第一节中值定理(少学时简约型)分析

1、 以导数为工具不仅可以深入认识和理解函数在一点以导数为工具不仅可以深入认识和理解函数在一点处的局部性状，还可进一步研究函数在区间上的总体性处的局部性状，还可进一步研究函数在区间上的总体性质，用导数描述函数在区间上的总体性质就形成了微分质，用导数描述函数在区间上的总体性质就形成了微分学理论。学理论。 函数最值讨论是微积分创立前期的重要工作之一。函数最值讨论是微积分创立前期的重要工作之一。最值定理虽然指出了闭区间上连续函数最值的存在性，最值定理虽然指出了闭区间上连续函数最值的存在性，却没有指出最值点的位置，也没有给出求最值的方法。却没有指出最值点的位置，也没有给出求最值的方法。 此外，其它区间形此

2、外，其它区间形式上的最值存在性及计式上的最值存在性及计算问题也还没有讨论。算问题也还没有讨论。因此还必须对最值问题因此还必须对最值问题作进一步的研究。作进一步的研究。mxyOab1 2 M1?fM 2?fm a byfCx, , 若函数若函数 y = f( x )在点在点 x = 的某个邻域的某个邻域 U( , , )内内有定义，有定义，f( )为为 f( x )在该邻域内的最大值或最小值，在该邻域内的最大值或最小值，且函数且函数 y = f( x )在点在点 x = 处可导，则有处可导，则有 f ( )= 0 . .xyO yfx1 M2 m从几何上看，费马定理指出了曲线在最值点处一定从几何

3、上看，费马定理指出了曲线在最值点处一定有水平的切线。这一认识虽然是来源直观的，并且只是有水平的切线。这一认识虽然是来源直观的，并且只是函数在一点取得最值的必要条件，但由函数在一点取得最值的必要条件，但由于在最值点处有于在最值点处有 f ( )= 0 ，故求最值，故求最值点问题可归结为解方程点问题可归结为解方程 f ( x )= 0 . 因此，费马定理实际给出了求最值因此，费马定理实际给出了求最值的方法。的方法。 然而，并非任意曲线弧段都有水平切线，且方程然而，并非任意曲线弧段都有水平切线，且方程 f ( x )= 0 并非总是有解的。因此，为求最值还需进一并非总是有解的。因此，为求最值还需进一

4、步考察，曲线弧段在什么情况下步考察，曲线弧段在什么情况下一定有水平切线，即考察函数一定有水平切线，即考察函数 y = f( x )，x a , ,b满足什么条件，可使方程满足什么条件，可使方程 f ( x )= 0 总有解。总有解。xyO yfxabM fa fb 若函数若函数 f( x )在闭区间在闭区间 a , ,b 上上连续，在开区间连续，在开区间( a , ,b)内可导，且在内可导，且在区间的端点处的函数值相等区间的端点处的函数值相等，即即 f( a )= f( b )，则在则在( a , ,b)内至少存内至少存在一点在一点 ( a b )，使得，使得 f ( )= 0 . .abxy

5、O20f fa fb10f 0fx 最简单的情形；最简单的情形； 较一般的情形。较一般的情形。1 M2 m yfxa bx , , , , ffab若若 f( x ) C ，此时函数，此时函数 y = f( x )的图形本身就是的图形本身就是一条水平直线一条水平直线即即 M = m，故恒有，故恒有 f ( x ) 0 ，即对，即对 ( a , ,b )，总有，总有 f ( ) 0 . . 若若 f( x ) C ，则，则 M = m，此时，此时 M 和和 m 中至少有一中至少有一个不等于个不等于 f( a )和和 f( b ). . 不妨设不妨设 m f( a )，由最值定理，存在，由最值定理

