第77讲 直线与圆锥曲线的位置关系

1、新课标高中一轮总复习1第十一单元直线与圆、圆锥曲线与方程2第77讲直线与圆锥曲线的位置关系3 学会用坐标法探究直线与圆锥曲线的位置关系，进一步体会曲线方程的解与曲线上点的坐标之间的关系，培养方程思想.41.假设ab且ab0,那么直线ax-y+b=0和二次曲线bx2+ay2=ab的位置关系可能是( )C5 由，直线方程可化为y=ax+b,其中a为斜率,b为纵截距，二次曲线方程可化为 =1，应用淘汰法可知A、B、D均自相矛盾.应选C.62.直线x+y=2与椭圆x2+ky2=1有公共点，那么k的取值范围是 .(0, 3.过原点的直线l:y=kx与双曲线C: =1有两个交点，那么直线l的斜率k的取值范

2、围是 . 由于双曲线的渐近线的方程为y= x,数形结合可知l与C有两个交点，那么直线l夹在两渐近线之间，从而- k0,解得-1k0或0k1,即-1tan0或0tan1,故 或0 .因此85.直线y=kx-2与椭圆x2+4y2=80相交于不同的两点P、Q,假设PQ的中点的横坐标为2,那么弦长|PQ|等于 .6 y=kx-2 x2+4y2=801+4k2)x2-16kx-64=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),那么x1+x2= =22,得k= ,从而x1+x2=4,x1x2= =-32,因此|PQ|= |x1-x2|= =6 .由于，消去整理得91.直线与圆的位置关系的判断由圆心到直线的距

3、离d与圆半径r比较大小判断位置关系;(1)当dr时,直线与圆 ;(2)当d=r时,直线与圆 ;(3)当dr时，直线与圆 .2.直线与圆锥曲线的位置关系的判断判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，可将直线l的方程代入曲线C的方程，消去y(或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0或ay2+by+c=0.相离相切相交10(1)当a0时,那么有 ,l与C相交; ,l与C相切; ,l与C相离;(2)当a=0时，即得到一个一次方程，那么l与C相交,且只有一个交点,此时,假设曲线C为双曲线,那么l 于双曲线的渐近线;假设C为抛物线,那么l 于抛物线的对称轴.0=00平行平行113.弦长

4、公式连接圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦.要能熟练地利用方程与根的系数关系来计算弦长，常用的弦长公式|AB|= = .当直线与圆锥曲线相交时，涉及弦长问题，常用“韦达定理设而不求计算弦长.12例1题型一 直线与圆锥曲线的位置关系的判断 假设曲线y2=ax与直线y=(a+1)x-1恰有一个公共点，求实数a的值.13 y=(a+1)x-1 y2=ax.(1)当a=0时,此时方程组恰有一组解为 x=1 y=0.(2)当a0时，消去x，得 y2 -y-1=0.假设 =0，即a=-1，方程变为-y-1=0， x=-1 y=-1.联立方程组方程组恰有一组解14假设 0，即a-1，由=0，得1+ =0

5、，解得a=- .这时直线与曲线相切，只有一个公共点. 综上所知，当a=0，-1，- 时，直线y=(a+1)x-1与曲线y2=ax恰有一个公共点. 在判断直线与圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消元，得到一元方程.注意是否构成一元二次方程即讨论二次系数为零，假设构成二次方程，那么直接用判别式进行判断.15 1过点0，2的直线l与抛物线y2=4x有且只有一个公共点，那么满足条件的直线l的条数为 ； (2)无论k为何值，直线y=kx+2与焦点在x轴上的椭圆 =1都有公共点，那么m的取值范围是 .3条4m516 (1)假设直线l的斜率k不存在,那么l的方程为x=0,与抛物线只有一个公共点(0，0)

6、； y=kx+2 y2=4x,消去x，得 y2-y+2=0.当k=0时，方程为-y+2=0，此时l与抛物线只有一个公共点1，2.当k0时，由=1-2k=0，得k= ，此时，直线与抛物线相切.故满足条件的l有x=0；y=2；y= x+2，共3条.假设斜率k存在,设l:y=kx+2,联立方程组17(2)因为直线y=kx+2过定点(0，2)，当该点在椭圆上或椭圆内时，直线与椭圆恒有公共点，又椭圆焦点在x轴上，可得4m5.18例2题型二 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A、B两点，C是线段AB的中点.假设|AB|=2 ，直线OC的斜率为 ，求实数a、b的

7、值.19 设椭圆与直线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点, ax2+by2=1 x+y=1，可得(a+b)x2-2bx+b-1=0.所以x1+x2= ，x1x2= ,所以 |x1-x2|= = =2 ,那么由20整理得(a+b)2=a+b-ab. 又因为kOC= = = = -1= = ，所以a= b，代入，得a= ，b= .21 弦长公式|AB|= |x1-x2|中，k指的是直线的斜率，x1、x2分别指弦的端点A、B的横坐标，求解时，注意与韦达定理结合.如果是焦点弦，还可结合圆锥曲线定义求解；如果k不存在，此时直线AB与x轴垂直，可将A点的横坐标直接代入曲线方程求解.22 如下图，抛

