第三章第五讲(1)分析

1、第三章 晶格振动3.4 晶格振动谱的实验测定方法晶格振动谱的实验测定方法3.4.1 声子与其他粒子的相互作用声子与其他粒子的相互作用 晶格振动频率晶格振动频率与波数矢量与波数矢量 q之间的函数关系之间的函数关系 (q)，称为格波的，称为格波的色散关系色散关系或或晶格振动谱晶格振动谱。利用其他波与格波的相互作用可以直接测定利用其他波与格波的相互作用可以直接测定 (q)。第三章 晶格振动一般用：一般用： 中子束中子束、 x射线束射线束、 光子束光子束 等等 与声子的相互作用来测定声子谱。与声子的相互作用来测定声子谱。第三章 晶格振动 中子、中子、x射线、光子与声子的比较射线、光子与声子的比较 声声

2、 子子中子中子X射线射线光子光子(可见光可见光) 能量能量（eV） 0.010.020.031040.30.5波长波长()28000 231230007000波矢波矢(cm-1)0108010801080105第三章 晶格振动1、光子与声子、光子与声子 如果外来粒子是可见光子与声子进行碰撞，这如果外来粒子是可见光子与声子进行碰撞，这时，时，能量能量和和准动量准动量守恒律可写成：守恒律可写成： )(qjGqkkh第三章 晶格振动 和和 k 为入射到晶体的光子频率和波矢，为入射到晶体的光子频率和波矢， 和和 k 则为散射后光子的频率和波矢。则为散射后光子的频率和波矢。声子频率和波矢分别为声子频率和

3、波矢分别为j（q）和）和q，“+”和和“”代表代表吸收吸收和和发射发射声子过程，声子过程， G 为为 倒格矢倒格矢。 入射光子受到声子散射，在晶格中入射光子受到声子散射，在晶格中产生产生一个一个声子或者声子或者吸收吸收一个声子一个声子第三章 晶格振动由于光子的波矢由于光子的波矢k，k远小于布里渊区尺度，总远小于布里渊区尺度，总有有G = 0。在晶体中，光子频率与波矢的关系为在晶体中，光子频率与波矢的关系为 ：knc)(10210322188cmaL第三章 晶格振动此处此处c为真空中的光速，为真空中的光速，n为晶体折射率。为晶体折射率。由于声子频率远小于光子，碰撞后光子的由于声子频率远小于光子，

4、碰撞后光子的频率改变很小，可以认为：频率改变很小，可以认为： 第三章 晶格振动我们有我们有 这样声子波矢可由下式得到这样声子波矢可由下式得到光散射过程中晶光散射过程中晶格动量守恒示意图格动量守恒示意图2sin2kq kk 第三章 晶格振动根据光子与声子碰撞后的频移，可以得到声子根据光子与声子碰撞后的频移，可以得到声子的频率。的频率。由光子波矢方向的改变，可得声子的波矢由光子波矢方向的改变，可得声子的波矢布里渊散射布里渊散射光子与光子与声学声子声学声子相互作用。相互作用。喇曼散射喇曼散射光子与光子与光学声子光学声子相互作用相互作用。光子与晶格的非弹性散射光子与晶格的非弹性散射 入射光子入射光子的

5、频率和波矢的频率和波矢k,散射光子散射光子, k 作用过程满足作用过程满足能量守恒能量守恒动量守恒动量守恒 入射光子受到声子散射，变成散射光子，与此同时在入射光子受到声子散射，变成散射光子，与此同时在 晶格中放出，或者吸收一个声子晶格中放出，或者吸收一个声子qq),()(qnGqkk 固定入射光的频率和入射方向，测量不同方向的散固定入射光的频率和入射方向，测量不同方向的散 射光的频率，可以得到射光的频率，可以得到声子的振动谱声子的振动谱 05/10长声学波声子的波矢长声学波声子的波矢22sinkq 不同角度方向测得散射光子的频率，得到：不同角度方向测得散射光子的频率，得到：声子的波矢声子的波矢

