平面体系的几何组成分析

1、第一章第一章 第二章第二章目目 录录第一章 绪论第二章 平面体系的几何组成分析第三章 静定结构内力计算第四章 静定结构位移计算第五章 力法第六章 位移法第七章 力矩分配法 第八章 影响线及其应用 第一章 绪 论 1-1 结构力学的研究对象和任务 结构力学的研究对象是建筑结构中的杆件体系，如梁、柱等杆件结构。 结构力学的任务是：研究杆件结构的强度、刚度的计算原理和计算方法。 结构力学是土建类各专业的专业基础课。它是在数学提供的计算工具 ( 微分、积分等 ) 和工程力学提供的计算原理的基础上，进一步研究杆件结构的强度和刚度，为后继专业课 ( 如钢筋混凝土结构 ) 的学习打下扎实的基础。同学们一定要

2、重视本课程的学习。 世上无难事，只怕有心人，只要下功夫，一定能学好本课程。 1-2 杆件结构的支座 平面杆件结构的支座，常见的有以下几种： 一、可动铰支座及其支座反力：图1-4(a) 二、固定铰支座及其支座反力：图1-4(b)三、固定端支座及其支座反力：图1-4(c)四、定向支座及其支座反力：图1-4(d)定向支座还可以有以下形式：图1-4(e) 1-3 杆件结构的结点 杆件结构的结点，通常可分铰结点(图1-5)、刚结点(图1-6) 、组合结点(图1-7)三种。 1-4 结构计算简图 建筑设过程中，在计算杆件的结构强度和刚度时，因为实际结构比较复杂，不可能考虑所有因素进行严格的计算，常需要略去

3、次要因素，而把主要结构以简化图的形式来表示，这种用以计算的简化图式，称为结构计算简图，或计算模型 。 确定结构计算简图的原则是： 1.保证设计上需要的足够精度。 2.使计算尽可能简单。 计算简图的确定，要经过实验、实测和理论分析，并且要经多次工程实践的检验。 工程中常见的建筑结构，已有了成熟的计算简图，设计中可以借鉴。1-5 常见杆件结构类型杆件结构类型很多,现介绍几种常见的(图1-8) 。图1-8图1-8 2-1 几何不变体系、几何可变体系的概念 一. 几何不变体系： 几何形状和位置都不能变的体系，图2-1(a) 。 二. 几何可变体系： 几何形状可以改变，或者位置可以改变的体系， 称为几何

4、可变体系。图2-1(b)，(c)。 第二章 平面体系的几何组成分析 三. 几何瞬变体系与常变体系： 下面，我们来分析图2-2(a)所示体系，由于该体系中三铰共线，假如在 A点加一力P如图(b),由于该力没有其它竖向力来平衡，则 A 点将产生竖向位移，这说明原体系是一个几何可变体系，但只要 A 点有一微量位移,三铰就不再共线，此时力P就可由两个斜杆的竖向拉力来平衡，如图 2-3(b)，从而使该体系成为几何不变体系。图 2-2(c)(c) 这种在原有位置上几何可变，而发生微量变形后即不能继续变形的体系，称为几何瞬变体系。与只能发生微量变形的几何瞬变体系相应对的，是可以发生非微量位移的体系(如图2-

5、1 b 、c) ，称为常变体系。 应该特别注意的是：常变体系和瞬变体系统称为几何可变体系，均不能用作建筑结构，只有几何不变体系才能用作建筑结构。 瞬变体系只能产生微量位移，为什么不能用作建筑结构呢？这是因为瞬变体系能产生很大的内力。以图2-3 所示对称结构为例，当 A点产生微量位易 时，由平衡方程Y = 0 可得两杆内力：N=P/2sin，由于 很小，所以杆的内力N 是很大的。 2-2 自由度、刚片、约束的概念 一.自由度： 体系运动时可以独立改变的几何参数的数目，亦即确定体系位置的独立坐标的数目，称为自由度。 如图2-5所示平面内的点 M，因为其独立坐标为(x , y)(图a) ，或(r ,

6、 ) (图b) ，则W =2。 二. 刚片： 几何不变的平面物体叫刚片。它可以是一个杆，也可以是由若干杆件组成的几何不变体系。所以图 2-6（a）所示为刚片，而图(b)不是。结构简图中我们常以图（c）所示图形代表刚片。 刚片在平面上的位置，可由刚片上任一直线AB的位置确定。而直线的位置可由其上任一点 A的两个坐标 xA、A 及角 确定，所以，一个刚片的自由度是：W =3 。 三. 约束： 所谓约束，就是限制自由度的装置。限制一个自由度的，就叫一个约束，限制两个自由度的，就叫两个约束，。 1. 链杆约束(图 2-8)： 两端以铰和别的物体(刚片或非刚片)相联接的刚性杆件，称为链杆。一个链杆相当于

