线性时不变系统湘潭大学信号与系统课件期末复习综述

1、2022-7-2Signals & Systems12.0 2.0 引言引言2.1 2.1 离散时间离散时间LTILTI系统：卷积和系统：卷积和2.2 2.2 连续时间连续时间LTILTI系统：卷积积分系统：卷积积分2.3 2.3 线性时不变系统的性质线性时不变系统的性质2.4 2.4 用微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果LTILTI系统系统第第2 2章章 线性时不变系统线性时不变系统Linear Time-Invariant SystemsLinear Time-Invariant Systems2022-7-2Signals & Systems2时域描述方法时域描述方法 卷

2、积和、卷积积分卷积和、卷积积分 常系数线性微分方程、差分方程常系数线性微分方程、差分方程 方框图法方框图法 状态变量法状态变量法2022-7-2Signals & Systems32.0 Introduction2.0 Introduction 基本思想：基本思想： 如果能把任意输入信号分解成基本信号的线性组合，那如果能把任意输入信号分解成基本信号的线性组合，那么只要得到了么只要得到了LTI系统对基本信号的响应，就可以利用系系统对基本信号的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任意输入信号产生的响应表示成统的线性特性，将系统对任意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响应的线性组合。系统对

3、基本信号的响应的线性组合。 由于由于LTI系统满足齐次性和可加性，并且具有时不变性系统满足齐次性和可加性，并且具有时不变性的特点，因而为建立信号与系统分析的理论与方法奠定了的特点，因而为建立信号与系统分析的理论与方法奠定了基础。基础。( )( )kkkx ta x t( )( )kkky ta y t2022-7-2Signals & Systems4 研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任 意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线性组合来构成任意信号；线性组合来构成任意信号； 如何得到如何得到LTI系

4、统对基本单元信号的响应。系统对基本单元信号的响应。基本单元信号应满足的要求：基本单元信号应满足的要求： 本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示（构成）尽可能广泛的其它信号；（构成）尽可能广泛的其它信号； LTI系统对这种信号的响应易于求得。系统对这种信号的响应易于求得。问题的实质：问题的实质：2022-7-2Signals & Systems52.1 离散时间LTI系统：卷积和2.1.1 2.1.1 用单位脉冲表示离散时间信号用单位脉冲表示离散时间信号 kx nx knk 0ku nnk2022-7-2Signals & Systems62.1.2

5、 2.1.2 离散时间离散时间LTILTI系统的单位脉冲系统的单位脉冲响应及卷积和表示响应及卷积和表示 nh nnkh nk kx nx knkTime-Invariant PropertyUnit Impulse Response ky nx k h nkx nh nLinear Property卷积和（卷积和（convolution sum）2022-7-2Signals & Systems70n)(n0n)(nhLTI系统)(n)(nh112345一个一个LTI系统可以完全由它的单位脉冲响应来表征。系统可以完全由它的单位脉冲响应来表征。 x n y nx nh n2022-7-2Sign

6、als & Systems82022-7-2Signals & Systems92022-7-2Signals & Systems10卷积和的计算卷积和的计算1 12y nx nx n x nn1, n=011 1, n=1220, othersh nnn2, n=04, n=1 -2, n=20, othersx n 2 4 12 2x nnnn 2 4 12 2y nh nh nh n0, n02, n=05, n=1 0, n=21, n=30, n4y n1 1、解析法；、解析法；2 2、图解法、图解法Example: 2022-7-2Signals & Systems11 ky nx

7、 k h nk nkx k h nk shift,n0lefth nkhkright nky nk图解法的思想：图解法的思想：反转、平移、反转、平移、相乘、求和相乘、求和2022-7-2Signals & Systems12卷积和图解法的计算过程：卷积和图解法的计算过程：（1）以）以k作为自变量，画出作为自变量，画出 的信号波形。的信号波形。（2）从）从n等于负无穷开始，也就是将等于负无穷开始，也就是将 向时间轴左端远向时间轴左端远处平移。处平移。（3）写出中间信号）写出中间信号 的数学表达式。的数学表达式。（4）增加时移量）增加时移量n，也就是将，也就是将 向右移动，直到向右移动，直到 的数

