空气动力学记录

1、AERO-DYNAMICS（空气动力学）运动流体的研究方式和研究对象不同时研究整个流场而仅仅研究其中的一部分。研究对象包括流场空间区域的一部分和流体的一部分，将流场中的一个有限的空间称为控制体或者叫控制域。这时控制体可以是固定的空间区域也可以是随着流体流动而始终含有相同的流体的区域。将体积在宏观上是无穷小而在微观上有包含着足够多的流体分子的一部分流体称为流体微团。这时流体微团可以是通过固定空间的流体也可以是以当地速度流动的流体。速度散度的物理意义推导采用运动的控制体，则该控制体中始终包含着相同的流体，那么控制体的体积和表面始终随着运动的变化而变化。考虑小段时间的控制体体积变化，先求出由于面元移

2、动引起的体积变化，通过面积分可以求得该段时间内的体积变化，在同时除以时间值，由于实际可取时间段短，于是用体积增量除以时间便得到了控制体体积变化率。运用散度定理将速度场上的曲面积分转化成速度场的散度在控制体体区域的三重积分。如果将该控制体的体积缩至流体微团的大小，那么被积函数也即速度场散度在该微小区域内是一个常数，于是体积分转化为常数与体积的乘积，继而的到了速度场散度的物理意义是运动流体微团的体积对时间的相对变化率。物质导数的定义与推导考虑流场中的一个流体微元(流体本身)，针对这个流体微元大的物理属性，其对时间的导数称为物质导数，可以求得物质导数与流体微团所在的流场处当地物理属性对时间的变化率及

3、速度与物理变量的散度或乘积的关系。流体运动的基本方程和基本规律连续方程、动量方程、能量方程。它们的依据是三大基本守恒规律质量守恒、动量守恒、能量守恒。连续方程的建立、质量流量指的是单位时间流过某一面A的流体的质量 质量通量指的是单位时间通过单位面积的流体的质量，也即单位面积上的质量流量。、连续方程的建立：原理，质量守恒 取空间固定位置的控制体，任意段时间内，始终有该控制体内流体的质量减少量等于净流出控制面的流体的质量，也即质量减少速率等于净流出控制面的流体的流出速率。质量的净流出速率先考虑控制面上的一个面元，于是可以求出通过这个面元穿出控制面的流体流出速率也即该位置处的流场的质量流量，求得的结

4、果为正时表示流出控制面，求出的结果为负时表示流入控制体，在对整个控制面对质量流量求积分即得到流体的净流出速率。控制体内流体质量的减少速率由于该控制体具有固定的空间位置，与是其内质量的增加速率也即为总质量（密度乘以微元体积对控制体所在流场区域的体积分）对时间的偏导，那么质量的减少速率即为质量的增加速率的负值。并且对时间的偏导可以写入到积分号以内。根据质量守恒建立等式即得连续方程。通过数学变换可以得到连续方程的微分形式，其仅含有有限空间流动变量间的关系。、连续方程的运用条件：适用于满足连续性假设的流体。因为方程的建立仅基于连续性u=假设。动量方程的建立原理：动量定理or动量守恒动量方程的建立：取空

5、间固定位置的控制体，考虑作用在这个控制体的作用力，应当注意这里以控制体为研究对象，其质量可能是变化的。根据动量定理，分别求出作用于控制体的作用力和动量变化率。作用力包括体积力or彻体体（如电磁力、重力），表面力（压力），粘性力，彻体力应当等于在控制体上的体积分，而表面力则等于压力在控制面上的面积分其结果都应当是矢量。而由于控制体并不是实际的物体，始终有流体流入或流出控制面，故其动量变化应当包括两部分，单位时间流出控制面的总动量是质量流量与速度的乘积在控制面上的积分和控制体内流场的非定常产生的动量当地变化率应当是一个体积分。能量方程的建立原理：能量守恒 能量方程建立的必要性：如果流体的流动是不可

