矢量分析基础2ppt课件

1、1数学物理方法二李晟上海交通大学物理系2019 . 32课程要求 网站：/lisheng 助教： 1015，周玮 李政道著 物理学中的数学方法 第一章,矢量与张量分析 第二章,n维空间中的线性代数 第三章 按正交函数系展开 鲁滨著 物理学中的数学 第三章 外微分方式 3经典物理学中的矢量4内容 矢量分析 坐标变换 笛卡尔张量 微分运算5矢量分析矢量广义：既有大小又有方向的量速度，加速度，动量。几何表述：有向线段代数表示：有序数组标量广义：只需大小没有方向的量能量，质量。1231 12 23 3,xx xxx ex ex e6矢量空间 定义域 K：常见为实数域或复

2、数域 矢量空间 V：矢量集合 矢量的分量取值于定义域 K 加法运算 数的乘法运算112233,xyxy xyxy123,axax ax ax123123,xx xxx xxK7矢量空间 满足运算规那么： 交换律 结合律 分配律 存在零元 0 存在恒元 存在逆元xyyxxyzxyz,a xyaxayab xaxbx0,0 xxV1,1xxK,0 xVyVxyxy 8矢量空间的维数和基 假设矢量空间中的任一矢量均可用某组线性无关的矢量组合表达，那么这组矢量称为该矢量空间的基，其中矢量的个数称为该矢量空间的维数 ,1,2,.,iniV1niiiAaV9线性无关 对恣意矢量，其用基的组合表达是独一的

3、假设 设 与线性无关矛盾,ijjj iiVv V11nniiiiiiAaVa V0jjaa1jiiiijjjVaaVaa10niiiiaaV10存在无穷多个基 线性无关坚持，基的个数坚持111212122212nnnnnnaaaaaaaaa1niijjjVa V0ija11niijjjVa V11aa1niiiBbV111nniijjijba V1111nnjjjiijjnjibaVVb12nVVV12nVVV11内积标量积、点乘 两个矢量的内积为标量 交换律 分配率 Schwarz不等式FmgLEFL1| |cosniiixyx yxyxyyxxyzxyxz| |xyxy12正交归一基 基

4、假设 且 那么称为正交归一基 ,1,2,.,iein,1iiiee,0ijijee 12100010,.,001neee 例：13 单位正交矢量10ijijijeeijKronecker 符号11,1,11nnni ijjij ijiji jnnijijiii jixyxey ex y eex yx y1niijjjaa14Einstein 求和规那么 只能两个目的反复，不能三个或以上目的反复 求和目的只需不和其他目的反复，可恣意交换1niiiiixyx yx y反复目的求和反复目的求和iijaajkkaz x yz x yz x y15ijijxyx ey e1ni ii iixxexe1n

5、i ii iiyy ey eijijx y eejjiix yjjx yiix y反复目的只反复目的只能是成对的能是成对的jj iiyyjijixx目的可随意目的可随意互换互换16外积矢量积、叉乘x 两个矢量三维的外积为矢量 雅可比恒等式 分配率 反对称性,x yVxyV 0 xyzyzxzxy121212,xyzxzyzK xyyx 17外积的几何 外积的大小对应于由俩矢量构成的平行四边形面积 外积的方向由右手法那么决议，垂直于俩矢量组成的平面BAsinABABCCAB18 角动量、力矩。 轴矢量，镜面反射改动手性ABCABCCAB19三维矢量叉乘的行列式表示1231231231233223

6、11331221eeexyxxxyyyex yx yex yx yex yx y1232313 12132213321e x ye x ye x ye x ye x ye x y123,231,312132,213,321 20三维 Levi-Civita 符号1, ,1 2 31, ,1 2 30ijki j ki j k为 ，的偶置换排列为 ，的奇置换排列其他ijkijki izxye x yzeiijkjkzx y12323131211323212131 21ijkimnjmknjnkm ijkijkABCe ABCijkijkmnmne AB Ckijkmn ijmne A B C i

7、mjninjmijmne A B C ijijijjie A BCe A B CA C BA B C22llijkijkABCAee B ClijijkklAB CiijkjkAB CjkijkiB C ABCAkijkijC ABCABijkijklmn lmnUVBCeU Ve B CijkjkimnmnU VB CjmknjnkmjkmnU V B C jkjkjkkjU V B CU V B C UBVCUCVB23 正交归一基上的投影 新基和旧基的关系jjxx eiijjeeee正交变换关系基的变换iixxeijjixex eejijixxiixxe e ijja e24 变换矩阵