8、学表达式出现变化。出现变化时所对应的的数学表达式出现变化。出现变化时所对应的n值标志着现在值标志着现在区间的结束以及下一个新区间的开始。区间的结束以及下一个新区间的开始。（5）对新区间中的）对新区间中的n，重复步骤，重复步骤3和和4，直到所有时间区间被划，直到所有时间区间被划分，对应的分，对应的 数学表达式被确定。数学表达式被确定。（6）在每个时间区间，将相应的）在每个时间区间，将相应的 对对k求和，得到该区求和，得到该区间的输出间的输出 。 , x k hkhk nkh nk nk y n nk nk2022-7-2Signals & Systems13例例2.1： yn= 0 01 1 =

9、0.5 2 1xh nxh nh nh n2022-7-2Signals & Systems14例例2.2：2022-7-2Signals & Systems1510( )( )( )( ) ()( ) ()1( )1kkknnkky nx nh nx k h nku k u nku n01k( )( )kx ku k.01nk()()h nku nk例例2.3： ( )( )nx nu n01( )( )h nu n2022-7-2Signals & Systems16例例2.4： 104( )0nx notherwise1,06( )0nnh notherwise0n6n 014( )x

10、kkk()n kh nk2022-7-2Signals & Systems17 时时0n ( )0y n 2022-7-2Signals & Systems18 时时04n00(1)11( )1111nn kknnkknnny n2022-7-2Signals & Systems19 时时46n405141( )111n kknnny n2022-7-2Signals & Systems20 时时610n4647( ) 1n kk nny n 2022-7-2Signals & Systems21 时时10n ( )0y n 2022-7-2Signals & Systems222022-7-

11、2Signals & Systems23例例2.5： 2nx nun h nu n2022-7-2Signals & Systems242.2.1 2.2.1 用冲激表示连续时间信号用冲激表示连续时间信号 与离散时间信号分解的思想相一致，连续与离散时间信号分解的思想相一致，连续时间信号应该可以分解成一系列移位加权的时间信号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信号的线性组合。单位冲激信号的线性组合。2.2 2.2 连续时间连续时间LTILTI系统：卷积积分系统：卷积积分0( )( )()tu tdtd 2022-7-2Signals & Systems25引用引用 ，即：，即：( ) t1/0

12、( )0ttotherwise 则有则有：10( )0ttotherwise ( )x t0k(1)k t()x k( )xt 对一般信号对一般信号 ，可以将其分成，可以将其分成很多很多 宽度的区段，用一个阶梯信宽度的区段，用一个阶梯信号号 近似表示近似表示 。当。当 时时，有有( )x t( )x t0( )( )xtx t( )x t2022-7-2Signals & Systems26 第第 个矩形可表示为：个矩形可表示为： 这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号 ， 即：即：k()()x ktk ( )xt( )()()kxtx ktk 表明：表明：任何连续时

13、间信号任何连续时间信号 都可以被分解成移位都可以被分解成移位加权的单位冲激信号的线性组合。加权的单位冲激信号的线性组合。 ( )x t( )( ) ()x txtd 于是：于是：当当 时，时，0 k ()()tkt d ( )( )x tx t2022-7-2Signals & Systems272.2.2 2.2.2 连续时间连续时间LTILTI系统的单位冲系统的单位冲激响应及卷积积分表示激响应及卷积积分表示卷积积分卷积积分convolution integral( )( ) ()x txtd ( )( )th t()()th t( )x t( )( ) ()( )( )y txh tdx

14、th tUnit Impulse ResponseTime-Invariant PropertyLinear Property2022-7-2Signals & Systems280t)(t(1)0t)(thLTI系统)(t)(th( )x t( )( )( )y tx th t2022-7-2Signals & Systems29(2)(2)卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应h(t)h(t)建立了响应建立了响应y(t)y(t)与激励与激励x(t)x(t)之间的关系。之间的关系。 (3)(3)卷积是数学方法，也可运用于其他学科。卷积是数学方法，也可

