第三章华理大物课件

1、第第 三三 章章 刚刚 体体 的的 转转 动动转动：转动：连结体内两点的直线方向在运动过程中连结体内两点的直线方向在运动过程中 改变。改变。两种基本形式两种基本形式通常用物体通常用物体质心的运动质心的运动来代表。来代表。平动平动: 连结体内两点的直线在空间指向保持平行。连结体内两点的直线在空间指向保持平行。OOOOO 刚体刚体: 即运动中形状、大小不变。即运动中形状、大小不变。 （理想化模型（理想化模型）基本研究方法：基本研究方法：质点运动规律质点运动规律微积分微积分刚体基本运动规律刚体基本运动规律（大量质点运动的总效应）（大量质点运动的总效应）定轴转动定轴转动: :刚体上各质元均做圆周运动，

2、刚体上各质元均做圆周运动，各圆的圆心都在转轴上各圆的圆心都在转轴上, ,是最简单的转动。是最简单的转动。r O dm一、特征：一、特征：、各点都有相同的. 13.角量与线量2rararvrSntO x v2. ：刚体逆时针转：刚体逆时针转：刚体顺时针转刚体顺时针转 3-1 刚体的刚体的二、匀变速转动二、匀变速转动)( 为常量ttt020021)(20202 一、力矩是改变刚体转动状态的原因一、力矩是改变刚体转动状态的原因 3-2 刚体的刚体的1. 力在转动平面内力在转动平面内FrMdjFrMMF=dsin= F rj定轴转动：定轴转动：M：刚体逆时针转：刚体逆时针转：刚体顺时针转刚体顺时针转当

3、当M=0时，刚体匀速转动或静止时，刚体匀速转动或静止FM=rF=12rF)(+ 在定轴转动问题中，若不讨论轴上受力，则所考虑的力在定轴转动问题中，若不讨论轴上受力，则所考虑的力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。转动转动平面平面 2. 力不在转动平面内力不在转动平面内FrFF21变形，对转动无贡献。变形，对转动无贡献。F 只能引起轴的只能引起轴的1rF+=21rrF 3-2 刚体的刚体的 一、力矩是改变刚体转动状态的原因一、力矩是改变刚体转动状态的原因 刚体运动：大量质点运动的总效应刚体的定轴转动：、各点都有相同的 二、转动定律二、转动定律 , ,定

4、轴定轴刚体刚体zFimiri fi i对对m质点质点iF外力外力if内力内力应用牛顿第二定律：应用牛顿第二定律：iiiiFfm a ininiinititiitFfm aFfm a 对对转转轴轴的的力力矩矩为为零零与与ininfF ititiiit iFfrm a r itiar 2sinsiniiiiiiiiFfrrmr , ,定轴定轴刚体刚体zFimiri fi 对所有质点列出此式，并求和对所有质点列出此式，并求和2sinsiniiiiiiiiiiiFrfrmr 0M外J转动定律：转动定律：JM外三、转动惯量三、转动惯量（J）maF 平动：JM 转动：是转动惯性是转动惯性大小的量度大小的量

5、度miiidefdmrmrJ质量连续分布质量连续分布质量非连续分布质量非连续分布22为质元到转轴距离r1.定义式定义式:dm质量元dxdm线分布：dsdm面分布：dVdm体分布：2.转动惯量的计算示例转动惯量的计算示例1.均匀细棒m,l(1).绕过中心与棒轴的转动惯量ox解解: :dm=dxx= x2 dxdJ0= x2dm 2/2/20llOdxxdJJ2/2/331llx3121l2121mlA(2).绕过棒端与棒轴的转动惯量xdm=dxxlAdxxJ02lx0331331l231ml2222)2(12131mdlmmlmlJJOA平行轴定理平行轴定理:2mdJJOO其中其中: JO:刚体

6、对过质心轴的转动惯量JA:刚体对平行于过质心轴的轴的转动惯量d:两平行轴间的距离，且二轴平行轴间距轴与2ldAOod2.2.均匀园环均匀园环m,RdlRdmRdJ22 RmRRRmRdlRJ2022222解解: :(1)(1)绕过中心与环面绕过中心与环面 轴的转动惯量轴的转动惯量R(2)(2)绕沿直径绕沿直径轴的转动惯量轴的转动惯量dldrRdRdlRdmrdJ22222coscos2cos22023mRdRJdm=dldl3.均匀盘m,R绕过中心与环面轴转动惯量rdrrdsrdmrdJ22222040321212mRrdrrJRRdm=2rdrrdrJ的大小与的大小与有关有关转轴的位置转轴的

7、位置质量的分布质量的分布物体的质量物体的质量的转动惯量。点且与板平面垂直的轴求它对经过质量为孔，如果剩余部分径为大圆板的半径的圆一大圆板内挖去一个直Om,oRO2Rm解：由同轴转动惯量的可加性OOOJJJ21即：轴的转动惯量，对的匀质圆板（质量为半径为轴的转动惯量，对不挖孔的圆板（质量为轴的转动惯量，挖了孔的圆板绕其中：OmRJOmJOJOOO)2:):2211)34)2(32)34(21212222122211mRRRmRmmRRmRmJOoRO2Rm222222283)2()2(21RmRmRmJOOJ222243RmJOOOOJJJ2122243RmJO2132mRJO22413mRJO

