线性时不变系统湘潭大学信号与系统课件期末复习综述

1、2022-7-2Signals & Systems12.0 2.0 引言引言2.1 2.1 离散时间离散时间LTILTI系统：卷积和系统：卷积和2.2 2.2 连续时间连续时间LTILTI系统：卷积积分系统：卷积积分2.3 2.3 线性时不变系统的性质线性时不变系统的性质2.4 2.4 用微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果LTILTI系统系统第第2 2章章 线性时不变系统线性时不变系统Linear Time-Invariant SystemsLinear Time-Invariant Systems2022-7-2Signals & Systems2时域描述方法

2、时域描述方法 卷积和、卷积积分卷积和、卷积积分 常系数线性微分方程、差分方程常系数线性微分方程、差分方程 方框图法方框图法 状态变量法状态变量法2022-7-2Signals & Systems32.0 Introduction2.0 Introduction 基本思想：基本思想： 如果能把任意输入信号分解成基本信号的线性组合，那如果能把任意输入信号分解成基本信号的线性组合，那么只要得到了么只要得到了LTI系统对基本信号的响应，就可以利用系系统对基本信号的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任意输入信号产生的响应表示成统的线性特性，将系统对任意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号

3、的响应的线性组合。系统对基本信号的响应的线性组合。 由于由于LTI系统满足齐次性和可加性，并且具有时不变性系统满足齐次性和可加性，并且具有时不变性的特点，因而为建立信号与系统分析的理论与方法奠定了的特点，因而为建立信号与系统分析的理论与方法奠定了基础。基础。( )( )kkkx ta x t( )( )kkky ta y t2022-7-2Signals & Systems4 研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任 意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线性组合来构成任意信号；线性组合来构成任意

4、信号； 如何得到如何得到LTI系统对基本单元信号的响应。系统对基本单元信号的响应。基本单元信号应满足的要求：基本单元信号应满足的要求： 本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示（构成）尽可能广泛的其它信号；（构成）尽可能广泛的其它信号； LTI系统对这种信号的响应易于求得。系统对这种信号的响应易于求得。问题的实质：问题的实质：2022-7-2Signals & Systems52.1 离散时间LTI系统：卷积和2.1.1 2.1.1 用单位脉冲表示离散时间信号用单位脉冲表示离散时间信号 kx nx knk 0ku nnk2022-7-2Sig

5、nals & Systems62.1.2 2.1.2 离散时间离散时间LTILTI系统的单位脉冲系统的单位脉冲响应及卷积和表示响应及卷积和表示 nh nnkh nk kx nx knkTime-Invariant PropertyUnit Impulse Response ky nx k h nkx nh nLinear Property卷积和（卷积和（convolution sum）2022-7-2Signals & Systems70n)(n0n)(nhLTI系统)(n)(nh112345一个一个LTI系统可以完全由它的单位脉冲响应来表征。系统可以完全由它的单位脉冲响应来表

6、征。 x n y nx nh n2022-7-2Signals & Systems82022-7-2Signals & Systems92022-7-2Signals & Systems10卷积和的计算卷积和的计算1 12y nx nx n x nn1, n=011 1, n=1220, othersh nnn2, n=04, n=1 -2, n=20, othersx n 2 4 12 2x nnnn 2 4 12 2y nh nh nh n0, n02, n=05, n=1 0, n=21, n=30, n4y n1 1、解析法；、解析法；2 2、图解法、图解法Ex

7、ample: 2022-7-2Signals & Systems11 ky nx k h nk nkx k h nkhk nky nk图解法的思想：图解法的思想：反转、平移、反转、平移、相乘、求和相乘、求和 shift,n0lefth nkright h k反反转转平平移移求和相相乘乘2022-7-2Signals & Systems12卷积和图解法的计算过程：卷积和图解法的计算过程：（1）以）以k作为自变量，画出作为自变量，画出 的信号波形。的信号波形。（2）从）从n等于负无穷开始，也就是将等于负无穷开始，也就是将 向时间轴左端远向时间轴左端远处平移。处平移。（3）写出中间信