15、运用于其他学科。一般数学表示：一般数学表示： d)()()(21tfftg(4)(4)积分限由积分限由 存在的区间决定，即由存在的区间决定，即由 的范围决定。的范围决定。 )(),(21tftf0)()(21 tff(1)(1)t t ：观察响应的时刻，是积分的参变量；：观察响应的时刻，是积分的参变量； : : 信号作用的时刻，积分变量信号作用的时刻，积分变量 从因果关系看，必定有从因果关系看，必定有 t y txh td对卷积积分的几点认识对卷积积分的几点认识2022-7-2Signals & Systems30卷积积分的性质：卷积积分的性质：2022-7-2Signals & System

16、s31(t t1)f (t)f (tt1)延时 t1f (t)f (tt1)u(t)f (t)y (t)f (t)y (t)( )( )( )f ttf t11( )()()f tttf ttdftutf)()()( ) ()( )ftdf t ( ) ()( )fu tdfd2022-7-2Signals & Systems32求解卷积的方法：求解卷积的方法：（1 1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。（2 2）图解法，特别适用于求某时刻点上的卷积值。）图解法，

17、特别适用于求某时刻点上的卷积值。（3 3）利用性质）利用性质, ,比较灵活。比较灵活。( )( ) ()( )ty txh tdd ( )( ) ()txh t 图解法思想：图解法思想：2022-7-2Signals & Systems33卷积积分的图解法计算过程：卷积积分的图解法计算过程：（1 1）以）以 作为自变量，画出作为自变量，画出 的信号波形。的信号波形。（2 2）从）从t t等于负无穷开始，也就是将等于负无穷开始，也就是将 向时间轴左端远处平移。向时间轴左端远处平移。（3 3）写出中间信号）写出中间信号 的数学表达式。的数学表达式。（4 4）增加时移量）增加时移量t t，也就是将，

18、也就是将 向右移动，直到向右移动，直到的数学表达式出现变化。出现变化时所对应的的数学表达式出现变化。出现变化时所对应的t t值标志着现在区间的值标志着现在区间的结束以及下一个新区间的开始。结束以及下一个新区间的开始。（5 5）对新区间中的）对新区间中的t t，重复步骤，重复步骤3 3和和4 4，直到所有时间区间被划分，对，直到所有时间区间被划分，对应的应的 数学表达式被确定。数学表达式被确定。（6 6）在每个时间区间，将相应的）在每个时间区间，将相应的 对对t t求积分，得到该区间的求积分，得到该区间的输出输出 。( ), ()xh()h()h t( )y t( )t ( )t ( )t (

19、)t 2022-7-2Signals & Systems340( )( )( )( ) ()( ) ()atay tx th txh teuu tdedt01()u t01( )x例例2.6: : ( )( ),0atx teu ta( )( )h tu t0:t 1( )(1) ( )aty teu ta2022-7-2Signals & Systems35例例2.7 : : 10( ) 0tTx totherwise 02( ) 0ttTh totherwise ( )( )( )( ) ()() ( )y tx th txh tdx thd 当当 时，时，0t ( )0y t 当当 时，

20、时，0tT 201( )2ty tdt 当当 时，时，2TtT 21( )2tt Ty tdTtT 当当 时，时，23T tT 2221( )2()2Tt Ty tdTtT 当当 时，时，3tT( )0y t 02T2T( )h()x t01tTt新新解：解：2022-7-2Signals & Systems36212T232TT3T2T0t( )y t2022-7-2Signals & Systems37例例2.8: : 2( )()tx te ut( )(3)h tu t322(3)130 y(t)=2ttte de02130 y(t)=2te d 2022-7-2Signals & Sy

21、stems38Tasks 2.3 2.22：a，c 学习报告学习报告(学习组为单位学习组为单位)：阅读文：阅读文献、专著和网络查询，描述卷积运献、专著和网络查询，描述卷积运算的物理意义和应用（列出引用文算的物理意义和应用（列出引用文献）献）2022-7-2Signals & Systems392.3 2.3 线性时不变系统的性质线性时不变系统的性质（ Properties of Linear Time-Invariant SystemsProperties of Linear Time-Invariant Systems）( )( ) ()( )( )y txh tdx th t ky nx