6、压缩的定常流，那么密度是一个常量，用前面的连续方程和动量方程等已经可以解决流动问题；对于非定常流动，密度是一个变量，还需要能量方程使问题是封闭的。 原理：能量守恒 能量方程的建立：选取具有固定空间位置的控制体，根据能量的守恒定律，某段时间内传入控制体的热量与外界环境对控制体做功之和等于控制体内能量的变化量，或传入控制体的热量的热功率与外界环境对控制体做功的功率之和等于控制体内能量的时间变化率。分析一下热量传递的可能情况，有可能外界往控制体内辐射能量，也有可能是控制体往外界辐射能量，还有可能控制体内发生化学反应放热，这些情况造成的热量传递功率称为热传导功率。我们考虑单位质量流体的热传导功率，再考

7、虑控制体内的微元，则可以求出该微元的热传导功率等于单位质量流体的热传导功率乘以微元的质量（密度乘以微元体积）继而通过对控制体的体积分既可以得出整个控制体的热传导功率。此外热功率还有一部分是由于流体的粘性作用引起质量扩散和热传导造成的热传导功率，为粘性作用造成控制体热量增加的功率。再考虑外界环境对控制体所做功的功率。可能的作用力有表面力在这里沿着垂直于控制面方向的压力，以及由于粘性流体穿过控制面引起的剪切应力。还有彻体力作用于整个控制体内部。再看能量随时间的变化率。应当包含两部分，之一是由于流体流动造成的能量流出，之二是由于流动的非定常性而造成的流场变量的瞬时振荡引起的控制体内总能随时间变化。考

8、虑单位质量的内能和动能，那么单位时间流出控制体的的能量等于质量流量与单位质量的内能和动能之和乘积沿着控制面的积分，总能量的不定常振荡造成的总能量时间变化率等于微元质量（微元体积与密度的乘积）与单位质量的总能量乘积在控制体上的体积分。这样求得的能量方程并不严格，没有考虑由于射流引起的功率和存在如重力作用时势能变化。但基本依据是能量的守恒规律。三个基本方程的微分形式都是通过散度定理将积分形式的方程划归到对同一区域的同一种积分符号内，再令被积函数为零。并且微分形式的方程都是给出了流场中流动变量间的关系。动量方程中的内能是温度的函数，而温度，密度，压强可以由气体的状态方程建立联系。流体流动的描述包括流

9、场、流体运动情况的描述，和流体在流动过程中自身变化。流体的运动有平移运动和变形运动，旋度不为0时还说存在有旋运动。变形运动和有旋运动不完全区分。 1、流线描述某一时刻速度场的流动情况，其上各点的切线方向即为该处流体微团的速度方向，这是根据流场建立流线方程的依据。 2、迹线流体微团的实际运动轨迹。微团在运动中沿着这条轨迹线。 3、流管由流线围成的管状曲面，某一时刻管壁处的流体微团沿着平行于管壁表面的方向，因此任意瞬时流管可以视作固体管壁，流体不可以穿越管壁运动。对于定常流动，可以根据连续方程证明通过流管任意截面的流体的质量流量是相等的。 流线与迹线的关系：对于定常流动，任意时刻起，某位置处的流体

10、微团将沿着过此点处的流线运动，迹线与流线重合，流线不随时间而变化。对于非定常流动，迹线是始终处于变化中的，流体微团自某时刻起运动的轨迹也不沿着该时刻过该点的流线。 4、流体微团的角速度、旋度、角变形率i流体微团产生角变形的原因：流体微团（立方体模型）的顶点的速度不一致造成的边的旋转变化。 ii定义：流体微团的角速度是通过流体微团边的角速度的定义的。流体微团的角速度是一个矢量，有xyz三个方向的分量，某一方向的分量所代表的角旋转发生在与这个方向垂直的面上。在所研究的平面内，定义逆时针转动的角度为正，角度的大小可以由正切值近似代替，最终的取值的据旋转方向情况选取使得最终的旋转角速度以坐标轴的方向为

11、正方向。根据产生角变形的原因可以求解边的旋转角度，例如沿着x方向的角速度，先求yoz面内的相交边的角速度，将其视作二维的流动，考虑到在某段极短的时间内的角位移是极小的，可以通过计算变形后的三角形正切值求得角位移。这时需要注意的是，我们假设相交边的交点的速度值为（u，v，w），沿着y方向的边，这条边的另外一个顶点在yz方向都可能与顶点产生位移差值，考虑沿着z方向的位移差产生该边的旋转运动。那么位移差（直角三角形的一条直角边）与沿着y方的直角边长度（沿着y方向也可能有位移差，使得原dy有所变化，但位于分母中是其相对与原dy可以忽略，故该直角边的长度可以由dy代替）的比值应当等于角位移大小，问题时由

