第六章+虚功原理和结构的位移计算

1、第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算教学内容：教学内容：虚功原理的基本概念，刚体的虚功原理，变形体虚功原理的基本概念，刚体的虚功原理，变形体虚功原理，静定结构由于支座移动引起的位移计算，静定结虚功原理，静定结构由于支座移动引起的位移计算，静定结构在荷载作用下的位移计算的积分法、图乘法，静定结构由构在荷载作用下的位移计算的积分法、图乘法，静定结构由于温度改变引起的位移计算，互等定理。于温度改变引起的位移计算，互等定理。教学要求：教学要求：1 1、了解结构线位移、角位移、实功与虚功，广义力与广义、了解结构线位移

2、、角位移、实功与虚功，广义力与广义位移，刚体的虚功原理，变形体系虚功原理的两种形式；位移，刚体的虚功原理，变形体系虚功原理的两种形式；2 2、理解、理解静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算的积分法，静定的积分法，静定结构因结构因温度改变和支座移动时的位移计算温度改变和支座移动时的位移计算原理和方法，静定原理和方法，静定结构的一般特征；结构的一般特征；3 3、掌握、掌握单位荷载法的位移计算公式单位荷载法的位移计算公式，线性变形体系的互等，线性变形体系的互等定理简化结构计算，定理简化结构计算，图乘法计算位移图乘法计算位移。重点：重点：虚功原理，单位荷载法求位移的图乘法。虚功

3、原理，单位荷载法求位移的图乘法。难点：难点：位移计算原理。位移计算原理。第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算6-1 6-1 概述概述6-2 6-2 实功与虚功实功与虚功6-3 6-3 广义力与广义位移广义力与广义位移6-4 6-4 变形体的虚功原理变形体的虚功原理6-5 6-5 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算6-6 6-6 图乘法图乘法6-7 6-7 静定结构由于温度改变引起的位移计算静定结构由于温度改变引起的位移计算6-8 6-8 静定结构由于支座移动引起的位移计算静定结构由于支座移动引起的位移计算第六章第六章 虚功原理与结构的位移计算

4、虚功原理与结构的位移计算6-10 6-10 互等定理互等定理第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算二、位移产生的主要原因二、位移产生的主要原因 1 1、荷载作用；荷载作用； 2 2、温度改变和材料胀缩；温度改变和材料胀缩； 3 3、支座沉降和制造误差等。支座沉降和制造误差等。一、结构的位移一、结构的位移 1 1、线位移：线位移： 2 2、角位移：角位移：AVAHAAAAAP三、本章位移计算假定三、本章位移计算假定 1 1、线弹性体；线弹性体； 2 2、小变形；小变形； 叠加原理适用叠加原理适用6-1 6-1 概述概述A第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构

5、的位移计算四、计算位移目的四、计算位移目的铁路工程技术规范规定铁路工程技术规范规定: :1. 1. 刚度要求刚度要求桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 1/700 1/700 和和1/9001/900跨度跨度高层建筑的最大位移高层建筑的最大位移 1/1000 1/1000 高度。高度。最大层间位移最大层间位移 1/800 1/800 层高。层高。2. 2. 超静定超静定、动力和稳定计算、动力和稳定计算3. 3. 施工要求施工要求在工程上，吊车梁允许的挠度在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 1/600 跨度；跨度；第六章第六章 虚功原理和结构

6、的位移计算虚功原理和结构的位移计算建筑起拱建筑起拱将各下弦杆做得比实将各下弦杆做得比实际长度短些，拼装后际长度短些，拼装后下弦向上起拱。下弦向上起拱。在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算实功：实功：力在自身所产生的位移上所作的功。力在自身所产生的位移上所作的功。虚功：虚功：力在其它原因产生的位移上作的功。力在其它原因产生的位移上作的功。力在变形位移上所作的实功为：力在变形位移上所作的实功为：1111112TP力在对应虚位移上所作的虚功为：力在对应虚位移上所作的虚功为：112