8、号）写出中间信号 的数学表达式。的数学表达式。（4）增加时移量）增加时移量n，也就是将，也就是将 向右移动，直到向右移动，直到 的数学表达式出现变化。出现变化时所对应的的数学表达式出现变化。出现变化时所对应的n值标志着现在值标志着现在区间的结束以及下一个新区间的开始。区间的结束以及下一个新区间的开始。（5）对新区间中的）对新区间中的n，重复步骤，重复步骤3和和4，直到所有时间区间被划，直到所有时间区间被划分，对应的分，对应的 数学表达式被确定。数学表达式被确定。（6）在每个时间区间，将相应的）在每个时间区间，将相应的 对对k求和，得到该区求和，得到该区间的输出间的输出 。 , x k hkhk

9、 nkh nk nk y n nk nk2022-7-2Signals & Systems13例例2.1：解析法：解析法 yn= 0 01 1 =0.5 2 1xh nxh nh nh n2022-7-2Signals & Systems14例例2.2：图解法：图解法2022-7-2Signals & Systems1510( )( )( )( ) ()( ) ()1( )1kkknnkky nx nh nx k h nku k u nku n01k( )( )kx ku k.01nk()()h nku nk例例2.3： ( )( )nx nu n01( )( )h n

10、u n2022-7-2Signals & Systems16例例2.4： 104( )0nx notherwise1,06( )0nnh notherwise0n6n 014( )x kkk()n kh nk2022-7-2Signals & Systems17 时时0n ( )0y n 2022-7-2Signals & Systems18 时时04n00(1)11( )1111nn kknnkknnny n2022-7-2Signals & Systems19 时时46n405141( )111n kknnny n2022-7-2Signals &

11、Systems20 时时610n4647( ) 1n kk nny n 2022-7-2Signals & Systems21 时时10n ( )0y n 2022-7-2Signals & Systems222022-7-2Signals & Systems23例例2.5： 2nx nun h nu n2022-7-2Signals & Systems242.2.1 2.2.1 用冲激表示连续时间信号用冲激表示连续时间信号 与离散时间信号分解的思想相一致，连续与离散时间信号分解的思想相一致，连续时间信号应该可以分解成一系列移位加权的时间信号应该可以分解成一系列

12、移位加权的单位冲激信号的线性组合。单位冲激信号的线性组合。2.2 2.2 连续时间连续时间LTILTI系统：卷积积分系统：卷积积分0( )( )()tu tdtd 2022-7-2Signals & Systems25引用引用 ，即：，即：( ) t1/0( )0ttotherwise 则有则有：10( )0ttotherwise ( )x t0k(1)k t()x k( )xt 对一般信号对一般信号 ，可以将其分成，可以将其分成很多很多 宽度的区段，用一个阶梯信宽度的区段，用一个阶梯信号号 近似表示近似表示 。当。当 时时，有有( )x t( )x t0( )( )xtx t( )x

13、 t2022-7-2Signals & Systems26 第第 个矩形可表示为：个矩形可表示为： 这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号 ， 即：即：k()()x ktk ( )xt( )()()kxtx ktk 表明：表明：任何连续时间信号任何连续时间信号 都可以被分解成移位都可以被分解成移位加权的单位冲激信号的线性组合。加权的单位冲激信号的线性组合。 ( )x t( )( ) ()x txtd 于是：于是：当当 时，时，0 k ()()tkt d ( )( )x tx t2022-7-2Signals & Systems272.2.2 2.2.2

14、 连续时间连续时间LTILTI系统的单位冲系统的单位冲激响应及卷积积分表示激响应及卷积积分表示卷积积分卷积积分convolution integral( )( ) ()x txtd ( )( )th t()()th t( )x t( )( ) ()( )( )y txh tdx th tUnit Impulse ResponseTime-Invariant PropertyLinear Property2022-7-2Signals & Systems280t)(t(1)0t)(thLTI系统)(t)(th( )x t( )( )( )y tx th t2022-7-2Signals