8、正交变换：从正交归一基变换到正交归一基ijRaiijjea e正交变换关系基的变换1tRR ijin njm meea ea e1tRRinjmmna ainjna aij25 变换矩阵i ixx e正交变换关系矢量变换iix eiijjjjiix a exa eiijjxa xijijxa xijijjijix a ex a e逆变换26ijabacd二维正交变换2222abacabacbdcdbdacbdcd100122221,0abcdacbdcos ,sincos ,sinabcdcos cossin sinacbdcos02sincoscd cossinsincos27二维正交变换1

9、2211x2x1 x2 xx1 12 2xx ex e1122x exe2coscos1e2esin1,ee 112212cossinsincoseeeeee 112212cossinsincoseeeeee28二维正交变换的基的变换关系112212cossinsincoseeeeee 1122cossinsincoseeee1122cossinsincoseeee112212cossinsincoseeeeee29111 12222xxx eexex e112212cossinsincoseeeeee112212cossinsincosxxeexee121122cossinsincosxxe

10、xxe 112212cossinsincosxxxxxx 1122cossinsincosxxxx二维正交变换的矢量变换关系30自动变换与被动变换 被动变换：矢量没有动，坐标系变换 自动变换：坐标系不动，矢量变换 被动转动q角等价于自动转动-q角12211x2x1 x2 xx121x2x1 x2 xx x31三维转动变换z0y0 x0zyxz0y0 x0zyxy0z0yx0 xzyyzy0 x0zyxxEuler angle32三维转动变换进动z0y0 x0zyxz0y0 x0zyx cossin0sincos0001zR 33三维转动变换章动z0y0 x0zyxy0z0yx0 xzy 100

11、0cossin0sincosxR34三维转动变换自转y0z0yx0 xzyyzy0 x0zyxxEuler angle cossin0sincos0001zR 35三维转动变换cossin0100cossin0sincos00cossinsincos00010sincos001R cossincossinsincossin0sincoscoscossinsincos00sincos001 coscossincos sincossinsincos cossinsinsincoscoscos sinsinsincoscos coscossinsinsinsincoscos 36普通线性变换 基的变

12、换 基的逆变换 矢量变换 矢量逆变换111212122212nnnnnnaaaaaaaaaiijjVa V0ija1iijjVa V11aa11iiiijjijjijjbaBbVba VVbV12nVVV12nVVV1jijiba bjjiiba b37 有大小方向的量有序数组，同时满足某种变换关系，那么称为该变换关系下的矢量 例：牛顿力学以为时空矢量是伽利略变换矢量 狭义相对论以为时空是Lorentz变换矢量drdrvdtdtdt严厉的矢量定义1000100010001xyzdtdtvdxdxvdydyvdzdz000000100001cdtcdtdxdxdydydzdz38 矢量内积 列矩

13、阵，行矩阵为矢量，方阵是什么？笛卡尔张量123AAAA123BBBB112321122333,BA BA A ABABA BA BB111121321232122333222333,BB AB AB ABA A AB AB AB AB AB AB AB39 并积 假设某量有两个方向，称二阶张量 进一步要求其满足变换笛卡尔张量ij ijABAB ee ijABiimmjjnnAa ABa B2ij ijTT ee ijimjnmnA Ba a A BijimjnmnA Ba aAB ijinjmnmTa a T40两个矢量的并积为矢量但多数矢量不能表示为两个矢量的并积两个矢量共2n个变量，一个二

14、阶张量有n2个变量假设方程数不够n2笛卡尔张量ijijTABijimjnmnA Ba a A B41对称张量反对称张量恣意二阶方程都可分解成对称张量和反对称张量的和笛卡尔张量1122ijjijjjiiiTTTTT ijjiTTijjiTT 42为作用在三个面上的力应力111213212223313233111213121222323313233,43 各向同性：系统对外场的反响和外场方向一样且反响强度一样 各向异性：系统初在外场方向有反响外还在其他方向有反响极化0PE 00,iijjPEPE 44 刚体的角动量： 转动惯量：转动惯量Lrpm rr mrrrr2mrrr 2ijijijImrrr