7、一个约束。 图中，刚片1 不加限制，有 3个自由度(图a) ，当用一链杆 AB 与地球相联，则限制了其沿 AB 方向的移动，只能在垂直 AB 的方向移动和绕 A点转动(图b) ，所以一个链杆相当于一个约束。链杆可是曲杆(图c)或折杆。12 2. 单铰： 联结两个刚片的一个铰，称为单铰(图2-9)。 两刚片未联结之前，刚片2 相对于刚片1 可做 3 种独立运动：沿两个方向 (x ，y) 的移动及相对转动。而用单铰联结之后，它们之间没有了两个相对移动，只剩下一个相对转动，因此，一个单铰相当于两个约束。 另外，因为一个链杆相当于一个约束，所以一个单铰也相当于两个链杆，(图 2-10，其中图 b的瞬心

8、 O点称为虚铰)。 3. 复铰(重铰) ： 联结 3个或 3个以上的刚片的铰，称为复铰。 复铰的作用可以通过单铰来分析。 如图 2-11，虽是一个单铰，但联结了 3个刚片，其联结过程可以认为是：先有刚片 1，然后以单铰将刚片 2联于刚片 1，再以单铰将刚片 3联于刚片 1。这样，联结 3个刚片的一个铰就相当于两个单铰，因此称为复铰。依此类推，联结 N 个刚片的复铰相当于（N -1）个单铰。 1 12 23 3图 2-1 2-3 无多余约束的几何不变体系的组成规则 一个几何不变体系，如果去掉任何一个约束就变成几何可变体系，则该几何不变体系称之为无多余约束的几何不变体系。 无多余约束的几何不变体系

9、的基本组成规则有以下 4种： 一、 3刚片规则： 3刚片以不在同一直线上的 3铰两两相联(图2-12 a)，形成无多余约束的几何不变体系。 若 3铰在同一直线上(图 b) ，则为瞬变体系。图图2-122-12(a)(a)(b)(b) 图(a)与图2-1(a)相同，为几何不变体系；图(b)则与图2-2(b)相似，为瞬变体系。只是把地球和杆均该成了刚片。1 12 23 31 12 23 3 2-3 无多余约束的几何不变体系的组成规则 一、3刚片规则(续) ： 例2-1 试判断图2-13(a)所示体系是否可变？ 解 地球也是一个刚片(图b中刚片3)。这是 3刚片用 3个不共线的铰(1,2)、(1,3

10、) 、 (2,3)两两相联，因此是几何不变体系。其中(1,2) 、 (2,3)是虚铰。 本例中，如果二平行杆的方向平行于铰(1,3)和虚铰(1,2)的连线，则二平行杆与此连线相交于无穷远处，即虚铰(2,3)位于(1,3)和(1,2)的连线上(三铰共线)，该体系将成为瞬变体系。图图2-132-133 3 2-3 无多余约束的几何不变体系的组成规则 一、3刚片规则(续) ： 此外，如果 3刚片以 3对平行杆两两相联(图2-14) ，亦为瞬变(或常变)体系。这时 3个刚片可以发生相对错动(证明从略)。图图 2-142-14 二、2刚片规则()： 两刚片以 1铰及不通过该铰的一个链杆相联，形成无多余约

11、束的几何不变体系(图2-15 a)。 若链杆通过铰，则为瞬变体系(图b)。 其实该规则是把 3刚片规则中的一个刚片换成了一个链杆，实质是一样的。图图2-152-15(a)(a)(b)(b) 2-3 无多余约束的几何不变体系的组成规则 三、2刚片规则() ： 两刚片以既不互相平行，也不汇交的 3个链杆相联，形成无多余约束的几何不变体系(图2-16 a)。 这种规则实际上是 2刚片规则()的变相。如图2-16(a)所示，当把杆1、2的交点视为虚铰，该体系即成为两刚片以1铰、1杆相联的几何不变体系。 另外，若联结两刚片的 3个链杆汇交于一点(图2-16 b)，此时系统将能绕交点 O(瞬心)发生微量相

12、对转动，从而成为瞬变体系。 这也可用以下实例说明。图2-16(a)(a)(b)(b)1 12 23 3A A1 12 2o o 2-3 无多余约束的几何不变体系的组成规则 三、2刚片规则()(续) ： 如图2-17(a)，刚片1 以汇交于一点O 的 3个链杆与地球联结。设 P为作用于刚片1 上的任意载荷，则刚片1 受力如图(b)，由于三杆内力 S1 、S2 、S3 均对 O点无矩，而力 P 一般不通过 O点(任意荷载) ，会使刚片绕 O点转动，且产生微量移动，但微量移动后三杆不再汇交，因此是几何瞬变体系。 此外，若联结两刚片的三杆平行(图2-18a)，可在垂直于杆的方向发生相对错动，为瞬变，若

