第三章(第五讲)

1、第三章 复变函数的积分3-2 Cauchy3-2 Cauchy基本定理基本定理3-3 Cauchy3-3 Cauchy积分公式积分公式3-1 3-1 复变函数的积分复变函数的积分& 1. 1. 有向曲线有向曲线& 2. 2. 积分的概念积分的概念& 3. 3. 复积分与实积分的联系复积分与实积分的联系& 4. 4. 积分性质积分性质& 5. 5. 积分的基本计算公式计算法积分的基本计算公式计算法 3-1 复变函数的积分复变函数的积分3-1 3-1 复变函数的积分复变函数的积分1. 1. 有向曲线有向曲线是是可可求求长长曲曲线线。从从而而的的有有向向曲曲线

2、线是是一一条条光光滑滑或或分分段段光光滑滑设设CC ; 。或或记记作作为为负负向向曲曲线线则则记记为为为为正正向向曲曲线线若若终终点点曲曲线线段段：指指定定起起点点CC , C, , 有向曲线有向曲线C的方向规定的方向规定。或或记为记为方向为负方向，方向为负方向，取顺时针取顺时针记为记为，取逆时针方向为正方向取逆时针方向为正方向闭曲线：闭曲线：CCC ; CCA(终点终点)B(起点起点)CA(起点起点)B(终点终点)C2.2.积分的概念积分的概念定义定义3.1.1 设复变函数设复变函数 f (z)=u (x, y) + iv (x, y)在光滑或逐段光滑的有在光滑或逐段光滑的有向简单曲线向简单

3、曲线L=AB上有上有定义，沿从定义，沿从A到到B的方向在的方向在L上依次取分点：上依次取分点： , , , , )1(110B zzzzAnn DAB1 1zk kz kz1 nz1 kz, ,)(, )2(11 kkkkkkkkzzzzfzz 作作乘乘积积|max ,| ,)( )3(111knkkkknkkknzzzzzfS 的长度的长度记记作和式作和式取极限求和式作乘积分割 CLdzzfCLf(z)dzABLf(z)I。时时记记为为为为闭闭曲曲线线当当，分分沿沿)( , 记作的积有向曲 线为则称(4) 若若,)(lim10Izfkknk 3.3.复积分与实积分的联系复积分与实积分的联系有

4、有定定义义，则则沿沿有有向向曲曲线线设设Czf)( 定理定理3.1.1。且且存存在在和和存存在在 CCCCCCudyvdxivdyudxdzzfudyvdxvdyudxdzzf)(,)( )(lim 10jjnjzf )(),(),(lim 10jjjjjjnjyixivu jjjjjjnjyvxu ),(),(lim 10 。jjjjjjnjyuxvi ),(),(lim10 证明证明 |,|max 0jnjz 设设: :可可以以用用下下式式记记忆忆积积分分来来表表示示的的数数可可通通过过二二个个二二元元实实变变函函这这个个定定理理表表明明( (1 1) )。第第二二型型曲曲线线 Cdzzf

5、)( CCidydxivudzzf)()(记忆记忆。到到复复积积分分中中积积分分的的性性质质平平行行地地移移植植实实变变函函数数的的第第二二型型曲曲线线利利用用这这个个定定理理可可将将二二元元( (2 2) ) 4.4.积分的性质积分的性质 CCCdzzfdzzfdzzf;)()( )( ) 1 (方方向向性性： CCdzzfdzzf;)()( )2( 齐齐性性： CCCdzzgdzzfdzzgzf ;)()()()( )3(可可加加性性： CCCCCdzzfdzzfdzzfdzzfCCC ;)()()()( ) 4( 212121积积分分曲曲线线可可分分性性：。其其中中则则满满足足上上在在函

6、函数数的的长长度度为为设设积积分分不不等等式式：22|,)()( ,)()(, )5(dydxdsdzMLdszfdzzfMzfCzfLCCC 5.5.积分的基本计算公式积分的基本计算公式 Cdttztzfdzzftt ttzzCCzf。则则，终终点点参参数数为为为为且且起起点点参参数数的的参参数数表表示示为为：连连续续，沿沿有有平平面面光光滑滑向向曲曲线线设设)( )( )( , ,),( )( 10 定理定理3.1.2。设设光光滑滑曲曲线线 : ),()()(: ttiytxtzzC证明证明 )()()()()( )()()( )(),( )( )(),()( )(),()(终终起起终终起

