第三章 平稳时间序列预测

1、本章结构本章结构方法性工具方法性工具1.ARMA模型模型2.平稳序列建模平稳序列建模3.序列预测序列预测4.平稳时间序列模型预测平稳时间序列模型预测v设平稳时间序列 是一个ARMA(p,q)过程，即v本章将讨论其预测问题，设当前时刻为t，已知时刻t和以前时刻的观察值 ，我们将用已知的观察值对时刻t后的观察值 进行预测，记为 ，称为时间序列 的第 步预测值。2tX11112,0, , 0ttptpttqt qtstXXXWNst E X 12,tttx xxt lx0l tx ltXl最小均方误差预测最小均方误差预测v考虑预测问题首先要确定衡量预测效果的标准，一个很自然的思想就是预测值 与真值

2、的均方误差达到最小，即设 预测值 与真值 的均方误差 我们的工作就是寻找 ，使上式达到最小。3 tx lt lx tt lte lXx l tx lt lx 22tt ltE elE Xx l tx l序列预测序列预测v线性预测函数v预测方差最小原则10titiixC x ( )( )min( )t lxttVare lVar e l序列分解序列分解 111111( )( )t lt lt lltltltttxGGGGe lx l 预测误差预测误差预测值预测值)(),()( ),(11leVarxxxVarlxxxxEtttltttlt为了利用条件期望计算预测值，需要先了解有关时间序列tx和随

3、机扰动t的条件期望所具有的性质： （1）常量的条件期望是其本身 对 ARMA 序列而言，现在时刻与过去时刻的观测值及扰动的条件期望是其本身，即 ktttkxxxxxE),|(21 )(tk 12(|,)ktttkEx xx )(tk （2）未来扰动的条件期望为零，即 12(|,)0t ltttEx xx )0( l （3）未来取值的条件期望为未来取值的预测值，即 lttttltxxxxxE ),|(21 )0( l 条件无偏均方误差最小预测条件无偏均方误差最小预测 设随机序列 ，满足 ，则 v如果随机变量 使得 达到最小值，则v如果随机变量 使得 达到最小值，则 712,X X 2, ttEX

4、EX1,nfXX2111,nnnEXfXXXX111, , ,nnnf XXE XXX 1,nfXX211,nnE XfXX111,nnnfXXE XXXv因为 可以看作为当前样本和历史样本 的函数，根据上述结论，我们得到，当 时， 使得 达到最小。v对于ARMA模型，下列等式成立： 8 tx l1,ttXX 1,tt lttx lE XXX 22tt ltE elE Xx l 1,kttkE XXXxkt 1,0t ltttE XXXx ll1,kttkEXXkt1,0,kttEXXktARMA模型的预测方差和预测区间模型的预测方差和预测区间 v如果ARMA模型满足平稳性和可逆性，则有 v所

5、以，预测误差为 9 0tttjtjjBXG BBG 00tt ltjt ljljtjjje lXx lGG 01111t lt lltGGG 0tE e l 222222011varttt ltlE ele lE Xx lGGG v 由此，我们可以看到在预测方差最小的原则下， 是 当前样本 和历史样本 已知条件下得到的条件最小方差预测值。其预测方差只与预测步长 有关，而与预测起始点t无关。当预测步长 的值越大时，预测值的方差也越大，因此为了预测精度，ARMA模型的预测步长 不宜过大，也就是说使用ARMA模型进行时间序列分析只适合做短期预测。 10 2112var,vart lttt lt lt

6、tt lttXXXEXE XXXE Xx le l2222011lGGG tx lt lXtX1,ttXXlllv进一步地，在正态分布假定下，有 v由此可以得到 预测值的95%的置信区间为 或者 11 22221011,t ltttlXXXN x lGGGt lX 1.96 var,1.96 varttttx le lx le l 1 21 22222220110111.96,1.96tltlx lGGGx lGGG对对AR模型的预测模型的预测v首先考虑AR(1)模型 当 时，即当前时刻为t的一步预测为 当 ，当前时刻为t的 步预测 121t lt lt lXX 1l 1111 1,ttttt

