弹性力学习题库PPT学习教案

1、会计学1弹性力学习题库弹性力学习题库第1页/共117页答：答：一般的混凝土构件可以作为理想的弹性体，而钢筋混凝土构件不可以作为理想的弹性体；一般的岩质地基不可以作为理想弹性体，而土质地基可以作为理想的一般的混凝土构件可以作为理想的弹性体，而钢筋混凝土构件不可以作为理想的弹性体；一般的岩质地基不可以作为理想弹性体，而土质地基可以作为理想的 弹性体。弹性体。第2页/共117页答：答：应力的符号规定：当作用面的外法线指向坐标轴的正方向时（即正面时），这个面上的应力（不论是正应力还是切应力）以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。相反，当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时（即负面时）这个面上的应

2、力就以沿坐标轴的负向为正，正向为负。应力的符号规定：当作用面的外法线指向坐标轴的正方向时（即正面时），这个面上的应力（不论是正应力还是切应力）以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。相反，当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时（即负面时）这个面上的应力就以沿坐标轴的负向为正，正向为负。面力的符号规定：当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正，沿坐标轴的负方向时为负。面力的符号规定：当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正，沿坐标轴的负方向时为负。 试分别试分别画出正面和负面上的正的应力和正的面力的画出正面和负面上的正的应力和正的面力的方向。方向。第3页/共117页xy负面负面正面正面xyyxyxyxx

3、xyyyx负面负面正面正面yfxfxfyfxfyfxfyf应力和面力的符号规定有什么区别？应力和面力的符号规定有什么区别？第4页/共117页xyOzxfyfyfxfxfyfxfyfxfyfyxyxyxxxyyyxxyOzyfxf第5页/共117页xyxfyfxfyfxfyfyfxfOz第6页/共117页第7页/共117页第8页/共117页例例如果某一问题中，如果某一问题中， ，只存在平面应力分量，只存在平面应力分量 ，且它们不沿，且它们不沿z方向变化，仅为方向变化，仅为x、y的函数，试考虑此问题是否就是平面应力问题？的函数，试考虑此问题是否就是平面应力问题？0zzxzy,xyxy 答：答：平面

4、应力问题，就是作用在物体上的外力，约束沿平面应力问题，就是作用在物体上的外力，约束沿 z 向均不变化，只有平面应力分量向均不变化，只有平面应力分量 ，且仅为，且仅为 x，y 的函数的弹性力学问题，因此，此问题是平面应力问题。的函数的弹性力学问题，因此，此问题是平面应力问题。,xyxy 第9页/共117页图图 2-14xzOy（本章习题（本章习题2 21 1）如图如图2 21414，试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中，其应力状态接近于平面应力的情况。，试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中，其应力状态接近于平面应力的情况。答：答：在不受任何面力作用的空间体表面

5、附近的薄层中，可以认为在该薄层的上下表面都无面力，且在薄层内所有各点都有在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中，可以认为在该薄层的上下表面都无面力，且在薄层内所有各点都有 ，只存在平面应力分量，只存在平面应力分量 ，且它们不沿，且它们不沿z方向变化，仅为方向变化，仅为x、y的函数。可以认定此问题是平面应力问题。的函数。可以认定此问题是平面应力问题。0zzxzy,xyxy 第10页/共117页qoxyqqozyqoxyzqoyq q zoxy q zoy q zz如图所示的几种受力体是否是平面问题？若是，则是平面应力问题，还是平面应变问题？如图所示的几种受力体是否是平面问题？若是，则是平面应

6、力问题，还是平面应变问题？平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题非平面问题非平面问题第11页/共117页例：例：如图所示单位宽度薄板悬梁，跨度为如图所示单位宽度薄板悬梁，跨度为l l，其上表面承受三角形分布载荷作用，体力不计。试根据材料力学中的应力表达式，由平衡微分方程导出另两个应力分量。，其上表面承受三角形分布载荷作用，体力不计。试根据材料力学中的应力表达式，由平衡微分方程导出另两个应力分量。yxlhq330 x2第12页/共117页0)(32230yxyyxyfxyxfyxlhq02330 xyxxxfyxyxlhq)()(2330 xgyxfxylhqy)(32230 xfyx