6、2sin2kq 声子振动谱声子振动谱qq )(散射光和入射光的散射光和入射光的频率位移频率位移)(qHz107103101 布里渊散布里渊散射射1) 1) 光子与长声波声子的相互作用光子与长声波声子的相互作用 光子的光子的布里渊散射布里渊散射 声子频率声子频率2) 光子与光学波声子的相互作用光子与光学波声子的相互作用 光子的光子的喇曼散射喇曼散射 )(q能量守恒能量守恒动量守恒动量守恒nGqkk 光子的喇曼散射光子的喇曼散射限于限于光子光子与与长光学波声子长光学波声子的相互作用的相互作用 可见光或红外可见光或红外光波矢光波矢很小很小 要求要求声子波矢声子波矢必须很小必须很小散射光和入射光散射光

7、和入射光频率位移频率位移Hz1310103103第三章 晶格振动由于光速由于光速 c 很大，可见光的波矢很大，可见光的波矢 k 就很小，就很小， 能够测量的声子波矢也很小。能够测量的声子波矢也很小。用用可见光可见光只能测量只能测量布里渊区中心（即布里渊区中心（即q 0）附附近区域的近区域的色散关系色散关系，而无法测量整个布里渊区，而无法测量整个布里渊区的色散关系。的色散关系。第三章 晶格振动克服上述困难的方法是增加所用光子的频率克服上述困难的方法是增加所用光子的频率 光子的频率要增加到光子的频率要增加到 X 光波段。光波段。此时，光子的波矢是可以测量整个布里渊区色此时，光子的波矢是可以测量整个

8、布里渊区色散关系的。散关系的。2 X光非弹性散射光非弹性散射 X光光子具有更高的频率光光子具有更高的频率(波矢可以很大波矢可以很大)，可以，可以用来研究声子的振动谱用来研究声子的振动谱X射线射线的的能量能量 104 eV 远大于远大于声子能量声子能量 10 2 eV在实验技术上很难精确地直接测量在实验技术上很难精确地直接测量X光在散射光在散射前后的前后的能量差能量差，确定声子的能量是很困难的，确定声子的能量是很困难的(X光子的光子的频率频率比声子高比声子高; X光子受到声子散射后的光子受到声子散射后的频移频移非常小非常小) 10/10第三章 晶格振动目前最方便和有效的测量声子谱的方法是用目前最

9、方便和有效的测量声子谱的方法是用中子的非弹性散射方法中子的非弹性散射方法。从反应堆出来的慢中子，其能量和动量都和声从反应堆出来的慢中子，其能量和动量都和声子相差不太远，容易测定被声子散射前后中子子相差不太远，容易测定被声子散射前后中子能量和动量的变化能量和动量的变化易获得声子易获得声子能量能量（频率）和（频率）和动量动量（波矢）的信（波矢）的信息，即获得息，即获得声子谱声子谱3、 中子非弹性散射中子非弹性散射 入射入射晶体时晶体时中子中子的的动量动量和和能量能量nMpEandp22nMpEandp22出射出射晶体后晶体后中子中子的的动量动量和和能量能量 中子束中子束与与格波格波产生非弹性散射产

10、生非弹性散射可以看成是可以看成是吸收吸收和和发射发射声子的过程声子的过程q22( )22:( ):( )nnppqMMqAbsorb a PhononqEmit a Phonon nGqpp332211bnbnbnGn能量守恒能量守恒动量守恒动量守恒倒格子矢量倒格子矢量声子的准动量声子的准动量第三章 晶格振动散射应该满足能量和动量守恒：散射应该满足能量和动量守恒： “+”表示吸收一个声子，表示吸收一个声子， “”表示发射一个声子表示发射一个声子,为倒格子矢量33221122)(22bnbnbnGGqppqMpMpnnnn 第三章 晶格振动 为为准动量准动量，并不是声子的真实的动量，只，并不是声

11、子的真实的动量，只是其作用类似动量。是其作用类似动量。等式右端加等式右端加Gn, 是因为如果是因为如果k-k超出了第一布里超出了第一布里渊区，加渊区，加Gn可以保证可以保证q在第一布里渊区里。在第一布里渊区里。动量守恒动量守恒是是空间均匀性空间均匀性（完全的平移对称性完全的平移对称性）的结果的结果准动量守恒准动量守恒是是晶格周期性晶格周期性（晶格平移对称性晶格平移对称性）的结果的结果q第三章 晶格振动一方面，晶格具有一定的一方面，晶格具有一定的平移对称性平移对称性，故有与，故有与动量守恒类似的关系；动量守恒类似的关系；另外一方面，另外一方面，晶格平移对称性晶格平移对称性比完全的平移对比完全的平