12、于另一端点的速度是通过交点的z方向速度加上由于速度沿着y方向变化而造成的位移增量，这个增量是可正可负的，所以我们所求得的位移差不一定是正数，从而求得的正切值也不一定是正数，也正是由于这一特点，当位移差为正时，即沿着y轴z向速度增加，这样求得的角度值为正，与正负号规定（逆时针为正或者沿着坐标正向为正）恰好相符。所以根据位移差求得的角度值在与我们按规则假设的角度等价后求得的角位移满足正方向是坐标正向的条件，再除以时间即得到角速度值。求得了两个相交边各自的角速度（有正负号，方向沿着规定的正方向）后，定义流体微团在yoz平面的角速度为所求两边的角速度的平均值。同理可以求得在xoy面内变化引起的z向角位

13、移和xoz面内变化引起的y向角位移。它们共同构成了一个三维运动的流体微团的沿着任意方向的角速度在右手系的分量。可以发现除去1/2后所得即为矢量场这里是速度场的旋度。所以流体微团的角速度等于速度场的旋度的1/2。旋度的数学定义是算子与矢量的叉积。于是旋度等于0时，流体的流动称为无旋流，反之旋度不为0时，流体的流动称为有旋流。当流体微团发生尺寸和形状的变化时均为变形运动，而无旋运动既可能是没有任何的边的角位移，也可能是边的角位移互为相反数。前者若又无尺寸变化，则没有变形运动。后者则有变形运动，反之有变形运动时，未必是有旋运动。因此不妨将平移运动和变形运动视为基本运动形式。而流体的有无旋则视作为了简

14、化计算和区分问题而做出的划分。角变形的定义是分在三个坐标平面上的，规定使相交边夹角减小的减小量为正，故角变形等于在正常的坐标情形下，从角速度正方向看下去，水平边的逆时针旋转使得夹角减小，旋转值即为角位移的一部分，竖直边的顺时针旋转使得夹角减小，而顺时针旋转角为负值，故该旋转角的负值为角位移的一部分，这两部分之和。角变形是角位移而非角速度。角变形率等于角位移与发生角位移时间的比值，是速率的概念。速度散度、速度旋度、微团角速度、角变形率所涉及的偏导量均为速度分量对坐标分量的偏导，可以概括在一个矩阵内：ux,uy,uz;vx,vy,vz;wx,wy,wz矩阵的对角线元之和等于速度场的散度，物理意义是

15、等于流体微团的相对体积对时间的变化率。其余各元为速度旋度、微团角速度、角变形率所包含的偏导量，是和流体的旋转运动和变形运动有关的量。某平面的角变形率与对应平面的角速度的关系是，后者乘以2再将其中的符号改写成正号即可。二维不可压缩（定密度）定常流动条件下流函数及其与流量的关系：推导依据：前提条件+连续方程，根据数学定理变换产生。对于二维不可压缩定常流动，根据微分形式的连续方程，可以得到平面流动的两个方向上的速度分量分别对各自轴坐标的偏导数之和等于0.根据高数中有关的充要条件可以得出结论是关于两个速度分量的微分是是一个函数的全微分，根据函数的全微分公式可以将两个方向上的速度分量与该函数在与之垂直方

16、向上的偏导数之间建立等于关系。将这个可微的二元函数称为二元不可压定常流场的流函数。令上述流函数的值为一个常数，可以令流函数的全微分为0，结果得到满足的（x,y）点构成的二维平面上的曲线符合切线沿着速度方向，也正是先前推出的流线。反之，对于二维定常不可压缩流动，流线上的点将使得流函数的数值等于一个常数。计算二维定常不可压缩流动以两条流线为边界单位厚度流管的体积流量，计算方法是，可以再上述两条流线上各选取一个点，用不穿过流管的曲线将其连接，在厚度上为1，这样便得到了截流管而得的曲面，考虑沿着曲线长ds后1的面元，在这个面元上的各点处流体的流动速度都相等，那么体积流量应当等于速度矢量与面元矢量的点积

