连续函数运算法则PPT课件

1、定理2. 连续单调递增 函数的反函数xx cot,tan在其定义域内连续一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明)连续xx cos,sin商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .例如,例如,xysin在,22上连续单调递增，其反函数xyarcsin(递减).(证明略)在 1 , 1 上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共14页定理定理3. 连续函数的复合函数是连续连续函数的复合函数是连续的的.xey 在),(上连续 单调 递增,其反函

2、数xyln在),0(上也连续单调递增.证: 设函数)(xu,0连续在点 x.)(00ux,)(0连续连续在点在点函数函数uufy . )()(lim00ufufuu于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故复合函数)(xf.0连续在点 x又如, 且即机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共14页例如例如,xy1sin是由连续函数链),(,sinuuy,1xu *Rx因此xy1sin在*Rx上连续 .复合而成 ,xyoxy1sin机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共14页例例1 .设)()(xgxf与均在,ba上连续,证明函数)(, )(max)(xg

3、xfx 也在,ba上连续.证:21)(x)()(xgxf)()(xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根据连续函数运算法则 ,可知)(, )(xx也在,ba上连续 .)(, )(min)(xgxfx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共14页二、初等函数的连续二、初等函数的连续性性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如,21xy的连续区间为1, 1(端点为单侧连续)xysinln的连续区间为Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定义域为Znnx,2因此它无连续点而机动 目录 上页 下页 返回 结束

4、第5页/共14页例例2. 求求.)1 (loglim0 xxax解:原式xxax1)1 (loglim0ealogaln1例3. 求.1lim0 xaxx解: 令, 1xat则, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln说明: 当, ea 时, 有0 x)1ln(x1xexx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共14页20cos12lim.1xxxe 解: :所以运用等价无穷小的代换, , 有20cos12 lim1xxxe 220()22 limxxx 2201 lim()8xxx18 例4. 求0, x 因为当时222cos1 ()2, 122xxxex 第7页

5、/共14页1,41,)(xxxxx例例5. 设设,1,21,)(2xxxxxf解:讨论复合函数)(xf的连续性 . )(xf1,2xx1,2xx故此时连续;而)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx3故 )(xfx = 1为第一类间断点 .1)(),(2xx1)(, )(2xx,)(1为初等函数时xfx在点 x = 1 不连续 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共14页023lim( ),lim( ),lim( ).xxxf xf xf x 例6. 求函数32233( )6xxxf xxx 的连续区间, 并求2(3)(1)(3)(2)xxxx213

6、2xxx 32233( )6xxxf xxx因为(, 3)( 3,2)(2,) 所以函数f (x) 的连续区间为解:第9页/共14页3220033lim( )lim6xxxxxf xxx 而而 3222233lim( )lim6xxxxxf xxx 3223333lim( )lim6xxxxxf xxx 23(3)(1)lim(3)(2)xxxxx 2318lim25xxx 12 第10页/共14页limlnln(2).nnnn limln2nnnn 2limln(1)2nnn 2lim ln(1)2nnn 2lnlim(1)2nnn 解: limlnln(2)nnnn 2lim2lnnnne 2ln2e 例7. 求第11页/共14页 内容小结内容小结基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业P69 3 (5) , (6) , (7) ; 4 (4) , (5) ,(6) ; 5第12页/共14页思考与练习思考与练习,)(0连续在点若xxf是否连在问02)(, )(xxfxf续? 反例, 1,1)