基于U模型的非线性控制

1、1234目 录51. 1. 基于基于U U模型的控制方法模型的控制方法2. U2. U模型描述（模型描述（1 1） 1 ,1 ,y tfy ty tnu tu tne te tn y t u ttn f e t2. U2. U模型描述（模型描述（2 2） f 01Mjjjy tU tt ute tMU1u t jt 2 ,1 ,1 ,jtu tu tny ty tne te tn2. U2. U模型描述（模型描述（3 3）2. U2. U模型描述（模型描述（4 4） 2230.1 0.910.310.410.6121111y tyte ty tu tututy te tee ttU 21302

2、3111u tutU ttttt utUtytet2. U2. U模型描述（模型描述（4 4） 2230.1 0.910.310.410.6121111y tyte ty tu tututy te tee ttU 213023111u tutU ttttt utUtytet 201230.1 0.911 ,0.31 ,0.41 ,0.612tyte tte tty tty te t 01U模型的表达形式比自回归平均滑动模型和哈密尔顿等模型更实用。02U模型与几乎所有平滑非线性离散时间输入-输出动态模型兼容，映射是可逆的。03几乎所有的输入-输出非线性系统的采样数据表达方式可以具有式（2）的形式

3、，因此可以轻松地获得非线性系统的离散时间模型。04控制模型存在一个当前的多项式结构，用该结构表示的多项式模型可以将线性系统的设计方法直接扩展到非线性控制系统，从而简化了控制器的计算复杂性。3. 3. 极点配置控制器极点配置控制器 RU tTr tSy t3. 3. 极点配置控制器设计（极点配置控制器设计（1 1）11101101nnnmmmlllRqrqrTt qt qtSs qs qs 1cccTTy tr tr tRSARSATA为了使输出的被控量稳态误差为零, y t r tcA3.1 3.1 极点配置控制器设计（极点配置控制器设计（2 2）cARST U t 0101111111jjk

4、MjjjkkMjjjututt utU tututdt utdu t 3.2 3.2 实例实例21 2ya yauuyay 图1 参考输入为三角波时的系统输出图2 参考输入为正弦波时的系统输出基于U模型的广义预测控制以受控自回归积分滑动平均模型表示的线性动态系统为被控对象，可描述一类非平稳扰动，而且由于将积分作用纳入控制律中，可以保证系统的稳态误差为零。4. 4. 广义预测控制广义预测控制4. 4. 广义预测控制广义预测控制4.1 4.1 时刻的预测输出（时刻的预测输出（1 1）11111jjjzRzzSz111,111,01, deg1, deg0,1,2,jijj ijijjjRzr zR

5、zjSzsSzjPP ，为最大预测时域kj 111111jjjzRzy kRzU kRzk 1y kU kk4.1 4.1 时刻的预测输出（时刻的预测输出（1 1）11111jjjzRzzSz111,111,01, deg1, deg0,1,2,jijj ijijjjRzr zRzjSzsSzjPP ，为最大预测时域kj 111111jjjzRzy kRzU kRzk 11111jjjjzSzy kRzU kRzk 1111jjjy kRzU kRzkSzy kj 1111jjjy kjRzU kjRzkjSzy k 1y kU kk4.1 4.1 时刻的预测输出（时刻的预测输出（2 2） 1

6、11Pjjykj kRzU kjSzy k1Pjy kjykj kRzkjkj 1111jjjRzU kjy kjRzkSzkjyj步导前最优预测输出预测误差4. 2 Diophantine4. 2 Diophantine方程的递推解（方程的递推解（1 1）11111jjjzRzzSz11111111jjjzRzzSz11211,11,21,111,01,jjjjjjjjRzrzrzrzSzs 1111111110jjjjjzRzRzzz SzSz111,011,jijj ijjiRzr zSzs 4. 2 Diophantine4. 2 Diophantine方程的递推解（方程的递推解（2

7、2）111111111jjjjjzSzz SzRzRzz112111,11,21,j 11,1jjjjjjjjRzrzrzrzrz 1111111110jjjjjzRzRzzz SzSz1121,1,2,11jjjjj jRzr zr zrz 1,1111,0,1,1jij ijjjjjrrijRzRzrz4. 2 Diophantine4. 2 Diophantine方程的递推解（方程的递推解（2 2）111111111jjjjjzSzz SzRzRzz112111,11,21,j 11,1jjjjjjjjRzrzrzrzrz 1111111110jjjjjzRzRzzz SzSz1121,