12、移对称性低，因此，变换规则变弱，可以相差称性低，因此，变换规则变弱，可以相差 nG第三章 晶格振动原则上，由测定散射中子的动量和能量的原则上，由测定散射中子的动量和能量的变化，利用：变化，利用：可以确定可以确定 (q)，nnnGqppqMpMp )(2222 中子的能量中子的能量 0.020.04 eV 声子的能量声子的能量 10 2 eV测得各个方位上入射中子和散射中子的能量差测得各个方位上入射中子和散射中子的能量差 确定确定声子的频率声子的频率从反应堆出来的从反应堆出来的慢中子慢中子的能量与声子的能量接近，测定中子的能量与声子的能量接近，测定中子散射前后能量变化，直接给出声子能量的信息散射

13、前后能量变化，直接给出声子能量的信息 根据入射中子和散射中子方向的几何关系根据入射中子和散射中子方向的几何关系 确定确定声子的波矢声子的波矢 得到得到声子的振动谱声子的振动谱( )nnEEq nGqpp( ) qq第三章 晶格振动3.4.2 三轴中子谱仪三轴中子谱仪测量装置采用三轴中子谱仪。测量装置采用三轴中子谱仪。所谓三轴，是指所谓三轴，是指单色器、单色器、样品、样品、分析器分析器三者都三者都有各自的轴可自由转动以实现测量。有各自的轴可自由转动以实现测量。三轴中子谱仪三轴中子谱仪中子源中子源单色器单色器准准直直器器准直器准直器样品样品分析器分析器探测器探测器2 2 中子谱仪结构示意图中子谱仪

14、结构示意图反应堆中产生反应堆中产生的慢中子流的慢中子流布拉格反射产生单色布拉格反射产生单色的动量为的动量为 P 的中子的中子布拉格反射产生单色布拉格反射产生单色的动量为的动量为 P 的中子的中子第三章 晶格振动从反应堆出来的从反应堆出来的慢中子流慢中子流，经准直器射到单色器，经准直器射到单色器上。上。单色器单色器是一块单晶，通常为锗、铅或石墨，按布是一块单晶，通常为锗、铅或石墨，按布喇格反射产生单色的，具有固定动量的中子流。喇格反射产生单色的，具有固定动量的中子流。这束中子通过准直器落到被研究的样品上，散射这束中子通过准直器落到被研究的样品上，散射后由分析器接收。后由分析器接收。第三章 晶格振

15、动分析器也是一块单晶，利用布喇格反射原理来分析器也是一块单晶，利用布喇格反射原理来决定散射中子的能量和动量。决定散射中子的能量和动量。这样，根据入射中子、散射中子的能量和动量这样，根据入射中子、散射中子的能量和动量差，就能获得与之进行作用的声子的频率和波差，就能获得与之进行作用的声子的频率和波矢，进而测得声子谱。矢，进而测得声子谱。第三章 晶格振动3.5 晶格比热晶格比热 3.5.0 晶体热容的一般表示晶体热容的一般表示晶体的定容热容为：晶体的定容热容为： 为晶体的平均动能为晶体的平均动能 =晶格振动能量晶格振动能量+电子热容电子热容VVTEC)( E第三章 晶格振动 在在低温低温下，下，电子

16、热容电子热容才有才有贡献贡献这里先讨论这里先讨论晶格热容晶格热容的贡献。的贡献。即讨论局限在即讨论局限在绝缘体。绝缘体。电子热容晶格热容晶体热容 第三章 晶格振动经典理论认为一个简谐振动的平均能量为经典理论认为一个简谐振动的平均能量为如晶体里有如晶体里有N个原子，则有个原子，则有3N个简谐振动模个简谐振动模TNkEB3 BBVVNkTNkTTEC3)3()( TkB第三章 晶格振动即热容是一个与温度和材料无关的常数，称为即热容是一个与温度和材料无关的常数，称为杜隆杜隆帕替（帕替（Dulong-Petit）定律）定律高温时高温时杜隆杜隆帕替定律与实验符合帕替定律与实验符合但是低温时但是低温时CV