15、LIiijjLI三维二阶反对称张量 三个独立变量 可与一矢量对应121312231323000ijTTTTTTT 12iijkjkAT231231312TAAATAT12imnijkjimnikAT1122mjnkmknjjkmnnmmnTTTT 45323121000AAAAAA 46 高阶张量：具有n个方向目的的量，称n阶张量 有多个方向的量有序数组，同时满足某种变换关系，那么称为该变换关系下的矢量 笛卡尔张量是正交变换下的张量严厉的张量定义1 2.nijijki iiTTT1 21 12 21 2.nn nni iii ji ji jj jjTaaaT 1 212.nnni iiiiiT

16、Te ee 笛卡尔张量运算(I) 线性组合：两个同阶张量的和仍为该阶张量 直积：一个m阶张量直积一个n阶张量为一个m+n阶张量12ijijijCAB1111.mnmnii jjiijjCAB4712ijijijCAB12imjnmnimjnmna a Aa a B12imjnmnmna aABimjnmna a C笛卡尔张量运算(II) 缩并：张量的两个目的求和之后得到低二阶的张量 内积：一个m阶张量直积一个n阶张量后对属于原不同张量的两目的缩并后得到m+n-2阶张量ijjm miCAcfabdegab de gcfab de gccCABAB48m miji jCAiajcmmbdcb da

17、a a a aAiajcbbcdada aAiajcbabca a Aiajcaca a C笛卡尔张量运算(III) 微商：张量的导数为高一阶张量iijjxa xiijjxax1 21 21 2.nnnii iii iiii iiiBAAx 1 21 2.nnii iii iiiBAx1 12 21 2.n nnji ji ji jj jjijxaaaAxx1 12 21 2.n nniji ji ji jj jjja aaaAxijijxa xijijxaxjixxiix 1 10i jjax整体变换笛卡尔张量运算(IV) 定义n小于空间维数： 外积：一个m阶张量直积一个n阶张量后反对称化m

18、+n小于空间维数 例如矢量叉乘1111.11111.1.0(.)nnnnjjiinnnnjjiijjiijjii 如果为的偶排列如果为的奇排列其他 包括中和分别有重复指标情况501111.1!nnnnjjiiiijjTTn反对称化笛卡尔张量运算(V) 外导数运算： D 称外微分算子 标量的外导数为梯度矢量 矢量的外导数为旋度二阶张量 任何张量的两次外导数运算为零5111,., ,.,nniiii iiDTT反对称化iiDTT 12ijjiijDTTT112,., , ,.,0nnijiii j iiD TT 反对称化三维欧几里德空间中的微分运算 直角坐标系下的微分算子： 标量的导数为梯度矢量

19、微分算子以内积方式作用于矢量称散度标量 微分算子以外积方式作用于矢量称旋度矢量52123,iie ii iiAA ijkijkAeA散度旋度的意义 散度不为零意味着有源： 闭合曲面上某矢量的通量等于该曲面包含空间内该矢量散度的积分 旋度不为零意味着矢量场闭合 某矢量沿在闭合曲线上的积分等于该矢量的旋度在该曲线包围曲面上的积分53sVE dEdVlsA dlAd流守恒方程 流出某区域的量等于该区域内量的减少 积分方式 微分方式54sVvddVt :v密度流速单位时间内流出S的总量单位时间内单位时间内V中量的添加中量的添加sVVvdv dVdVt 0vt三维欧几里德空间中的微分运算直角坐标系下的微

20、分算子作用在其后的一切变量上不能与所作用的变量随意对换位置梯度的旋度为零旋度的梯度为零550jkijkie0ijijkkAA 势 标量势无旋场必有标量势 矢量势无源场必有矢量势 规范变换势不是独一的560EE 0ABB constantEAABAA 例：电动力学 Maxwell方程 矢量势 静电场标量势 普通情况570BEEtEBBJt 0ABB 00EEBt 00AEtBAEEtt 两点间的间隔 三维直角坐标系 球坐标系582222dsdxdydzsincossinsincosxryrzrsincoscoscossinsinsinsincos sinsincoscossindxdrrdrddydrrdrddzdrrd 2222222sindsdrr drd 留意：该变换非线性变换留意：该变换非线性变换两点间的间隔 直角坐标系 做坐标变