8、物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为5，0,倾斜角为 的直线l与线段OA相交不经过点O和点A，且交抛物线于M、N两点，求AMN的面积最大时直线l的方程，并求AMN的最大面积.23 由题意,可设l的方程为y=x+m(-5m0,解得m1.又-5m0.设A(x1,y1)，B(x2，y2)，那么y1+y2= .又Q是AB的中点 ,=1,所以 =2,由此,k=4.所以弦AB所在直线的方程为4x-y-15=0.由33 双曲线C:x2- =1,过点A( ，0)作直线l与双曲线C交于P、Q两点.假设PQ的长等于双曲线C的实轴长的3倍，求直线l的斜率.34 而2a=2,与题意不符,故l的斜率必存在,设为k,那

9、么l:y=k(x- ). x2- =1 y=k(x- ),得(2-k2)x2+2 k2x-3k2-2=0.(*)设P(x1,y1),Q(x2,y2),于是有x1+x2= ,x1x2= .由35(方法一)|PQ|2=(1+k2)|x1-x2|2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=(1+k2)( )2+4 =36.化简得5k4-44k2+32=0,解得k2=8或k2=45,代回(*)式，经检验，0均成立，故k=2 或k= .36(方法二)由题意，点A恰为双曲线C的右焦点，过P、Q作右准线的垂线，垂足分别为P、Q，如图.假设P、Q均在右支上，那么PQPA+|QA|=e(|PP|+|QQ|)=

10、e(x1+x2)-2a= -2=6,解得k2=8.假设P、Q分别在左、右两支上，37那么|PQ|=|PA|-|QA|=e(|PP|-|QQ|)=2a-e(x1+x2)=2+ =6,解得k2= .将k2=8或k2= 分别代回(*)式检验，0均成立，故k=2 或k= . 方法二更能表达数形结合的思想，但需就P、Q在双曲线在同一支上和不在同一支上两种情况进行讨论，焦点弦问题常应用圆锥曲线定义求解.381.直线与圆锥曲线位置关系探究方法.直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度来看有三种：相离、相交和相切.从代数角度一般通过他们的方程来研究：设直线l:Ax+By+C=0，二次曲线C:f(x,y)=0.联立

11、方程组 Ax+By+C=0 f(x,y)=0,消去y(或x)得到一个关于x(或y)的方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)，然后利用方程根的个数判定，同时应注意如下四种情况：39(1)对于椭圆来说，a不可能为0，即直线与椭圆有一个公共点，直线与椭圆必相切；反之，直线与椭圆相切，那么直线与椭圆必有一个公共点.(2)对于双曲线来说，当直线与双曲线有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有直线与双曲线相交，此时直线与双曲线的渐近线平行.(3)对于抛物线来说，当直线与抛物线有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合.40(4)0直线与

12、双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件.(5)0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件.412.数形结合思想的应用.要注意数形结合思想的运用.在做题时，最好先画出草图，注意观察、分析图形的特征，将形与数结合起来.特别地：(1)过双曲线 =1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平

13、行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条；42P点在两渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P为原点时，不存在这样的直线.(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.433.特殊弦问题探究方法.(1)假设弦过焦点时焦点弦问题，焦点弦的弦长的计算一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用焦半径公式求解.(2)假设问题涉及弦的中点及直线斜率问题即中点弦问题，可考虑“点差法即把两点坐标代

14、入圆锥曲线方程，然后两式作差，同时常与根和系数的关系综合应用.44学例1 (2021全国卷)直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C：y2=8x相交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，假设|FA|=2|FB|，那么k=( )DA. B. C. D. 45 显然，抛物线C的准线为l：x=-2，直线y=k(x+2)(k0)恒过定点P(-2,0).过点A，B分别作AMl于M，BNl于N.因为|FA|=2|FB|，那么|AM|=2|BN|，所以点B为AP的中点.连接OB，那么|OB|= |AF|，所以|OB|BF|，从而点B的坐标为(1, ).所以k= = ，应选D.46学例2 (2021天津卷)椭圆 (

15、ab0)的两个焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0)(c0)，过点E( ,0)的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1AF2B,|F1A|=2|F2B|. (1)求椭圆的离心率； (2)求直线AB的斜率； (3)设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H(m,n)(m0)在AF1C 的外接圆上，求nm的值. 47 (1)由F1A/F2B ，且|F1A|=2|F2B|，得 = = ,从而 = ，整理得a2=3c2，即a=3c，故离心率e= = . 2因为b2=a2-c2=2c2，那么椭圆的方程可化为2x2+3y2=6c2.设直线AB的方程为y=k(x- )，即y=k(x-3c).设点A(x1,y1),B(x2,y2) .48 y=k(x-3c) 2x2+3y2=6c2，消去y，整理得(2+3k2)x2-18k2cx+27k2c2-6c2=0.0，得- k .所以x1+x2= , x1x2= . 据题意,点B为线段AE的中点,所以x1+3c=2x2. 联立解得x1= ,x2= .将x1,x2代入中，解得k= .由49(3)