15、& Systems29(2)(2)卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应h(t)h(t)建立了响应建立了响应y(t)y(t)与激励与激励x(t)x(t)之间的关系。之间的关系。 (3)(3)卷积是数学方法，也可运用于其他学科。卷积是数学方法，也可运用于其他学科。一般数学表示：一般数学表示： d)()()(21tfftg(4)(4)积分限由积分限由 存在的区间决定，即由存在的区间决定，即由 的范围决定。的范围决定。 )(),(21tftf0)()(21 tff(1)(1)t t ：观察响应的时刻，是积分的参变量；：观察响应的时刻，是积分的参变量；

16、 : : 信号作用的时刻，积分变量信号作用的时刻，积分变量 从因果关系看，必定有从因果关系看，必定有 t y txh td对卷积积分的几点认识对卷积积分的几点认识2022-7-2Signals & Systems30卷积积分的性质：卷积积分的性质：2022-7-2Signals & Systems31(t t1)f (t)f (tt1)延时 t1f (t)f (tt1)u(t)f (t)y (t)f (t)y (t)( )( )( )f ttf t11( )()()f tttf ttdftutf)()()( ) ()( )ftdf t ( ) ()( )fu tdfd2022-

17、7-2Signals & Systems32求解卷积的方法：求解卷积的方法： （1 1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。 （2 2）图解法，特别适用于求某时刻点上的卷积值。）图解法，特别适用于求某时刻点上的卷积值。 （3 3）利用性质）利用性质, ,比较灵活。比较灵活。( )( ) ()( )ty txh tdd ( )( ) ()txh t 图解法思想：图解法思想：2022-7-2Signals & Systems33卷积积分的图解法计算过程：

18、卷积积分的图解法计算过程：（1 1）以）以 作为自变量，画出作为自变量，画出 的信号波形。的信号波形。（2 2）从）从t t等于负无穷开始，也就是将等于负无穷开始，也就是将 向时间轴左端远处平移。向时间轴左端远处平移。（3 3）写出中间信号）写出中间信号 的数学表达式。的数学表达式。（4 4）增加时移量）增加时移量t t，也就是将，也就是将 向右移动，直到向右移动，直到的数学表达式出现变化。出现变化时所对应的的数学表达式出现变化。出现变化时所对应的t t值标志着现在区间的值标志着现在区间的结束以及下一个新区间的开始。结束以及下一个新区间的开始。（5 5）对新区间中的）对新区间中的t t，重复步

19、骤，重复步骤3 3和和4 4，直到所有时间区间被划分，对，直到所有时间区间被划分，对应的应的 数学表达式被确定。数学表达式被确定。（6 6）在每个时间区间，将相应的）在每个时间区间，将相应的 对对t t求积分，得到该区间的求积分，得到该区间的输出输出 。( ), ()xh()h()h t( )y t( )t ( )t ( )t ( )t 2022-7-2Signals & Systems340( )( )( )( ) ()( ) ()atay tx th txh teuu tdedt01()u t01( )x例例2.6: : ( )( ),0atx teu ta( )( )h tu t

20、0:t 1( )(1) ( )aty teu ta2022-7-2Signals & Systems35例例2.7 : : 10( ) 0tTx totherwise 02( ) 0ttTh totherwise ( )( )( )( ) ()() ( )y tx th txh tdx thd 当当 时，时，0t ( )0y t 当当 时，时，0tT 201( )2ty tdt 当当 时，时，2TtT 21( )2tt Ty tdTtT 当当 时，时，23T tT 2221( )2()2Tt Ty tdTtT 当当 时，时，3tT( )0y t 02T2T( )h()x t01tTt新