7、lhqxy解解:(1):(1)将将 代入平衡微分方程第一式代入平衡微分方程第一式x(2)(2)将将 代入平衡微分方程第二式代入平衡微分方程第二式xy第13页/共117页45xyO30ABC0000例例：在负载结构中，某点：在负载结构中，某点O处的等厚平行四面体各面的受处的等厚平行四面体各面的受力情况如图所示（平面应力状态）。试求（力情况如图所示（平面应力状态）。试求（1）主应力的大）主应力的大小及方向（小及方向（2）沿与水平面成）沿与水平面成30倾角的微面上的全应力和倾角的微面上的全应力和正应力。正应力。 CB面上面上0, 0 xyy先求应力分量先求应力分量 ：xyyx,第14页/共117页4

8、5xyO30ABC0000先求应力分量先求应力分量 ：xyyx,xyxynmllm)()(2222 ,224545ooml)0(210 x02xAB面上面上:方向向量方向向量:第15页/共117页45xyO30ABC0000（1）求主应力的大小及方向）求主应力的大小及方向) 12(1 arctg00, 0,2xyyx02 , 1)21 (xyx11tan222122xyyxyx第16页/共117页45xyO30ABC0000（2）沿与水平面成）沿与水平面成30倾角的微面上的全应力和正应力。倾角的微面上的全应力和正应力。 0021,232yxpp2/3 , 2/13030oomlmlpmlpyx

9、yyxyxxxyyxnlmml2220231n第17页/共117页例例：当应变为常量时当应变为常量时，e ex =a, , e ey =b , , g gxy =c ，试求对应的位移分量。试求对应的位移分量。cyuxvbyvaxu , , byxfvaxyfu21 ,cxvyu cxvyu, 第18页/共117页例例：当应变为常量时当应变为常量时，e ex =a, , e ey =b , , g gxy =c ，试求对应的位移分量。试求对应的位移分量。 byxfvaxyfu21 ,cxvyu cdxxdfxbyxfdyydfyaxyf2211 第19页/共117页例例：当应变为常量时当应变为常

10、量时，e ex =a, , e ey =b , , g gxy =c ，试求对应的位移分量。试求对应的位移分量。xcbyvvyaxuu)( ,00 byxfvaxyfu21 , cdxxdfxbyxfdyydfyaxyf2211 xcvxfyuyf0201第20页/共117页试列出图示问题的边界条件。试列出图示问题的边界条件。yaxxyaxyxaxxyaxxflmfml)()()()(; 0, 1ml0, 0yxff(2),xa00 xx axyx a000,0 xxuvxyahhq0,x (1)第21页/共117页(3),yh 0yyhyxyhq qhyxyhyyhyxyhyx0) 1(0)

11、 1(0; 1, 0mlqffyx , 0 xyahhq第22页/共117页(4),yh00yy hxyy h00) 1(0) 1(0hyxyhyyhyxyhyx; 1, 0ml0, 0yxffxyahhq第23页/共117页试列出图示问题的边界条件。试列出图示问题的边界条件。左边界：左边界：0,xxyxhxhq右边界：右边界：0,xxyx hx hq上边界：上边界：000,yxyyyq下边界：下边界： 0,0y ay auvxyhaqoqhq第24页/共117页左边界：左边界：0,xxyxhxhq0, 1mlqfy0 xfysxysyxsxysxflmfml)()()()(qsxysysxy

