第七讲-扭转变形-非圆、薄壁杆扭转

1、1第六讲回顾第六讲回顾各横截面如同刚性平面，仅绕轴线作相对转动各横截面如同刚性平面，仅绕轴线作相对转动扭转平面假设扭转平面假设pddGITx pIT pmaxWT 44p132 DI324pdI 43p116 DW163pdW max 该应力分布该应力分布是否满足平是否满足平衡方程？衡方程？2第第 4 章章 扭转扭转 1 引言引言 2 圆轴扭转应力圆轴扭转应力3 3 圆轴扭转强度与动力传递圆轴扭转强度与动力传递4 圆轴扭转变形与刚度计算圆轴扭转变形与刚度计算5 圆轴扭转静不定问题圆轴扭转静不定问题6 非圆截面轴扭转非圆截面轴扭转 7 薄壁杆扭转薄壁杆扭转34 圆轴扭转变形与刚度计算圆轴扭转变形

2、与刚度计算 圆轴扭转变形圆轴扭转变形 圆轴扭转刚度条件圆轴扭转刚度条件 例题例题4 圆轴扭转变形圆轴扭转变形pddGITx xxGIxTd)()(dp xxGIxTld)()( p pGITl 圆轴扭转一般情况圆轴扭转一般情况GIp圆轴圆轴截面扭转刚度截面扭转刚度，简称简称扭转刚度扭转刚度对于常扭矩、等截面圆轴对于常扭矩、等截面圆轴NF llEA 5 圆轴扭转刚度条件圆轴扭转刚度条件pddGITx maxp GIT圆轴扭转刚度条件圆轴扭转刚度条件 单位长度的许用扭转角单位长度的许用扭转角 注意单位换算注意单位换算:1801 rad/m /m 一般传动轴，一般传动轴， = 0.5 1 /m6 例

3、例 题题例例 4-1 已知：已知：MA = 180 N.m， MB = 320 N.m， MC = 140 N.m，Ip= 3105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa， = 0.5/m 。 AC=? 校核轴的刚度校核轴的刚度解：解：1. 变形分析变形分析mN 1801 AMTmN 1402 CMTrad 101.502-p1 GIlTAB rad 101.172-p2 GIlTBC 7BCABAC rad 1033010171101.502-2-2- .2. 刚度校核刚度校核p11ddGITx p22ddGITx 21 TT 1max1pdd ddABTxxGIl -3maxd1.

4、5 10 r180ad0.43 /m d2mx 注意单位换算！注意单位换算！8例例4-2图示圆轴，已知图示圆轴，已知G、和和，计算总扭转角，计算总扭转角，并校核轴的强度与刚度并校核轴的强度与刚度解：解：1 1、扭矩图、扭矩图aaaadDMm=2M/a3MTxM2MdxGITdLlp092、总扭转角、总扭转角adDGMaDGMaDGMaDGxdxaM0444443232322322总3、强度校核、强度校核aaaadDTxM2MABTxM2MAB max)1 (16:162:433maxDMBDMAA、B为危险段为危险段 maxpWT104、刚度校核、刚度校核aaaadDTxM2MAB max)1

5、 (32:322:444maxDGMBDGMAA、B为危险段为危险段：pGITdxd11例例 4-3 试计算图示小锥度圆锥形轴的总扭转角试计算图示小锥度圆锥形轴的总扭转角解：解：32)()(4pxdxI MT lxxdddGM0 4121d2132 32311211)-(332ddddGMlxldddxd121)( lxxGITd )( p 125 圆轴扭转静不定问题圆轴扭转静不定问题 扭转静不定问题分析扭转静不定问题分析 例题例题13 扭转静不定问题分析扭转静不定问题分析问题问题 试求图示轴两端的支反力偶矩试求图示轴两端的支反力偶矩问题分析问题分析(a) 0 , 0 MMMMBAx未知力偶矩

6、未知力偶矩2，平衡方程，平衡方程1，一度静不定，一度静不定14建立变形补充方程建立变形补充方程0 CBACAB (b) 0 bMaMBA计算支反力偶矩计算支反力偶矩(a) 0 , 0 MMMMBAx联立求解方程联立求解方程(a)与与(b) baMaMbaMbMBA ，p1GIaTAC p)(-GIaMA p2GIbTCB pGIbMB 变形协变形协调条件调条件物理方程物理方程平衡方程平衡方程15 例例 题题例例 5-1 图示图示组合轴，组合轴，承受集度为承受集度为 m 的均布扭力偶，的均布扭力偶，与矩为与矩为 M = ml 的集中扭力偶。的集中扭力偶。已知：已知： G1 = G2 = G，Ip

7、1 = 2Ip2 。试求：试求：圆盘的转角。圆盘的转角。解：解：1. 建立平衡方程建立平衡方程沿截面沿截面 B 切开切开, ,画受力图画受力图162. 建立补充方程建立补充方程(a) , 021mlTTMBBx BB21 变形协调条件变形协调条件未知力偶矩未知力偶矩2，平衡方程，平衡方程1，一度静不定，一度静不定 lBxGIxT0p111d)( )()(11xlmTxTB 17(b) 221BBTmlT 221mlTTBB p2p2222GImlGIlTBBB 联立求解平衡与补充方程，得联立求解平衡与补充方程，得圆盘转角为圆盘转角为3. 扭矩与圆盘转角扭矩与圆盘转角 2121p11mllTGI