21、新解：解：2022-7-2Signals & Systems36212T232TT3T2T0t( )y t2022-7-2Signals & Systems37例例2.8: : 2( )()tx te ut( )(3)h tu t322(3)130 y(t)=2ttte de02130 y(t)=2te d2022-7-2Signals & Systems38Tasks 2.3 2.22：a，c 学习报告学习报告(学习组为单位学习组为单位)：阅读文：阅读文献、专著和网络查询，描述卷积运献、专著和网络查询，描述卷积运算的物理意义和应用（列出引用文算的物理意义和应用（列出引

22、用文献）献）2022-7-2Signals & Systems392.3 2.3 线性时不变系统的性质线性时不变系统的性质（ Properties of Linear Time-Invariant SystemsProperties of Linear Time-Invariant Systems）( )( ) ()( )( )y txh tdx th t ky nx k h nkx nh n2022-7-2Signals & Systems40 kky nx nh nx k h nkx nk h kh nx n1 1、交换律、交换律( )( )( )( ) ()() ( )(

23、 )( )y tx th txh tdx thdh tx t一、卷积积分与卷积和的性质一、卷积积分与卷积和的性质( )x t( )y t( )h t y n h n( )h t( )y t( )x t h n x n y n x n2022-7-2Signals & Systems41 x n 12h nh n y n( )x t12( )( )h th t( )y t x n 1h n 2h n y n( )x t1( )h t2( )h t( )y t2 2、分配律分配律 12121212( ) ( )( )( )( )( )( )x nh nhnx nh nx nhnx th t

24、h tx th tx th t 两个两个LTI系统并联，其总系统并联，其总的单位脉冲的单位脉冲( (冲激冲激) )响应等于响应等于各子系统单位脉冲各子系统单位脉冲( (冲激冲激) )响响应之和。应之和。2022-7-2Signals & Systems42 1212x nxnh nx nh nxnh n1212( )( )( )( )( )( )( )x tx th tx th tx th t2022-7-2Signals & Systems433 3、结合律结合律 12121212 ( )( )( )( ) ( )( )x nh nh nx nh nh nx th th tx

25、 th th t( )x t1( )h t2( )h t( )y t x n 1h n 2h n y n12( )( )h th t( )x t( )x n( )y t( )y n12( )( )h nh n2022-7-2Signals & Systems44 12211221( )( )( )( )( )( )x nh nh nx nh nh nx th th tx th th t x n y n 1hn 2hn( )x t( )y t1( )h t2( )h t x n y n 2hn 1h n( )x t( )y t1( )h t2( )h t2022-7-2Signals &

26、amp; Systems45如如：( )x t平方平方乘乘22( )2( )y tx t( )x t乘乘2平方平方2( )4 ( )y tx t若交换级联次序，即成为：若交换级联次序，即成为：显然与原来是不等价的。因为系统不是显然与原来是不等价的。因为系统不是LTI系统。系统。产生以上结论的前提条件：产生以上结论的前提条件：系统必须是系统必须是LTI系统；系统；所有涉及到的卷积运算必须收敛。所有涉及到的卷积运算必须收敛。练习：练习：2022-7-2Signals & Systems462 h n1 h n3 h n4 h n y n x n -1 h nu n2 2 h nu nu n

27、4 nh na u n3 2h nn1234 h nh nh nh nh n2u n u n(1) na u n2022-7-2Signals & Systems472( )h t1( )h t5( )h t3( )h t( )y t( )x t4( )h t14235( )( )( )( )( )( )h th th th th th t2022-7-2Signals & Systems48二、二、LTI系统的性质系统的性质1、记忆性记忆性 ky nx k h nk则在任何时刻则在任何时刻 ， 都只能和都只能和 时刻的输入有关，时刻的输入有关，和式中只能有和式中只能有 时的一

