第9章 正弦交流电路

1、9.1 9.1 正弦交流正弦交流信号信号第第9章章 正弦交流电路正弦交流电路9.4 KCL9.4 KCL和和KVLKVL的相量的相量形式形式 9.3 9.3 正弦信号正弦信号的相量表的相量表示示9.5 R9.5 R、L L、C C元件元件VARVAR的的相量形式相量形式9.79.7正弦稳态正弦稳态相量法分析相量法分析 本章首先正弦本章首先正弦RC电路的经典分析出发，研究电路的经典分析出发，研究正弦激励下稳态响应与微分方程特解的对应关正弦激励下稳态响应与微分方程特解的对应关系及特点，由此导出能方便求解正弦稳态响应系及特点，由此导出能方便求解正弦稳态响应（特解）的简便而有效的方法（特解）的简便而有

2、效的方法-相量法。相量法。 学习本章，应着重掌握正弦量及正弦量的相学习本章，应着重掌握正弦量及正弦量的相量表示、相量运算、相量图、量表示、相量运算、相量图、KCL、KVL及元及元件件VAR的相量形式，阻抗和导纳及相量模型的的相量形式，阻抗和导纳及相量模型的概念，并要求熟练掌握正弦稳态分析中相量形概念，并要求熟练掌握正弦稳态分析中相量形式的网孔法、节点法、叠加法、等效法等。式的网孔法、节点法、叠加法、等效法等。【内容提要内容提要】 掌握：正弦稳态响应特点相量相量分析法 动态电路动态电路交流动态电路交流动态电路激励激励恒定恒定正弦信号正弦信号响应响应全响应全响应 （暂态）（暂态）稳态稳态方程方程微

3、、积分微、积分复数代数复数代数直流电阻电路：直流电阻电路：稳态响应稳态响应实代数方程实代数方程直流动态电路直流动态电路微积分方程微积分方程稳态响应稳态响应正弦动态电路正弦动态电路微积分方程微积分方程暂态响应暂态响应稳态响应稳态响应暂态响应暂态响应复代数方程复代数方程本章要求本章要求 一、要求一、要求1、能够正确理解正弦交流电的基本概念；熟悉正弦交能够正确理解正弦交流电的基本概念；熟悉正弦交流电的几种表示方法流电的几种表示方法。 二、作业作业9-15,9-16,9-19,9-26,9-349-15,9-16,9-19,9-26,9-343、熟练掌握正弦稳态分析中相量形式的网孔法、熟练掌握正弦稳态

4、分析中相量形式的网孔法、节点法、叠加法、等效法等节点法、叠加法、等效法等。2、深刻理解相量的概念，牢固掌握深刻理解相量的概念，牢固掌握相量形式的相量形式的KCL、KVL及元件及元件VAR；熟练掌握相量运算；熟练掌握相量运算。前面各章所讨论的都是在恒定激励作用下电路的响应问前面各章所讨论的都是在恒定激励作用下电路的响应问题，及直流电阻电路和直流动态电路的分析。本章开始，将研题，及直流电阻电路和直流动态电路的分析。本章开始，将研究在正弦激励下的电路，并着重讨论正弦稳态时电路的响应。究在正弦激励下的电路，并着重讨论正弦稳态时电路的响应。1、在生产和生活中广泛应用的是正弦交流电，无论是发、在生产和生活

5、中广泛应用的是正弦交流电，无论是发电、传输、供电还是耗电，大多发生在正弦稳态条件下，即使电、传输、供电还是耗电，大多发生在正弦稳态条件下，即使一些需要直流电的地方，也都是经过整流、滤波、稳压等方式一些需要直流电的地方，也都是经过整流、滤波、稳压等方式将交流电转化为直流电的。将交流电转化为直流电的。2、从信号分析的角度来看，由傅里叶分析理论可知，、从信号分析的角度来看，由傅里叶分析理论可知，任何变化规律复杂的信号，都可以分解为不同幅度、不同频任何变化规律复杂的信号，都可以分解为不同幅度、不同频率、不同相位的正弦信号的叠加。率、不同相位的正弦信号的叠加。前面各章所接触到的电压和电流均为稳恒直流电，

6、前面各章所接触到的电压和电流均为稳恒直流电，由恒定激励作用产生，其大小和方向均不随时间变化，由恒定激励作用产生，其大小和方向均不随时间变化，简称简称直流电直流电。直流电的波形图如下图所示：。直流电的波形图如下图所示：u、it0电子通讯技术中通常接触到的电压和电流，通常其电子通讯技术中通常接触到的电压和电流，通常其大小随时间变化，方向不随时间变化，称为大小随时间变化，方向不随时间变化，称为脉动直流电脉动直流电，如图所示。如图所示。电压或电流的大小和方向均随时间变化时，称为电压或电流的大小和方向均随时间变化时，称为交流交流电电，最常见的交流电是随时间按正弦规律变化正弦电压和，最常见的交流电是随时间