8、1,2,11jjjjj jRzr zr zrz 1,1111,0,1,1jij ijjjjjrrijRzRzrz11111111,111111,111111,111jjjjjjjjjjjjjjjjzSzz SzRzRzrzzrzSzz SzSzz Szrz4. 2 Diophantine4. 2 Diophantine方程的递推解（方程的递推解（3 3）11111,1jjjjSzz Szrz111,0jjSzs1,01,1,0,01,1,01,1,1jjjjjjjjjjjjjjz srzszszrrz srr1,01,1,0jjjjjjsrrs1,1111,0,1,1jij ijjjjjrri

9、jRzRzrz1,0,0111,0jjjjjjssRzRzsz4. 2 Diophantine4. 2 Diophantine方程的递推解（方程的递推解（4 4）11111111zRzz Sz111111zz Sz 11111jjjzRzzSz111Sz111,1jR z4. 3 4. 3 多步最优预测输出（多步最优预测输出（1 1） 1111111PykkRzU kSzy kU kSzy k 1122112,1212,1221111PykkRzU kSzy kr zU kSzy kU krU kSzy k j 111Pjjykj kRzU kjSzy k1P1111,jjjjjRzRzrz

10、11331213,13,2313,13,23321221PykkRzU kSzy kr zr zU kSzy kU krU krU kSzy k 11121M,1,2,11,11,1211*112PMMMMM MMMM MykM kRzU kMSzy krzrzrzU kMSzy kU kMrU kMrU kSzy k 11,1,1,121121PPPPP P MP PykP kRzU kPSzy kU kPrU kPrU kPPMrU kSzy k 4. 3 4. 3 多步最优预测输出（多步最优预测输出（2 2） 11,1,1,121121PPPPP P MP PykP kRzU kPSzy

11、 kU kPrU kPrU kPPMrU kSzy k 11PPYkG UkS zy k2,1,1,2,1,2,100101M MM MP PP PP P MP MrGrrrrr 11111211211TPPPPPTPTPYkykkykkykM kykP kUU kU kU kMS zSzSzSz 4. 4 4. 4 最优控制律计算（最优控制律计算（1 1） 11PPYkG UkS zy k1Pjy kjykj kRzkj1Y k 111PY kG UkS zy kk1112112112TTY ky ky ky kjy kPkRzkRzky kjy kP4. 4 4. 4 最优控制律计算（最优

12、控制律计算（2 2）1111TPrTrPPJE Y kYkQY kYkUU 111PY kG UkS zy kk 1112121111,TPPrTPrPPjpjMJE G UkS zy kkYkQG UkS zy kkYkUUQdiag q qqqdiag 4. 4 4. 4 最优控制律计算（最优控制律计算（3 3） 121120TPPrPPJG Q G UkS zy kkYkUkU 111111TPPrTPrPPJE G UkS zy kkYkQG UkS zy kkYkUU 111111PrTirTTUkYkS zy kU kidYkG QGS zyQkG 0101111111jjkMjj

13、jkkMjjjututt utU tututdt utdu t 4. 4 4. 4 最优控制律计算（最优控制律计算（4 4） 1U kU kU k k U k U k u k图3 基于U模型的广义预测控制输出4.5 实例 321111y ky kukyk5. 5. 鲁棒性研究鲁棒性研究鲁棒性的重要性在于算法具有扰动的一致估计误差，小扰动会导致小辨识误差。U模型看成适应的鲁棒性分析不涉及关于信号和噪声的任何信息，分析的结果是将获得学习速度。从广义上讲，鲁棒性可以被认为是辨识误差能量与噪声或者扰动能量 的比例，被确保为一个有界的正常数。IEEPE1IEPEE5.1 5.1 基于鲁棒性的最优学习速度