7、ttttxE XXXEXXXx1l l 111,1ltt lttt lt lttttx lE XX XEXX Xx lx v对于AR(p)模型 当 时，当前时刻为t的一步预测为 当 ，当前时刻为t的 步预测 1311t lt lpt lpt lXXX 1l 1111111 1,tttttptpt ltttp t pxE X X XEXXX Xxx 1111,tt lttt lpt l pt lttx lE XX XEXXX X lpl11tptx lx lp例例1 v设平稳时间序列 来自AR(2)模型 已知 ，求 和 以及95%的置信区间。 解： 14tX121.10.3ttttXXX2545

8、50.8,1.2,1.21xx 551x 552x 5556555455545655545554 1,1.10.3,1.10.31.1 1.2 0.3 0.81.08xE X X XEXXX Xxxv可以计算模型的格林函数为 v所以 的95%的置信区间为（1.076，3.236） 的95%的置信区间为 （2.296，3.952）15 55575554565557555455552,1.10.3,1.110.31.1 1.08 0.3 1.20.828xE XXXEXXXXxx01101,1.1GGG56X57X例例2 v已知某商场月销售额来自AR(2)模型(单位：万元/月) 2006年第一季度

9、该商场月销售额分别为：101万元，96万元，97.2万元。求该商场2006年第二季度的月销售额的95%的置信区间。 1612100.60.3,0,36tttttXXXNv求第二季度的四月、五月、六月的预测值分别为 17 3432132432132 1,100.60.3,100.60.397.2xE XXXXEXXXXXxx 35321435321332,100.60.3,100.610.397.432xE XXXXEXXXXXxx 36321546321333,100.60.3,100.620.3197.5952xE XXXXEXXXXXxxv计算模型的格林函数为v四月、五月、六月的月销售额的

10、95%的置信区间分别为 四月：（85.36，108.88） 五月：（83.72，111.15） 六月：（81.84，113.35）18010 1211201,0.60.360.30.66GGGGGG预测预测方差的计算方差的计算v计算Green函数: 根据递推公式v方差01102112010.60.360.30.66GGGGGG223022230122223012var (1)36var (2)()48.96var (3)()64.6416eGeGGeGGG置信区间置信区间v 步预测销售额的95%置信区间为： v估计结果3333( ) 1.96 var ( ) ,( ) 1.96 var ( )

11、x le lx le l预测时期95置信区间预测值四月份（85.36，108.88） 97.12五月份（83.72，111.15） 97.432六月份（81.84，113.35） 97.5952lMA模型的预测模型的预测v对于MA(q)模型 我们有 v当预测步长 ， 可以分解为当预测步长 ， 可以分解为2111tttqt qX 11t lt lt lqt l qX lqt lX1111t lt lt lltltqt l qX lqt lX 1111,tt lttt lt lqt l qttx lE XXXEXX 0 1,tt lttltqt l qx lE XXX vMA(q)模型预测方差为

12、22 2221122211var1ltqlqe llq例例3 v已知某地区每年常住人口数量近似的服从MA(3)模型（单位：万人） 2002年2004年的常住人口数量及1步预测数量见表2321231000.80.60.2,25tttttX年份人口数量预测人口数量200220032004104108105110100109例例3.15解：随机扰动项的计算解：随机扰动项的计算4109105) 1 (8100108) 1 (6110104) 1 (20032004200220031200120022xxxxxxttt例例3.15解：估计值的计算解：估计值的计算100)5(100)4(8 .1002 .