7、按正弦规律变化正弦电压和正弦电流正弦电流-正弦交流电正弦交流电。)cos(umtUu)cos(imtIiu、it0波形图为：波形图为： 正弦交流电可以用正弦或余弦函数表示，本教材统一正弦交流电可以用正弦或余弦函数表示，本教材统一用余弦函数表示，如表达式为：用余弦函数表示，如表达式为：1 正弦量的三要素正弦量的三要素（1）正弦交流电的周期、频率和角频率）正弦交流电的周期、频率和角频率 正弦量单位时间内变化的弧度数。正弦量单位时间内变化的弧度数。角频率与周期及频率的关系：角频率与周期及频率的关系：fT22 正弦量完整变化一周所需要的时间。正弦量完整变化一周所需要的时间。 正弦量在单位时间内变化的周

8、数。正弦量在单位时间内变化的周数。周期与频率的关系：周期与频率的关系：Tf1V)cos()(umtUtuut0（2）正弦量的瞬时值、最大值和有效值正弦量的瞬时值、最大值和有效值 正弦量对应某一时刻的数值，通常用解析式表示：正弦量对应某一时刻的数值，通常用解析式表示：A)60cos(07. 7)(V)45cos(311)(ttittu 正弦量在一个周期内振荡的正向最高点：正弦量在一个周期内振荡的正向最高点：ut0mU1 正弦量的三要素正弦量的三要素IIII22mm指指与交流电热效应相同的直流电数值与交流电热效应相同的直流电数值。R ii通过通过R R， t 时间内在时间内在R上产生的热量为上产生

9、的热量为Q我们就把与交流电热效应相同的直流电流我们就把与交流电热效应相同的直流电流 的数值称为的数值称为 的的。有效值可以确切地反映交流电的作功能力。有效值可以确切地反映交流电的作功能力。理论和实际都可以证明理论和实际都可以证明R II通过通过R，t 时间内也产生时间内也产生Q热量热量1 正弦量的三要素正弦量的三要素UUUU22mm同理同理正弦量解析式中随时间变化的电角度正弦量解析式中随时间变化的电角度(t+)称为称为相位，相位是时间的函数，反应了正弦量随时间相位，相位是时间的函数，反应了正弦量随时间变化的整个进程。变化的整个进程。t=0时的相角时的相角，初相确定了正弦量计时始的位置。，初相确

10、定了正弦量计时始的位置。3. 正弦交流电的相位和初相正弦交流电的相位和初相V)45cos(311)(ttuut01 正弦量的三要素正弦量的三要素)cos(umtUu)cos(imtIiut0mU显然，只要知道正弦信号的显然，只要知道正弦信号的振幅（或有效值）、振幅（或有效值）、角频率（或频率、周期）角频率（或频率、周期）初相初相就可唯一确定正弦信号就可唯一确定正弦信号故将正弦信号的故将正弦信号的振幅（或有效值）、振幅（或有效值）、角频率（或频率、周期角频率（或频率、周期）初相初相称为正弦信号的三要素称为正弦信号的三要素1 正弦量的三要素正弦量的三要素T)cos( ),cos(imumtIitU

11、uiuiuiutttt)()(u、i 的相位差为：的相位差为：显然，相位差实际上等于两个同频率正弦量之间的显然，相位差实际上等于两个同频率正弦量之间的2 正弦量的相位差正弦量的相位差两个同频率正弦量之间相位的差值称为它们的两个同频率正弦量之间相位的差值称为它们的u1与与u2反相，即相位差为反相，即相位差为180；tu4u2u1uu3超前超前u190，或说，或说u1滞后滞后u390，二者为正交的相位关系。，二者为正交的相位关系。u1与与u4同相，即相位差为零同相，即相位差为零。几个有关相位差的概念：几个有关相位差的概念：u32 正弦量的相位差正弦量的相位差已知工频电压有效值已知工频电压有效值U2

12、20V，初相，初相 u60；工频电流；工频电流有效值有效值I22A，初相，初相 i30。求其瞬时值表达式、波。求其瞬时值表达式、波形图及它们的相位差。形图及它们的相位差。V)3314cos(2220)(ttu)A6-t314cos(222)(ti2)6(3iu工频电工频电f=50HZ，故，故 =314rad/s，所以瞬时值表达式，所以瞬时值表达式: :波形图波形图: :u、it0ui6相位差相位差: :3 正弦量的最大值正弦量的最大值(或有效值或有效值)反映了正弦量的大小及反映了正弦量的大小及作功能力；角频率作功能力；角频率(或频率、周期或频率、周期)反映了正弦量随时间反映了正弦量随时间变化的