13、三杆平行等长，则常变(图b)。 图图2-172-17图图2-182-18 2-3 无多余约束的几何不变体系的组成规则 四、1刚片规则(增减二元体规则)： 在 1个刚片(即任一几何不变体系)上，增加(或者减去)一个二杆结点，可构成一个新的无多余约束的几何不变体系。 这里所说的二杆结点，即用两杆铰联于某刚片的一个结点，如图2-19中 A点。其中联结点 A的两杆称为二元体，因此，该规则也称为增减二元体规则 。实际上，当把两杆看成刚片时，这就是三刚片规则。只是观察问题的角度不同。 运用这一规则，可以很方便地判断一个体系的机动性质。原为几何不变的，加一二元体后依然不变，原来几何可变的，加一二元体后仍然可

14、变，且自由度数目不变。 同样的道理，一个体系减去一个二元体后其机动性质也是不变地。 以上规则，对建筑结构的组成分析很重要。图图2-192-192-4 体系几何组成分析举例 所谓体系的几何组成分析，就是分析建筑结构体系的机动性质。从而为结构的内力计算提供依据。 上节已讲过无多余约束的几何不变体系及其组成规则，比无多余约束几何不变体系约束少的，就是几何可变体系，而约束多的则是有多余约束的几何不变体系。 例2-2 作图2-20所示体系的几何组成分析。 解 依次拆去二杆结点 1、2、3，可得三角形AB4，是无多余约束的几何不变体系。 例2-3 作图2-21(a)所示体系的几何组成分析。 解 分别把AB

15、C和 123视为刚片，则二刚片以不汇交的三杆相联，由规则二可知为无多余约束的几何不变体系。图2-20图2-21 2-4 体系几何组成分析举例 例2-4 作图2-22(a)所示体系的几何组成分析。 解 该体系无二杆结点可拆，也无明显的大刚片，但仔细分析后可以发现，如图(b)将杆 1、2、3视为刚片时，这是一个 3刚片用 3个虚铰(1,2)、(2,3)、(1,3) 相联的几何不变体系。 例2-5 图2-23(a) 解 该体系左、右对称，为一杆(CDEF)加两个二杆结点(A、B)形成的大刚片，然后再用一杆一铰相联(图b)，因而是几何不变体系。但应注意的是， C点不是二杆结点(图c) 。左左右右图2-

16、22图2-23 2-4 体系几何组成分析举例 例2-6 作图2-24(a)所示体系的几何组成分析。 解 将 AC和 BD看作支杆，地球和 CDE 看作刚片，该体系是两刚片用三个汇交的链杆联结(图b)，因此瞬变。 例2-7 作图2-25(a)所示体系的几何组成分析。图图2-242-24图图2-252-25 解 点 A 是不动铰，AB、AD均为支杆，当把地球和BCE 及杆DF 均视为刚片时，则该体系是三刚片用三个虚铰（1，2）、 （2，3)、（1，3）联结而成的，但因三铰共线，是几何瞬变体系。2-4 体系几何组成分析举例 例2-8 作图2-26(a)所示体系的几何组成分析。 解 图中ABCDEF

17、是在杆ABCD上依次增加二杆结点 E、F 形成的刚片，再由对称关系可知该体系是三刚片用三个不共线的铰 (1，2)、(1，3)、(2，3)联结成的几何不变体系(图b)。 例2-9 作图2-27(a)所示体系的几何组成分析。 解 该体系左侧几何不变(3刚片以不共线的 3铰相联)(图b)，可看作是地球的一部分，然后再用一铰和一个不通过该铰的链杆与弯杆 BD 相联（图c)，因此，整个体系几何不变。图图2-262-26图图2-272-27 2-4 体系几何组成分析举例 例2-10 作图2-28(a)所示体系的几何组成分析。 解 这是一个多跨静定梁，AB 段以单铰(A) 和一个不通过该铰的链杆与地相联，是

18、几何不变的，可视为地球，CD 段以三个既不平行也不汇交的链杆与地相联(图b)，几何不变，亦可视为地球，则 DE 段以一铰及不过该铰的链杆与地相联(图c)，仍然几何不变。因此，这是一个无多余约束的几何不变体系。图2-28 2-4 体系几何组成分析举例 例2-11 作图2-29所示体系的几何组成分析。 解 按1至9的次序拆去二杆结点，可得图(b)，是几何可变的。增加一杆ae如图(c)，则几何不变，可见图(a)缺少 1个约束。 例2-12 作图2-30所示体系的几何组成分析。 解 图(a)上部是几何可变的，但下部多一杆，若把此杆移到上部如图(b)，则几何不变。图(a)中 A点的水平支杆是多余的，说明有多余约束的体系，不一定几何不变。图2-29图2-302-5 结构的几何特性与静力特性的关系 一、无多余约