所有分类一致收敛性PPT教案

1、所有分类一致收敛性所有分类一致收敛性一、函数列及其一致收敛性 设12,(1)nfff是一列定义在同一数集 E 上的函数,称为定义在E 上的函数列. (1) 也可记为 ,1,2,.nnffn或或以0 xE 代入 (1), 可得数列 10200(),(),(),.(2)nfxfxfx第1页/共49页0 x0 x如果数列(2)收敛, 则称函数列(1)在点收敛, 称 为函数列(1)的收敛点. 如果数列(2)发散, 则称函数 列(1)在点0 x发散. 当函数列(1)在数集 上每一 DE 点都收敛时, 就称(1)在数集 D 上收敛. 这时 D 上每 x( )nfx一点都有数列的一个极限值与之相对应 , 根

2、据这个对应法则所确定的 D 上的函数, 称为函数 列(1)的极限函数. 若将此极限函数记作f, 则有lim( )( ) ,nnfxf xxD第2页/共49页或( )( )() ,.nfxf xnxD N xD 函数列极限的定义: 对每一固定的, 任 , 总存在正数N(注意: 一般说来N值与 给正数和 , x)表示三者之间 的值都有关, 所以有时也用N(x 的依赖关系), 使当nN 时, 总有 |( )( )|.nfxf x 使函数列nf收敛的全体收敛点集合, 称为函数列 nf的收敛域. 第3页/共49页例1 ( ),1,2,nnfxxn 设设为为定定义义在在( (- -) )上的 函数列, 证

3、明它的收敛域是( 1,1 , 且有极限函数 0,| 1,( )1,1.xf xx 证 0 (1),0|1,x 任任给给不不妨妨设设当当时时 由由于于|( )( )| |,nnfxf xxln( ,),( ,)ln|NxnNxx 只要取当时,就有只要取当时,就有|( )( )| |.nNnfxf xxx 第4页/共49页01,xxn当当和和时时 则则对对任任何何正正整整数数都都有有|(0)(0)| 0nff ，|(1)(1)| 0.nff 式所表示的函数. | 1|(),nxxn当当时时, , 有有 1,x当当时时 又1,1,1,1,对对应应的的数数列列为为 显然是发散的. 所以 nx( 1,1

4、 函数列在区间 外都是发散的. 故所讨论的函数列的收敛域是 ( 1,1. 这就证明了 在( , 1 上收敛, 且极限就是(3)nf1第5页/共49页例2 sin(,)( ),nnxfxn 定义在上的函数列定义在上的函数列1,2,.n sin1,nxnn10,nN 故对任给的只要就有故对任给的只要就有sin0.nxn ,x由于对任何实数都有由于对任何实数都有第6页/共49页所以函数列sin(,),nx n 的的收收敛敛域域为为极极限限( )0.f x 函函数数为为注 对于函数列, 仅停留在讨论在哪些点上收敛是远 远不够的，重要的是要研究极限函数与函数列所具 有的解析性质的关系. 例如, 能否由函

5、数列每项的 连续性、可导性来判断出极限函数的连续性和可导 性; 或极限函数的导数或积分, 是否分别是函数列 每项导数或积分的极限. 对这些更深刻问题的讨论, 必须对它在 D上的收敛性提出更高的要求才行. 第7页/共49页设函数列设函数列nff与与函函数数定定义义在在同同一一D定义1 数集上，,N 若若对对任任给给的的正正数数总总存存在在某某一一正正整整数数使当 nN,xD对对一一切切都都有有时，|( )( )|nfxf x ，nfDf则称函数列在上一致收敛于,记作则称函数列在上一致收敛于,记作( )( )(),.nfxf x nxD由定义看到, 一致收敛就是对 D 上任何一点, 函数列 趋于极

6、限函数的速度是 “一致” 的. 这种一致性体现 第8页/共49页( ).N 显然, 若函数列 nf在 D 上一致收敛, 则必在 D 上每一点都收敛. 反之, 在 D 上每一点都收敛的函数列, 它在 D 上不一定一致收敛. 为: 与 相对应的 N 仅与 有关, 而与 x 在 D 上的 取值无关, 因而把这个对所有 x 都适用的 N 写作 例2 中的函数列 sinnxn 是一致收敛的, 因为对任意 第9页/共49页,x 正正数数不不论论(- ,+ )(- ,+ )给定的取上什么值, 都有 N 1 1,nN当当时时 恒恒有有sinnxn , , 所以函数列 sin( )0nxf xn在在(- ,+

