晶格振动模式密度

1、回顾晶格比热的模型杜隆杜隆- -柏替定律柏替定律爱因斯坦模型爱因斯坦模型德拜模型德拜模型实验规律：实验规律：室温或更高温度段室温或更高温度段Cv=3NkB； 低温段低温段符合符合T3规律；规律； 零点零点T趋近于零时，趋近于零时，Cv趋近于零。趋近于零。理论模型：理论模型：)()()(12112133TkDTkjjNjNjjBBjegdEeTEE 弹性波的色散关系弹性波的色散关系(q)(q)=Cq晶格振动的色散关系晶格振动的色散关系(q)不同体系不同结论不同体系不同结论cosaqmw122 w q()q0.500.5 (q)德拜德拜近似近似q关系关系3-9晶格振动模式密度晶格振动模式密度 为准

2、确地求出晶格热容及它与温度的变化为准确地求出晶格热容及它与温度的变化关系，必须较准确的办法计算出晶格振动关系，必须较准确的办法计算出晶格振动的模式密度（的模式密度（或称频率分布函数或称频率分布函数）。）。 一般来说，一般来说，与与q之间的关系是复杂的，除之间的关系是复杂的，除非在一些特殊情况下，得不到非在一些特殊情况下，得不到g()解析表解析表达式。达式。模式密度的定义及计算方法模式密度的定义及计算方法1、定义：定义：单位频率间隔内的模式数目，用单位频率间隔内的模式数目，用g()来来表示。表示。2、计算方法：计算方法：若若设设n=g() 表示表示到到+ 范围范围内的晶格振动模式数，则定义：内的

3、晶格振动模式数，则定义：(1) n=(q空间中格波分布密度空间中格波分布密度)(频率为频率为q到到q+ q的等的等频面间的体积频面间的体积)；(2) q空间中格波分布密度分别为：空间中格波分布密度分别为： 2L22 )( A32 )( V一维：一维： 二维：二维： 三维：三维： ng0 lim)(晶格振动模式密度晶格振动模式密度g()的一般表达式的一般表达式考虑三维情况，写出一般表达式。jjjqjjqjjqjggqdsVgqddsVnqdqdsdqVn)()()()()()()()()( 333222 qxqyqzdsdq3、举例求解g() 例一、一维单原子链的g g()。2221221112

4、2121122 mmmNaqNgaaqLddqdqdnddngdqLdnsin)(cos)(已知：L=Na，q分布密度为分布密度为L/2；aqaqmm21214sinsin 例二、Debye模型的计算对于对于Debye模型有：模型有：gD ()= gl ()+2 gt ()。Debye模型的色散关系是：模型的色散关系是：l=Cl q; t=Ct q3222332422lllqllCVdqCdqqVqdsVddng )()()()(lllllCqdqCdqC 3222332422tttqttCVdqCdqqVqdsVddng )()()()(322332222122CVCCVgggtltlD )

5、()()()(例三、给定=Cq2，求一维、二维及三维情况的g()解：（1）三维情况q空间的等频面为球面，球半径为Cq 3223322422CVCqqVqdsVddngq )()()()()(2422qsdCCCqdqdqq )(xqyqqzq例三例三解：（2）二维情况q空间的等频面为圆形，圆半径为Cq CACqqVqdLAddngq 4222222)()()()(qLdCCCqdqdqq 222)(xqyqq例三例三解：（3）一维情况q空间有两个等频点； CLCqLqdqLddngq222122)()()()(222qdCCCqdqdqq )(q0qq可见可见，在三维、二维和一维情况下模式密度

6、函数分别与在三维、二维和一维情况下模式密度函数分别与的的1/2，0，-1/2次方成比例。次方成比例。4、范霍夫奇点例：例：一维单原子情况分析2212 mNg)(一维单原子情况：当当 mm= = 时，将会如何呢？时，将会如何呢？范霍夫奇点定义2212 mNg)(一维单原子情况：显然：当显然：当 m时，时，g() g() 。即即 m为为一维单原子情况的范霍夫奇点。一维单原子情况的范霍夫奇点。0)(qq 定义：在(q)对对q的梯度为零的点，的梯度为零的点， (q)显显示出某种奇异性，即示出某种奇异性，即 ，称这样的，称这样的点为范霍夫奇点点为范霍夫奇点(又称临界点又称临界点) 例如：例如：一维单原子情况的范霍夫奇点。一维单原子情况的