28、项为非零，因此必须有：时的一项为非零，因此必须有： 根据根据 ，如果系统是无记忆的，如果系统是无记忆的，n y nnkn0,h nkkn，即：，即： 0,0h nn( )0,0h tt2022-7-2Signals & Systems49所以，无记忆系统的单位冲激响应为：所以，无记忆系统的单位冲激响应为： ( )( )h nknh tkt ( )( )( )( )y nx nh nkx ny tx th tkx t2022-7-2Signals & Systems502、可逆性可逆性 如果如果LTI系统是可逆的，存在一个逆系统，且逆系系统是可逆的，存在一个逆系统，且逆系统也是统

29、也是LTI系统，它们级联起来构成一个恒等系统。系统，它们级联起来构成一个恒等系统。( )x t( )x t( )h t( )g t因此有：因此有： ( )( )( )h tg tth ng nn2022-7-2Signals & Systems51例如：例如：延时器延时器是可逆的是可逆的LTI系统系统0( )()h ttt0( )()g ttt00( )( )()()( )h tg tttttt 累加器累加器是可逆的是可逆的LTI系统系统 h nu n 1g nnn 11h ng nu nnnu nu nn2022-7-2Signals & Systems523、因果性：因果性

30、： 由由 ，当，当LTI系统是因果系统系统是因果系统时，在任何时刻时，在任何时刻 ，都只能取决于，都只能取决于 时刻及其时刻及其以前的输入，即和式中所有以前的输入，即和式中所有 的项都必须为零，的项都必须为零，即：即： ky nx k h nkn y nnkn0,h nkkn 0,0h nn或或: 对连续时间系统有对连续时间系统有: :这是这是LTI系统具有因果性的充分必要条件。系统具有因果性的充分必要条件。( )0,0h tt2022-7-2Signals & Systems53( )( ) ()y txh td ky nx k h nk( )( ) ()ty txh td nky

31、nx k h nk2022-7-2Signals & Systems54 ky nh k x nk若若 有界，则有界，则 若若系统稳定，则要求系统稳定，则要求 必有界必有界 x nx nkA y n kkky nh k x nkh kx nkAh k4、 稳定性：稳定性：2022-7-2Signals & Systems55对连续时间系统对连续时间系统: ( )h t dt LTI系统稳系统稳定的充分定的充分必要条件必要条件 nh n 对离散时间系统对离散时间系统: :绝对可和绝对可和绝对可积绝对可积2022-7-2Signals & Systems56 01nnh n

32、nn0( )()1hdtd ExampleExample：1 1、纯时移：、纯时移：稳定稳定2022-7-2Signals & Systems570( )( )hdudd 3 3、积分器：、积分器：不稳定不稳定h(t)=( )( )tdu t 2 2、累加器：、累加器： h nu n nnh nu n 不稳定不稳定2022-7-2Signals & Systems582.3.8 2.3.8 LTILTI系统的单位阶跃响应系统的单位阶跃响应单位阶跃响应：系统对单位阶跃响应：系统对 或或 所产生的响应。所产生的响应。( )u t u n ( )( )( )s tu th ts nu

33、 nh n( )( )( )( )tds thdh ts tdt 1nks nh kh ns ns n)(tu0t0t1LTI系统)(tu)(tg)(tg2022-7-2Signals & Systems592.4 2.4 微分和差分方程描述的因果微分和差分方程描述的因果LTILTI系统系统系统数学模型：系统数学模型：连续时间系统连续时间系统线性常系数微分方程线性常系数微分方程离散时间系统离散时间系统线性常系数差分方程线性常系数差分方程Causal LTI Systems Described by Differential and Causal LTI Systems Describe

34、d by Differential and Difference Equations Difference Equations 对给定的具体系统物理模型，按照元件的约束特对给定的具体系统物理模型，按照元件的约束特性及系统结构的约束特性建立对应的方程。性及系统结构的约束特性建立对应的方程。（1）电路联接方式的约束）电路联接方式的约束: KCL、KVL（2）元器件伏安关系的约束）元器件伏安关系的约束: R L C2022-7-2Signals & Systems60 也也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关，对应于齐次解。形式无关，对

