重积分直角坐标系下二重积分计算PPT课件

1、oxy)(1xy )(2xy ab如果积分区域为 bxaxyxD)()(:21 （1）X型区域1.对积分区域的讨论：xX-型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.1.直角坐标系下二重积分的计算第1页/共23页oxy如果积分区域为 dycyxyD)()(:21 （2）Y型区域Y-型区域的特点： 穿过区域且平行于 x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 可以用平行于坐标轴的直线(3) 一般区域：1D2D3D把 D 分解成有限个 x-型区域或y-型区域oxy)(1yx )(2yx cdy第2页/共23页)(02x )(01x ,义义根根据据二二重重积积分分的的

2、几几何何意意2.二重积分的计算公式：, 型时型时为为先讨论积分区域先讨论积分区域 xD Ddxdyyxf),(二重积分二重积分 V,型型区区域域为为由由于于积积分分区区域域 xD, ,0 xba区区间间上上任任意意固固定定一一点点在在作平行作平行过过0 x, 其截面为曲边梯形其截面为曲边梯形其面积其面积 bxaxyxD)()(:21 如如何何计计算算.面面的的平平面面于于yozozxy),(yxfz Dab0 x )(0 xA )( 0 xA),(yxfz0 Ddxdyyxf),(：用另一种方法求用另一种方法求 V )()(),(02010 xxdyyxf 第3页/共23页 )(xA, 的公式

3、的公式积积根据截面面积已知的体根据截面面积已知的体 V则则 badx )()(21),(xxdyyxf dxdxdyyxfbaD ),(从而从而 )()(21),(xxdyyxf 通常写成： Dbadxdxdyyxf),( )()(21),(xxdyyxf 即把二重积分化为即把二重积分化为,积分积分先对先对y积分积分后对后对x的二次积分的二次积分xab)(1x )(2x )(xAozxy),(yxfz D，上任意一点上任意一点一般地，过一般地，过xba,轴轴的的平平面面作作垂垂直直于于x )()(),(xxdyyxf21 badxxA)(面积面积与柱体相交得到的截面与柱体相交得到的截面第4页/

4、共23页如果积分区域为 y-型： dycyxyD)()( :21 oxy)(1yx )(2yx cd Ddxdyyxf),( 即即把把二二重重积积分分化化为为,积分积分先对先对x积分积分后对后对y.的二次积分的二次积分类似的有： dcdy )()(21),(yydxyxf dydc )()(),(yydxyxf21 Ddxdyyxf),( 通常写成：第5页/共23页计算二重积分需要注意以下几点： (1)在计算二重积分时，首先根据已知条件确定积分区域 D 是 x-型还是 y-型区域，由此确定将二重积分化为先y后x的二次积分还是先x后y的二次积分。 (2)当积分区域 D 既是x-型区域，又是y-型

5、区域时，把二重积分化为二次积分时，就有两种积分顺序： )()(21),(),(xxDbadyyxfdxdxdyyxf 先y后x )()(21),(yydcdxyxfdy 先x后y第6页/共23页oyx (3)如果用平行于坐标轴的直线与积分区域 D 的 321),(),(),(DDDdxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf则必须分割区域 D 221DDDD 1D2D3D根据二重积分的性质 Ddxdyyxf),(交线多于两个交点，如图。第7页/共23页 Dydxdyx21 计算二重积分计算二重积分例例10 , 11 yxD为矩形区域为矩形区域其中其中oxy111 , :的图形的图形先画区域先画区

6、域解解D解法一：D 为 X-型区域二重积分化为先 y 后 x 的二次积分 Dydxdyx2 11102221dxyx 11221dxx31 11102ydyxdxdxydyx 11102第8页/共23页oxy111 解法二：D 为 Y-型区域 1011:yxD二重积分化为先 x 后 y 的二次积分 Dydxdyx2 1011331dyxy 1032ydy31 10112ydxxdy 10112dydxxy第9页/共23页例例 2 2 求求 Ddxdyyx)(2，其中，其中D是由抛物线是由抛物线2xy 和和2yx 所围平面闭区域所围平面闭区域.解求求两两曲曲线线的的交交点点 22yxxy Ddx