8、mmm314112mm341例题例题已知：已知：M=2Kg,m=5Kg,R=0.1m,0=10rad/s, (1)求、T, (2)=0时,m上升h。MmR 0分析：轮与分析：轮与m为联结体为联结体,轮为定轴转动、轮为定轴转动、m为平动为平动,但二者用绳联系起来。但二者用绳联系起来。m的速度大小与轮边缘线的速度大小与轮边缘线速度大小相等。速度大小相等。解:(1)M,m受力如图所示mgTTa对对M M：)21(2MRTR 对对m :maTmg运动学关系：运动学关系：Ra)(15. 9)/(7 .812NTsrad00t2021tt(2)Rhmh21012. 6R1R2MAB12已知：A轮：R1,m

9、1, 受恒力矩M. B轮：R2,m2 轮与皮带间无滑动。求：两轮的角加速度。2211JJMBA、解：2222211122112121RmJRmJRR21 ）（1:111211JRTRTMA ）（2:222122JRTRTB）（）（）（5214213222221112211RmJRmJRR（1）（2）21正确解：T1T2关键点：关键点：两轮的两轮的不同不同 3-3 刚体刚体一、定轴转动中动能定理一、定轴转动中动能定理zOrFddsj)90cos(cos0jFrdFdsdAjMddFrsin21:21MddAA21222121212121JJdJddtdJdJ质元质元 的动能：的动能：im2222

10、21)(2121iiiiiikirmrmvmEivOri mi刚体的转动动能：刚体的转动动能：22221)(21 JrmEEiiiikik合外力矩合外力矩对定轴转动刚体所作的功功等于刚体转动动能的增量转动动能的增量21222121JJA刚体的重力势能：刚体的重力势能：iiiPgzmEEp=0imizCzcciiimgzmgmzm)(21PPEEAA保守力保守力矩二、二、 定轴转动的功能原理定轴转动的功能原理质点系功能原理对刚体仍成立：质点系功能原理对刚体仍成立： 1122pkpkEEEEAA 非非保保守守内内力力外外若体系是一个包含刚体、质点、弹簧等复杂系统时若体系是一个包含刚体、质点、弹簧等

11、复杂系统时PKPGPEEE222121JmvEk三、机械能守恒定律三、机械能守恒定律0)()(矩非保内力矩外力即：AA包括刚体在内的体系，若只有保守内力（力矩）作功包括刚体在内的体系，若只有保守内力（力矩）作功则系统机械能守恒则系统机械能守恒.ConstEEpk JM 转动惯性大小的量度定轴转动动能定理定轴转动动能定理2022212121JJMdA既有质点平动又有刚体定轴转动的系统：既有质点平动又有刚体定轴转动的系统：12EEAAAA非保内力非保内力矩外力外力矩系统的功能原理系统的功能原理0非保内力非保内力矩外力外力矩若：AAAA12EE 则：系统机械能守恒系统机械能守恒转动定理转动定理21P

12、PEEAA保守力保守力矩mdmrJ2例题例题已知均质棒已知均质棒m,l,半径忽略的小球半径忽略的小球m组成图示组成图示系统，求图系统，求图(1) ;图图(2)棒中心棒中心at an 60图(1)图(2)mg mg解(1)mgllmgM2mgl232231mlmlJ234mlJ/Mlg89II态I态mgmg(2) I态II态,E守恒21EE 2200)34(2160sin260sinmllmgmgllg8392003430sin30sin2mlmgllmgJMlg1692lat329g)(22lan1639g一般情况：一般情况：求：求：用用M=J 用动能定理或用动能定理或E守恒定律守恒定律 at

13、、an、v用线量和角量关系式用线量和角量关系式图(2)II态mgmg60lg839 234mlJ hmvaRrmkJ已知：J、K、m、r、R 开始时m静止，弹簧处于自然长度求：释放m后，m下落h时a=?,v=? ）（）（解：2:1:211JrTRTJmaTmgmT2mgT1h）（32hRrkhkT）（4Ra a21EEJm：、地面、弹簧、222212121hkJmvmghRvhRrh,V 3-4 刚体的角动量和角动量守恒定律刚体的角动量和角动量守恒定律一、刚体定轴转动的角动量一、刚体定轴转动的角动量zOirivi mi单个质点im：iL2iiiiiirmrvmL方向：沿Z轴正向JrmrvmLi

14、iiii)(2方向：沿Z轴正向整个刚体：iLLJ 即刚体绕定轴转动角动量为绕该轴的转动惯量与即刚体绕定轴转动角动量为绕该轴的转动惯量与角速度之乘积。角速度之乘积。二、刚体定轴转动的角动量定理二、刚体定轴转动的角动量定理)(vmrdtddtLdM质点：）（刚体：JdtddtLdM定轴转动：定轴转动：dtdJdtdJJdtddtdLM）（1）若质点系为刚体（J为常数）转动定律则：JdtdJM2）若质点系不是刚体（J变化）成立（不成立但则：JdtdMJM刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理(积分式积分式)21212112)(JJdJJdMdttt冲量矩其中：21ttMdt作用于刚体上冲量