7、)(- ,+ )上上一一致致收收敛敛于于. .在 D 上不一致收敛于 f 的正面陈述是: nf函函数数列列存在某正数0, 对任何正数 N, 都有某一点0 xD和和00 xn与与的取值与 N 有关 ), ( 注意: 0nN某某一一正正整整数数使得第10页/共49页0000()().nfxf x (0,1)0.nx在在上上不不可可能能一一致致收收敛敛于于由例1 中知道, 下面来证明这个结论. 事实上, 若取01,2,2N 对对任任何何正正整整数数取取正正整整10011(0, 1),NnNxN数数及及就有 001101.2nxN第11页/共49页nff函函数数列列一一致致收收敛敛于于的的几几何何意意

8、义义: :如如图图所所示示, ,号大于N 的的所所有有曲曲线线( )yf x 都都落落在在曲曲线线与( )yf x 所所夹夹的的带带状区域之内.( ) (),nyfxnN00,N , ,对对于于序序Oyx( )yf x ( )nyfx ba( )yf x ( )yf x 图 13-1 第12页/共49页(0,1)nx函函数数列列在在区区间间上上,不一致收敛不一致收敛从几何意义上 看, 就是存在某个预先给定 的 (0, 存在正数N, 使得当 nN时, 对一切 ,xD 都有 |( )( )|.(5)2nfxf x ,n mN于于是是当当, ,由由( (5 5) )得得|( )( )| |( )(

9、)|( )( )|nmnmfxfxfxf xf xfx.22 充分性 若条件 (4) 成立, 由数列收敛的柯西准则, ( ),f x在D上任一点都收敛, 记其极限函数为nf第15页/共49页 .(4),x DnmnN现现固固定定式式中中的的让让于于是是当当时时x D对对一一切切都都有有|( )( )|.nfxf x 由定义1知, 根据一致收敛定义可推出下述定理:定理13.2（余项准则） nfD函函数数列列在在区区间间上一致 收敛于f的充分必要条件是: limsup|( )( )| 0.(6)nnx Dfxf x, 当 , 存在不依赖于 xN任给的正数的正整数( )( )(),.nfxf xnx

10、D 证 必要性 ( )( )(),.nfxf xnxD若若 则对 第16页/共49页由上确界的定义, 对所有nN, 也有sup|( )( )|.nx Dfxf x 这就得到了(6)式.充分性 由假设, 对任给 0, 存在正整数N, 使得 nN当当时时, ,有有sup|( )( )|.(7)nx Dfxf x ,xD因因为为对对一一切切总总有有有 |( )( )|,.nfxf xxD nN 时,时,|( )( )| sup|( )( )|.nnx Dfxf xfxf x第17页/共49页.f一一致致收收敛敛于于注 柯西准则的特点是不需要知道极限函数是什么, 只是根据函数列本身的特性来判断函数列是

11、否一致 收敛, 而使用余项准则需要知道极限函数, 但使用 较为方便. 如例2, 由于 (,)sin1limsup0lim0,nnxnxnn sin(,),0().nxnn所以在上所以在上故由 (7) 式得( )( ),nnfxf xfD 于于是是在在上上第18页/共49页例3 定义在0,1上的函数列2212,0,211( )22,1,2,(8)210,1,nn xxnfxnn xxnnnxn(0)0,nf由由于于(0)f故故lim(0)0.nnf01,x当当时时1,nx只要就有只要就有( )0,nfx (0,1故故在在上上有有( )lim( )0.nnf xfx第19页/共49页1, 2, 3

12、n 其其中中的图像如图13-3 所示. (8)0,1于于是是在在上上的的极极限限函函数数( )0.f x 为为又又由由于于0,11sup( )( )(),2nnxfxf xfnnn 所以函数列 (8) 在0,1上不一致收敛.133 图图()f x11f2f3f12131614213xyO第20页/共49页例4 讨论函数例222( )e,0,1n xnfxn xx 的一致 收敛性. 解 为了使用余项准则, 首先求出函数列的极限函数. 易见222( )lim( )lime0,0,1,n xnnnf xfxn xx 于是 222|( )(0)|e.n xnfxfn x 222en xn x 0,1容

13、易验证 在 上只有惟一的极大值点 012xn , 因此为最大值点. 于是 第21页/共49页12sup|( )( )|e2nnfxf x 根据余项准则知该函数列在0,1上不一致收敛.注 222( )en xnfxn x 不一致收敛是因为函数列余 的增大一致趋于零 0 x n项的数值在 附近不能随(见图13-4), 因此对任何不含原点的区间 ,1(0aa 222( )en xnfxn x 在该区间上一致收敛于零. 1), 第22页/共49页00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.511.522.5n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5图13 4 第23页/共4