7、TP6-2 6-2 实功与虚功实功与虚功d dOAB11P111P1P11P1注：注： 的第一个下标表示位移的地点和方向，的第一个下标表示位移的地点和方向，第二个下标表示产生位移的原因。第二个下标表示产生位移的原因。ijCt121()t第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算实功：实功：ABP P1 11P P2 2虚功：虚功：力在其它因素引起的位移上作的功。力与位移是力在其它因素引起的位移上作的功。力与位移是彼此无关的量，分别属于彼此无关的量，分别属于同一体系的两种彼此无关的状同一体系的两种彼此无关的状态态。例如：例如：例如：例如：1111112TP力在自身引起的位移上

8、作的功。力在自身引起的位移上作的功。111212112TP222第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算ABP P1 11ABP P2 211122状态状态2 2状态状态1 1（1 1）属同一体系；）属同一体系；（2 2）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件；力）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件；力 状态应满足平衡条件；状态应满足平衡条件； （3 3）位移状态与力状态完全无关。）位移状态与力状态完全无关。12112TP在研究虚功时在研究虚功时, ,把作虚功的力把作虚功的力P1P1和虚位移和虚位移(P2(P2引起的位移引起的位移) )分别绘在两个图上分别绘在两个图上

9、, ,并称为同一结构的两个状态。并称为同一结构的两个状态。第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算TPTM6-3 6-3 广义力与广义位移广义力与广义位移PM第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算()ABABABTPPPP ()ABABABTMMMMABMMP PP PAABBAB第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算 刚体在外力作用下处于刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是：平衡的充分必要条件是：对对于任意微小的虚位移，外力于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。所作的虚功之和等于零。320222PPP 一、刚体

10、体系的虚功原理一、刚体体系的虚功原理虚功原理的应用：虚功原理的应用：1 1）虚设位移求未知力（虚位移原理）虚设位移求未知力（虚位移原理）2 2）虚设力系求位移（虚力原理）虚设力系求位移（虚力原理）6-4 6-4 变形体的虚功原理变形体的虚功原理/ 2BVP0AH / 2AVP2 23 3/ / 2 2P2l2l即：即：120T (6 1)第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算abABC1c?P=1P=1ABCab1R已知已知 求求1c虚功方程虚功方程设虚力状态设虚力状态abR0bPaR110cR1111cab小结：小结： （1 1）形式是虚功方程，实质是几何方程；）形式

11、是虚功方程，实质是几何方程；（2 2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出 与已知位移相应的支座反力。与已知位移相应的支座反力。构造一个平衡力系构造一个平衡力系；（3 3）特点是用静力平衡条件解决几何问题。）特点是用静力平衡条件解决几何问题。单位荷载其虚功正好等于拟求位移。单位荷载其虚功正好等于拟求位移。虚设力系求刚体体系位移虚设力系求刚体体系位移第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算二、变形体系的虚功原理二、变形体系的虚功原理1212(6-2)TV变说明：说明：1.1.虚功原理里存在两个状态：虚功原理里存在两个状态

12、：1)1)力状态必须满力状态必须满足平衡条件；足平衡条件；2)2)位移状态必须满足协调条件。位移状态必须满足协调条件。2.2.原理适用于任何原理适用于任何 ( (线性和非线性线性和非线性) )的变形体，适用于的变形体，适用于任何结构。任何结构。3.3.原理应用原理应用 : :虚设力系求位移（虚力原理）虚设力系求位移（虚力原理）原理的表述：原理的表述： 体系在任意平衡力系作用下，给体系以几何可能体系在任意平衡力系作用下，给体系以几何可能的位移和变形，体系上所有的位移和变形，体系上所有外力所作的虚功总和外力所作的虚功总和恒等于恒等于体系体系各截面所有内力在微段变形位移上作的虚功总和各截面所有内力在