13、 0100) 3(962 . 06 . 0100)2(2 .1092 . 06 . 08 . 0100) 1 (121tttttttttttxxxxx例例3.15解：预测方差的计算解：预测方差的计算51)1 ()5(51)1 ()4(50)1 ()3(41)1 ()2(25)1 (22322212232221222212212ttttteVareVareVareVareVar27预测年份95%的置信区间20052006200720082009（99，119）（83，109）（87，115）（86，114）（86，114）例例3v 已知某地区每年常驻人口数量近似服从MA(3)模型（单位：万人）：

14、 最近3年的常驻人口数量及一步预测数量如下： 预测未来5年该地区常住人口的95置信区间21231000.80.60.2,25tttttX 年份统计人数预测人数200210411020031081002004105109解解:年份统计人数预测人数200210411020031081002004105109100)5(100)4(8 .1002 . 0100) 3(962 . 06 . 0100)2(2 .1092 . 06 . 08 . 0100) 1 (121tttttttttttxxxxx22002200112003200220042003(1)104 1106(1)108 1008(1)1

15、05 1094tttxxxxxx 21231000.80.60.2,25tttttX解解：置信区间的计算置信区间的计算2221222122222123var (1)25,var (2)(1)41var (3)(1)50var (4)var (5)(1)51ttttteeeee预测年份95置信区间预测人数 2005（99，119） 109.22006（83，109） 962007（87，115） 100.82008（86，114） 1002009（86，114） 100v 95%置信区间的计算：v 估计结果： 1.96 varttx le lARMA(p,q)序列预测序列预测vARMA(p,q)

16、序列场合 :v预测1111ttptpttqt qXXX -11111-11212,12,12, tt lttt lpt lpt lt lqt l qttqttptit l ii lttptx lE XXXEXXXXXlXlXlplqXlXlXlplq ，例例4 已知ARMA(1,1)模型为： 且x100=0.3,100=0.01，预测未来3期序列值的95的置信区间。 2110.80.6,0.0025ttttXX n x100=0.3,100=0.01n 计算Green函数：n 预测方差：解解: 10010010010010010010010.80.60.23420.810.1872,30.82

17、0.14976xXxxxx2110.80.6,0.0025ttttXX 0110121110.20.16GGGGG221000222100012222100012var(1)0.0025var(2)()0.0026var(3)()0.002664eGeGGeGGG置信区间置信区间的计算的计算时期95置信区间预测值101（0.136，0.332） 0.234102（0.087，0.287） 0.1872103（0.049，0.251） 0.14976v95%置信区间：v估计结果： 1001001001001.96 var,1.96 varxlelxlel修正预测修正预测v定义 所谓的修正预测就是

18、研究如何利用新的信息去获得精度更高的预测值 v方法 在新的信息量比较大时把新信息加入到旧的信息中，重新拟合模型； 在新的信息量很小时不重新拟合模型，只是将新的信息加入以修正预测值，提高预测精度。修正预测原理修正预测原理 111111( )( )t lt lt lltltltttxGGGGe lx l 旧信息基础上的序列分解假设新获得一个观察值Xt+1 ，则序列重新分解为 1122111111(1)(1)t lt lt lltltltltttxGGGGGelxl 修正预测原理修正预测原理v在旧信息的基础上，Xt+l的预测值为v假设新获得一个观察值Xt+1 ，则 Xt+l的修正预测值为其中 是Xt

19、+1的一步预测误差。 修正预测误差为110 ( )tl it iltltix lGGG1111111(1)( )tltltltlttxlGGGGx l2201) 1(tllttGGle +11=1tttXX修正预测原理修正预测原理 预测方差为 即一期修正后第 步预测方差就等于修正前第 步预测方差。它比修正前的同期预测方差减少了 ，提高了预测精度。222102var(1)()var1tltelGGe ll1l 221lG一般情况一般情况v假设获得k个新的观察值 ，则 的修正预测值为 修正预测误差为 预测方差为1,1tt kXXklt lX -+1+111-+1+1()t kl kt kltltl

20、tl kt klttXlkGGGGGGx l011()t kt ll kt kelkGG 22201var()()vartpl ktelpGGe lp 例例2续续v 已知某超市月销售额近似服从AR(2)模型(单位：万元/每月) 今年第一季度该超市月销售额分别为：101，96，97.2万元。 （1）请确定该超市第二季度每月销售额的95的置信区间。 （2）假如一个月后知道4月份的真实销售额为100万元，求第二季度后两个月销售额的修正预测值。 12100.60.3,(0,36)tttttXXXN预测时期95置信区间预测值四月份（85.36，108.88） 97.12 100五月份（83.72，111

