+25%) 第四年A项目的本利息：x14(1+15%) 第五年D项目的本利息; x13(1+15%) +x44(1+6%)*(1+6%)则五年的本息总额为：y= x3(1+40%)+ x2(1+25%)+ x14(1+15%

7、)+ x13(1+15%) +x44(1+6%)*(1+6%)由以上分析整个模型的目标函数为：Max y= x3(1+40%)+ x2(1+25%)+ x14(1+15%)+ x13(1+15%) +x44(1+6%)*(1+6%)整理得Max y=1.4x3+1.25x2+1.15x14+1.219x13+1.1236x44 约束条件整理为： x11+x41=10 x12+x3+x42=x41(1+6%) x13+x2+x43= x11(1+15%) +x42(1+6%) x14+x44= x12(1+15%) +x43(1+6%) x3<3 x2<4 (所有变量均大于0) 首先

8、将上述约束条件转化为 x11=10-x41 x3=1.06x41-x12-x42<3 x2=1.15x11+1.06x42-x13-x43<4 x14+x44-1.15x12-1.06x43=0 将 带入得x2=1.06x42-1.15x41-x43-x13+11.5<4 将式带入目标函数得 Max y= 0.0465x41-1.4x12-0.075x42-0.031x13-1.25x43+1.15x14+1.1236x44+14.3750;由以上转换整个模型变为以下线性规划模型： Max y= 0.0465x41-1.4x12-0.075x42-0.031x13-1.25x

9、43+1.15x14+1.1236x44+14.3750;S.t. 1.06x41-x12-x42-3<0; 1.06x42-1.15x41-x43-x13+7.5<0; x14+x44-1.15x12-1.06x43=0; x41>0; x12>0; x42>0; x13>0; x43>0; x14>0; x44>0;6、 模型求解以上模型为线性规划模型，我们可以用Lingo或者Matlab软件进行求解Lingo程序如下：model:max= 0.0465*x41-1.4*x12-0.075*x42-0.031*x13-1.25*x43+

10、1.15*x14+1.1236*x44+14.3750;1.06*x41-x12-x42-3<0;1.06*x42-1.15*x41-x43-x13+7.5<0;x14+x44-1.15*x12-1.06*x43=0;x41>0;x12>0;x42>0;x13>0;x43>0;x14>0;x44>0;end求解结果为：Global optimal solution found. Objective value: 14.37500 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X

11、41 6. 0. X12 3. 0. X42 0. 0.E-01 X13 0. 0. X43 0. 0. X14 4. 0. X44 0. 0.E-01 Row Slack or Surplus Dual Price 1 14.37500 1. 2 0. 0.E-01 3 0. 0.E-01 4 0. 1. 5 6. 0. 6 3. 0. 7 0. 0. 8 0. 0. 9 0. 0. 10 4. 0. 11 0. 0.7、 结果分析由以上结果第五年获得的最大本利息为： 14.37500 其中当X41=6. X12=3. X42=0. X13=0. X43=0. X14=4. X44=0. 时，取得最大值。再由 x11=10-x41 x3=1.06x41-x12-x42 x2=1.15x11+1.06x42-x13-x43 x14+x44-1.15x12-1.06x43=0 我们可以算出其他变量的值，进而得到使得五年后本利息最大的投资策略。具体如下表（以上值按四舍五入计算保留四