17、随温度的下降按照随温度的下降按照T3而迅速下降而迅速下降低温低温下下杜隆杜隆帕替定律帕替定律与与实验实验不符合。不符合。杜隆珀替经验规律杜隆珀替经验规律0K 100K 1000K T 3R Cv第三章 晶格振动3.5.1 比热的量子理论比热的量子理论爱因斯坦发展了普朗克的量子假说，第一爱因斯坦发展了普朗克的量子假说，第一次提出了量子的热容理论。次提出了量子的热容理论。.3 , 2 , 1 , 0)21( iiiinn.3 , 2 , 1 , 0)21(11 iNiiiNiinnE第三章 晶格振动因此：因此：即晶体的平均能量只与即晶体的平均能量只与温度温度和简正坐标的振和简正坐标的振动模的动模的

18、频率频率有关，而与振动模所描述的原子有关，而与振动模所描述的原子运动状态无关。运动状态无关。 NiiTkNiiiBienE11211121)(第三章 晶格振动当当N很大时，根据弹性理论，振动模式的很大时，根据弹性理论，振动模式的频率分布从频率分布从0到到。对应于无限长的波对应于无限长的波或任意短的波：或任意短的波： 00 dTkBg)2111(211101eeENiiTkBi第三章 晶格振动其中其中g()为为频谱密度（频谱密度（spectral density）或或: 振动模的态密度函数（状态密度）。振动模的态密度函数（状态密度）。表示表示频率频率在在到到+d范围内范围内的振动模式数目的振动模

19、式数目 dTkB)g()2111(0eE第三章 晶格振动3.5.2频谱密度频谱密度如果知道如果知道g()，积分是可以计算的。，积分是可以计算的。定义：定义：dn为频率在为频率在到到+d范围内的振动模式数目范围内的振动模式数目 ddnnlim0)g(第三章 晶格振动如第如第 j 支格波的支格波的频谱密度频谱密度为为gj()，则有：，则有： 知道了知道了 (q)，也就知道了，也就知道了g() maxmind)(gjNqNj第三章 晶格振动可由可由晶格振动谱晶格振动谱求出格波的求出格波的频谱密度频谱密度g()。在在 q 空间，空间，(q)=Constant，确定一个，确定一个等频面等频面 故在故在

20、+d之间的之间的振动模式数目振动模式数目就等于就等于(q)及及(q)+d(q)两个等频面之间两个等频面之间q代表的点的数代表的点的数目目第三章 晶格振动已经知道：已经知道： 由于由于N很大，可以认为很大，可以认为qi是准连续分布是准连续分布 注意：注意：q是局限在第一布里渊区是局限在第一布里渊区 3 , 2 , 1;, 3, 2, 1, 0;2 inaNnqiiii第三章 晶格振动第一布里渊区在波矢（倒格子）空间的体第一布里渊区在波矢（倒格子）空间的体积为倒格子原胞的体积积为倒格子原胞的体积 ： 为为正格子原胞正格子原胞的的体积体积。 3)2(*第三章 晶格振动N个波矢在个波矢在q空间的空间的

21、分布密度分布密度为：为： V为晶体的体积为晶体的体积 33)(2)(2)(VN*Nn在在q空间，晶格振动模是均匀分布的，空间，晶格振动模是均匀分布的，状态密度状态密度3(2 )V3(2 )Vndsdq 两个等频率面两个等频率面 和和 之间的振动模式数目之间的振动模式数目 频率频率是是q的连续函数的连续函数( )qq dq ( )qConstant根据根据做出一个等频率面做出一个等频率面( )qdqq3(2 )( )qVndsq 3(2 )( )qVdsnq 3(2 )Vndsdq 3( )(2 )( )qVdsgq之间振动模式数目之间振动模式数目 0( )limng 第三章 晶格振动故有故有频