21、.15） 97.432六月份（81.84，113.35） 97.5952例例2续：假如四月份的真实销售额为续：假如四月份的真实销售额为100万元，求万元，求二季度后两个月销售额的修正预测值二季度后两个月销售额的修正预测值 v计算四月份的一步预测误差v计算修正预测值443 (1)10097.122.88Xx 41431299.16XGx 42432399.50XGx月份 预测值新获得观察值 修正预测值 497.12100597.432697.5952 3Xl41Xl 例例2续续:v计算修正方差：v 步预测销售额的95%置信区间为： 224302224301var(1)var (1)36var(2

22、)var (2)()48.96eeGeeGGl 44441.96 var,1.96 varxlelxlel修正预测修正预测预测时期修正前置信区间修正后置信区间四月份（85.36，108.88） 五月份（83.72，111.15） （87.40，110.92） 六月份（81.84，113.35） （85.79，113.21） ARMA模型的预测模型的预测v关于ARMA模型 有 451111ttpt pttq t qXXX 11111111111111t lt lp t l pt lt lq t l qt lp t l pt lt lltl tq t l qt lp t l pt lt lq t

23、l qXXXXXl qXXl q 46 111,1 1tt ltttptltqt l qtptx lE XXXx lx lplqx lx lplq 例例4 v已知ARMA(1, 1)模型为 且 ，预测未来3期序列值的95%的置信区间。472110.80.6,0.0025ttttXX1001000.3,0.01xv首先计算未来3期预测值 v计算模型的格林函数为48 10010010010010010010010.80.60.23420.810.187230.820.14976xxxxxx010 112111,0.20.16GGGGGv计算预测方差 v计算 得到未来3期序列值的95%的置信区间 4

24、9 21000222100012222100012var10.0025var20.0026var30.002664eGeGGeGGG 1001001001001.96 var,1.96 varxlelxlel预测时期95%的置信区间101102103（0.136，0.332）（0.087，0.287）（-0.049，0.251）预测值的适时修正预测值的适时修正 对于平稳时间序列的预测，实际就是利用已有的当前信息和历史信息对于序列未来某个时期 进行预测。预测的步长值越大，预测精度越差。 随着时间的向前推移，在原有时间序列观测值的基础上，我们会不断获得新的观测值。显然，如果把新的观测值加入历史数据

25、，就能够提高对的预测精度。所谓预测值的修正就是研究如何利用新的信息去获得精度更高的预测值。 5012,tttx xxt lx0l 例例2续续 v假设一个月后已知四月份的真实销售额为100万元，求第二季度后两个月销售额的修正预测值及95%的置信区间。 v因为 根据上述公式可以计算五月、六月的修正预测值如下： 51 443 110097.122.88xx 41431299.16xGx 42432399.50 xGxv修正预测方差为v 步预测销售额的95%的置信区间 52 224302224301var1var136var2var248.96eeGeeGGl预测时期修正前95%的置信区间修正后95%

26、的置信区间四月五月六月（85.36，108.88）（83.72，111.15）（81.84，113.35）（87.40，110.92）（85.79，113.21）序列分解序列分解 111111( )( )t lt lt lltltltttxGGGGe lx l 预测误差预测误差预测值预测值)(),()( ),(11leVarxxxVarlxxxxEtttltttlt当用序列ix，ti, 2 , 1建立 ARMA 模型之后，预测要解决的问题是在时刻t用,21tttxxx对ltx（0l）的取值进行预测，这种预测成为t为原点，向前步长为l的预测，预测值记为)( lxt。 )0( lxlt是一个未知的