17、，面元法向取与速度矢量同侧。这样便得到了体积流量的微分量，在二元定常不可压缩流动的前提下，体积量的微分恰好的等于流函数的微分与是对体积流量的线积分等于对流函数的线积分，积分的结果等于在端点处流函数的值之差，而流线上的点始终满足了使得流函数等于一个常数，于是结果可以说成是两个边界流线上的流函数值之差。根据连续方程，在二维不可压定常流的条件下，由流管外加两端用截面封闭的曲面所组成的闭合区域内的流体质量始终是不变的。又由于是不可压的流体，所以可以由通过任意截面的质量流量相等推得通过任意截面的流体的体积流量是不变的。有了流函数的定义，以及流线上的流函数值为常数，佐证了体积流量在任意截面上是相等的，并且

18、可以计算出体积流量的具体数值。但流函数是应用于二维不可压定常流这一特殊情况下的。对于不可压缩流的二维流动，无论是有旋流动或无旋流动，流体有粘性或没有粘性，一定存在流函数。而在三维流动除了轴对称流动外一般不存在流函数。对于不可压缩流动的平面流动，流函数永远满足连续方程。流函数有各自的常数值，流函数的等值线就是流线。对于不可压缩流体的平面势流，流函数满足Laplace方程，流函数也是调和函数。平面流动中，通过两条流线间任意一条曲线（单位厚度）的体积流量等于两条流线的流函数之差，与曲线形状无关。无旋流动条件下速度位及其与速度的关系：推导依据：无旋定义和数学定理推得。根据算子与速度叉积为0以及标量函数

19、梯度的旋度为0，得到无旋流场的速度场等于一个标量函数的梯度场，定义这个标量函数为速度位。于是在任意时刻，无旋流动的速度场与一个标量函数的梯度场建立了相等的关系。根据梯度的计算公式和矢量的等价条件，可以由速度位的偏导数求得速度的分量。其在不同的坐标系下，具有不同的形式。将使得速度位的值等于常数的曲线称为等位线。由于前提条件，无旋流又称为位流流函数与速度位的关系：求解速度分量的偏导的坐标相反，流函数与速度位建立在不同的特殊情况下，这两种情况相互独立。组合这两种特殊情况，在二维不可压无旋定常流的条件下，流函数与速度位均存在，它们的等值线分别为流线和等位线，由于速度位的梯度场恰为速度场，而速度场沿着流

20、线方向。根据梯度场与标量场等值线正交的原理，速度位的梯度场与等位线正交，而速度位的梯度场沿着流线方向，所以流线与等位线正交。即流函数的等值线与速度位的等值线正交。旋涡运动or有旋运动漩涡场存在条件：速度场的旋度不为0 旋涡场的一般描述：与一般的流场相同，有流线，流管，流量等。 漩涡场的特有描述：涡线在某时刻该曲线上的流体微团的旋转角速度向量沿着曲线的切线方向，因此涡线的微分形式方程等于：dx/x向角速度分量=dy/y向角速度分量=dz/z向角速度分量。与流场的流线类比，涡线也是空间位置和时间的函数，对于定常流，涡线只是空间坐标的函数，而不是时间的函数，也即涡线不随时间改变。 涡管在流场中选取一

21、个非涡线的封闭曲线，经该曲线上的每一点做涡线，所组成的管状曲面称为涡管。 涡量对任意有向曲面的角速度面积分，即涡通量称为涡量。 漩涡强度：将截涡管所得某一截面上的角速度的第二型曲面积分的2倍定义为漩涡强度。 漩涡强度的等价描述：某一点垂直于某过该点一截面的旋度分量等于速度场沿着包围该点的任意闭合曲线在无限收缩向该点时的曲线积分与该曲线所围城的微面积的比值。即，这时对于定义漩涡强度的截面上的任意面元，其上的旋度积分元等于于是漩涡强度为，这便是stokes定理。文字表述是，沿空间任意闭合曲线的矢量环量等于矢量场旋度的面积分。于是漩涡强度由曲面积分转化为曲线积分。若流场中沿着任意闭合曲线的速度环量等