15、矩等于刚体角动量的增量作用于刚体上冲量矩等于刚体角动量的增量三、角动量守恒三、角动量守恒由角动量定理可知，当M=0，则：J=J0 0 即若系统的合外力矩为零，则系统的角动量守恒。即若系统的合外力矩为零，则系统的角动量守恒。讨论：讨论：1. J、 均不变， J =常数2. J、 都改变， 但 J 不变）（JdtdM 花样滑冰运动员通过改变身体姿态花样滑冰运动员通过改变身体姿态 即改变转动惯量来改变转速即改变转动惯量来改变转速猫的下落（猫的下落（A）猫的下落（猫的下落（B）克服直升飞机机身反转的措施：克服直升飞机机身反转的措施：装置尾浆推动大装置尾浆推动大气产生克服机身气产生克服机身反转的力矩反转

16、的力矩装置反向转动的双装置反向转动的双旋翼产生反向角动旋翼产生反向角动量而相互抵消量而相互抵消, 例例 人和转盘的转动惯量为人和转盘的转动惯量为 J0 , 哑铃的质量为哑铃的质量为m，初始转速为初始转速为1。求：双臂收缩由。求：双臂收缩由r1变为变为r2时的时的角速度及机械能增量。角速度及机械能增量。rr12mmJ01解：解：由角动量守恒由角动量守恒1220210222）（）（解得：mrJmrJ2220121022）（）（mrJmrJ2121022220221221）（）（mrJmrJEk012222122021021210mrJmrJmrJ）（非保守内力作正功非保守内力作正功AR1BR2例：

17、ABBAvvtBARmBRmA时求：间摩擦系数为、轮：、轮：已知：?0022011）（轮：201AAAArJJtRfA（）（）（）（2222112112152143RmJRmJRRgmfBABAr（1）（2）（3）（4）（5）（6）tfrfr）（即：系统角动量守恒、解：外100BBAAAAJJJMBAAR1BR2frfr）（轮角动量原理）（轮角动量原理解：201201BBrAAAArJtRfBJJtRfA系统角动量不守恒由于BBAAAArrJJJRfRf021（）（）（）（2222112112152143RmJRmJRRgmfBABAr（3）（4）（5）（6）gmmRmt)(22112)2()

18、1 (3.系统角动量守恒的条件:a).系统中各物体均绕同一转轴转动条件: M外力=0b).系统中各物体均绕不同转轴转动条件: M外力=0, 且M内力=0例：vmrRJ求：盘转动的半径为已知：，人盘, rv守恒系统绕同一轴转动、且，、解：合外LMmMMm00MJmv4.角动量定理、角动量守恒定律中各角速度或速度均需相对同一惯性参照系。0MJmvr人地v0)(MJrvmr止。旋转，求：何时棒将静绕棒的一端以角速度的水平面上的棒在摩擦系数为长为例：质量为0,lm0o）（）（。解一：应用转动定律解23112mlJJMdxxgdmdf）（3210lmgdxlmxgdmxgxdfdMMl由（1）、（2）、

19、（3）、（4）得glt320）（理解。解二：应用转动动能定1212121202020JMJJMMdA）（400tttttttt0200202121212021JM231mlJ lmgM21glt320解。解三：应用角动量定理000JMtJJMtMdtt231mlJ lmgM21glt320守恒系统但合LM0）（守恒：）解：（121)31(212111222020mvlmmvEek）（守恒：2)2(31)2(0200lmvlmlmvLM）（角量与线量的关系：32lvc（1）（2）（3）vcLL2mm0v0c角）棒转过子弹穿出棒的速度为）（）（子弹碰后速度为）（求：三种不同情况下的,( 10302

20、(11veevevc例：且均为外力，及轴对棒的约束力重力冲力是内力，、分析：合0,.00FNgmmgmm不守恒系统PNLL2mm0v0c00)2(eLM守恒且）（1)2(31220lmlm）（22lvc(1)(2)vcL2mm0v0cv）（即：守恒：棒转动过程地、棒1)cos1 (2)31(21)3(0220lgmlmE）（22lvc(1)(2)vc）即：2(31)2(200lmvlmlmvc守恒则由L）（即：12(31)2(200lmvlmlmv）（又：2)cos1 (2)31(210220lgmlmL2mm0v0cv若需求子弹穿出棒后的速度v(1)(2)v结论：质点与转动刚体碰撞，由于存在约束力，所以 系统动量不守恒，但系统角动量守恒。e=1守恒守恒LEkv,e=0rvL守恒v0e1)PKEEL转化为刚体碰后机械能守恒（守恒v,刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理1221JJMdttt）（JdtdM (积分式积分式)刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量:JL (微分式微分式)系统角动量守恒的条件系统角动量守恒的条件