27、随机变量， 由于ix之间具有相关性，)0( lxlt的概率分布是有条件的，即在,21tttxxx已给定的条件下。在正态性假定下有 )var(),(),|(21ltlttttltxxENxxxx 序列预测序列预测v线性预测函数v预测方差最小原则10titiixC x ( )( )min( )t lxttVare lVar e l误差分析误差分析v估计误差v期望v方差1111)(tlltlttGGle1022)(liitGleVar0)(leEtAR(p)序列的预测序列的预测v预测值v预测方差v95置信区间)() 1()( 1plxlxlxtpt22121)1 ()(ltGGleVar122211

28、12 ( )1tlx lzGGAR(p)序列的预测序列的预测一一. 基于基于AR模型的预测模型的预测v以平稳的AR(2)过程为例：v其中 为零均值白噪音过程 v58t1t-12t-2tY = c+Y+Y+ utut+ 11t2t-1t+ 1Y= c+Y +Y+ ut+ 21t+ 12tt+ 2Y= c+Y+Y + uARMA模型的预测模型的预测v在t时刻，预测 的值： =v在t时刻，预测 的值： 同理：vv结论59t,1t+ 1tf= E (YI )1t-12t-2c+Y+Yt+1Yt+2Yt,2t+2t1t+1t2t1 t,12tf =E(YI) =c+E(YI)+Y =c+f +Yt,31

29、t,22t,1f= c +f+ft,41t,32t,2f= c +f+f例例3.14v已知某超市月销售额近似服从AR(2)模型（单位：万元/每月）v今年第一季度该超市月销售额分别为：101，96，97.2万元v请确定该超市第二季度每月销售额的95的置信区间 12100.60.3,(0,36)tttttxxxN例例3.14解：预测值计算解：预测值计算v四月份v五月份v六月份12.973 . 06 . 010) 1 (233xxx432.973 . 0) 1 (6 . 010)2(333xxx5952.97) 1 (3 . 0)2(6 . 010)3(333xxx例例3.14解：预测方差的计算解：

30、预测方差的计算v GREEN函数v 方差01102112010.60.360.30.66GGGGGG6416.64)()3(96.48)()2(36)1 (222212032212032203GGGeVarGGeVarGeVar例例3.14解：置信区间解：置信区间v公式v估计结果)(96. 1)(,)(96. 1)(3333leVarlxleVarlx预测时期95置信区间四月份（85.36，108.88） 五月份（83.72，111.15） 六月份（81.84，113.35） 例例2.5:北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合与预测图北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合与预测图 MA(q)序列的预测

31、序列的预测v预测值v预测方差qlqllxqliiltit,)(qlqlleVarqlt,)1 (,)1 ()(222122121例例3.15v 已知某地区每年常驻人口数量近似服从MA(3)模型（单位：万）：v 最近3年的常驻人口数量及一步预测数量如下：v 预测未来5年该地区常住人口的95置信区间1212 . 06 . 08 . 0100tttttx年份统计人数预测人数200210411020031081002004105109例例3.15解：随机扰动项的计算解：随机扰动项的计算4109105) 1 (8100108) 1 (6110104) 1 (20032004200220031200120

32、022xxxxxxttt例例3.15解：估计值的计算解：估计值的计算100)5(100)4(8 .1002 . 0100) 3(962 . 06 . 0100)2(2 .1092 . 06 . 08 . 0100) 1 (121tttttttttttxxxxx例例3.15解：预测方差的计算解：预测方差的计算51)1 ()5(51)1 ()4(50)1 ()3(41)1 ()2(25)1 (22322212232221222212212ttttteVareVareVareVareVar例例3.15解：置信区间的计算解：置信区间的计算预测年份95置信区间2005（99，119） 2006（83，109） 2007（87，115） 2008（86，114） 2009（86，114） ARMA(p,q)序列预测序列预测v预测值v预测方差0,1,)()(kxkkxkxkttt2212110)()(ltGGGleVar例例3.16v已知模型为：v且 v预测未来3期序列值的95的置信区间。 110.80.6ttttxx0025. 021000.3x1000.0