微积分第一类换元法PPT教案

1、微积分第一类换元法微积分第一类换元法问题问题: xdx2cos,2sinCx 解决方法解决方法:利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程: 令令2ux2dudx xdx2cos1cos2udu1sin2uC.2sin21Cx 1. 1. 第一类换元积分法第一类换元积分法( (凑微分法凑微分法) )1,2dxdu第1页/共63页在一般情况下：在一般情况下：设设),()(ufuF 则则.)()( CuFduuf如果如果)(xu （可微）（可微）dxxxfxdF)()()( CxFdxxxf)()()( )()(xuduuf 由此可得换元法定理由此可得换元法定理第2页/共63页

2、设设)(uf具具有有原原函函数数， dxxxf)()( )()(xuduuf 第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）说明说明: 使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将 dxxg)(化为化为 ( )( )fxx dx)(xu 可可导导，则有换元公式则有换元公式定理定理1 1 ( ) ( ).fx dx第3页/共63页5xe dx5 ,ux令15,5dudxdxdu则从而5xe dx15ue du15ueC51.5xeC例例1 1 求求解解第4页/共63页5xe dx5xe dx51(5 )5xex dx51.5xeC例例1 1 求求解解551(5 )5xxeex 51(5 )5x

3、e dx第5页/共63页3(32 )x dx32 ,ux令12,2dudxdxdu 则从而原式312u du418uC 41(32 ).8xC 例例2 2 求求解解第6页/共63页3(32 )x dx331(32 )(32 )(32 )2xxx 原式41(32 ).8xC 例例2 2 求求解解31(32 )(32 )2xx dx31(32 )(32 )2x dx 第7页/共63页11 2dxx12 ,ux 令12,2dudxdxdu 则从而原式112duu1ln2uC 1ln 1 2.2xC 例例3 3 求求解解第8页/共63页11 2dxx111(1 2 )1 22 1 2xxx 原式11(

4、1 2 )2 1 2dxx1ln 1 2.2xC 例例3 3 求求解解第9页/共63页2cos()xx dx2,ux令12,2duxdxdxdux则从而原式1cos2udu1sin2uC21sin().2xC例例4 4 求求解解第10页/共63页2cos()xx dx2221cos()cos() ()2xxxx 原式221cos() ()2xxdx21sin().2xC例例4 4 求求解解221cos() ()2xd x第11页/共63页sinxdxxsin2sin() ,xxxx2cos.xC 例例5 5 求求解解原式2 sin()xdx第12页/共63页例例6 6 求求31.23dxx解解

5、13311(23 )(23 ) ,323xxx 原式22331 31(23 )(23 ).3 22xCxC dxbaxf)(.1() ()f ax b d ax ba一般一般地地131(23 )(23 )3xdx 第13页/共63页23. 2xxe dx1001. (1)xdx25.sin(35)xxdx22.1xdxx2sin6.sin2xexdx4.xedxx第14页/共63页;)(. 11dxxxfnn ;)(. 2dxxxf;)(ln. 3dxxxf;)1(. 42dxxxf;cos)(sin. 5xdxxf;)(. 6dxaafxx常见类型常见类型:;sec)(tan. 72xdxx

6、f;1)(arctan. 82dxxxf 第15页/共63页1(),dxd ax ba12 (),dxdxxsin(s ),xdxd co x21(tan ).dxdxcos x21(),2xdxd x1(ln ),dxdxx(),xxe dxd e(sin ),cosxdxdx21(cot ),sindxdxx 211( ),dxdxx 第16页/共63页例例7 7 求求.2sin xdx解解（一）（一） xdx2sin1sin2 (2 )2xx dx;2cos21Cx 解解（二）（二） xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx 解解（三）（三） xd

7、x2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx )2(2sin21xxd2 sin (sin )xx dx2 cos (cos )xx dx 第17页/共63页例例8 8 求求221(0)dx aax211 ( )dxxaa21( )1 ( )xdaxa解解arcsin.xCa第18页/共63页例例9 9 求求.122dxxa 解解dxaxa 222111 axdaxa2111.arctan1Caxa 第19页/共63页例例10 10 求求解解221.dxxa111()2dxaxaxa原式1ln.2xaCaxa22( )uxxa令：可以吗？221?dxax第20页

8、/共63页例例1111 求求sintancosxxdxdxxtan xdx1(cos )cosdxx 解解ln cos.xC cotln sin.xdxxC类似可证类似可证: :第21页/共63页例例1212 求求解解（一）（一） dxxsin1.csc xdx xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxln tan2xC.lncsccotxCx2sin2sin1 cos22tancsccot2sinsincos2xxxxxxxxx第22页/共63页解解（二）（二） dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos

9、112xdxxucos duu21111ln21uCu11 cosln21 cosxCx211duu.lncsccotxxC221(1 cos )ln2sinxCx第23页/共63页解解（三）（三）csc (csccot )csccotxxxdxxx xdxcsc.lncsccotxxC1(csccot )csccotdxxxx类似地可推类似地可推出出.seclnsectanxdxxxC第24页/共63页基基本本积积分分表表(16)tanln cos;xdxxC (17)cotln sin;xdxxC(18)secln sectan;xdxxxC(19)cscln csccot;xdxxxC2