14、（基于鲁棒性的最优学习速度（1 1）定义一个压缩映射 到 ， ，表明输出能量不会超过输入能量。将 和先验误差向量 在 时的欧几里德范数与 和扰动误差的欧几里德范数进行比较，等效误差迭代方程为：其中， 22T xxx1A t y aet1t 1A t 22221aA tt etA tt vt 2,11,av te tettU ttt5.1 5.1 基于鲁棒性的最优学习速度（基于鲁棒性的最优学习速度（2 2）变换得出学习速度决定能量界限的公式：， 222211,0aA tt etttA tt vt 22221aA tt etA tt vt 222211,aA tt etttA tt vt 2222

15、11,aA tt etttA tt vt5.1 5.1 基于鲁棒性的最优学习速度（基于鲁棒性的最优学习速度（3 3）式(28-a)和式(28-b)表明，若学习速度为 ，则从 到 的映射为压缩映射，由局部能量有限可推得迭代更新过程的鲁棒性。这个能量界限指出，无论 和参数误差向量的值是多少，能量值 总是小于或等于能量值 ，从而算法表现为存在噪声扰动和负载变化时的鲁棒性，当式为（28-c）的情况时，自适应算法损耗了它的鲁棒性。 tt ,pA tt et 1 ,aA tt et v t 221aA tt et 22A tt vt5.2 5.2 反馈结构（反馈结构（1 1）式（28）给出的界限说明了一种

16、建立反馈结构的方式。对式（29）求平方范数，整理得：即式（31）给出的能量比适用于所有可能的学习速率，即从信号 到信号 的映射 是无损的。 11TapA tA ttetetUt 22221apA tt etA tt et ,pA tt et 222211apA tt etA tt et 1 ,aA tt etiT5.2 5.2 反馈结构（反馈结构（2 2）对U模型的输出 应用均值定理得：对于点 ，在辨识步骤中顺着连接部分 和得到：式（33）显示了一个反馈结构。利用小增益定理分析反馈结构的稳定性，即一个有限能量输出噪声序列 被映射为无限能量的先验误差序列 。 y t 11aA t U tA t

17、U tyet 1pattt ettyt ettt 1A t U t 1A t U t tt at et5.2 5.2 反馈结构（反馈结构（3 3）使用小增益定理获得最优的学习速度，定义在反馈环的增益为：其中， 为在 之间最大反馈环的绝对增益。假定为无损的情况，则前馈映射的范数等于1，反馈映射的范数定义为 。所以如果保持范数乘积小于1，至少要求 。学习速度设置为 ，并保证界限：即保证U模型参数迭代序列的稳定性，也保证了快速收敛性。 0max 1t ntNyt NN 2022t ytu t0tN 1N1N5.3 5.3 总结与展望（总结与展望（1 1） 基于U模型的控制系统设计应首先确定非线性对象

18、模型，包括SISO和MIMO非线性系统。 在非线性模型结构和参数已知的情况下，非线性对象U模型的多项式表达式可以通过迭代方法实时获得，并在此基础上进行控制器的设计。 参数已知的非线性对象是针对可以精确建模的非线性系统，因而其应用具有一定的局限性。当非线性模型的结构和参数为随机函数时，可采用辨识获得随机U模型的参数。5.3 5.3 总结与展望（总结与展望（2 2） U模型为传统的非线性系统构造了一个通用的模型结构，该模型结构能够表示大范围的平滑非线性系统。 U模型结构在线性控制系统的设计方法与非线性动态系统之间搭建了一座桥梁，从而可以方便地用线性控制系统设计方法对非线性控制系统进行控制。 U模型可以将非线性动态模型转换为一类仅有伪输入的参数时变非线性多项式模型，它的提出将为非线性对象控制系统设计提供一个良好的发展方向。 5.4 5.4 下一步工作下一步工作（1）在U模型的辨识方法上，可以考虑采用更多的方法进行非线性U模型的辨识研究。（2）分析系统鲁棒性。（3）可以考虑新的控制器迭代方法。（4）加强基于U模型的非线性控制系统的理论分析。 Fast!参考文献1 徐凤霞, 朱全民, 赵东亚, 李少远, 基于 U 模型的非线性控制系统设计方法十年发展综述,“ 控制与决策, vol. 28, pp. 961-971, 2013.2 Q. Zhu and