22、于0，则流场是无旋的。 诱导速度:有旋流场中，由于漩涡的存在造成的流场其他点处的速度称为诱导速度，其与旋涡间的关系依毕奥萨伐尔定理建立等价关系。无限长涡线诱导的流场，在各个垂直截面上的流动都是相同的。这种流动可以被视作在任意垂截面上的平面流动。 亥姆霍兹定理：定理一：在同一瞬间沿着涡管或涡线的旋涡强度不变/证明方法：在任意位置选取两条绕涡线或涡管的闭合曲线。设想这两个曲线间形成曲面，并包含涡线和涡管，这样，在该曲面上处处是无旋的，故旋度为0。再在两个曲线上分别任取一点，在曲面上联接这两个点使得，曲面开缝，并设想缝很窄，这样还活得了一个闭合曲线，沿着曲线的速度积分由于曲面上旋度为0，显然也为0.

23、这样沿着之前取的两个闭合绕涡曲线上的速度积分相等。由于闭合曲线是任意取的，故同一瞬时，沿着涡线或涡管的旋涡强度不变。定理二：涡线不可能在流场的内部中断，而只能是终止与流场的边界或者形成闭合/证明方法：假设中断，上个定理中的线积分不再为0，这样违背Stokes定理。定理三：如果流体是理想的，正压的且彻体力有势，那么涡强不随时间变化，既不增强，也不减弱。/证明方法：理想流体是无粘的，流体间的微团不会有相互的切向里，这样对于流体微团仅存在法向力过质心，不会产生旋转力矩。如果流体是有旋的，那么涡强不变，如果无旋，那么始终无旋。实际空气是有粘的，其涡强随时间变化，但粘性很小，涡强衰减不明显，仍可以按理想

24、流体涡强不变处理。特定流体流动形式下的基本方程应用【】无旋无粘流应用于空气时，由于密度小可以忽略含重力势函数项。有旋无粘流粘流与边界层流动粘流的基本特性：速度型任何流体在都无法穿透物体表面，而是贴着物体的表面流动。考虑到实际流体的粘性作用，速度值在沿着垂直于物面的法向随着距离物面的距离增大速度增大并最终趋近于来流速度。将速度的这种分布称为速度型。（流体在物面处与物体没有相对移动，即与物体的速度相同，在相对坐标系下看时，物体表面处的实际流体的速度为零）粘性摩擦阻力由于速度型的存在，使得速度在垂直于物体表面的方向上存在一个梯度，根据牛顿的粘性定律可以得出，某位置处流体的粘性力，即粘性摩擦力，等于粘

25、性系数与法向速度梯度的乘积。显然粘性没有改变速度的方向，而只是改变了速度的大小，所以粘性摩擦力的作用沿着速度相反方向。反之流体对物体表面的粘性力的方向沿着流体的速度方向，大小等于物面处的法向速度梯度乘以粘性系数。粘性压差阻力由于粘性的作用，还引起了物体表面处压强分布的改变。在理想无粘流的情形下，理论给出物体所受的压强作用在来流的方向上的分力为零。即压强引起的阻力为零。那么粘性的作用就会改变压力在来留方向上的投影，使之不为0，使得阻力存在.这个由于压强分布改变（粘性作用引起）而造成的阻力称之为粘性压差阻力。粘性气动热由于粘性的作用使得流体在流经物体时存在机械能（动能和压力能）向热能的转化，而其中

26、一部分热量将转移给物体，称此为气动热问题。低速翼型（二维翼型无三维效应）的气动特性以平行于机翼对称面的一个平面沿翼展的方向上解剖所得的截面称为翼剖面，又称为翼型。【】翼型的几何参数（表现出翼剖面的形状）： 弦线与弦长翼型的尖尾点称为翼型的后缘，翼型上距离后缘最远的点称为前缘，连接后缘与前缘的线称为翼型的弦线，弦线的弦长称为翼型的几何弦长，简称为弦长。 体轴坐标系下翼型上下表面的无量纲坐标以前缘点为坐标原点，沿着弦线为x轴，向上为y轴。在此坐标系下，将上下表面上任意一点的y坐标值除以翼型的弦长得到的即为一个无量纲的数，由于y坐标是x坐标的函数，具体的函数形式由翼型具体形状决定。于是这个无量纲的数