7、起 dttytytxutxtytxvidttytytxvtxtytxudzzfC dttiytxtytxvitytxu)( )( )(),()(),( dttztzf)( )(。 dttztzfdzzfC)( )()( 例例 1其其中中计计算算积积分分 ;2,1 ,2 kdzzkC(1) C1 是从原点到是从原点到31i 的有向直线段的有向直线段；(2) C2 是从原点到是从原点到1再到再到31i 的有向折线段；的有向折线段；解解 (1) 曲线曲线C1 的参数表示：的参数表示：,1 , 0 ,)31( ttiz。终点终点起点起点1 , 010 ttOxy031 iC138)31(31)31()

8、31(103321021 tidtitidzzC(2) 设曲线设曲线C2 =C21 +C22, 其中其中 曲线曲线C 21 的参数表示：的参数表示：，终终点点起起点点1 , 0 ,1 , 0 ,10 ttttz 曲线曲线C 22 的参数表示：的参数表示：，终点终点1 , 0 ,1 , 0 ,31 10 ttttiz起点Oxy1031 iC21C22 由积分曲线的可分性和基本计算公式：由积分曲线的可分性和基本计算公式：383)31(10210222222212 dtitidttdzzdzzdzzCCC例例 2 证明证明 , 1, 0, 1,2)(0nnizdzzCn 0 ,| Z,0 aazzC

9、n：为为逆逆时时针针方方向向圆圆周周曲曲线线其其中中Oxyz0Ca证明证明 曲线曲线C的参数表示：的参数表示：无无关关。以以及及中中心心的的半半径径积积分分曲曲线线用用到到，积积分分值值与与例例给给出出的的结结论论以以后后经经常常此此 0zaC ,2, 0,0 taezzit起点起点终点终点, 00 t 21 t 。1,0, 1,2)1sin()1cos()1sin()1cos()()()(2020120120)1(12000nnidttnitdtniadttnitniadteiaaezdaedzzznntninitnitCn & 1. 1. Cauchy积分基本定理积分基本定理&am

10、p; 2. 2. 复合闭路定理复合闭路定理& 3. 3. 原函数、不定积分、路径无关原函数、不定积分、路径无关3-2 Cauchy积分基本定理积分基本定理1. Cauchy 积分基本定理积分基本定理Cauchy 积分基本定理积分基本定理(1825年年)定理定理 3.2.1 设设 f 在单连通区域在单连通区域D内解析内解析, 则对则对D内内 任一条有向闭曲线任一条有向闭曲线C,。0)( Cdzzf的的证证明明相相对对麻麻烦烦得得多多。去去掉掉了了这这一一条条件件，定定理理年年多多；在在此此条条件件下下证证明明容容易易得得内内连连续续”，在在件件“给给出出上上述述定定理理时时增增加加条条年

11、年GoursatDzf1900 )( Riemann1851 引理引理 3.2.2 设设 f 在有向闭曲线在有向闭曲线C上及其内部解析上及其内部解析, 则则。0)( CdzzfCauchy 积分基本定理的推广积分基本定理的推广到到下下述述定定理理：条条件件减减弱弱可可以以得得基基本本定定理理进进一一步步将将 Cauchy 定理定理 3.2.3 设设 f 在有向闭曲线在有向闭曲线C上连续，在上连续，在C的内的内部解析部解析, 则则。0)( Cdzzf2. 复合闭路定理复合闭路定理区域的正向边界区域的正向边界 设区域设区域D的边界是由一条或几条曲线围成的边界是由一条或几条曲线围成, , 区域区域D

12、的正向边界曲线的正向边界曲线的方向规定如下：当观察者沿边界的方向规定如下：当观察者沿边界正向前行时区域正向前行时区域D在其近处的部分总是在他的右侧。在其近处的部分总是在他的右侧。复合闭路复合闭路定义定义 3.2.1 设曲线设曲线由由m+1条逆时针方向的闭曲线条逆时针方向的闭曲线C, C1, C2, ,Cm组成组成, 其中其中C1, C2, ,Cm互不相交互不相交, 互不互不包含包含, 且都含于且都含于C的内部的内部,称称=C +C1 +C 2+Cm是由曲线是由曲线C, C1,C2, ,Cm组组成的复合闭路。成的复合闭路。CC1C2Cm的的正正向向边边界界。是是某某一一多多连连通通区区域域则则若