13、微段变形位移上作的虚功总和。第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算位移状态位移状态2VAABP PqM M三、虚功方程三、虚功方程VB给定位移状态给定位移状态2 2微段微段dSdS上内力的变形虚功为上内力的变形虚功为整个结构内力的变形虚功为整个结构内力的变形虚功为虚功方程为虚功方程为N N1 1N N1 1+dN+dN1 1V V1 1V V1 1+dV+dV1 1MM1 1MM1 1+dM+dM1 1dSdsdSd d2 2dS 2 2 2 2dsdsdS虚设力状态虚设力状态1 1dS力状态力状态1AB12121212dVM dN dVds 变12112212(610

14、)VM dN dVds变121211221 2(6 11)TVM dNdVds变d d 2 2PHAdS12TP 虚功原理：虚功原理：状态状态1 1的外力在状态的外力在状态2 2的位移上所作的虚功的位移上所作的虚功, ,等等于于状态状态1 1各微段的内力在状态各微段的内力在状态2 2相应微段变形上所作的虚功相应微段变形上所作的虚功之和。之和。第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算三、虚功方程三、虚功方程当虚位移是一组力引起时当虚位移是一组力引起时，状态，状态2 2的微段变形是由的微段变形是由状态状态2 2相应内力引起的。相应内力引起的。由材料力学知识有：由材料力学知识有

15、：22MddsEI22NddsEA 22VdsdsGA剪应力沿截面高度不是均匀分布，引入剪应力沿截面高度不是均匀分布，引入剪剪应力不均匀分布系数应力不均匀分布系数 ，并将以上三式代并将以上三式代入虚功方程（入虚功方程（6-116-11），得），得：22212111MNVTMdsNdsVdsEIEAGAVAABP PqM MVBdSdSd d2 2dS 2 2 2 2dsdsd d 2 2dS（6-146-14）位移状态位移状态2注：在确定各内力表达式时，两个状态应取同一正负号规定注：在确定各内力表达式时，两个状态应取同一正负号规定。第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算

16、Pq6-5 6-5 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算一、单位荷载法一、单位荷载法1iP 简支梁在荷载作用下发生如图虚线所示的变形，求其简支梁在荷载作用下发生如图虚线所示的变形，求其任一点任一点i i的全位移在某一方向的投影的全位移在某一方向的投影 ，iP应用虚功原理，假想的在欲求应用虚功原理，假想的在欲求位移方向虚设一个单位力位移方向虚设一个单位力 ，建立一个，建立一个虚设的力状态虚设的力状态，原，原状态为状态为实际位移状态实际位移状态。1iP 位移状态位移状态P P力状态力状态i i由虚功方程，有：由虚功方程，有：ipipTV变其中：其中：1ipiipipipTP

17、 ipV变PPPiiiMNVMdsNdsVdsEIEAGAiPi第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算 为状态为状态i i中单位力中单位力P=1P=1引起的弯矩、轴力和剪力。引起的弯矩、轴力和剪力。iiiMNV、 、6-5 6-5 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算由虚功方程，可得：由虚功方程，可得：其中：其中：1ipiipipipTP ipV变PPPiiiMNVMdsNdsVdsEIEAGA(615)PPPiPiiiMNVMdsNdsVdsEIEAGA其中：其中： 为状态为状态P P中实际荷中实际荷载引起的弯矩、轴力和剪力。载引起的弯矩、轴力

18、和剪力。PPPMNV、 式（式（6-156-15）便是平面杆系结构位移计算的一般公式。）便是平面杆系结构位移计算的一般公式。若若计算计算结果为正结果为正，表示所求位移，表示所求位移i i与虚设的单位力与虚设的单位力P Pi i=1=1方向相同方向相同，反之反向。这种方法又称为，反之反向。这种方法又称为单位荷载法单位荷载法。Pq1iP 位移状态位移状态P P力状态力状态i iiPi在确定各内力表达式时，两个状在确定各内力表达式时，两个状态应取同一正负号规定态应取同一正负号规定。第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算虚功原理应用举例虚功原理应用举例 例例6-1:6-1:求图