27、也是x的函数，也即为x/弦长的函数。 翼型的弯度翼型上下表面平行于y轴的连线的中点连成的曲线称为翼型的中弧线，可以用来描述翼型的弯度。中弧线的无量纲坐标（是x/弦长的函数）称为弯度分布函数，其最大值称为相对弯度（即平行于y轴的连线的最大长度除以弦长）。此外，中弧线为直线的翼型必定是对称翼型，原因是中弧线为直线时其必与x轴重合，于是同一展向坐标x对应的上下表面值必定互为相反数，于是上下翼面对称，即翼型为对称翼型。取相对弯度值的弦向无量纲坐标数即弦向位置也是一个重要参数。 翼型的厚度将翼面到达中弧线距离的无量纲数称为厚度分布函数其也是x/弦长的函数，将该函数的最大值的2倍称为相对厚度。即为翼型的最

28、大厚度比上弦长。相应的也有一个弦向位置。当相对厚度0，后缘即为后驻点，上下翼面流动在驻点的速度为0；3、如果后缘角=0、上下翼面流动到达后缘达到同一有限速度。推广的库塔-儒科夫斯基后缘条件：对于实际翼型，其后缘并非是尖的而是一个小的过度圆弧，此时上条件中1仍然成立，而上下翼流动将各自有上下靠近后缘点处流向下游，形成的尾迹很薄，并且流出的流速相等。 机翼（展长有限存在三维效应）的低速气动特性【】机翼的几何参数：在建立翼型的坐标系的基础上再增加一个z轴，使得xyz轴构成右手坐标系。从飞机得到角度看，x轴在飞机对称面内且指向后，y轴在飞机对称面内且指向上，z轴垂直于飞机对称面且指向左。常将x称为机翼

29、的纵轴，y称为机翼的竖轴，z称为机翼的横轴，原点取在机翼上。平面形状：指的是机翼在xoz平面内的投影的形状。机翼平面几何尺寸：即为双只支机翼投影的面积，又称为机翼特征（参考）面积。机翼展长：对称机翼的z轴方向最大长度。即为机翼的横向特征长度。弦长（z的函数）对z由0到0.5l上的积分的二倍。机翼弦长：指的是机翼展向翼型的弦长，显然其是展向位置z的函数。 重要的弦长有翼根弦长（z=0）和翼尖弦长（z=+、-L/2） 与机翼弦长有关的重要的无量纲量：机翼的几何平均弦长为机翼的特征面积比上机翼的展长。从数学的角度是在求积分函数（弦长）的平均值，即为与考虑机翼的面积和展长都相等的矩形机翼的弦长。 机翼

30、的平均气动弦长为弦长的平方（z的函数）对z在0到0.5l上的积分的二倍除以机翼特征面积。即为半翼面心处的弦长。表征机翼形状的无量纲数：展弦比指的是翼展与平均几何弦长的比值，根据平均几何弦长的定义，也即为展长的平方比上特征面积。 根梢比指的是翼根的弦长比上翼梢的弦长。 后掠角分为（直）前缘、（直）后缘，1/n弦（沿着翼展方向1/n弦点的连线）后掠角。 对于直边梯形后掠翼，以上三者间的关系满足机翼的几何扭转角：将延展向的翼型的弦线与翼根处剖面的弦线的夹角叫做几何扭转角，规定上扭为正，下扭为负。常常将靠近翼梢的弦的扭转角叫做特征扭转角，对于简单的线性扭转机翼，可以由翼型的展向位置按比例得出翼型的几何扭转角。常常采用负几何扭转的方法来改善机翼的某些气动特性。（气动扭转指的是没有几何扭转，即沿展向翼型的弦线共面或平行，而在不同的展向位置采用不同的翼型形状而造成各剖面零升力线不一致）机翼的上（下）反角：左或右半个机翼弦所在平面与xoz平面的夹角称为上（下）反