12、sx)(1)(00)(0)(1hxxyhaqoqhq第25页/共117页右边界：右边界：0,xxyx hx hq0, 1mlqfy0 xfysxysyxsxysxflmfml)()()()(qsxysysxysx)(1)(00)(0)(1hx xyhaqoqhq第26页/共117页上边界：上边界：000,yxyyyq1, 0ml0yfqfxysxysyxsxysxflmfml)()()()(0)(0)(1)(1)(0sxysysxysxq0yxyhaqoqhq第27页/共117页下边界：下边界：ay 0,0y ay auvxyhaqoqhq第28页/共117页ABCxyhp(x)p0lN(1)

13、AB段（段（y = 0）：1, 0ml0)(, 0plxxpffyx代入边界条件公式，有代入边界条件公式，有000)(0plxxpyyyxy)(0) 1(0) 1(0 xpyxyxyx试列出图示问题的边界条件。试列出图示问题的边界条件。第29页/共117页ABCxyhp(x)p0lN(2) BC段（段（x = l）：）：0, 1ml 0 , 0lxlxvu0 , 0lxlxxvyu第30页/共117页ABCxyhp(x)p0lN0)sin(cos0cos)sin(tantanxyyxyxyxyx(3)AC段（段（y =x tan ）:sin)90cos(),cos(xNlcos),cos(yN

14、m第31页/共117页图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。左侧面：左侧面：0, 1ml代入应力边界条件公式代入应力边界条件公式0 xyff()()()()xsxysxysxysylmfmlf00 xxhxyxhxh 第32页/共117页右侧面：右侧面：0, 1ml代入应力边界条件公式，有代入应力边界条件公式，有hx ,0 xyfy fg 0 xx hxyx hhg 第33页/共117页上端面：上端面：为次要边界，可由圣维南原理求解。为次要边界，可由圣维南原理求解。0y0(

15、)sinhyhydxFxyyxyF0yF0sin0Fdxyhhy取图示微元体，取图示微元体，由微元体的平衡求得，由微元体的平衡求得，第34页/共117页上端面：上端面：为次要边界，可由圣维南原理求解。为次要边界，可由圣维南原理求解。0yxyyxyF0 xF0cos0Fdxyhhxy取图示微元体，取图示微元体，由微元体的平衡求得，由微元体的平衡求得，0()coshyxhydxF第35页/共117页上端面：上端面：为次要边界，可由圣维南原理求解。为次要边界，可由圣维南原理求解。0yxyyxyF0OM取图示微元体，取图示微元体，由微元体的平衡求得，由微元体的平衡求得，0sin02hyhyhxdxF0

16、sin2hyhyFhxdx第36页/共117页上端面：上端面：注意：注意：必须按正向假设！必须按正向假设！0y0()sinhyhydxF 0()sin2hyhyFhxdx 0()coshyxhydxF ,yxy第37页/共117页如图所示，列出其边界条件（固定边不写）。如图所示，列出其边界条件（固定边不写）。qbxgyxbxxybxxxxyxx)(, 0)( :0)(,)( :000左右边界：左右边界：上边界：上边界：2)(43)(23)(000000FxdFbxdxFdxbyxybyybyyxyFOgyh/2b/2bq,1hb030第38页/共117页习题习题2-9（1）0)(,)(010y

17、xyyygh在主要边界在主要边界 上，应精确满足下列边界条件：上，应精确满足下列边界条件：在小边界（次要边界）在小边界（次要边界） 上，能精确满足下列边界条件上，能精确满足下列边界条件:0101(), ()0(), ()0 xxxyxxx bxyx bg yhg yh bxx , 00yxy2h1hbgo2hb第39页/共117页习题习题2-9（1）在小边界（次要边界）在小边界（次要边界） 上，有位移边界条件：上，有位移边界条件：2hy xy2h1hbgo2hb 220,0y hy huv第40页/共117页习题习题2-9（1）xy2h1hbgo2hb222100000byy hbyy hby