6、，存在 ( a , ,b )， 使得使得 f( ) m ，下证下证 f ( ) 0 . . 由条件由条件 故故 f -( )、f +( )分别存在，且有分别存在，且有 f -( )= f +( ) 由单侧导数定义由单侧导数定义 由于由于 f( )为最小值，故对一切为最小值，故对一切 h，总有，总有 f( + h )- f ( ) 0 . . 0limhffhfh 存存在在, , 0limhffhfh , , 0limhffhfh . .由极限的保号性知：由极限的保号性知： 当当 h 0 时，时， 由于由于 f -( )= f +( )= f ( )，故有，故有 f ( )= 0 . . 0li

7、m0hffhfh ; ; 0lim0hffhfh . . 费马定理指出了函数取得最值的必要条件，即对于费马定理指出了函数取得最值的必要条件，即对于给定的函数给定的函数 y = f( x )，求函数最值可归结为求解形如，求函数最值可归结为求解形如 f ( x )= 0 方程。方程。 罗尔定理则进一步指出，为确罗尔定理则进一步指出，为确定方程定方程 f ( x )= 0 的根的范围，可设的根的范围，可设法寻求函数法寻求函数 y = f( x )的两个等值点的两个等值点 f( a )= f( b )，对应于函数的两个，对应于函数的两个等值点，在区间等值点，在区间 a , ,b 内必有方内必有方程程

8、f ( x )= 0 的一个根的一个根。 判别方程的根，特别是实根的存在性通常是一件困判别方程的根，特别是实根的存在性通常是一件困难的工作，罗尔定理给出了一种判别形如难的工作，罗尔定理给出了一种判别形如 f ( x )= 0 的的方程的根存在性的方法，即设法寻求函数方程的根存在性的方法，即设法寻求函数 y = f( x )的两的两个等值点个等值点 f( a )= f( b ). . 需注意的是，应用罗尔定理判别方程的实根的存在需注意的是，应用罗尔定理判别方程的实根的存在性与零点定理判别方程实根的方程形式性与零点定理判别方程实根的方程形式及条件的不同。应用零点定理讨论及条件的不同。应用零点定理讨

9、论的是形如的是形如 f( x )= 0 的方程，其实的方程，其实根存在的条件是函数根存在的条件是函数 y = f( x )有有两个异号点两个异号点 f( a )、 f( b ). . 罗尔定理最重要的理论价值在于建立了一种研究函罗尔定理最重要的理论价值在于建立了一种研究函数性质的方法，即将函数在某区间上的性质转化为函数数性质的方法，即将函数在某区间上的性质转化为函数在区间内某点的导数进行讨论，因而提供了一种以函数在区间内某点的导数进行讨论，因而提供了一种以函数中值来研究函数性质的途径和方法。中值来研究函数性质的途径和方法。 该方法是研究函数性质的一种该方法是研究函数性质的一种重要方法，微积分理

10、论的一个重要方法，微积分理论的一个特点就是含有诸多中值公式，特点就是含有诸多中值公式，这些中值公式多是由罗尔定这些中值公式多是由罗尔定理导出的。理导出的。 方程的根的存在性问题是实际计算和工程应用最常方程的根的存在性问题是实际计算和工程应用最常见的问题。代数学的讨论通常较适合于解决多项方程的见的问题。代数学的讨论通常较适合于解决多项方程的问题，而对于一般超越方程，代数学问题，而对于一般超越方程，代数学能提供的方法却很有限。实际应用中能提供的方法却很有限。实际应用中较多地采用微积分的方法，即通过较多地采用微积分的方法，即通过零点定理和罗尔定理对考察方程实零点定理和罗尔定理对考察方程实根进行考察。

11、根进行考察。例例：已知函数已知函数 f( x )在在 0 , ,1 上连续上连续，在在( 0 , ,1 )内可导内可导, ,且且 f( 0 )= 1，f( 1 )= 0，求证：存在求证：存在 ( 0 , ,1 )，使得使得 这是个讨论方程实根存在性的问题，容易想到这是个讨论方程实根存在性的问题，容易想到应用零点定理或罗尔定理进行考察。应用零点定理或罗尔定理进行考察。 对本例方程而言，由于对本例方程而言，由于 故若根据零点定理进行考察，需验证形如故若根据零点定理进行考察，需验证形如 F( x )= x f ( x )+ f( x )的函数在区间的函数在区间( 0 , ,1 )的端点处异的端点处异

