第八章 能带理论2

1、能带理论复习能带理论复习形成能带的原因：从能量的角度来讲，如果电子形成能带的原因：从能量的角度来讲，如果电子只有原子内的运动（孤立原子），则能级将是孤只有原子内的运动（孤立原子），则能级将是孤立的；如果原子只有共有化运动（自由电子费米立的；如果原子只有共有化运动（自由电子费米气体当中的情形），则能级将是连续的。由于晶气体当中的情形），则能级将是连续的。由于晶体当中的电子运动介于两者之间，所以能带表现体当中的电子运动介于两者之间，所以能带表现为既有允带又有禁带的情形。为既有允带又有禁带的情形。能带理论虽然是从周期性结构的晶体当中引入的能带理论虽然是从周期性结构的晶体当中引入的，但周期性结构并不是

2、形成能带的必要条件，这，但周期性结构并不是形成能带的必要条件，这点已经被实验所证实。为什么非周期性结构也可点已经被实验所证实。为什么非周期性结构也可以形成能带？以形成能带？能带产生的原因：布拉格反射能带产生的原因：布拉格反射是不是满足布拉格发射的都能形成能带？是不是满足布拉格发射的都能形成能带？也就是满足劳厄衍射条件的就一定有衍射？也就是满足劳厄衍射条件的就一定有衍射？我们对于复式格子曾经引人了结构因子（考我们对于复式格子曾经引人了结构因子（考虑到结构消光的原因），那么现在呢？虑到结构消光的原因），那么现在呢？ 在外电场的作用下，大量共有化电子很在外电场的作用下，大量共有化电子很 易获得能量，

3、集体定向流动形成电流易获得能量，集体定向流动形成电流。从能级图上来看，是因为其共有化电子从能级图上来看，是因为其共有化电子很易从低能级跃迁到高能级上去。很易从低能级跃迁到高能级上去。E导体导体从能级图上来看，是因为满带与空带之间从能级图上来看，是因为满带与空带之间有一个有一个较宽的禁带较宽的禁带（ Eg 约约36 eV），），共有化电子很难从低能级（满带）跃迁到共有化电子很难从低能级（满带）跃迁到高能级（空带）上去。高能级（空带）上去。 在外电场的作用下，共有化电子很难接在外电场的作用下，共有化电子很难接 受外电场的能量，所以形不成电流。受外电场的能量，所以形不成电流。 的能带结构的能带结构,

4、满带与空带之间也是禁带，满带与空带之间也是禁带， 但是禁带很窄但是禁带很窄（ E g 约约0.12 eV )。绝缘体绝缘体半导体半导体绝缘体与半导体的击穿绝缘体与半导体的击穿当外电场非常强时，它们的共有化电子还是当外电场非常强时，它们的共有化电子还是能越过禁带跃迁到上面的空带中的。能越过禁带跃迁到上面的空带中的。绝缘体绝缘体半导体半导体导体导体第八章 能带 Energy Bands 布洛赫电子的准经典运动布洛赫电子的准经典运动为什么要研究其准经典运动？为什么要研究其准经典运动？背景：背景： 前章得出了晶体电子在周期性势场中的本征前章得出了晶体电子在周期性势场中的本征态和本征能量，由此出发可以进

5、一步研究晶体中态和本征能量，由此出发可以进一步研究晶体中电子的基态和激发态，即由统计物理的基本原理电子的基态和激发态，即由统计物理的基本原理去讨论系统中电子按照能量的平衡态分布问题，去讨论系统中电子按照能量的平衡态分布问题，讨论在外场下的量子跃迁问题，如热激发、光吸讨论在外场下的量子跃迁问题，如热激发、光吸收和电子散射等。更重要的是如果要考虑外场下收和电子散射等。更重要的是如果要考虑外场下电子的运动，哈密顿量就需要加上外场，此时电电子的运动，哈密顿量就需要加上外场，此时电子的运动与时间相关，就必须求解包含外场在内子的运动与时间相关，就必须求解包含外场在内的含时薛定谔方程。的含时薛定谔方程。 数

6、学太复杂，所以要把布洛赫电子当做准数学太复杂，所以要把布洛赫电子当做准经典粒子来处理，这样就避免了复杂的数学运算经典粒子来处理，这样就避免了复杂的数学运算，而且物理图像也比较直观。，而且物理图像也比较直观。88.1 运动方程运动方程91准经典近似准经典近似 点阵的周期势场是在点阵常数的范围内点阵的周期势场是在点阵常数的范围内变化，这样的势场只能用量子力学来处理。变化，这样的势场只能用量子力学来处理。 波包的群速度波包的群速度微观粒子的运动速度。微观粒子的运动速度。10 Bloch电子在外加电磁场下的运动规律。电子在外加电磁场下的运动规律。 Bloch电子的速度是电子的速度是Bloch波包的群速