18、xy hdxghbxdxdx这两个位移边界条件可以用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚这两个位移边界条件可以用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1时，时，第41页/共117页习题习题2-9（2）0)(,)(22hyxyhyyq下边界：下边界：上边界上边界:122)( , 0)(qhyxyhyy2hy 2hyxyl/2h/2hMNFSF1qq第42页/共117页习题习题2-9（2）左边界左边界202202202()()()hx xNhhx xhhxy xShdyFydyMdyFxyl/2h/2hMNFSF1qq0 x第43页/共117页习题习题2-9（2）右

19、边界右边界212221222()()22()hx x lNhhx x lShhxy x lShdyqlFqlhqlydyMF ldyqlFxyl/2h/2hMNFSF1qqxl第44页/共117页（1）用位移表示的平衡微分方程（）用位移表示的平衡微分方程（2-18）021211021211222222222222yxfyxuxvyvEfyxvyuxuEvvuuss,ysxsfyuxvlxuyvmEfxvyumyvxulE21121122（2）用位移表示的位移边界条件（）用位移表示的位移边界条件（2-14）（3）或用位移表示的应力边界条件（）或用位移表示的应力边界条件（2-19）【答答】第45页

20、/共117页xyhgo( )a( ) bxygo1 1、将问题作为一维问题处理。有、将问题作为一维问题处理。有 u=0 , v = v(y)泊松比泊松比 =0，代入用位移表示的平衡微分，代入用位移表示的平衡微分方程，第一式自然满足，第二式变为方程，第一式自然满足，第二式变为设如图设如图(a)所示的杆件所示的杆件，在在y方向的上端固定，下端自由，受方向的上端固定，下端自由，受自重体力自重体力fx=0， fy = g（ 为杆的密度为杆的密度，g为重力加速度为重力加速度）的的作用。试用位移法求解此问题。作用。试用位移法求解此问题。Egdyvd22BAyyEgyv22)(求解上述常微分方程，积分得求解

21、上述常微分方程，积分得第46页/共117页2 2、根据边界条件来确定常数、根据边界条件来确定常数 A 和和 B )2 (2)(2yhyEgyv上下边的边界条件为：上下边的边界条件为： v(y)|y=0=0 和和 y |y=h=0分别代入位移函数及式分别代入位移函数及式（2-17）的）的第二式第二式)(1)(2)(22xuyvEyBAyyEgyvy可求得待定常数可求得待定常数 A= gh/E 和和 B=0。从而有：从而有：Chapter 2.8xyhgo( )a第47页/共117页3、代入几何方程代入几何方程（2-8）求应变求应变 e ey)()(yhgyyChapter 2.8xyhgo( )

22、a4、代入用位移表示的物理方程代入用位移表示的物理方程（2-17）求应力求应力 y )()(yhEgyye第48页/共117页( ) bxygo图图(b)所示的杆件所示的杆件)2(2)(yhgyy)2(2)(yhEgyye位移：位移：应变：应变：应力：应力：22)(yhyEgyv第49页/共117页( ) bxygo1、用位移表示的平衡微分方程、用位移表示的平衡微分方程图图(b)所示的杆件所示的杆件Egdyvd22BAyyEgyv22)(求解上述常微分方程，积分得求解上述常微分方程，积分得第50页/共117页( ) bxygo2、由边界条件求常数项、由边界条件求常数项图图(b)所示的杆件所示的

23、杆件BAyyEgyv22)(上下边的边界条件为：上下边的边界条件为： v(y)|y=0=0 和和 v(y) |y=h=0EghAB2, 022)(yhyEgyv第51页/共117页3、代入几何方程代入几何方程（2-8）求应变求应变 e ey，)2(2)(yhgyyChapter 2.84、代入用位移表示的物理方程代入用位移表示的物理方程（2-17）求应力求应力 y )2(2)(yhEgyye( ) bxygo第52页/共117页下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们