12、号，即有号，即有 F( 0 ) F( 1 ) 0，故有，故有 0ff . . 罗尔中值定理的几何意义可理解为：罗尔中值定理的几何意义可理解为： 定义在区间定义在区间 a , ,b 上的上的端点纵坐标相等的连续光滑端点纵坐标相等的连续光滑曲线弧必有水平切线。曲线弧必有水平切线。 若将这一性质理解为函数在区间若将这一性质理解为函数在区间 a , ,b 上的一般性上的一般性质，则条件质，则条件 f( a )= f( b )显得特殊，一般函数所对应的显得特殊，一般函数所对应的曲线弧未必满足这一条件。曲线弧未必满足这一条件。 由直观易见，若将由直观易见，若将罗尔定理理解为曲线弧的弦与切罗尔定理理解为曲线

13、弧的弦与切线的关系，则线的关系，则去除此条件，上述曲线的几何特征依然成去除此条件，上述曲线的几何特征依然成立，即立，即连续光滑的曲线弧必有平行于弦的切线连续光滑的曲线弧必有平行于弦的切线。abxyO yfxa bx , , , , 20f fa fb10f 0f 连续光滑的曲线弧连续光滑的曲线弧有平行于弦的切线有平行于弦的切线1 M2 m ffababxyO yfxa bx , , , , fa fb ffbafba 连续光滑的曲线弧连续光滑的曲线弧有平行于弦的切线有平行于弦的切线1 M2 m 若函数若函数 f( x )在闭区间在闭区间 a , ,b 上连续，在开区间上连续，在开区间( a ,

14、 ,b )内可导，内可导，则在则在开区间开区间( a , ,b )内至少存在一点内至少存在一点 ( a b )，使得使得 f( b )- f( a )= f ( )( b - - a ). . 拉格朗日中值定理实际是一种导数中值关系式拉格朗日中值定理实际是一种导数中值关系式, ,结合其几何意义，可考虑利用罗尔定理证明。结合其几何意义，可考虑利用罗尔定理证明。 为利用罗尔定理进行证明，考虑构造适当的辅助函为利用罗尔定理进行证明，考虑构造适当的辅助函数数 ( x )，使其满足罗尔定理的条件，同时相应的导数，使其满足罗尔定理的条件，同时相应的导数关系和拉格朗日中值定理相等价。关系和拉格朗日中值定理相

15、等价。abxyO yfxa bx , , , , ffbaL xfaxaba fLxxx x AB yL xx fa fb 作作辅助函数辅助函数 ( x )= f( x )- - L( x )，x a , ,b . .即即显然显然 ( x )在在 a , ,b 上连续，在上连续，在( a , ,b )内可导，且满足内可导，且满足 ( a )= 0 ， ( b )= 0 ， 因此因此 ( x )在在 a , ,b 上满足上满足罗尔定理条件，于是由罗尔定理条件，于是由罗尔定理可知，存在罗尔定理可知，存在 ( a , ,b )，使得使得即有即有 f( b )- f( a )= f ( )( b -

16、- a ). . .ffbaffxxaxaba xxffbaffxxaxaba 0 xffffbabaffxbaba ,ab 从几何上看，拉格朗日中值定理指出了连续光滑的从几何上看，拉格朗日中值定理指出了连续光滑的曲线弧曲线弧 y = f( x )，x ( a , ,b )，必有平行于弦的切线，必有平行于弦的切线，即存在一点即存在一点 ( a , ,b )，使得曲线在该点处的使得曲线在该点处的斜率和弦斜率和弦 AB 的斜率的斜率相等，即相等，即 .ffbafba xyO fa fb1 M2 m yfxa bx , , , , 若函数若函数 f( x )在闭区间在闭区间 I 上的导数恒为零，则上