10、211(20)arctan;xdxCaxaa2211(21)ln;2xadxCxaaxa221(22)arcsin.xdxCaax第25页/共63页例例1313 求求343.1xdxx解解原式4431(1)4 1xdxx43ln 1.4xC 4431(1)4 1dxx 第26页/共63页例例1414 求求21.25xdxxx解解原式2211(25)225xxdxxx2211(25)225d xxxx21ln(25).2xxC第27页/共63页例例1515 求求.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx .)1(21112Cxx 第28页/

11、共63页例例1616 求求21.23dxxx解解221(1)( 2)dxx11arctan.22xC221dxax用221(1)(1)( 2)d xx1arctanxCaa第29页/共63页例例1717 求求21.23dxxx解解221(1)2dxx1(1)2ln4(1)2xCx221dxxa用221(1)(1)2d xx1ln2xaCaxa11ln.43xCx第30页/共63页例例1717 求求21.23dxxx解解11ln.43xCx21123(1)(3)xxxx1()3,ab xab 0,31abab11,44ab 即13abxx11114143dxdxxx原式第31页/共63页P.12

12、5 例例3(1)22(1)23xdxxx2(23)22,xxx21(23)1,2xx12(22) 12xx 2221(23)122323xxdxdxxxxx原式22211ln(23)2(1)( 2)xxdxx2111ln(23)arctan.222xxxC解解第32页/共63页P.125 例例3(2)22(2)23xdxxx2(23)22,xxx21(23)1,2xx12(22) 12xx 2221(23)122323xxdxdxxxxx原式22211ln232(1)2xxdxx2111ln23ln.243xxxCx解解第33页/共63页22(2)23xdxxx,13abxx22223(1)(

13、3)xxxxxx解解2()3,xab xab1,32abab31,44ab即31114143dxdxxx原式31ln1ln3.44xxC 第34页/共63页例例1818 求求32.1xdxx解解原式2221()2 1xd xx2221(1) 1()21xd xx2221111 ()()22 1d xd xx222111(1)22 1xd xx2211ln(1).22xxC例例18还有其还有其它解法吗它解法吗?第35页/共63页例例1919 求求.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 第36页/

14、共63页例例2020 求求1.xxdxee解解21 ()xxedxearctan.xeC21()1 ()xxd ee第37页/共63页例例2121 求求.)11(12dxexxx 解解,1112xxx 11211(1)()xxxxedxexdxxx)1(1xxdexx .1Cexx 第38页/共63页例例 22 求求.12321dxxx 原式原式 dxxxxxxx 123212321232dxxdxx 12413241)12(1281)32(3281 xdxxdx .121213212133Cxx 第39页/共63页例例2323 求求解解sinsincosxdxxx1(sincos )(cos

15、sin )2sincosxxxxdxxx11(cossin )122sincosxxdxdxxx11(sincos )22sincosxxxdxxx1(ln sincos).2xxxC第40页/共63页练习练习: :求求3sincos.sincosxxdxxx解解原式31(sincos )sincosxx dxxx31(sincos )sincosdxxxx233(sincos ).2xxC第41页/共63页例例2424 求求2arccos210.1xdxx解解原式2arccos10(arccos )xx dx2arccos10(arccos )xdx 2arccos110(2arccos )

16、2xdx 2arccos1 10.2ln10 xC 第42页/共63页例例2525 求求解解.2arcsin412dxxx dxxx 2arcsin41222arcsin2112xdxx )2(arcsin2arcsin1xdx .lnarcsin2xC2211(arcsin)( ),2241 ( )2xxxx第43页/共63页例例2626解解.)2(10 xxdx求求 )2(10109xxdxx原式原式 )2()(101101010 xxxdCxx )2ln(ln2011010.)2ln(201ln2110Cxx 第44页/共63页求求.)1(ln)ln(dxxxxp 例例2727解解dxx

17、xxd)ln1()ln( dxxxxp)1(ln)ln( )ln()ln(xxdxxp 1,)lnln(1,1)ln(1pCxxpCpxxp第45页/共63页解解例例2828 设设 求求 .,cos)(sin22xxf )(xf令令xu2sin ,1cos2ux ,1)(uuf duuuf 1)(,212Cuu .21)(2Cxxxf 第46页/共63页例例2323 求求2cos xdx1 cos22xdx111cos222dxxdx解解11sin224xxC第47页/共63页例例2424 求求解解3sin.xdx2sin(cos )xx dx 2(1 cos) (cos )x dx 21co

18、scos.3xxC 第48页/共63页例例2525 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇奇次项次项去凑微分去凑微分.第49页/共63页例例2626 求求解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(co

19、s212cos3cos.5sin101sin21Cxx 第50页/共63页例例2727 求求解解3tansecxxdx2tan(tan sec )xxx dx2tan(sec )xx dx2(sec1) (sec )xdx31secsec.3xxC第51页/共63页例例2828 求求解解43sectanxxdx23sectan(tan )xxx dx23(1tan)tan(tan )xxdx35(tantan) (tan )xx dx4611tantan.46xxC第52页/共63页例例2929 求求3sin.cosxdxx解解原式31(cos )cosxdxx31(cos )cosdxx 21.2cosCx232sin:tanseccos1tantantan.2xdxxxdxxxdxxC另解第53页/共63页例例3131 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx 第54页/共63页例例3434 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx xuln21 duu121.11lnln1 2l