24、是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。Chapter 2.9（1）3422,41,23xyyyxxyyx（a）（2）CxyCyyxCxyyx2,),(222gee（b）第53页/共117页Chapter 2.9解解（1）将式（将式（a a）代入平衡方程：）代入平衡方程：03322xyxy033 yy满足满足（2-2）00 xyxxyxyyfxyfxy3422,41,23xyyyxxyyx（a）第54页/共117页Chapter 2.9将式（将式（a a）代入相容方程：）代入相容方程：2222()0 xyxy)4123(422yyxyx2222222()3330 xyyxyxy 式（式（a）不

25、是一组可能的应力场。）不是一组可能的应力场。3422,41,23xyyyxxyyx（a）第55页/共117页Chapter 2.9CxyCyyxCxyyx2,),(222gee（b）（2 2）将式（）将式（b b）代入应变表示的相容方程：）代入应变表示的相容方程：02222222CCyxxyxyyxgeeCyxxCyxyyx2, 0,222222gee式（式（b）满足相容方程，）满足相容方程，（b）为可能的应变分量。）为可能的应变分量。22222yxyxyxx yege 第56页/共117页在无体力的情况下，试考虑下列平面问题的应力分量是否可能存在？在无体力的情况下，试考虑下列平面问题的应力分

26、量是否可能存在？ x =A(x2+y2)， y = B(x2+y2) ， xy=Cxy解解：弹性体的应力，在单连体中必须满足（：弹性体的应力，在单连体中必须满足（1）平衡微分）平衡微分方程（方程（2）应力表示的相容方程（）应力表示的相容方程（3）应力边界条件）应力边界条件1 1、为了满足平衡微分方程，代入可得：、为了满足平衡微分方程，代入可得： A A = = B B = -= -C/2C/20, 0 xyyxxyyyxxChapter 2.9第57页/共117页2 2、为了满足相容方程，代入可得：、为了满足相容方程，代入可得：A AB B = 0= 00)(2222yxyx显然上述两组条件是

27、矛盾的，故此组应力分量不存在。显然上述两组条件是矛盾的，故此组应力分量不存在。Chapter 2.9第58页/共117页图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力 P 作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力 和剪应力和剪应力 的表达式，并取挤压应力的表达式，并取挤压应力 ，然后说明这些表达式是否代表正确解。，然后说明这些表达式是否代表正确解。x0yxy第59页/共117页【解解】材料力学解答：材料力学解答：046122233ysxyxyhhFIbSFxyhFyIM是否满足三个条件：是否满足三个条件：（1）平

28、衡方程？）平衡方程？（2）相容方程？）相容方程？（3）边界条件？）边界条件？（a）第60页/共117页00 xyxxyxyyfxyfxy（1）代入）代入平衡微分方程：平衡微分方程：显然，显然，平衡微分方程平衡微分方程满足。满足。00 yIFyIF0000046122233ysxyxyhhFIbSFxyhFyIM第61页/共117页满足满足相容方程。相容方程。002222xyIFyx0)(2222yxyx（2）代入相容）代入相容方程：方程：046122233ysxyxyhhFIbSFxyhFyIM第62页/共117页满足满足（3）验证应力分量是否满足）验证应力分量是否满足边界条件：边界条件：0,

29、 022hyyxhyy上、下侧边界：上、下侧边界：046122233ysxyxyhhFIbSFxyhFyIM第63页/共117页满足满足（3）验证应力分量是否满足）验证应力分量是否满足边界条件：边界条件：00 xx近似满足近似满足左侧边界：左侧边界：0220 xdyhhxx 满足满足202hhxyxdyF 046122233ysxyxyhhFIbSFxyhFyIM第64页/共117页（3）验证应力分量是否满足）验证应力分量是否满足边界条件：边界条件：近似满足近似满足右侧边界：右侧边界：2222220hhxx lhhxx lhhxyx ldyydyFldyF 由圣维南原理：由圣维南原理：FFl0