14、9页二、函数项级数及其一致收敛性( )nuxE设设是是定定义义在在数数集集上上的的一一个个函函数数列列, ,表表达达式式12( )( )( ),(9)nu xuxuxxE称为定义在E上的函数项级数, 1( )nnux简记为或简记为或( ).nux称称1( )( ),1,2,(10)nnkkSxuxxE n为函数项级数(9)的部分和函数列.第24页/共49页0,xE若若数数项项级级数数10200()()()(11)nu xuxux001()()nnkkSxuxn 收敛, 即部分和当时极限 0 x0 x存在, 则称级数(9)在点收敛, 称为级数(9)的收 敛点. 若级数(11)发散, 则称级数(9

15、)在点0 x发散. 若 级数(9)在 E 的某个子集 D 上每点都收敛, 则称级数 (9)在 D 上收敛. 若 D 为级数(9)全体收敛点的集合, 这时就称 D为级数(9)的收敛域. 级数(9)在 D上每一 第25页/共49页点 x 与其所对应的数项级数(11)的和( )S x构成一个 定义在 D 上的函数, 称为级数(9)的和函数, 并记作 12( )( )( )( ) ,nu xuxuxS xxD即lim( )( ) ,.nnSxS xxD也就是说, 函数项级数(9)的收敛性就是指它的部分 和函数列(10)的收敛性. 第26页/共49页例5 (,) 定定义义在在上上的的函函数数项项级级数数

16、( (几几何何级级数数) )21,(12)nxxx1( ).| 11nnxSxxx的部分和函数为当时,的部分和函数为当时,1( )lim( ).1nnS xSxx1(12)( 1,1)( );1S xx所所以以几几何何级级数数在在收收敛敛于于|1,.x 当当时时 几几何何级级数数是是发发散散的的第27页/共49页定义2 ( )( )nnSxux设设是是函函数数项项级级数数的的部部分分和和.( )( ),nSxDS x函数列 若在数集 上一致收敛于函数列 若在数集 上一致收敛于 则称( )( ),nuxDS x函函数数项项级级数数在在上上一一致致收收敛敛于于函函数数( ).nuxD或或称称在在上

17、上一一致致收收敛敛由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数 列来确定, 所以得到的有关函数项级数的定理. 第28页/共49页定理 13.3 ( 一致收敛的柯西准则 ) 函数项级数 ( )nux在数集 D 上一致收敛的充要条件为: 对任 , 存在正整数 N,nN 时时给的正数，使当 对一切 xD, p一一切切正正整整数数都都有有和|( )( )|,n pnSxSx 或12|( )( )( )|.nnn puxuxux 此定理中当 p=1 时, 得到函数项级数一致收敛的一 个必要条件.第29页/共49页推论 (函数项级数一致收敛的必要条件) 函数项级 数( )nuxD在在数数集集上上一一致致收

18、收敛敛的的必必要条件是函数 ( )nuxD列 在上一致收敛于零. ( )( ),nuxDS x设设函函数数项项级级数数在在上上的的和和函函数数为为称称( )( )( )nnRxS xSx( ).nux为为函函数数项项级级数数的的余余项项定理13.4 (余项法则) 函数项级数( )nux在数集 D 一致收( )S x敛敛于于的的充充要要条条件件是是limsup|( )| limsup|( )( )| 0.nnnnx Dx DRxS xSx第30页/共49页0, (1)nnxa a a我们再来看例4中的级数若仅在我们再来看例4中的级数若仅在上讨论, 则由 , , sup |( )( )|sup1n

19、nxa axa axSxS xx 0()1nana0, ( 1,1)nnxa a可得级数在上一致收敛.若在可得级数在上一致收敛.若在上讨论这个级数, 则由 第31页/共49页( 1,1)( 1,1)sup |( )( )|sup1111nnnxxxnnSxS xnnx 1()1nnnnn 0( 1,1)nnx知道级数在内不一致收敛.知道级数在内不一致收敛.20(1)nnxx 0,1例6 讨论函数项级数在上一致 收敛性. 第32页/共49页210( )(1)(1)(1)nknnkSxxxxx 所以 ( )lim( )(1)0,1.nnS xSxxx ，于是|( )( )|(1),0,1,nnS