22、k h nkx nh n2022-7-2Signals & Systems40 kky nx nh nx k h nkx nk h kh nx n1 1、交换律、交换律( )( )( )( ) ()() ( )( )( )y tx th txh tdx thdh tx t一、卷积积分与卷积和的性质一、卷积积分与卷积和的性质( )x t( )y t( )h t y n h n( )h t( )y t( )x t h n x n y n x n2022-7-2Signals & Systems41 x n 12h nhn 12y nx nh nhn( )x t12( )( )h th t12( )

23、( ) ( )( )y tx th th t x n 1h n 2h n 1x nh n 2x nh n y n( )x t1( )h t2( )h t( )y t2 2、分配律、分配律 12121212( ) ( )( )( )( )( )( )x nh nh nx nh nx nh nx th th tx th tx th t2022-7-2Signals & Systems42 两个两个LTI系统并联，其总的单位脉冲系统并联，其总的单位脉冲( (冲激冲激) )响应等响应等于各子系统单位脉冲于各子系统单位脉冲( (冲激冲激) )响应之和。响应之和。 1212x nxnh nx nh nxn

24、h n1212 ( )( )( )( )( )( )( )x tx th tx th tx th t2022-7-2Signals & Systems433 3、结合律、结合律 12121212 ( )( )( )( ) ( )( )x nh nh nx nh nh nx th th tx th th t( )x t1( )h t2( )h t1( )( )x th t12( ) ( )( )( )y tx th th t x n 1h n 2h n 12yxhnnhnn12( )( )h th t( )x t( )x n12( )( ) ( )( )y tx th th t12( )( )

25、( )( )y nx nh nh n12( )( )h nh n2022-7-2Signals & Systems44 12211221( )( )( )( )( )( )x nh nh nx nh nh nx th th tx th th t x n y n 1hn 2hn( )x t( )y t1( )h t2( )h t x n y n 2hn 1h n( )x t( )y t1( )h t2( )h t产生以上结论的前提条件：产生以上结论的前提条件：系统必须是系统必须是LTI系统；系统；所有涉及到的卷积运算必须收敛。所有涉及到的卷积运算必须收敛。2022-7-2Signals & Sy

26、stems45如如：( )x t平方平方乘乘22( )2( )y tx t( )x t乘乘2平方平方2( )4 ( )y tx t若交换级联次序，即成为：若交换级联次序，即成为：显然与原来是不等价的。因为系统不是显然与原来是不等价的。因为系统不是LTI系统。系统。2022-7-2Signals & Systems462 h n1 h n3 h n4 h n y n x n -1 h nu n2 2 h nu nu n4 nh na u n3 2h nn1234 h nh nh nh nh n2u n u n(1) na u n2022-7-2Signals & Systems472( )h t

27、1( )h t5( )h t3( )h t( )y t( )x t4( )h t14235( )( )( )( )( )( )h th th th th th t2022-7-2Signals & Systems484、卷积运算其它性质：卷积运算其它性质：000()( )( )()()x t thtx tht ty t t( )( )( )x th ty t( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )tttx th tx th ty txdh tx thdyd卷积积分满足微分、积分、时移特性卷积积分满足微分、积分、时移特性2022-7-2Signals & Systems49

28、000()( )( )()()x nnh nx nh nny nn卷积和满足差分、求和、时移特性卷积和满足差分、求和、时移特性( )( )( )x nh ny n( )( )( ) ( )( )nnnkkkx kh nx nh ky k ( )(1)( )( )( )(1)( )(1)x nx nh nx nh nh ny ny n2022-7-2Signals & Systems50二、二、LTI系统的性质系统的性质1、记忆性记忆性 ky nx k h nk则在任何时刻则在任何时刻 ， 都只能和都只能和 时刻的输入有关，时刻的输入有关，和式中只能有和式中只能有 时的一项为非零，因此必须有：时

29、的一项为非零，因此必须有： 根据根据 ，如果系统是无记忆的，如果系统是无记忆的，n y nnkn0,h nkkn即：即： 0,0h nn( )0,0h tt2022-7-2Signals & Systems51所以，无记忆系统的单位脉冲所以，无记忆系统的单位脉冲/冲激响应为：冲激响应为： ( )( )h nknh tkt ( )( )( )( )y nx nh nkx ny tx th tkx t当当 时系统是恒等系统时系统是恒等系统1k ( )( )( )x nx nnx tx tt( )( ) ()x txtd kx nx knk2022-7-2Signals & Systems522、可