30、46122233ysxyxyhhFIbSFxyhFyIM第65页/共117页结论：式结论：式(a)为正确解为正确解所以材料力学所得应力表达式为正确解。所以材料力学所得应力表达式为正确解。046122233ysxyxyhhFIbSFxyhFyIM第66页/共117页第67页/共117页如图所示的几种受力体是否是平面问题？若是，则是平面应力问题，还是平面应变问题？如图所示的几种受力体是否是平面问题？若是，则是平面应力问题，还是平面应变问题？qoxyqqozyqoxyzqoyq q zoxy q zoy q zz q zoxyqoyqz下列几种受力体中，哪个可以考虑为平面应力下列几种受力体中，哪个可

31、以考虑为平面应力( (应变应变) )问题？问题？第68页/共117页习题习题2-162-16：设已求得一点处的应力分量，试求：设已求得一点处的应力分量，试求121,5010,50,100 xyyx400, 0,200 xyyx400,1000,2000 xyyx500,1500,1000 xyyx(a) (a) (b) (b) (c) (c) (d) (d) minmax,nn第69页/共117页212222xyxyxy11tanxxy11arctanxxy12maxmin,nn第70页/共117页试写出下图所示各平面物体的位移边界条件（用直角坐标）。试写出下图所示各平面物体的位移边界条件（用

32、直角坐标）。(a) (b) x=0, y= -h/2, u=0 x=0, y=h/2, u=0, v=0 x=0, y= 0, u=0, v=0 x=l, y= 0, u=0, v=0 x=l, y=h/2, v=0第71页/共117页试写出图示平面物体的应力边界条件。试写出图示平面物体的应力边界条件。xyl/2h/2hMNFSF1qq【解解】第72页/共117页试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在：试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在：Cxyxyyxgee, 0, 0其中：其中：A、B、C C 为常数。为常数。23,DyCByAxyxyyxgeeCxyyBxAyxyyxgee,22(

33、a) (a) (b) (b) (c) (c) 第73页/共117页yxyxxyxygee22222判断是否满足相容方程（判断是否满足相容方程（2-20）(a)(a)相容；相容； (b)(b)须满足须满足B=0,2A=C; B=0,2A=C; (c) (c) 不相容。只有不相容。只有C=0C=0，则，则0 xyyxgee第74页/共117页(1)3422,41,23xyyyxxyyx在无体力情况下（单连通域）在无体力情况下（单连通域） ，试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在：，试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在：(2)Cxy) y B(x )yA(xxyyx,2222第75页/共117

34、页【解解】弹性体的应力，在单连体中必须满足弹性体的应力，在单连体中必须满足:（1）平衡微分方程）平衡微分方程（2）应力表示的相容方程）应力表示的相容方程（3）应力边界条件）应力边界条件（1）式不满足平衡微分方程）式不满足平衡微分方程（2）式，由平衡微分方程得）式，由平衡微分方程得A=B= -C/2, 相容方程得相容方程得A+B=0,两者矛盾。两者矛盾。第76页/共117页第77页/共117页【解解】弹性体的应力，在单连体中必须满足弹性体的应力，在单连体中必须满足:（1）平衡微分方程）平衡微分方程（2）应力表示的相容方程）应力表示的相容方程（3）应力边界条件）应力边界条件0,22xyyxqbyq

35、qqqababyxO第78页/共117页0,0yxxyyxxyffxyxy（2-2）0 xyff将应力分量代入方程（将应力分量代入方程（2-2），得等式左右均等于），得等式左右均等于0。故该应力分量满足平衡微分方程。故该应力分量满足平衡微分方程。第79页/共117页结论结论：该应力分量满足平衡微分方程，但不满足相容方程，因此，该应力分量不是图示问题的解答。：该应力分量满足平衡微分方程，但不满足相容方程，因此，该应力分量不是图示问题的解答。220qb体力为常数时，应力表示的相容方程为：体力为常数时，应力表示的相容方程为：将应力分量代入上式，得将应力分量代入上式，得20 xy等式左边等式左边= =