13、若的的正正向向边边界界。是是某某一一单单连连通通区区域域则则若若GCCCCmm 21 , 0 C 0,mG复合闭路定理复合闭路定理定理定理 3.2.4 设以复合闭路设以复合闭路=C +C1 +C 2+Cm为正向边界的多连通区域为为正向边界的多连通区域为D。若函数。若函数 f 在在上连上连续续, ,在在D内解析内解析, 则则)2()()()1( ;0)(1 mkCCkdzzfdzzf dzzf或或证明证明 将每个曲线将每个曲线Ck用有向直线段用有向直线段AkBk和和 Bk Ak与与曲线曲线C连接起来连接起来, 则记则记; 221111mmmmABBABAABBA CC1C2CmA2B2AmBmA

14、1B1以复合闭路以复合闭路 为正向为正向边界的区域边界的区域G是单连通是单连通的。的。 f 在在上上连续连续, 在在G内解析内解析, 根据根据 Cauchy 基本基本积分定理得：积分定理得：G ;0)( dzzf;0)()( kkkkABBAdzzfdzzf因因为为 ;0)( )( )( 21 dzzfdzzfdzzfmCCCC所所以以。即即 mCCCdzzfdzzfdzzf)()()(1例例 3 证明证明 , 1, 0, 1,2)(0nnidzzzCn 其中曲线其中曲线C是逆时针方向且包围点是逆时针方向且包围点z0 的简单闭曲线。的简单闭曲线。 证明证明：因为曲线：因为曲线C是逆时是逆时针方

15、向且包围点针方向且包围点z0的简单闭的简单闭曲线曲线,故可作以故可作以z0为中心为中心,充充分小的分小的 0 为半径的逆时为半径的逆时针圆周针圆周C含于含于C的内部，的内部，Oxyz0C-C:2 . 1 . 3 , )(0闭闭路路定定理理和和例例根根据据复复合合上上及及其其内内部部解解析析在在 CCzzn 。1, 0, 1,2)()(00nnidzzzdzzzCnCn 例例4 计算积分计算积分逆逆时时针针方方向向一一周周。其其中中 ,2|:|,115 2 zCdzzzC解解 函数函数 zz)(z(zzzzz(2 的全部奇点为的全部奇点为: :z1 =- -1, z2

16、= 1, 均在均在C的内部。的内部。1COxy2C- -1- -12C合合闭闭路路：作作复复和和的的逆逆时时针针方方向向圆圆周周半半径径充充分分小小为为中中心心分分别别以以 , ,2121CCzz,21 CCC由复合闭路定理知：由复合闭路定理知：,131213121312131211511511522112121222 CCCCCCCCC dzzdzz dzzdzz dz zz dz zzdzzzdzzzdzzz由由Cauchy定理知：定理知： , 012 , 01321 CCdzzdzz由由例例3.2.1知：知： ,613 ,41221idzzidzzCC 所以所以。idzzzC 10115

17、 2 0)( )( 1 CCdzzfdzzfCfC时时，向向的的闭闭曲曲线线的的解解析析点点变变为为逆逆时时针针方方为为连连续续形形变变经经过过的的点点均均当当逆逆时时针针方方向向闭闭曲曲线线用用：复复合合闭闭路路定定理理有有如如下下作作, , 2212121iimmmzCzzzCCCzzzCCf只只包包围围一一个个奇奇点点内内部部使使得得每每个个分分别别包包围围线线则则作作逆逆时时针针方方向向的的闭闭曲曲奇奇点点的的内内部部只只含含有有上上解解析析，在在在在闭闭曲曲线线若若 21)()()( )(CCCCmdzzfdzzfdzzfdzzf点点的的积积分分。计计算算曲曲线线内内只只有有一一个个

18、奇奇奇奇点点的的积积分分转转化化为为即即把把计计算算曲曲线线内内有有多多个个.1;,1,2121向向的的下下半半圆圆周周，逆逆时时针针方方是是单单位位圆圆顺顺时时针针方方向向的的上上半半圆圆周周是是单单位位圆圆其其中中的的值值计计算算 zCzCdzzdzzCC练习练习1.1:12 2任任意意正正向向简简单单闭闭曲曲线线在在内内的的包包含含圆圆周周计计算算 zdzzzz练习练习2.1:1 2任任意意正正向向简简单单闭闭曲曲线线在在内内的的包包含含圆圆周周计计算算 zdzzz练习练习3.1;,1,2121向向的的下下半半圆圆周周，逆逆时时针针方方是是单单位位圆圆顺顺时时针针方方向向的的上上半半圆圆周周是是单单位位圆圆其其中中的的值值计计算算 zCzCdzzdzzCC.0 ,:)11 iezC解解:idtidieedzziiC 001. 0,:)22 iezCidtidiee