35、应于齐次解。 形式取决于外加激励，对应于特解。形式取决于外加激励，对应于特解。(1)(1)自由响应：自由响应：强迫响应：强迫响应：各种系统响应定义各种系统响应定义自然响应强迫响应完全响应2022-7-2Signals & Systems61 没有没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。刻系统储能）所产生的响应。 不不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的零），由系统的外加激励信号产生的响应，卷积形式。响应，卷积形式。 (2)(2)零输入响应：零

36、输入响应：零状态响应：零状态响应：零输入响应零状态响应完全响应2022-7-2Signals & Systems622022-7-2Signals & Systems63( )x t( )y tRLC( )1( )( )( )tdy tRy tLydx tdtC221( )( )( )( )dddy tRy tLy tx tCdtdtdt2.4.1 2.4.1 线性常系数微分方程线性常系数微分方程（Linear Constant-Coefficient Differential Equation Linear Constant-Coefficient Differential

37、Equation ）2022-7-2Signals & Systems64( )11( )( )ccsdv tv tv tdtRCRC( )1( )( )cdv tv tf tdtmm( )2 ( )( )dy ty tx tdt00( )( ),kkNMkkkkkkd y td x tabdtdt,kkab均为常数均为常数2022-7-2Signals & Systems65求解方法：求解方法：齐次解齐次解 + + 特解特解变换域法变换域法利用卷积积分法求解利用卷积积分法求解零状态零状态利用经典法求解利用经典法求解零输入零输入零输入响应零状态响零输入响应零状态响应应经典法：经

38、典法：解方程解方程列写方程列写方程: : : 2022-7-2Signals & Systems66( )( )( )phy tyty t齐次解齐次解特解特解因果因果LTI系统的初始条件：初始松弛系统的初始条件：初始松弛(1)(0)0,(0)0,(0)0NyyyL L0000, ( ), ( )tx tty t 用常系数线性微分方程描述的系统只有在初始状态为用常系数线性微分方程描述的系统只有在初始状态为0 0的条件下，系统才是线性时不变的，而且是因果的。的条件下，系统才是线性时不变的，而且是因果的。初始状态不为初始状态不为0 0，则是非线性时变系统，非因果。，则是非线性时变系统，非因果

39、。经典解法：经典解法：2022-7-2Signals & Systems672.4.2 2.4.2 线性常系数差分方程线性常系数差分方程(Linear Constant-Coefficient Difference Equation)(Linear Constant-Coefficient Difference Equation) 1y nx nx n1 yn=( 12)3x nx nx n1 yn+ 12= 2 14y ny nx nx n1 1、由实际问题直接得到差分方程、由实际问题直接得到差分方程2 2、由微分方程导出差分方程、由微分方程导出差分方程差分方程来源：差分方程来源：2

40、022-7-2Signals & Systems681 1、由实际问题直接得到差分方程、由实际问题直接得到差分方程例如：例如：y y( (n n) )表示一个国家在第表示一个国家在第n n年的人口数年的人口数a a( (常数常数) )：出生率：出生率b b( (常数常数): ): 死亡率死亡率x x( (n n) )是国外移民的净增数是国外移民的净增数则该国在第则该国在第n n+1+1年的人口总数为：年的人口总数为：y(n+1)=y(n)+ay(n)-by(n)+x(n)=(a-b+1)y(n)+x(n)2022-7-2Signals & Systems692 2、由微分方程导

41、出差分方程、由微分方程导出差分方程 TTtytytty dd tftaytty dd nynTyty nfnTftf nfnayTnyny 1 nfaTTnyaTny 1111 tftayTTtyty 2022-7-2Signals & Systems7001( )( )( )( )tpDIde tu tKe te t dtTTdt01()(1) ()()()kPDjIe kTe kTu kTKe kTe jTTTT01( )(1)( )( )( )kPDjIe ke ku kKe ke jTTTPIDPID控制规律的数字化实现控制规律的数字化实现2022-7-2Signals &am