30、逆性可逆性 如果如果LTI系统是可逆的，存在一个逆系统，且逆系系统是可逆的，存在一个逆系统，且逆系统也是统也是LTI系统，它们级联起来构成一个恒等系统。系统，它们级联起来构成一个恒等系统。( )x t( )x t( )h t( )g t因此有：因此有： ( )( )( )h tg tth ng nn2022-7-2Signals & Systems53例如：例如：延时器是可逆的延时器是可逆的LTI系统系统0( )()h ttt0( )()g ttt00( )( )()()( )h tg tttttt 累加器是可逆的累加器是可逆的LTI系统系统 h nu n 1g nnn 11h ng nu n

31、nnu nu nn2022-7-2Signals & Systems543、因果性：因果性： 由由 ，当，当LTI系统是因果系统系统是因果系统时，在任何时刻时，在任何时刻 ，都只能取决于，都只能取决于 时刻及其时刻及其以前的输入，即和式中所有以前的输入，即和式中所有 的项都必须为零，的项都必须为零，即：即： ky nx k h nkn y nnkn0,h nkkn 0,0h nn或或: 对连续时间系统有对连续时间系统有: :这是这是LTI系统具有因果性的充分必要条件。系统具有因果性的充分必要条件。( )0,0h tt2022-7-2Signals & Systems55( )( ) ()y t

32、xh td ky nx k h nk( )( ) ()ty txh td nky nx k h nk2022-7-2Signals & Systems56线性系统的因果性等效于初始松弛的条件：线性系统的因果性等效于初始松弛的条件： 如果一个因果系统的输入在某个时刻点以前如果一个因果系统的输入在某个时刻点以前是是0 0，那么其输出在那个时刻以前也必须是，那么其输出在那个时刻以前也必须是0 0。 2 3y nx n松弛性：松弛性： 系统在时刻系统在时刻t0t0称为松弛的，当且仅当输出称为松弛的，当且仅当输出由输入由输入 唯一确定。从能量观点看，在时刻唯一确定。从能量观点看，在时刻t0t0不不存储能

33、量，则称系统在时刻存储能量，则称系统在时刻t0t0是松弛的。是松弛的。0( ,)y t 0( ,)x t 因果的、无记忆的，因果的、无记忆的，不是线性的，不满足不是线性的，不满足初始松弛的条件初始松弛的条件2022-7-2Signals & Systems57 ky nh k x nk若若 有界，则有界，则 若系统稳定，则要求若系统稳定，则要求 必有界必有界 x nx nkA y n kkky nh k x nkh kx nkAh k对连续时间系统对连续时间系统: ( )h t dt 这是这是LTI系统稳定的充分必要条件。系统稳定的充分必要条件。4、 稳定性：稳定性： nh n 对离散时间系统

34、对离散时间系统: :2022-7-2Signals & Systems58 01nnh nnn0( )()1hdtd ExampleExample：1 1、纯时移：、纯时移：2 2、累加器：、累加器： h nu n nnh nu n 稳定稳定不稳定不稳定2022-7-2Signals & Systems590( )( )hdudd 3 3、积分器：、积分器：不稳定不稳定y(t)=( )txdh(t)=( )( )tdu t 2022-7-2Signals & Systems602.3.8 LTI2.3.8 LTI系统的单位阶跃响应系统的单位阶跃响应单位阶跃响应：系统对单位阶跃响应：系统对 或或

35、 所产生的响应。所产生的响应。( )u t u n ( )( )( )s tu th ts nu nh n( )( )( )( )tds thdh ts tdt 1nks nh kh ns ns n)(tu0t0t1LTI系统)(tu)(tg)(tg2022-7-2Signals & Systems612.4 2.4 微分和差分方程描述的因果微分和差分方程描述的因果LTILTI系统系统系统数学模型：系统数学模型：连续时间系统连续时间系统线性常系数微分方程线性常系数微分方程离散时间系统离散时间系统线性常系数差分方程线性常系数差分方程Causal LTI Systems Described by

