计算固体计算力学第二章非线性方程组的解法

1、计算固体计算力学计算固体计算力学 1计算固体计算力学计算固体计算力学 2第二章第二章 非线性方程非线性方程( (组组) )的常用解法的常用解法计算固体计算力学计算固体计算力学 3计算固体计算力学计算固体计算力学 4计算固体计算力学计算固体计算力学 5计算固体计算力学计算固体计算力学 610 )( Raninaa max 2/1T)(nnnaaa 10 nnaa计算固体计算力学计算固体计算力学 7，对于单变量问题的非线性方程，直接迭代法的计算过对于单变量问题的非线性方程，直接迭代法的计算过程如图程如图1所示。图上给出的是所示。图上给出的是P aK a a( )( )和和a 之间的关系，而不是之间

2、的关系，而不是K a( ) 和和a之间的关系之间的关系计算固体计算力学计算固体计算力学 8，计算固体计算力学计算固体计算力学 9计算固体计算力学计算固体计算力学 10计算固体计算力学计算固体计算力学 11计算固体计算力学计算固体计算力学 12计算固体计算力学计算固体计算力学 13nnTa aKa满足收敛性满足收敛性;计算固体计算力学计算固体计算力学 14计算固体计算力学计算固体计算力学 151pnnaaaa计算固体计算力学计算固体计算力学 16计算固体计算力学计算固体计算力学 17)()(,(1nkjijnnjiiaaak 计算固体计算力学计算固体计算力学 18ln peW计算固体计算力学计算

3、固体计算力学 1910T)(aKan )( na )( na计算固体计算力学计算固体计算力学 20计算固体计算力学计算固体计算力学 21( )(.)aaa100019002aann1108使用修正的牛顿使用修正的牛顿法求解非线性方法求解非线性方程组，虽然程组，虽然每一步迭代所花每一步迭代所花费的计算时间减费的计算时间减少了，但迭代过少了，但迭代过程的收敛速度也程的收敛速度也降低了，仅为线降低了，仅为线性敛速。性敛速。计算固体计算力学计算固体计算力学 22搜索办法搜索办法在算出 an后，新的近似解由下式给出aaaininni1 （i= 1,2,N）n其中 是大于1的正数，它称为过量修正因子过量修

4、正因子。 ( )a()0knnniiiaaa确定确定n的的一维搜索办法一维搜索办法。将 看做N 维空间中的搜索方向，我们希望在该方向上找到一个更好的近似值，即找到一个 式中的最好的 值。虽然沿这一方向，不能期望求得精确解，但我们可以迭择因子 (在搜索问题中称为步长因子步长因子)，使在搜索方向上 的分量为零，即 anaaaininni1nn 上式是一个关于上式是一个关于 的单变量非线性方程。通常可用一些的单变量非线性方程。通常可用一些 比较简单的方法来估算出比较简单的方法来估算出 的大小。的大小。nn计算固体计算力学计算固体计算力学 23在算出 an后，新的近似解由下式给出1a其中 是大于是大于

5、1的正数，的正数，它称为加速因子它称为加速因子。计算固体计算力学计算固体计算力学 24计算固体计算力学计算固体计算力学 25计算固体计算力学计算固体计算力学 26计算固体计算力学计算固体计算力学 27111111,0,1,2,nnnnnnnnnnnnaaKaKaaaanKKK计算固体计算力学计算固体计算力学 28计算固体计算力学计算固体计算力学 29( )(.)aaa100019002aann61 10 计算固体计算力学计算固体计算力学 30( )(.)aaa100019002aann61 10 计算固体计算力学计算固体计算力学 31 使用某种算法的计算效率，除了与收敛速度有使用某种算法的计算

6、效率，除了与收敛速度有关外，还与每一步迭代所花费的计算量有关。关于关外，还与每一步迭代所花费的计算量有关。关于每步的计算量，牛顿法最大，而修正牛顿法最小。每步的计算量，牛顿法最大，而修正牛顿法最小。因此在实际问题的计算中判断使用哪种方法效率较因此在实际问题的计算中判断使用哪种方法效率较高，往往需要进行数值实验。总的看来，不同的算高，往往需要进行数值实验。总的看来，不同的算法可能适用于不同的问题。选用哪种算法，与所研法可能适用于不同的问题。选用哪种算法，与所研究问题的性质究问题的性质 ( (例如，对线性的偏离程度例如，对线性的偏离程度) )、规模、规模 ( (离散的自由度总数离散的自由度总数)

7、) 以及容许误差等因素有关以及容许误差等因素有关。计算固体计算力学计算固体计算力学 32计算固体计算力学计算固体计算力学 330 ,),( aaa1T( ,) aKaR计算固体计算力学计算固体计算力学 3410210 M计算固体计算力学计算固体计算力学 35计算固体计算力学计算固体计算力学 36自修正算法自修正算法)(),(1TmmmmaPRKammmaaa1),(mmmaP0 ,),( aaa ) ,(1TRaKam使用这种改进使用这种改进的算法，对于的算法，对于每一增量步都每一增量步都相当于做一次相当于做一次修正修正。计算固体计算力学计算固体计算力学 37)()(1TnmmnmnmPRKa

8、nmnmnmaaa11),(mnmnmaP 计算固体计算力学计算固体计算力学 38)()(1TnmnmnmnmPRKanmnmnmnmuaaaa1),(nmnmnmaP 计算固体计算力学计算固体计算力学 39Rimaimijiur uuuRimaimijiur111 Rimaimiiijiarrr111 2212 iimmrrlmimimaau 1 mimimaau 21 11 imimimauu 计算固体计算力学计算固体计算力学 402222()() iiiiimmrrrul212() () iiiiirrrrrlaimimRimaimiuajia)2()(111 0)2(1 Rimimj RKimi1T1)( 0)2( iiirrr imimiPK1T2)( 121111 iimiima)()(1TnmnmnmnmPRKa计算固体计算力学计算固体计算力学 4102)(121 cbaimim )()(111T11 iia 12T11)()(imiiimub 12T122)()(imiiuc im 计算固体计算力学计算固体计算力学 420 iirr irir 1 im 计算固体计算力学计算固体计算力学