42、p; Systems71 一般的线性常系数差分方程可表示为：一般的线性常系数差分方程可表示为：00()()NMkkkka y nkb x nk求解方法：求解方法： （1 1）迭代法：）迭代法：包括手算逐次代入求解或利用计算包括手算逐次代入求解或利用计算机求解，比较简单，但只能得到其数值解，不能直机求解，比较简单，但只能得到其数值解，不能直接给出一个完整的解析式作为解答，适应差分方程接给出一个完整的解析式作为解答，适应差分方程阶次较低时。阶次较低时。 （2 2）时域经典法：）时域经典法：齐次解特解齐次解特解 （3 3）零输入响应零状态响应）零输入响应零状态响应，利用卷积求系统利用卷积求系统的零状

43、态响应的零状态响应 （4 4）变换域方法：）变换域方法：Z Z变换变换反变换反变换2022-7-2Signals & Systems72对于差分方程，还可以将其改写为：对于差分方程，还可以将其改写为：0101( )()()MNkkkky nb x nka y nka( 1), ( 2), ()yyyNL L(0),y( 1), ( 2), (1)yyyNL L递归方程递归方程recursive equation(1)y(0)y2022-7-2Signals & Systems731 yn+ 12= 2 14y ny nx nx n1 yn= 2 1124x nx ny ny n

44、1 y0= 02 1 1 24xxyy1 y1= 12 00 14xxyy1 y2= 22 1104 xxyyExample：2022-7-2Signals & Systems74当当 时，差分方程变为：时，差分方程变为：0,0kak00( )()Mkkby nx nka非递归方程非递归方程 方程是一个卷积和的形式，方程是一个卷积和的形式， 是有限长的是有限长的, ,因而把这种方程描述的因而把这种方程描述的LTI系统称为系统称为FIR（Finite Impulse Response）系统。系统。 将递归方程描述的系统称为将递归方程描述的系统称为IIR（Infinite Impulse

45、Response）系统系统, , 是一个无限长的序列。是一个无限长的序列。0( ),0nbh nnMa( )h n( )h n FIR系统与系统与IIR系统是离散时间系统是离散时间LTI系统中两类很系统中两类很重要的重要的系统，它们的特性、结构以及设计方法都存在很大的差异。系统，它们的特性、结构以及设计方法都存在很大的差异。75例例1求脉冲响应求脉冲响应hn,指出该系统是指出该系统是IIR,还是还是FIR?yn=xn-2xn-2+xn-3 3 22nnnnhh0=1, h1=0, h2=-2, h3=1其余其余hn均为零均为零FIR76例例2 求脉冲响应求脉冲响应hn,指出该系统是指出该系统是

46、IIR,还是还是FIR?yn+2yn-1=xn +xn-1yn=xn +xn-1- 2yn-1121nhnnnhn0, hn=0,h0=1,h1=-1n 2, hn=-2hn-1IIR2022-7-2Signals & Systems772.4.3 2.4.3 由差分和微分方程描述的一阶由差分和微分方程描述的一阶LTILTI系统的方框图表示系统的方框图表示 由微分或差分方程描述的系统，其数学模型是由一些由微分或差分方程描述的系统，其数学模型是由一些基本运算来实现的，如果能用一种图形表示方程的运基本运算来实现的，如果能用一种图形表示方程的运算关系，就会更加形象直观算关系，就会更加形象直观 分析系统很重要的目的是为了设计或实现一个系统分析系统很重要的目的是为了设计或实现一个系统, 用图形表示系统的数学模型用图形表示系统的数学模型, 将对系统的特性仿真、将对系统的特性仿真、硬件或软件实现具有重要意义硬件或软件实现具有重要意义 不同的结构也会在设计和实现一个系统时带来不同不同的结构也会在设计和实现一个系统时带来不同的影响：如系统的成本、灵敏度、误差及调试难度等的影响：如