36、故该应力分量不满足相容方程。故该应力分量不满足相容方程。第80页/共117页第81页/共117页判断判断 能否作为求解平面问题的应力函数。能否作为求解平面问题的应力函数。3axy 3axy 可见，可见， 能满足相容方程，可作为应力函数。能满足相容方程，可作为应力函数。解：解：第82页/共117页解：按逆解法解：按逆解法 1、将、将 代入相容方程，可知其是满足的。因此，它有可能成为该问题的解。代入相容方程，可知其是满足的。因此，它有可能成为该问题的解。2、将、将 代入式（代入式（224），得出应力分量：），得出应力分量：习题习题3-6223222221203(1 4)2xxyyxyFxyf xy

37、hf yxFyx yhh 第83页/共117页3 3、由边界形状和应力分量反推出边界上的面力：、由边界形状和应力分量反推出边界上的面力：0, 0,2xyyhy在主要边界上：在主要边界上：因此，在因此，在y=h/2的边界面上，无任何面力作用，即的边界面上，无任何面力作用，即0, 0yxff)41 (23, 0,12223hyhFxyhFxyyx第84页/共117页在在 x=0, l 的次要边界上的次要边界上：)41 (23,12,)41 (23, 0, 022322hyhFfyhFlflxhyhFffxyxyx各边界面上的面力分布如图所示：各边界面上的面力分布如图所示：xxyxy第85页/共11

38、7页在在x=0,l 的次要边界上，其主失量和主矩如下：的次要边界上，其主失量和主矩如下：0 xlx 0, 0221221221hhxhhyShhxNydyfMFdyfFdyfFFlydyfMFdyfFdyfFhhxhhyShhxN222222222, 0第86页/共117页因此上述应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力因此上述应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力F 作用的问题作用的问题FFFlF第87页/共117页习题习题3-2第88页/共117页习题习题3-17第89页/共117页习题习题3-12解解：按半逆解法：按半逆解法 第90页/共117页习题习题3-10解解：按半逆解法：按半逆解法 1

39、、将、将 代入相容方程，可知其是满足的。代入相容方程，可知其是满足的。2、将、将 代入式（代入式（2-24），得出应力分量：），得出应力分量：)3(),(0,662),(222222DyAyxyxyfxyxDxyCyBxfyyxxyyyxx第91页/共117页3 3、考察边界条件、考察边界条件0)(, 0)(22hyxyhyy在主要边界上，应精确满足式（在主要边界上，应精确满足式（215）：）：第一式自然满足，由第二式有：第一式自然满足，由第二式有：043)(22DhAhyxy（a）)3(, 0,6622DyADxyCyBxyyx)()()()(sfmlsfmlysyxyxsxyx第92页/共

40、117页在次要边界在次要边界x=0上，只给出了面力的主失量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分边界条件代替：上，只给出了面力的主失量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分边界条件代替：由此得：由此得：ShhxxyhhxxNhhxxFdyMydyFdy2/2/02/2/02/2/01)(1)(1)(SNFDhAhhMChFB33412,2（b）)3(, 0,6622DyADxyCyBxyyx第93页/共117页结合结合(a)、(b)求解：求解：代入应力分量，得：代入应力分量，得：SFDhAhDhA32410433223hFDhFASS)41 (23)623(01212222333yhhFyhFhFxy

41、hFyhMhFSSSxyySNx第94页/共117页如果区域内的平衡微分方程和相容方程已经满足，且除了最后一个小边界外，其余的应力边界条件也都分别满足。则可以推论出，最后一个小边界上的三个积分应力边界条件（即主失量和主矩条件）必然是满足的。如果区域内的平衡微分方程和相容方程已经满足，且除了最后一个小边界外，其余的应力边界条件也都分别满足。则可以推论出，最后一个小边界上的三个积分应力边界条件（即主失量和主矩条件）必然是满足的。第95页/共117页【解解】采用半逆解法。采用半逆解法。（1）判断应力函数是否满足相容方程）判断应力函数是否满足相容方程将应力函数将应力函数40 44444220, 0,