19、求图6-16a6-16a所示桁架结点所示桁架结点C C的竖向位移的竖向位移 。各。各杆杆EAEA为常数且相等。为常数且相等。解：为求解：为求C C点的竖向位移，应在点的竖向位移，应在C C点加一竖向单位力，建立虚设点加一竖向单位力，建立虚设力状态。力状态。vCdddPABCDABCD1iP 分别求结构在实际荷载与单位分别求结构在实际荷载与单位荷载作用下各杆的轴力荷载作用下各杆的轴力PiNN和2P2P2PP22P2P22P1 21 22 22 201212vC第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算虚功原理应用举例虚功原理应用举例 例例6-1:6-1:求图求图6-16a6-

20、16a所示桁架结点所示桁架结点C C的竖向位移的竖向位移 。各。各杆杆EAEA为常数且相等。为常数且相等。vPPCiiNNNdsNlEAEAvCdddPABCDABCD1iP 2P2P2PP22P2P22P1 21 22 22 201212根据虚功方程（根据虚功方程（6-156-15）式，得：）式，得：12222 () () () 22 222PddPEAEA 1(2)2PdEA计算结果为正，说明计算结果为正，说明 的实际的实际位移方向与假设的单位力方向一位移方向与假设的单位力方向一致，即向下。致，即向下。vC第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算1.1.梁和刚架：梁和

21、刚架：PiPiM dsMEI（6-166-16）2.2.桁架：桁架：iPiPiPiPN N dsN NN N ldsEAEAEA（6-176-17）3. 3. 组合结构：组合结构：iPiPM M dsEI 梁iPN N lEA桁（6-186-18） 在实际计算时，根据结构的具体情况在实际计算时，根据结构的具体情况, ,式（式（6-156-15）可）可以简化：以简化：(615)PPPiPiiiMNVMdsNdsVdsEIEAGA第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算1.1.梁和刚架：梁和刚架：PiPiM dsMEI（6-166-16）2.2.桁架：桁架：iPiPiPiPN

22、 N dsN NN N ldsEAEAEA（6-176-17）3. 3. 组合结构：组合结构：iPiPM M dsEI 梁iPN N lEA桁（6-186-18）讨论一讨论一: : 在实际计算时，根据结构的具体情况在实际计算时，根据结构的具体情况, ,式（式（6-156-15）可以简化：可以简化：(615)PPPiPiiiMNVMdsNdsVdsEIEAGA6-5 6-5 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算讨论二：讨论二：在应用单位荷载法计算时，应根据所求位移不在应用单位荷载法计算时，应根据所求位移不同，设

23、置相应的虚拟力状态。（同，设置相应的虚拟力状态。（P107-P107-表表6-16-1）例如例如: :A A求求AHAH实际状态实际状态P P虚拟状态虚拟状态i iA A1 1A A求求 A A1 1虚拟状态虚拟状态i iA AA A虚拟状态虚拟状态i i虚拟状态虚拟状态i iB B求求ABAB1 11 1B B求求 ABAB1 11 1P P第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算 例例6-36-3：求图示等截面梁：求图示等截面梁B B端转角。端转角。EI=EI=常数。常数。解：解：1 1）虚设单位荷载）虚设单位荷载( (力状态力状态) )MP（x1）=Px/2 (0

24、x1l/2)MP（x2）=P（lx）/2 (l/2 x2l)(0 xl)2 2）M MP P须分段写须分段写 ixMxl 216PlEI M=1M=1P Pl/2l/2EIEIA AB Bx x1 1x x2 220211()()()22lliPiPlM M dsxPxP lxxdxdxEIEIlEIl 第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算总结：总结：3.3.位移计算步骤：位移计算步骤： 1 1）虚设单位力状态）虚设单位力状态; ; 2 2）列两种状态的内力方程）列两种状态的内力方程; ;3 3）按位移公式积分求位移。）按位移公式积分求位移。 1.EI1.EI分段为常