17、的导数恒为零，则 f( x )在在 I 上必为常数上必为常数。 f( x ) 常数常数 对对 x 1 , ,x 2 I 有有 f( x 2 )- f( x 1 ) 0 . . 所证命题可归结为函数的增量是否恒为零的问题，所证命题可归结为函数的增量是否恒为零的问题，而已知条件为函数的导数条件，故可利用拉格朗日中值而已知条件为函数的导数条件，故可利用拉格朗日中值定理进行讨论。定理进行讨论。 任取任取 x 1 , ,x 2 I ，且且 x 1 a e，证明不等式证明不等式 a b b a . . 所证不等式具有对称形式，考虑用拉格朗日中所证不等式具有对称形式，考虑用拉格朗日中值定理进行证明。值定理进

18、行证明。 为利用拉氏中值定理证明，需构造适当辅助函数，为利用拉氏中值定理证明，需构造适当辅助函数，并将所证不等式变形为该函数增量的形式。并将所证不等式变形为该函数增量的形式。 由对数函数的单调性，在所证不等式两边取对数有由对数函数的单调性，在所证不等式两边取对数有 a b b a 由此可见，所证不等式与函数由此可见，所证不等式与函数 f( x )= ln x/ /x 在区间在区间 a , ,b 上的增量有关。上的增量有关。lnlnbaab lnlnabablnln0baba 作辅助函数：作辅助函数： 由显然由显然 f( x )在区间在区间 a , ,b 上满足上满足拉格朗日中值定拉格朗日中值定

19、理条件，从而存在理条件，从而存在 ( a , ,b )，使得，使得 由于由于 b a e ，所以所以 1 - - ln 0，即有即有逆推而上便得所证不等式。逆推而上便得所证不等式。 ln.xfxa bxx, , , , lnlnbafffbababa 21lnlnxxbabax . . 21lnlnln0bababa . . 拉格朗日中值定理指出的函数增量与自变量增量间拉格朗日中值定理指出的函数增量与自变量增量间的关系的关系 y / / x = f ( )，实际是以自变量增量，实际是以自变量增量 x 为为“标准标准”去度量函数增量去度量函数增量 y， y / / x 可看成是函数可看成是函数

20、y = f( x )的一种的一种“绝对平均变化率绝对平均变化率”。 实际问题有时却需要讨论所谓实际问题有时却需要讨论所谓“相对平均变化率相对平均变化率 y / / v ”，即同时用另一个相关变量，即同时用另一个相关变量 v = g( x )的的增量增量 v 去度量函数增量去度量函数增量 y . . 相对平均变化率相对平均变化率 y / / v 是函是函数数 y = f( x )对于另一函数变化的剧烈程度的度量。对于另一函数变化的剧烈程度的度量。 例如，在交流电的研究中，常考虑交流电回路中交例如，在交流电的研究中，常考虑交流电回路中交流电流流电流 I = I( t )随时间的平均变化率随时间的平

21、均变化率 I/ / t ，同时也需同时也需要考虑电流与另一相关变量交流电压要考虑电流与另一相关变量交流电压 V = V( t )的关系的关系, ,平均变化率平均变化率 I/ / V 反映的是反映的是交流电流随交流电压变化交流电流随交流电压变化的剧烈程度，这就是所谓的交流阻抗。的剧烈程度，这就是所谓的交流阻抗。 如果如果 I/ / V 不易求得，而不易求得，而 I ( t ), ,V ( t )易于求得易于求得，如何确如何确定定 I/ / V ？ 由于在实际问题中，一个变由于在实际问题中，一个变化过程常常含有多个变量，这类化过程常常含有多个变量，这类问题显然具有普遍意义。问题显然具有普遍意义。