7、度波包的群速度kv1)(1kvk三维时：2.2. 运动方程运动方程zzyyxxkkkkkk1112 若外加电场为若外加电场为E，则外场对，则外场对Bloch电子要电子要作功，在作功，在dt时间内，电子的能量增加为时间内，电子的能量增加为：eEvdtdvdkdkkd)()(1kvFeEdtdk 13三维时：三维时：FEedtkd 上式表明了电子在波矢空间的运动规律。上式表明了电子在波矢空间的运动规律。从式中可看到：电子晶体动量的变化率仅决从式中可看到：电子晶体动量的变化率仅决定于外力，而与周期势场无关。定于外力，而与周期势场无关。1vFdtkd真实空间中的运动规律真实空间中的运动规律 波矢空间中

8、的运动规律波矢空间中的运动规律14考虑考虑Bloch电子在外加磁场电子在外加磁场 下运下运动规律：动规律：BBvedtkdBveFBedtkdk215 电子在等能面与垂直于磁场平面电子在等能面与垂直于磁场平面这两个面的交线运动（真实空间是螺这两个面的交线运动（真实空间是螺旋线）旋线）168.2 空空 穴穴17 电子从一个能带跃迁到上一个能带中电子从一个能带跃迁到上一个能带中去，在原能带中留下一个空轨道，这个空去，在原能带中留下一个空轨道，这个空轨道称为轨道称为空穴空穴。空穴是一个几乎充满的能带中的空轨空穴是一个几乎充满的能带中的空轨道，它是在波矢空间的能带中的概念，不道，它是在波矢空间的能带中

9、的概念，不是真实空间中失去电子后的空位，也不是是真实空间中失去电子后的空位，也不是原子离开原位置后留下的空位缺陷。原子离开原位置后留下的空位缺陷。18 1 1 空穴的波矢空穴的波矢是留下空轨道的那个是留下空轨道的那个电子波矢的负值。电子波矢的负值。 ehkk1. 空穴的性质19 失去了一个电子的能带既可以用失去了一个电子的能带既可以用2N-12N-1个电子的集体个电子的集体行为来描写，也可以用一个空穴来描写。空穴的行为是行为来描写，也可以用一个空穴来描写。空穴的行为是与与2N-12N-1个电子的集体行为联系在一起的。空穴是假想的个电子的集体行为联系在一起的。空穴是假想的粒子，是粒子，是准粒子准

10、粒子。主要是为了处理问题方便而引入的。主要是为了处理问题方便而引入的。0k一个能带中012eekkNk则个电子的电子，剩下此能带失去一个波矢为 空穴是描述失去了电子的能带的简捷方法空穴是描述失去了电子的能带的简捷方法ekkehkk202空穴的能量 空穴的能量等于失去的那空穴的能量等于失去的那个电子的能量的负值。个电子的能量的负值。）（）（eehhkk213空穴的速度 空穴的速度与失去了的那空穴的速度与失去了的那个电子的速度相同。个电子的速度相同。ehvv224空穴的有效质量 空穴的有效质量等于失去空穴的有效质量等于失去了的那个电子的有效质量的负了的那个电子的有效质量的负值值。ehmm235 5

11、在外加电磁场中空穴的运在外加电磁场中空穴的运动方程如一个带电荷为动方程如一个带电荷为+e+e的粒的粒子的运动方程：子的运动方程： ）（BvEedtkdhh24可以说，没有空穴，也就没有半导体器件的应可以说，没有空穴，也就没有半导体器件的应用，没有现代高度发达的文明。用，没有现代高度发达的文明。（台湾：电洞）（台湾：电洞）（大陆：空穴）（大陆：空穴）空穴：空穴：hole, 准粒子。半导体中可通过掺杂改变准粒子。半导体中可通过掺杂改变导电类型，于是有了导电类型，于是有了PN结，有了结，有了IC25 在外加恒定电场下，电子的波矢的改变在外加恒定电场下，电子的波矢的改变满足方程式：满足方程式： 在恒定

12、电场中，电子的速度以均匀速度在恒定电场中，电子的速度以均匀速度变化，若变化，若t=0t=0时刻开始加电场，则在时刻时刻开始加电场，则在时刻t t电电子的波矢为子的波矢为 tEektk）（）（0Eedtkd2.2.电子和空穴在恒定电场下的半经典运动电子和空穴在恒定电场下的半经典运动26Ekkvvnej27 这主要是我们没有考虑电子的各种散这主要是我们没有考虑电子的各种散射，电子在运动过程中要与声子、晶体中射，电子在运动过程中要与声子、晶体中的杂质等发生碰撞。的杂质等发生碰撞。sec10/10142mVE例如：1110cmeE则18101BZcma尺度而 电子只能在波矢空间在原波矢附近运动一电子只

13、能在波矢空间在原波矢附近运动一个极小的距离。所以观察不到周期性的变化。个极小的距离。所以观察不到周期性的变化。28满带中的电子不能导电Ekkv)()(kEkE)()(kvkv0)(kv外加电场外加电场 dtdkhef0)(kv J（K）=-J（-K）即是说，+k态和态和-k态态的电子电流互相抵消的电子电流互相抵消一种简单理解：电子无空间可移动！一种简单理解：电子无空间可移动！29不满带电子能导电EkkvEkkv无外电场时无外电场时0)(kv有外电场时有外电场时0)(kv0)(kevJ +k态和态和-k态的电子数态的电子数不再相等，正负电流不能不再相等，正负电流不能全部抵消全部抵消308.3 有