25、数则弯矩表达式应分段写。分段为常数则弯矩表达式应分段写。 2.2.在同一区段内，在同一区段内， 和和 的表达式坐标原点应在的表达式坐标原点应在同一位置。同一位置。 iMPM第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算练习：求图示刚架练习：求图示刚架A A点的竖向位移点的竖向位移AVAV。EIEI为常数。为常数。ABCqL LLA实际状态实际状态虚设力状态虚设力状态AB1解：解： 1. 1. 虚设单位力状态虚设单位力状态x xx x选取坐标如图。选取坐标如图。则各杆弯矩方程为则各杆弯矩方程为: :ABAB段：段：, i ABMxBCBC段：段：, i BCML 2. 2. 实际

26、状态中各杆弯矩方程为实际状态中各杆弯矩方程为ABAB段：段：BCBC段：段：x xx x2,2P ABqxM 2,2P BCqLM 3. 3. 代入公式（代入公式（6-166-16）得）得458qLEI()iPAVM M dsEI20()(2)ldxxqxEI20()(2)ldxLqLEI第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算6-6 6-6 图乘法图乘法 在杆件数量多、荷载复杂的情况下在杆件数量多、荷载复杂的情况下, ,积分计算复杂。积分计算复杂。下面介绍计算位移的图乘法。下面介绍计算位移的图乘法。iPiPM MdsEI 刚架与梁的位移计算公式为：刚架与梁的位移计算公式

27、为：若在积分段内若在积分段内杆件为直杆杆件为直杆：iPiPM MdxEI 第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算一、图乘法公式的证明一、图乘法公式的证明taniMxBiPiPAMMdxEI1tanBPAxM dxEItanBPAx M dxEI0tanxEI0(6 21)yEIMMP P图图xy形心形心C面积面积 ABOABM MP PiMdxdxd d =M=MP Pdxdxx xx x0 0iM图y y0 0y y0 0=x=x0 0tgtg 即积分即积分 等于等于曲线图形的面积曲线图形的面积乘以乘以其形心所对应其形心所对应的直线图形的纵标的直线图形的纵标BiPAM

28、 M dxtanBAxdEI第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算1.1.必须符合上述图乘的三个条件；必须符合上述图乘的三个条件；2.2.纵坐标值纵坐标值y y0 0应从直线图形上取得；应从直线图形上取得；3.3.正负号：当两弯矩图在基线同侧取正，反之取负。正负号：当两弯矩图在基线同侧取正，反之取负。三、应用图乘法的注意点：三、应用图乘法的注意点：二、图乘法所满足的条二、图乘法所满足的条件件 1. 1. 和和 两个弯矩图中至少有一个是直线图形两个弯矩图中至少有一个是直线图形（ 总是直线或折线总是直线或折线）；）； PMiMiM2.2.杆轴为直线；杆轴为直线；3.3.杆件

29、抗弯刚度杆件抗弯刚度EIEI为常数。为常数。BiPiPAMMdxEI0(621)yEI第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算 例例1: 1: 求图示悬臂梁求图示悬臂梁B B点的竖向线位移，点的竖向线位移，EIEI为常数。为常数。解：解：1 1）建立虚设状态，如图。）建立虚设状态，如图。pVCiMMdxEI 2 2）分别作）分别作 图和图和 图图PMiM3 3）进行图形相乘，则得：）进行图形相乘，则得：112()()23llPlEI0yEI33PlEI12lPl 02 3ylBAPl1iP BAPlBAPMiMBAl3l2 3l第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原

30、理和结构的位移计算二次抛物线二次抛物线：=2hl/33l/4l/4二次抛物线二次抛物线：=hl/3顶点顶点lh2l/3l/3=hl/2(a+l)/3(b+l)/3=hl/2labh四、几种常见图形的面积及其形心位置四、几种常见图形的面积及其形心位置h第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算5l/83l/8二次抛物线二次抛物线：=2hl/34l/5l/5h三次抛物线三次抛物线=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线次抛物线=hl/(n+1)顶点顶点顶点顶点注：图中所示抛物线均为标注：图中所示抛物线均为标准抛物线，即顶点处的切线准抛物线，即顶点处的切线与基