36、Differential and Causal LTI Systems Described by Differential and Difference Equations Difference Equations 对给定的具体系统物理模型，按照元件的约束特对给定的具体系统物理模型，按照元件的约束特性及系统结构的约束特性建立对应的方程。性及系统结构的约束特性建立对应的方程。（1）电路联接方式的约束）电路联接方式的约束: KCL、KVL（2）元器件伏安关系的约束）元器件伏安关系的约束: R L C2022-7-2Signals & Systems62 没有外加激励信号的作用，只由起始状没有外加激

37、励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。态（起始时刻系统储能）所产生的响应。 不考虑原始时刻系统储能的作用（起始不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。 也称固有响应，由系统本身特性决定，与也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关，对应于齐次解。外加激励形式无关，对应于齐次解。 形式取决于外加激励，对应于特解。形式取决于外加激励，对应于特解。(1)(1)自由响应：自由响应：强迫响应：强迫响应：(2)(2)零输入响应：零输入响应：零状态响应：零状态响应：各种系统响应定义各种系统响

38、应定义2022-7-2Signals & Systems632.4.1 2.4.1 线性常系数微分方程线性常系数微分方程（Linear Constant-Coefficient Differential Equation Linear Constant-Coefficient Differential Equation ）( )2 ( )( )dy ty tx tdt( )x t( )y tRLC( )1( )( )( )tdy tRy tLydx tdtC221( )( )( )( )dddy tRy tLy tx tCdtdtdt2022-7-2Signals & Systems64求解方

39、法：求解方法：齐次解齐次解 + + 特解特解变换域法变换域法利用卷积积分法求解利用卷积积分法求解零状态零状态利用经典法求解利用经典法求解零输入零输入零输入响应零状态响零输入响应零状态响应应经典法：经典法：解方程解方程列写方程列写方程: : : : :00( )( ),kkNMkkkkkkd y td x tabdtdt,kkab均为常数均为常数2022-7-2Signals & Systems65( )( )( )phy tyty t齐次解齐次解特解特解因果因果LTI系统的初始条件：初始松弛系统的初始条件：初始松弛(1)(0)0,(0)0,(0)0NyyyL L0000, ( ), ( )tx

40、 tty t 用常系数线性微分方程描述的系统只有在初始状态为用常系数线性微分方程描述的系统只有在初始状态为0 0的条件下，系统才是线性时不变的，而且是因果的。的条件下，系统才是线性时不变的，而且是因果的。初始状态不为初始状态不为0 0，则是非线性时变系统，非因果。，则是非线性时变系统，非因果。经典解法：经典解法：2022-7-2Signals & Systems662.4.2 2.4.2 线性常系数差分方程线性常系数差分方程(Linear Constant-Coefficient Difference Equation)(Linear Constant-Coefficient Differen

41、ce Equation) 1y nx nx n1 yn=( 12)3x nx nx n1 yn+ 12= 2 14y ny nx nx n1 1、由实际问题直接得到差分方程、由实际问题直接得到差分方程2 2、由微分方程导出差分方程、由微分方程导出差分方程差分方程来源：差分方程来源：2022-7-2Signals & Systems671 1、由实际问题直接得到差分方程、由实际问题直接得到差分方程例如：例如：y y( (n n) )表示一个国家在第表示一个国家在第n n年的人口数年的人口数a a( (常数常数) )：出生率：出生率b b( (常数常数): ): 死亡率死亡率x x( (n n)

42、)是国外移民的净增数是国外移民的净增数则该国在第则该国在第n n+1+1年的人口总数为：年的人口总数为：y(n+1)=y(n)+ay(n)-by(n)+x(n)=(a-b+1)y(n)+x(n)2022-7-2Signals & Systems682 2、由微分方程导出差分方程、由微分方程导出差分方程 TTtytytty dd TtyTtytty dd后差后差前差前差 tftaytty ddT : 时间间隔时间间隔 nynTyty nfnTftf nfnayTnyny 1 nfaTTnyaTny 1111 tftayTTtyty 2022-7-2Signals & Systems6901( )