20、xSxxxx 由1(1)(1)0nnnxxnxnx 解得最大值点 01nxn , 故 0 x (1)0nS 01x 解 当时,; 当时第33页/共49页0,1sup |( )( )|nxS xSx 因此20(1)nnxx 在0,1上一致收敛.注 当和函数容易求出时, 余项准则是比较好用的一种判别方法. 1011nnnn0n 1n 2n ( )1S xx ( )()()111nnS xxx xy0.510.20.40.60.81O图 13 - 5第34页/共49页三、函数项级数的一致收敛判别法判别函数项级数的一致收敛性除了根据定义、柯西 准则或余项准则外, 有些级数还可以根据级数一般 项的某些特

21、性来判别. 定理13.5 (魏尔斯特拉斯判别法，或优级数判别法) ( ),nuxD定定义义在在数数集集上上nM设函数项级数为收 敛的正项级数，,xD若若对对一一切切有有|( )|,1,2,(13)nnuxMn( )nuxD则则函函数数项项级级数数在在上上一一致致收收敛敛. .第35页/共49页证 ,nM由由假假设设正正项项级级数数收收敛敛 根根据据数数项项级级数数的的柯柯, 存在某正整数N, 使得当 n N 西准则, 任给正数 及任何正整数 p, 有 11|.nn pnn pMMMM (13)xD又又由由式式对对一一切切有有11|( )( )| |( )|( )|nn pnn puxuxuxu

22、x根据函数项级数一致收敛的柯西准则, 级数( )nux在 D 上一致收敛. 1.nn pMM 第36页/共49页例7 函数项级数22sincos,nxnxnn(,)(,)x在在上上一一致致收收敛敛. .因因为为对对一一切切有有 2222sin1cos1,nxnxnnnn21.n而正项级数是收敛的而正项级数是收敛的当级数( ) , nnuxMa b与与级级数数在在区区间间上成立关 nM , a b系式(13)时, 则称级数在区间上优于级 第37页/共49页( )nux( )nnMux为为数, 或称的优级数. 优级 数判别法也称为M 判别法. 利用阿贝尔分部求和公式(第十二章3的引理), 可 以得

23、到与数项级数相似的判别函数项级数一致收敛 的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法. 设有定义在区间I上形如1122( )( )( ) ( )( )( )nnux vxu x vxux vx的函数项级数. 对级数(14)有:( )( )(14)nnux vx 第38页/共49页定理13.6(阿贝耳判别法)设 (i)( );nuxI在区间上一致收敛在区间上一致收敛(ii),( );nxIvx对对于于每每一一个个是是单单调调的的(iii)( ),nvxIxI在上一致有界 即对一切在上一致有界 即对一切和正整数 , 存在正数M, 使得 n|( )|,nvxM则级数(14)在 I 上一致收敛.第39页/共49页

24、12|( )( )( )|nnn puxuxux 又由(ii),(iii)及阿贝耳引理(第十二章3的引理的推 论)得到 11|( )( )( )( )|nnn pn pux vxux vx由函数项级数一致收敛性的柯西准则, 得级数(14) 在 I 上一致收敛. 1(|( )| 2|( )|)3.nn pvxvxM证 (i),0,NnN 由任给存在某正数使得当及由任给存在某正数使得当及,pxI任何正整数对一切有任何正整数对一切有第40页/共49页定理13.7 (狄利克雷判别法) 设(i)( )nux 的部分和数列的部分和数列1( )( )(1,2,)nnkkUxuxn在 I 上一致有界;(ii)

25、,( );nxIvx对对于于每每一一个个是是单单调调的的 (iii)( )0(),nIvxn在在上上则级数(14)在I上一致收敛.|( )|.nUxM证 由(i), 存在正数 M, 对一切x I, 有 第41页/共49页因此当 n, p 为任何正整数时, 12|( )( )( )| |( )( )| 2.nnn pn pnuxuxuxUxUxM对任何一个x I, 再由(ii)及阿贝耳引理得到 11|( )( )( )( )|nnn pn pux vxux vx 0, 存在正数N, 当nN 时, 对 再由(iii), 对任给的 一切x I, 有 |( )|,nvx 所以12(|( )| 2|( )|).nn pMvxvx第42页/共49页11|( )( )( )( )|nnn pn pux vxux vx2(2 )6.MM 于是由一致收敛性的柯西准则, 级数(14)在I上一致 收敛. 例8 函数项级数11( 1) ()nnnnxnn在0, 1上一致收敛.( 1)( )