22、谱密度频谱密度的一般表达式：的一般表达式：由此可知由此可知:知道知道色散关系色散关系(q)，就可求出就可求出模式密度模式密度g() Sqq(q)dSVddng3)(2)(注意注意这里是这里是总频谱密度；总频谱密度；有时说有时说单位体积内的单位体积内的频谱密度频谱密度，则会少一个则会少一个V第三章 晶格振动如何求如何求频谱密度，频谱密度，先看一个例子。先看一个例子。例例1：试求一维单原子链的频谱密度：试求一维单原子链的频谱密度解：解： 设单原子链长度设单原子链长度 LNa2qhNa2Na波矢取值波矢取值每个波矢的宽度每个波矢的宽度h=1,2,3.N第三章 晶格振动 2Na2Nadq状态密度状态密

23、度 dq间隔内的状态数间隔内的状态数( )22Naddq 对应对应q, 取值相同取值相同 d间隔内的状态数目间隔内的状态数目 )(g第三章 晶格振动 一维单原子链色散关系一维单原子链色散关系 令令 224sin ()2aqm04m0sin()2aq0cos()22aaqddq第三章 晶格振动 220cos()12aq注意注意 2202addq因而因而2202ddqa所以所以第三章 晶格振动 ( )22Naddq 22012Nd)(g22021( )N )(g第三章 晶格振动 gvNadqdNadqNagdqNag1122d22)(22)d(状态密度状态密度或或频谱密度频谱密度，与，与群速度的倒

24、数群速度的倒数成正比成正比第三章 晶格振动例例2：对一维单原子链，试求其模式密度。：对一维单原子链，试求其模式密度。解：一维单原子链的波矢密度为：解：一维单原子链的波矢密度为：N为原子数，为原子数，a为晶格常数为晶格常数 22)(NaLn 第三章 晶格振动故有： 因为：因为： (q)=(-q)dqLqdG2)()( dqqdLqddqLG)(122)(22)( 第三章 晶格振动对一维单原子链：对一维单原子链：为力常数，为力常数，M为原子质量为原子质量 )21sin(2)(qamq 第三章 晶格振动因此：因此： )21sin(4(1)(1)(qamdqdLdqqdLG 第三章 晶格振动因此：因此

25、： mqaNqamaLG4)21(sin112)21cos(421)(max2max 第三章 晶格振动因此：因此： macqaqaq )21sin()21sin()(max22max12)( NG也可以直接由也可以直接由 q 空间空间的状态密度来计算的状态密度来计算2L22Ldndq22L dqdndd( )L dqgd22021( )Ng状态密度状态密度0sin()2aq振动模式密度振动模式密度二维情况，等二维情况，等频率是一个圆频率是一个圆2, 42dsdlqq2( )(2 )( )qSdlgq22( )(2 ) 2Sqgcq( )4Sgc1( )22( )qLgq1( )2Lgcq( )

26、2Lgc一维情况一维情况振动模式密度振动模式密度2cq( )2qqcq例例3：色散关系：色散关系 2cq24sq( )2qqcq3( )(2 )( )qVdsgq3(2 )2Vdscq234( )(2 )2Vqgcqqc23/2(2 )Vcq空间的等频率面是一个球面，球面面积空间的等频率面是一个球面，球面面积振动模式密度振动模式密度 三维情形三维情形如果色散关系如果色散关系2cq1/2( ) g0( ) g1/2( ) g三维三维情况振动模式密度情况振动模式密度二维二维情况振动模式密度情况振动模式密度一维一维情况振动模式密度情况振动模式密度在在 的一些点的一些点( )0qq( )cos()22

27、mqaaqFor exampleqqa 奇点奇点 范霍夫奇点范霍夫奇点，是晶体中一些高对称点，是晶体中一些高对称点_布里渊区边界布里渊区边界 这些临界点与晶体的对称性密切相联这些临界点与晶体的对称性密切相联10/103( )(2 )( )qVdsgq第三章 晶格振动若将若将3n支格波考虑在内，支格波考虑在内，V体积内体积内总的频谱密总的频谱密度则为度则为 ：其中其中表第表第支格波。支格波。晶体中晶体中振动模式数振动模式数等于晶体中原子的等于晶体中原子的总自由度总自由度SqdSVg 3|8)(第三章 晶格振动 引入模式密度引入模式密度g()，系统能量可写成：，系统能量可写成： nNdg3 0 Bd)(g211)