31、线平行。与基线平行。h顶点顶点四、几种常见图形的面积及其形心位置四、几种常见图形的面积及其形心位置第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算 例例6-4: 6-4: 求图求图6-24a6-24a所示简支梁跨中所示简支梁跨中C C点的竖向线位点的竖向线位移，移，EIEI为常数。为常数。(P113)(P113)CBAq /2l/2l解：解：1 1）建立虚设状态，如图。）建立虚设状态，如图。CBA28ql1iP pVCiMMdxEI /4l2 2）分别作）分别作 图和图和 图图PMiM3 3）进行图形相乘，则得：）进行图形相乘，则得：PMiM2125()()232884lqllE

32、I0yEI45384qlEI115 32yl当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：a a）曲杆或）曲杆或EI=EIEI=EI（X X）时，只能用积分法求位移；）时，只能用积分法求位移；b b）当分段为常数或）当分段为常数或 均非直线时，应分段图乘再叠加；均非直线时，应分段图乘再叠加；iPMM、第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算ll 例例6-5: 6-5: 求图求图6-25a6-25a所示刚架支座所示刚架支座D D处的水平位移，处的水平位移，E E为为常数。常数。(P114)(P114)解：解：1 1）建立虚设状态，如图。）建立虚

33、设状态，如图。20224113()2221132211()()22338212HDyqlllEIEIqlqllqllllEIEI 2 2）分别作）分别作 图和图和 图图PMiM3 3）进行图形相乘，则得：）进行图形相乘，则得：ABDCI2Ill1iP PMiM232qlqlq第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算1.1.必须符合上述图乘的三个条件；必须符合上述图乘的三个条件；2.2.纵坐标值纵坐标值y y0 0应从直线图形上取得；应从直线图形上取得；3.3.正负号：当两弯矩图在基线同侧取正，反之取负。正负号：当两弯矩图在基线同侧取正，反之取负。三、应用图乘法的注意点：三

34、、应用图乘法的注意点：二、图乘法所满足的条二、图乘法所满足的条件件 1. 1. 和和 两个弯矩图中至少有一个是直线图形两个弯矩图中至少有一个是直线图形（ 总是直线或折线总是直线或折线）；）； PMiMiM2.2.杆轴为直线；杆轴为直线；3.3.杆件抗弯刚度杆件抗弯刚度EIEI为常数。为常数。复习复习:一、图乘法公式一、图乘法公式 piPiMMdxEI0yEI第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算二次抛物线二次抛物线：=2hl/33l/4l/4二次抛物线二次抛物线：=hl/3顶点顶点lh2l/3l/3=hl/2(a+l)/3(b+l)/3=hl/2labh四、几种常见图形

35、的面积及其形心位置四、几种常见图形的面积及其形心位置h第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算5l/83l/8二次抛物线二次抛物线：=2hl/34l/5l/5h三次抛物线三次抛物线=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线次抛物线=hl/(n+1)顶点顶点顶点顶点注：图中所示抛物线均为标注：图中所示抛物线均为标准抛物线，即顶点处的切线准抛物线，即顶点处的切线与基线平行。与基线平行。h顶点顶点四、几种常见图形的面积及其形心位置四、几种常见图形的面积及其形心位置第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算B求求1ABmkN 20mkN 40

36、m10EI4020MPABmkN 20ABmkN 4040203/23/1)(3500)3120102132401021(1EIEIBMi五、图乘法应用时的几种常见简化方式五、图乘法应用时的几种常见简化方式第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算B求求1ABmkN 20mkN 40m10EI4020MPMi3/22/1)(3500)21201032201021(1EIEIB)(3500)322020(110211EIEIB当两个图形均为直线当两个图形均为直线图形时图形时, ,取哪个图形的取哪个图形的面积均可。面积均可。第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的

37、位移计算21112(2 2 23411111)2 2242 2 234()16BlPlEIlPllPlPlEI 4/PlMPB求求12111()()24216BPlPllEIEI 取取y y0 0的图形必的图形必须是直线须是直线, ,不能是曲不能是曲线或折线线或折线. .AB2/ lEI2/ lP2/1能用能用 M Mi i图面积乘图面积乘M MP P图竖标吗图竖标吗? ?Mi第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算B求求1ABmkN 20mkN 40m10EIMP)(100)203260(110211EIEIB)(100)21102032601021(1EIEIB402