43、( )( )( )tpDIde tu tKe te t dtTTdt01()(1) ()()()kPDjIe kTe kTu kTKe kTe jTTTT01( )(1)( )( )( )kPDjIe ke ku kKe ke jTTTPIDPID控制规律的数字化实现控制规律的数字化实现2022-7-2Signals & Systems70 一般的线性常系数差分方程可表示为：一般的线性常系数差分方程可表示为：00()()NMkkkka y nkb x nk求解方法：求解方法：（1 1）迭代法：）迭代法：包括手算逐次代入求解或利用计算机包括手算逐次代入求解或利用计算机求解，比较简单，但只能得到其

44、数值解，不能直接求解，比较简单，但只能得到其数值解，不能直接给出一个完整的解析式作为解答，适应差分方程阶给出一个完整的解析式作为解答，适应差分方程阶次较低时。次较低时。（2 2）时域经典法：）时域经典法：齐次解特解齐次解特解（3 3）零输入响应零状态响应）零输入响应零状态响应，利用卷积求系统的，利用卷积求系统的零状态响应零状态响应（4 4）变换域方法：）变换域方法：Z Z变换变换反变换反变换2022-7-2Signals & Systems71对于差分方程，还可以将其改写为：对于差分方程，还可以将其改写为：0101( )()()MNkkkky nb x nka y nka( 1), ( 2),

45、 ()yyyNL L(0),y( 1), ( 2), (1)yyyNL L若将差分方程改写为：若将差分方程改写为：递归方程递归方程recursive equation(1)y(0)y0n 的解的解1001()()()MNkkkkNy nNb x nka y nka(1), (2), ()yyy N(0),y(1), (2), (1)yyy N (0)y( 1)y 0n 的解的解2022-7-2Signals & Systems721 yn+ 12= 2 14y ny nx nx n1 yn= 2 1124x nx ny ny n1 y0= 02 1 1 24xxyy1 y1= 12 00 14

46、xxyy1 y2= 22 1104 xxyyExample：2022-7-2Signals & Systems73当当 时，差分方程变为：时，差分方程变为：0,0kak00( )()Mkkby nx nka非递归方程非递归方程 方程是一个卷积和的形式，方程是一个卷积和的形式， 是有限长的是有限长的, ,因而把这种方程描述的因而把这种方程描述的LTI系统称系统称为为FIR（Finite Impulse Response）系统。系统。 将递归方程描述的系统称为将递归方程描述的系统称为IIR（Infinite Impulse Response）系统系统, , 是一个无限长的序列。是一个无限长的序列。

47、0( ),0nbh nnMa( )h n( )h n FIR系统与系统与IIR系统是离散时间系统是离散时间LTI系统中两类系统中两类很很重要的系统，它们的特性、结构以及设计方法重要的系统，它们的特性、结构以及设计方法都存在很大的差异。都存在很大的差异。2022-7-2Signals & Systems74 用冲激响应和用微分或差分方程描述系统得用冲激响应和用微分或差分方程描述系统得到基本差别：到基本差别： 用冲激响应时不必提供初始条件，只适用于用冲激响应时不必提供初始条件，只适用于初始处于零状态或所有时间的输入均为已知的初始处于零状态或所有时间的输入均为已知的系统；系统； 用微分或差分方程描述

48、的系统则既适用于零用微分或差分方程描述的系统则既适用于零状态的系统也适用于非零初始条件的系统。状态的系统也适用于非零初始条件的系统。2022-7-2Signals & Systems752.4.3 2.4.3 由差分和微分方程描述的一阶由差分和微分方程描述的一阶LTILTI系统的方框图表示系统的方框图表示 由微分或差分方程描述的系统，其数学模型是由由微分或差分方程描述的系统，其数学模型是由一些基本运算来实现的，如果能用一种图形表示一些基本运算来实现的，如果能用一种图形表示方程的运算关系，就会更加形象直观；方程的运算关系，就会更加形象直观； 分析系统很重要的目的是为了设计或实现一个系分析系统很重要的目的是为了设计或实现一个系统统, 用图形表示系统的数学模型用图形表示系统的数学模型, 将对系