42、0 xyxy 代入相容方程代入相容方程其中其中很显然满足相容方程。很显然满足相容方程。xyhqoq/2bhb/2b习题习题 3-11第96页/共117页（2）求解应力分量表达式）求解应力分量表达式222222063xyxyyBxyxABxx y 第97页/共117页/2/20, xxyxbxbq00,yy00yxy/20/20byxybdx（3）考察边界条件：）考察边界条件：/2xb 在主要边界上，在主要边界上，0y 在次要边界在次要边界圣维南原理圣维南原理代代替替满足满足不不满满足足xyhqoq/2bhb/2b第98页/共117页22, 2qqABb 2220121 122xyxyqxybq

43、xb（4）把各应力分量代入边界条件，得）把各应力分量代入边界条件，得应力分量为应力分量为第99页/共117页第100页/共117页【解答解答】弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要使边界条件完全得到满足，往往遇到很大的困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效（主矢量、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个应力边界条件来代替精确的边界条件，式（弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要使边界条件完全得到满足，往往遇到很大的困难。这时，圣维南

44、原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效（主矢量、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个应力边界条件来代替精确的边界条件，式（2-15），就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答具有更大的近似性。），就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答具有更大的近似性。第101页/共117页【解答解答】在在m个主要的边界上，每个边界应有两个精确的应力边界条件，如式（个主要的边界上，每个边界应有两个精确的应力边界条件，如式（2-15）。在）。在n个次要边界上，每边的应力边界

45、条件若不能精确满足式（个次要边界上，每边的应力边界条件若不能精确满足式（2-15），可以用三个静力等效的积分边界条件来替代两个精确的应力边界条件。），可以用三个静力等效的积分边界条件来替代两个精确的应力边界条件。第102页/共117页例：例：已知函数已知函数 = =a(x4 -y4)，试检查它能否作为应力函数？若能，试求出应力分量（不计体力），并求出如图所示矩形薄板边界上的面力。试检查它能否作为应力函数？若能，试求出应力分量（不计体力），并求出如图所示矩形薄板边界上的面力。xyolh21l2第103页/共117页 1 1、将、将 =a(x4-y4)代入相容方程，可知其是满足的。因此，它有可能作

46、为应力函数。代入相容方程，可知其是满足的。因此，它有可能作为应力函数。2 2、将、将 代入式（代入式（2-242-24），得出应力分量：），得出应力分量：解：解：按逆解法按逆解法222222212120 xxyyxyf xayyf yaxxx y 第104页/共117页3 3、由边界形状和应力分量反推出边界上的面力：、由边界形状和应力分量反推出边界上的面力：在主要边界上：在主要边界上：0)(,12)(,2222hyxyxhyyyfaxfhyNoImage第105页/共117页0)(,12)(,2222lxxyylxxxfayflx0)(,12)(,2222lxxyylxxxfayflx0, 0

47、,2222322hhxhhyShhxNydyfMdyfFahdyfF0, 0,2222322hhxhhyShhxNydyfMdyfFahdyfF在次要边界上：在次要边界上：第106页/共117页xyo33al3ah3ah第107页/共117页如图所示，如图所示，矩形截面长柱体（长度矩形截面长柱体（长度 h 远大于深度远大于深度 2b），宽度为），宽度为1，远小于深度和长度，在顶部受集中力，远小于深度和长度，在顶部受集中力F和力矩和力矩 M=Fb/2 作用，体力不计。试用如下应力函数：作用，体力不计。试用如下应力函数：23BxAx 求解：求解：（1）分析该问题能简化成什么平面问题？）分析该问题能简化成什么平面问题？（2）求应力分量；）求应力分量；（3）设）设A点无位移且过它的垂直线段转角为点无位移且过它的垂直线段转角为0，试求位移分量；，试求位移分量；第108页/共117页解