38、060204020112(104023111002010)()23BEIEIMi第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算1MP)(24)1322EIqlqllqllEIBAB4/2qllEIq42ql8/2qlq8/2qlMiB求求第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算C求求C C截面竖向位移截面竖向位移MP)(404819)16332323421163218)4/(432163323234321163218)4/3(4332(142222EIqllqllllqllqllllqlEIB16/3l8/2ql4/3l4/ lA

39、BEIqC1P32/32qlq32/32ql4/3lq32/32qlq32/32ql4/ lq32/32ql8/) 4/3 (2lq8/) 4/(2lqMi第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算 例例6-86-8：图示梁：图示梁EIEI 为常数，求为常数，求C C点竖向位移。点竖向位移。iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C220311 33()3824 22845( )128CyqllllqllEIEIqlEI8/2ql20311132221()24cyqlllEIEIqlEI 第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算32/2qliM

40、2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C0222412112(3 2322 22 223 211)2 283 217( )384cyEIlqlllqllEIlqllqlEI 8/2qlq8/2ql2/2ql2/2ql8/2ql 例例6-86-8：图示梁：图示梁EIEI 为常数，求为常数，求C C点竖向位移。点竖向位移。第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算02224113121()3 284 22 243 2282 217( )384cyEIlqlllqlllqllEIqlEI q8/2ql4/2ql2/ql8/2ql8/2ql 例例6-86-8：图示梁：图示梁E

41、IEI 为常数，求为常数，求C C点竖向位移。点竖向位移。iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C8/2qlq8/2ql2/qlAC第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算例：试求等截面简支梁例：试求等截面简支梁C C截面的转角。截面的转角。 ql/5 4l/52ql2/25ql2/8MP11/54/51=M0222312138212(125252(5)1)35833()100CyE IqllE Ilqllq lqlE I 11C第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算122Faqa22Faqaa练习：求图示梁在已知荷载作用下，练习：求图示

42、梁在已知荷载作用下，A A截面的角位截面的角位移移 ，及，及C C截面的竖向线位移截面的竖向线位移 。EIEI为常数。为常数。AVCiMaaABCqF解：解：1 1）建立虚设状态，如图）建立虚设状态，如图c)c)、d d）；）；PM28qaiM1iM 1iP ) a) b) c) d2 2）分别作荷载和单位力作用）分别作荷载和单位力作用下的弯矩图；下的弯矩图；3 3）图乘：）图乘：2231111()2231()()612Aa FaqaEIFaqaEI 第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算22341122 ()223382127()( )3224VCaaaqaaFaqa

43、EIFaqaEI22Faqa22FaqaFM28qaaiM1iF练习：求图示梁在已知荷载作用下，练习：求图示梁在已知荷载作用下，A A截面的角位截面的角位移移 ，及，及C C截面的竖向线位移截面的竖向线位移 。EIEI为常数。为常数。AVC第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算 杆件温度变化时，静定结构不会引起内力，但材料杆件温度变化时，静定结构不会引起内力，但材料会发生膨胀和收缩，从而引起截面的应变，使结构产生会发生膨胀和收缩，从而引起截面的应变，使结构产生变形和位移。变形和位移。BA01t c02t c上边缘温度上升上边缘温度上升 ，下边缘温度上升下边缘温度上升 。

44、1ot C2ot C6-7 6-7 静定结构由于温度改变引起的位移计算静定结构由于温度改变引起的位移计算BAit1iP 则由虚功原理则由虚功原理(6-11)(6-11)，有：，有：1ititititM dN dV d （A A）假设假设 。21tt第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算形心轴处的温度形心轴处的温度112210121ht ht htttthh当当 时时12hh0122ttt材料线膨胀系数材料线膨胀系数 ，则微段，则微段 的变形的变形ds0tdt ds 21ttttddsdshhBAds01t c02t c2t ds1t dsdt2hds1th1h2t温度沿