22、将上述问题归结为一般数学形式就是：将上述问题归结为一般数学形式就是：设有相关变量设有相关变量 X = F( x ), ,Y = f( x )，考虑用变量，考虑用变量X = F( x )的增量的增量 F 去度量另一个相关变量去度量另一个相关变量 Y = f( x )的增量的增量 f ，即考虑比值：，即考虑比值： 由拉格郎日中值定理，这一比值可表为由拉格郎日中值定理，这一比值可表为但实际问题中这一比值可能难以求得。但实际问题中这一比值可能难以求得。 .ffffxxxbaYYXFFXFFxxxba 或 或 d.dXYYXX 由于此时函数关系由于此时函数关系 Y = Y( X )可看成是由参数方程可看

23、成是由参数方程 X = F( x ), ,Y = f( x )给出的，由参数方程的导数计算有给出的，由参数方程的导数计算有 设函数设函数 X = F( x )当当 X = 时对应时对应 x = ，则结果则结果 可表为可表为 于是得到相关变化率的一种中值关系式。由于相关于是得到相关变化率的一种中值关系式。由于相关变化率具有一般意义，此中值关系式就显得重要了。变化率具有一般意义，此中值关系式就显得重要了。 ddddddYfxYxXXFxx. . ddXffbaYYXFFXba d.dXfffbaYYXFFXFba 如果函数如果函数 f( x ), ,F( x )在闭区间在闭区间 a , ,b 上连

24、续，在上连续，在 开区间开区间( a , ,b )内可导，且内可导，且 F ( x )在在( a , ,b )内每一点处内每一点处均不为零，则在均不为零，则在( a , ,b )内至少存在一点内至少存在一点 ( a b )，使得以下等式成立使得以下等式成立 .fffbaFFFba 柯西中值定理柯西中值定理的的 柯西中值定理的几何意义与拉格郎日中值定理是类柯西中值定理的几何意义与拉格郎日中值定理是类 似的，即连续光滑的曲线弧必有平行于弦的切线，所不似的，即连续光滑的曲线弧必有平行于弦的切线，所不同的只是柯西中值定理是曲线由参数式表示的情形。同的只是柯西中值定理是曲线由参数式表示的情形。XYO :

25、 .XFxABaxbYfx, , F a F b*M XY, , x fffbaFFFba fb fa 由由柯西中值定理，柯西中值定理， f( x ), ,F( x )在闭区间在闭区间 a , ,b 上连续，在开区间上连续，在开区间( a , ,b )内可导内可导，且且 F ( x )在在( a , ,b )内内每一点均不为零，故函数每一点均不为零，故函数 f( x ), ,F( x )在在( a , ,b )上满足上满足拉格朗日中值定理条件，故拉格朗日中值定理条件，故至少存在一点至少存在一点 ( a b ), ,使得使得 f( b )- f( a )= f ( )( b - - a ), ,

26、 F( b )- F( a )= F ( )( b - - a ), ,于是有于是有 .fffbaFFFba 错误分析：错误分析： 在在上述推导中，对不同的函数上述推导中，对不同的函数 f( x ), ,F( x )在闭区在闭区间间 a , ,b 上上分别应用了拉格朗日中值定理，但对不同的分别应用了拉格朗日中值定理，但对不同的函数而言，它们所对应的函数而言，它们所对应的 值一般是不同的，由此所导值一般是不同的，由此所导出的结果应是：出的结果应是： f( b )- f( a )= f ( 1 )( b - - a )， 1 ( a , ,b )； F( b )- F( a )= F ( 2 )( b - - a ), , 2 ( a , ,b ).于是有于是有 这一结果和柯西中值定理并不相同！这一结果和柯西中值定理并不相同！ 1 2.fffbaFFFba 柯西中值定理和拉格朗日中值定理有着类似的几何柯西中值定理和拉格朗日中值定理有着类似的几何意义，因此它和拉格朗日中值定理有类似的应用形式。意义，因此它和拉格朗日中值定理有类似的应用形式。 所不同