7、dyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 14033 2xy 2yx oxy11将 D 化为 X-型区域 10:2xxyxD),( ,),(1100 x第10页/共23页2xy 2yx oxy11y Ddxdyyx)(2 1022)(yydxyxdydyyyy)3134(361023 14033 将 D 化为 Y-型区域 10:2yyxyD1047254171315234 yyy第11页/共23页 Ddxdyyx)(3 计计算算二二重重积积分分例例.,所围成所围成是由直线是由直线其中其中xyxyxxD321 , :的图形的图形先画区域先画区域解解DD 为

8、 X-型区域 :Dxyx3 21 x Ddxdyyx)( 213xxdyyxdx)(dxyxyxx 213221dxx 212614 1xy xy3 2xyo第12页/共23页是由直线是由直线其中区域其中区域计算二重积分计算二重积分例例DdxdyyxD , 224所围成所围成及双曲线及双曲线 1 , 2 xyxyx解：画出积分区域 D 的图形.oyxxy 21 xy求出各个交点，如图212将 D 化为 X-型区域 :D 22dxdyyxD dxyxxx12121 )(2 xx11 213)(dxxx49 xyx 121 xdyyxdxxx 12221第13页/共23页将 D 化为 Y-型区域2

9、1DDD dxdyyxdxdyyxdxdyyxDDD 21222222 这样计算量 就比 X-型区域的计算量大的多因此，计算二重积分时，要适当的选择积分区域。oyxxy 21 xy2122 x111D2D :1D121 y21 xy :2D21 y2 xy第14页/共23页, dxyD 计算计算例例5，是由抛物线是由抛物线其中区域其中区域2yxD .所围成的区域所围成的区域直线直线2 xy :解解D 为 y-型区域 :Dxy 221 yxyo),(11 ),(242 xy2yx 1 2, 的图形的图形先画区域先画区域 D dxyD 2122yyxydxdydyyxyy 2122221dyyyy

10、 2152221)(845 2 y第15页/共23页oyx)1 , 1()1 , 0(xy 解将 D 化为 X-型区域 :D Dydxdye2 1012xydyedx.无无法法求求出出从从而而 1012xydyedxx1无法用初等函数表示, dyey2 dyey2无法积分.1 yx10 x Dydxdye2计算二重积分计算二重积分例例 6是由直线是由直线其中区域其中区域 D .,围成的区域围成的区域xyyx 10第16页/共23页 Dydxdye2 yydxedy0102dyyey 102)(2102ydey )11(21e oyx)1 , 1()1 , 0(将 D 化为 Y-型区域 :D y

11、ydxdye010210221ye yx 010 yxy 21 第17页/共23页解积分区域由两个y-型区域构成.),(的积分顺序的积分顺序交换积分交换积分例例 2211117xxdyyxfdx :2D :1D转化积分区域为 Y-型区域2211yxy 01 y积分区域为 X-型区域 :D11 x2211xyx 11 yxy 1110 y 221111xxdyyxfdx),( 221101yydxyxfdy),( yydxyxfdy1110),(2D1Dxyo11 第18页/共23页解由原积分知，积分区域为两个Y-型区域 和和 xxdyyxfdxI2211),( 故故转化积分区域为 X-型区域

12、ydxyxfdyI212141),( yydxyxfdy),(121交换下列积分交换下列积分例例8.的顺序的顺序121 xxyx 2xy xoy 21411212xy 12141 yyx 21121 yyxy 第19页/共23页22xxy xyo例例9 9 改改变变积积分分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2 解积分区域由两个X-型区域构成 1020:21xxxyD 2120:2xxyD转化积分区域为 Y-型区域 10211:2yyxyD 102112),( yydxyxfdy原式原式故故1xy 22D12的次序.第20页/共23页二重积分在直角坐标下的计算（在积分中要正确选择积分次序）小 结.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf Ddcyydxyxfdydyxf)()(21),(),( Y型X型第