14、效质量有效质量31dkdv1一维情况dtdkdkddtdva221则1.1.有效质量的定义有效质量的定义FdtdkFka2221电子的有效质量）（令mk222amF*具有牛顿第二定律的形式。具有牛顿第二定律的形式。32*mfa222*dkEdhm概括了半导体内概括了半导体内部势场的作用部势场的作用半导体内部势场+外电场的共同作用结果绝妙的简化处理！绝妙的简化处理！ 有了有效质量的概念，我们就有了有效质量的概念，我们就可以像处理自由电子一样来处理可以像处理自由电子一样来处理晶体中的电子。晶体中的电子。33自由电子和晶体中的电子的运动自由电子和晶体中的电子的运动34k k k k m* 0m* 0

15、222dk(k)dml 有效质量不是电子的惯性质量l 有效质量的大小与能带结构有关l 有效质量会出现负值，其物理意义代表该电子在运动时受到反作用力所致35e22gm2kEeh22m2khEedtvdmee*导带中的电子Eedtvdmhh*价带中的空穴k Eg导带导带价带价带半导体中的有效质量半导体中的有效质量36eevneJhhvPeJ半导体中的电流半导体中的电流半导体中的总电流半导体中的总电流heJJJ372.2.有效质量张量有效质量张量 晶体的各向异性决定了有效质量不是标量，而晶体的各向异性决定了有效质量不是标量，而是一个张量。是一个张量。),(1)(221*zyxjikkEhmjiij3

16、8 适当选用坐标系总可把张量对角化，这样适当选用坐标系总可把张量对角化，这样的坐标系称为主轴坐标系。的坐标系称为主轴坐标系。 是三个主轴方向的波矢分量是三个主轴方向的波矢分量 是三个主轴方向的有效质量分量是三个主轴方向的有效质量分量321kkk、321mmm、),(*zyxiamFii形式则牛顿定律可写成分量39 若等能面有旋转椭球的形状若等能面有旋转椭球的形状（如（如Ge，Si） 在导带底附近在导带底附近( (能量极小值的地方能量极小值的地方) )：lytzxmkmkkk22222)（）（40 若外加一个与磁场方向垂直的交变电场，若外加一个与磁场方向垂直的交变电场，当电场的频率等于电子的回旋

17、频率当电场的频率等于电子的回旋频率时时，电子会，电子会从交变电场中吸收能量，发生共振吸收，称之从交变电场中吸收能量，发生共振吸收，称之为回旋共振。若改变电场的频率，就可以测出为回旋共振。若改变电场的频率，就可以测出电子的回旋频率，测出有效质量。电子的回旋频率，测出有效质量。在外加恒定磁场的作用下，电子的回旋频率：在外加恒定磁场的作用下，电子的回旋频率：3 3回旋共振回旋共振*/meBc418.4 能带理论的限制能带理论的限制 （金属一绝缘体转变）（金属一绝缘体转变）准经典模型的适用范围准经典模型的适用范围1）外场的波长要远远大于晶格常数，否则）外场的波长要远远大于晶格常数，否则行不成波包。外场

18、作为一种力出现在描行不成波包。外场作为一种力出现在描述波包的坐标和波矢变化的经典运动方述波包的坐标和波矢变化的经典运动方程中，要求与波包的尺度相比，外场是程中，要求与波包的尺度相比，外场是一个时间和空间的缓变场。一个时间和空间的缓变场。2）外场变化的频率必须满足小于带隙，否）外场变化的频率必须满足小于带隙，否则会有带间跃迁的发生。则会有带间跃迁的发生。43 假设金属的点阵常数假设金属的点阵常数a能任意增大，则按照能带能任意增大，则按照能带理论它依然是导体。理论它依然是导体。 而事实上，当点阵常数足够大时金属就会变成绝而事实上，当点阵常数足够大时金属就会变成绝缘体，这叫作金属一绝缘体转变，或称莫

19、特（缘体，这叫作金属一绝缘体转变，或称莫特（Mott）转变。这个结论用能带理论显然无法解释。转变。这个结论用能带理论显然无法解释。 简单理解：简单理解：a足够大时，电子已成了局域电子。足够大时，电子已成了局域电子。能带理论的总结能带理论的总结成功之处：成功之处： 总的说来，建立在严格周期势场中单电子近总的说来，建立在严格周期势场中单电子近似下的能带理论，获得了巨大的成功。比如对似下的能带理论，获得了巨大的成功。比如对金属和非金属的区分、能带理论预言的能隙的金属和非金属的区分、能带理论预言的能隙的宽度与原子间距有关，如果通过施加压力使原宽度与原子间距有关，如果通过施加压力使原子间距减小，将导致能带展宽，从而形成部分子间距减小，将导致能带展宽，从而形成部分填充的能带，进而晶体将由非金属性变为金属填充的能带，进