45、截面厚度为线性分布，温度沿截面厚度为线性分布，变形后，截面保持为平面。变形后，截面保持为平面。温度变形包括沿轴线方向拉温度变形包括沿轴线方向拉伸变形伸变形 和截面转角和截面转角 。tdtd不产生剪切变形不产生剪切变形0tt dsdtd0td第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算将上式代入（将上式代入（A A）式可得式）式可得式( 6-22 )( 6-22 )：0itiitMdsNt dsh 正负号规定：正负号规定： 轴力轴力 以拉为正，以拉为正，iN以温度升高为正以温度升高为正0t 与与 引起的弯曲为同一方向时，其乘积为正；反之为负。引起的弯曲为同一方向时，其乘积为正；

46、反之为负。iM t0iiitiMtNtlh对于直杆：对于直杆：iiMiiM dsN dsNl则有：则有：BAds01t c02t c2t ds1t dsdt2hds1th1h2t0tt dsdtd第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算一、位移计算公式一、位移计算公式 0(623)iiitMtNt lh ：材料的线膨胀系数。：材料的线膨胀系数。 ：杆件截面两侧的温度改变之差（：杆件截面两侧的温度改变之差（计算时取绝对值计算时取绝对值）。）。 如果，温度差如果，温度差 ，则只有轴力项。，则只有轴力项。 t0t ：分别表示结构作用虚设单位力时的轴力和弯矩：分别表示结构作用虚设

47、单位力时的轴力和弯矩图的面积。图的面积。 ,iiMNt t0 0 ：形心轴线处温度：形心轴线处温度, ,当杆件截面对称于形心轴时，当杆件截面对称于形心轴时， 122ttt正负规定正负规定: :实际温度变化引起的变形和虚拟单位力引起的实际温度变化引起的变形和虚拟单位力引起的变形相同取正，反之取负。变形相同取正，反之取负。第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算二、桁架，在温度改变时，其位移公式为二、桁架，在温度改变时，其位移公式为 ： iiitttNlNl 三、桁架装配误差，引起的位移计算公式，与温度变三、桁架装配误差，引起的位移计算公式，与温度变化时相似化时相似: : i

48、iNl 为虚设单位力状态中各杆轴力，以拉为正；为虚设单位力状态中各杆轴力，以拉为正； 为杆件的制造误差，伸长为正，缩短为负。为杆件的制造误差，伸长为正，缩短为负。liN第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算 例例6-96-9：求图示刚架：求图示刚架K K点的竖向位移。各杆截面相同，点的竖向位移。各杆截面相同，为矩形截面。为矩形截面。0( 2 )22tttt ( 2 )3tttt ,0iK ViMtNt lh233 1(2)2 1(2)202tltltll 3594tliM1iP iN1iP l1120hl2t2t2tt2l2llK第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚

49、功原理和结构的位移计算练习：求图示刚架练习：求图示刚架C C点的竖向位移。各杆截面为矩形点的竖向位移。各杆截面为矩形, ,高高h。LL01010C C1L LNP=1P=1MP=1P=1010052tC10010tC0iciMtNt lh 210 3( 15)2LLh 35(1)LLh第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算计算公式可简写为计算公式可简写为: :(6 - 26)iCRc K Kk1c2c3cKK K1R2R3R6-8 6-8 静定结构由于支座移动引起的位移计算静定结构由于支座移动引起的位移计算 静定结构支座移动时不产生内力和静定结构支座移动时不产生内力和变形，只产生变形，只产生刚体位移刚体位移。 刚体虚功原理：刚体虚功原理：给平衡体系以任何给平衡体系以任何微小的刚性位移，微小的刚性位移，作用于体系上所有外作用于体系上所有外力所作虚功之和等于零。力所作虚功之和等于零。iCPi=1120T11223310iCR cR cR c 1 12233()iCR cR cR c 第六章第六章 虚功原理和结构的位移计算虚功原理和结构的位移计算 例例6-11: 6-11: 图图6-35a6-35a所示刚架，右支座的水平移所