8、BB p222GIlTBB (a) , 021mlTTMBBx lBxGIxT0p111d)( )()(11xlmTxTB BB21 变形协调条件变形协调条件186 非圆截面轴扭转非圆截面轴扭转 矩形截面轴扭转矩形截面轴扭转 椭圆等非圆截面轴扭转椭圆等非圆截面轴扭转19 矩形截面轴扭转矩形截面轴扭转 圆轴平面假设不适用于非圆截面轴圆轴平面假设不适用于非圆截面轴实验现象实验现象 截面翘曲截面翘曲, 角点处角点处 g g 为零为零, 侧面中点处侧面中点处 g g 最大最大20应力分布特点应力分布特点 横截面上角点处，切应力为零横截面上角点处，切应力为零 横截面边缘各点处，切应力横截面边缘各点处，切

9、应力 / 截面周边截面周边 横截面周边长边中点处，切应力最大横截面周边长边中点处，切应力最大21弹性力学解弹性力学解2tmaxhbTWT max1gg 3thbGTlGITl 系数系数 , , g , , g 与与 h/b 有关，见表有关，见表4-1长边中点长边中点 最大最大22狭窄矩形截面扭转狭窄矩形截面扭转33 GhTl 2max3 hT h中心线总长中心线总长时时当当 10 h23 椭圆等非圆截面轴椭圆等非圆截面轴tmaxWT tGITl Wt, It 的量纲分别与的量纲分别与 Wp, Ip 相同相同 计算公式见附录计算公式见附录D椭圆、三角形等非圆截面轴椭圆、三角形等非圆截面轴247

10、薄壁杆扭转薄壁杆扭转 开口与闭口薄壁杆开口与闭口薄壁杆 闭口薄壁杆扭转应力与变形闭口薄壁杆扭转应力与变形 开口薄壁杆扭转简介开口薄壁杆扭转简介 薄壁轴合理截面形状薄壁轴合理截面形状 例题例题25 截面中心线截面中心线 截面壁厚平分线截面壁厚平分线 闭口薄壁杆闭口薄壁杆 截面中心线为封截面中心线为封 闭曲线的薄壁杆闭曲线的薄壁杆 开口薄壁杆开口薄壁杆 截面中心线为非封闭曲线的薄壁杆截面中心线为非封闭曲线的薄壁杆 开口与闭口薄壁杆开口与闭口薄壁杆26 闭口薄壁杆扭转应力与变形闭口薄壁杆扭转应力与变形假设假设 切应力沿壁厚均匀分布，其方向则平行于中心线切线切应力沿壁厚均匀分布，其方向则平行于中心线切

11、线0dd , 02211 xxFx 2211 常常数数 称为称为剪流剪流，代表中心线单位长度上的剪力，代表中心线单位长度上的剪力应力公式应力公式27 Tsd AsOABd22d s2d T2 minmax2 T max与与截面中心线所围面积截面中心线所围面积W W 成反比成反比 max发生在壁厚最薄处发生在壁厚最薄处dsT 202 RT28扭转变形扭转变形tGITl sId42t 3oo22ot22)(4RRRI 302RGTl 对于等截面、常值扭矩薄壁圆管对于等截面、常值扭矩薄壁圆管：证明见后证明见后由应力表达由应力表达式如何得到？式如何得到？29 开口薄壁杆扭转简介开口薄壁杆扭转简介扭转切

12、应力沿截面周边扭转切应力沿截面周边呈呈“环流环流”分布，开口分布，开口薄壁杆的抗扭性能差薄壁杆的抗扭性能差采用隔板或肋板，采用隔板或肋板，将显著提高开口薄将显著提高开口薄壁杆的抗扭性能壁杆的抗扭性能30 薄壁杆合理截面形状薄壁杆合理截面形状 等壁厚比变壁厚好等壁厚比变壁厚好minmax2 T “在周长相同的条件下，圆内在周长相同的条件下，圆内所包含的面积最大所包含的面积最大”（变分法）（变分法） 正方形比矩形好正方形比矩形好 圆形比非圆形好圆形比非圆形好 闭口比开口好闭口比开口好31判据判据：在中心线总长在中心线总长 l 相同的条相同的条件下，件下，W W 大者为好大者为好)(2hbl hhl

13、bh 2022dd hlh4 lh hlb 2结论结论：在正四边形中，正方形内包含的面积在正四边形中，正方形内包含的面积 W W 最大最大 02dd 22h4lb 32 例题例题例例 7-1 求铆钉剪切力，铆钉总数求铆钉剪切力，铆钉总数n，壁厚，壁厚 解：解： 202 RM 2SnlF 20RnMl 33解：解：1. 闭口薄壁圆管闭口薄壁圆管 202 RT 闭闭 302RGTl 闭闭例例 7-2 比较闭口与开口薄壁圆管的抗扭性能，设比较闭口与开口薄壁圆管的抗扭性能，设 R020 342. 开口薄壁圆管开口薄壁圆管202233 RThT 开开303233 GRTlGhTl 开开3. 抗扭性能比较抗扭性能比较6030 R闭闭开开1200320 R闭闭开开在抗扭性能方面，闭口薄壁杆远比