第三讲 对称的数学本质

1、第三讲 “对称”的数学本质一、身边的对称一、身边的对称数学中，许多数学公式（式子）都表现出对称性 2)()(1cbascsbsassS其中，、海伦公式：CcBbAasinsinsin2、正弦定理2321322132213xxxxxxxxxf、对称多项式李政道同毛泽东谈对称 对称这个概念绝不是静止的，它要比通常的含义普遍很多，而且适用于一切自然现象，从宇宙的产生到每个微观的亚核反应过程。 李政道 “对称是一个广阔的主题，在艺术和自然两个方面都意义重大。数学则是它的根本”。 德国数学家外尔（H.Weyl） 二、平面图形的对称性二、平面图形的对称性问问 题：题：如何比较下列图形的对称性？或怎样“量化

2、”它们的对称性？1K2K3K4K5K6K初中教科书关于对称图形的定义： 定义：定义：如果一个平面图形沿着平面上一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线称为它的对称轴。POQl2.1、在运动中看、在运动中看“对称对称” “如果一个操作使体系从一个状态变换到另一个与之等价的状态，或者说，状态在此操作下不变，我们就说这个体系对于这个操作是对称的，而这个操作叫做这个体系的一个对称操作。” 德国数学家外尔（H.Weyl） 2.2、平面图形的、平面图形的“对称集对称集” 保距变换保距变换： 在平面中，我们把反射、旋转、平移以及它们的相继实施，统称为“保距变换”。特别的

3、，平面“不动”也是一种“保距变换”。通常称为“恒等变换”。描述平面图形对称性（及对称性强弱）的一种方法:对称集的大小 把所有使平面图形K整体不变的“保距变换”放在一起，构成一个集合，记为S(K)，并称S(K)为“K的对称集”。 如果S(K1)中的元素个数 多于S(K2)中的元素个数 ,即， 就说“K1的对称性强于K2的对称性”，或者说“K1比K2更对称”。) 1(KS)2(KS)2() 1(KSKS) 1(KS8)2(KS12) 3(KS6)4(KS2)5(KS1)6(KS三、对称的本质三、对称的本质 “变中有不变”的性质，不仅是“平面图形对称”的本质，也是各种客观事物对称性的本质。四、对任意

4、客观事物之对称性的描述：四、对任意客观事物之对称性的描述： 子集的对称子集的对称 进一步的任务： 把讨论“平面图形的对称”中形成的数学思想提炼出来，用“子集的对称”的语言来统一地描述任一客观事物的“对称”。 ORR2Ro 4.1 集合上的可逆变换，子集的对称变换 设M是一个集合，则M到自身的一个映射称为“M上的一个变换”；M到自身的一个可逆映射称为“M上的一个上的一个可逆变可逆变换换”。 集合M上的可逆变换 使M中的每一元素都发生了“变化”，但在整体上又保持M的不变。不过，对于M的某个子集N，情况就不一样了，可能 在整体上保持N不变；也可能不能在整体上保持N不变： 即 。 子集子集N的对称变换

5、的对称变换：N是M的一个子集，若 是集合M上的可逆变换，在M上的可逆变化中，我们称满足 的可逆变换为“N的对称变换”。NN )（NN )(ORRK2R4.2、子集的对称集 集合M上的可逆变换 ，在变换集合M的同时，一般也变换了M中我们所考察的子集N，使之成为 ，但有些可逆变换却使N整体上保持不变，即 。 我们称使N整体上保持不变的那些可逆变换为N的对称变换，并且把所有这样的“对称变换”放在一起，记作 S（N）, ，称S（N）为“N的对称集”。)N（NN )(NNNS)()(五、对称群及群的概念五、对称群及群的概念5.1 平面图形的对称变换群平面图形的对称变换群 我们把平面图形对称集S（N）中保

6、距变换的“相继实施”，称作S（N）中元素的一种“运算”，记作“”，叫作“乘法”。 该乘法运算满足以下四条规律：封闭律结合律幺元律1. 逆元律5.2 群的概念群的概念 设G是一个带有运算“”的非空集合，且其中的运算满足以下四条，则称G；是一个群。 1、封闭律 2、结合律 3、幺元律 4、逆元律 ;,GbaGba有);()(,cbacbaGcba有为幺元；称有使存在eaeaaeGaGe,.,的逆元为称，使存在abebaabGbGa单位圆xyO1 sin,cosP-yx,六、六、 对称群的一个应用：诱导公式的推导对称群的一个应用：诱导公式的推导 单位圆的对称性，以及单位圆上的点身兼角与坐标两种性质的表示，揭示了诱导公式的得出，就是反映了两种群表示之间的一个一一对应关系。正方形对称群