13、快慢程度；初相则确定了正弦量计时始的位置变化的快慢程度；初相则确定了正弦量计时始的位置。只要这三个要素确定之后，则正弦量无论是解析式。只要这三个要素确定之后，则正弦量无论是解析式还是波形图，都是唯一和确切的。因此，我们把最大还是波形图，都是唯一和确切的。因此，我们把最大值（或有效值）、角频率（或频率、周期）及初相称值（或有效值）、角频率（或频率、周期）及初相称为正弦量的为正弦量的。2、一个正弦电流的最大值为一个正弦电流的最大值为100mA，频率为，频率为2KHz，这个电，这个电流达到零值后经过多长时间可达流达到零值后经过多长时间可达50mA？3、已知已知u1=U1mcos(t+60)V， u2

14、=U2mcos(2t+45)V，能否能否比较哪个超前哪个滞后？为什么？比较哪个超前哪个滞后？为什么？4、有一电容器，耐压值为有一电容器，耐压值为220V，问能否用在有效值为，问能否用在有效值为180V的正弦交流电源上？为什么？的正弦交流电源上？为什么？1、何谓正弦量的三要素何谓正弦量的三要素，三要素各反映了正弦量的哪些方，三要素各反映了正弦量的哪些方面面？5、一个正弦电压的初相为一个正弦电压的初相为-60，在，在t=T/2时为时为-268V，试求它的有效值。试求它的有效值。9.2 9.2 正弦正弦RC电路的分析电路的分析iCRis+ucCiR)cos(imcctIRudtduC以以RC电路为例

15、，已知电路为例，已知UC(0-)=0，iS(t)=Imcos( t+ i) A，求，求uC(t)，t0。解：解：KCLcpchcuutu)(（1 1）求齐次通解）求齐次通解uch(t)。0RudtduCcc01RCsRCs1RCtstchKeKetu)(对应齐次方程为对应齐次方程为 特征方程特征方程 特征根特征根故故 )cos(imcctIRudtduCRCtstchKeKetu)()cos()(umcptUtu)cos()cos(1)sin(imumumtItURtCUsinACUmcosARUm22)()(RUCUAmm)arctan( RC（2 2）求非齐次特解）求非齐次特解ucp(t)

16、。观察方程右边自由项可知观察方程右边自由项可知特解为同频率的正弦量特解为同频率的正弦量。为求待定常数为求待定常数Um及及 u。代入微代入微分方程分方程得：得：其中其中令令 故令故令则由三角公式有则由三角公式有 )cos()cos(imutItA合并合并RCtstchKeKetu)()cos()(umcptUtu22)()(RUCUAmm)arctan( RC)cos()cos(imutItAmIAiu故故 由于由于 所以所以 22)1()(RCIUmm)arctan( RCiu故故 ）（RCtRCItuimcparctancos)1()()(22)arctancos)1()()(22RCtRC

17、Ituimcp（RCtstchKeKetu)()cos()(umcptUtucpchcuutu)(RCtKe)cos(umtU0)0(cuumUKcos0umUKcosRCtumCeUtu)cos()(（3 3）完全解）完全解（4 4）求）求K将初始条件将初始条件代入上式得代入上式得故故 )arctancos)1()(22RCtRCIim（RCtumCeUtu)cos()(正弦正弦RC动态电路的响应动态电路的响应 )arctancos)1()(22RCtRCIim（iCRis+ucCiR结论：结论：正弦动态电路响应：正弦动态电路响应：暂态响应（通解）：暂态响应（通解）：按指数规律衰减。按指数规

18、律衰减。 经经44时间基本结束时间基本结束稳态响应（特解）稳态响应（特解）：按正弦规律变化按正弦规律变化 与激励有相同频率与激励有相同频率稳态响应：稳态响应：只需求只需求振幅、初相振幅、初相相量分析法相量分析法9.3 9.3 正弦信号的相量表示正弦信号的相量表示Xab|X|j相量表示法：相量表示法：复数表示法复数表示法。相量：相量：正弦量的复数表示形式正弦量的复数表示形式jbaXXeXXj1、复数、复数 代数型代数型 指数型（极型）指数型（极型）复数的表示复数的表示 a：实部：实部b：虚部：虚部：模：模 ：辐角辐角XaXRebXIm22baXabarctancosXa sinXb 转换：转换：

19、代数型代数型指数型指数型 指数型指数型代数型代数型9.3 9.3 正弦信号的相量表示正弦信号的相量表示111jbaX11 X222jbaX22 X)()(212121bbjaaXX)(212121XXXX)(212121XXXX设复数设复数 加减加减 乘乘 除除X1a1b1jX2a2b2X1+X2相量的概念相量的概念用相量表示正弦信号用相量表示正弦信号)(tjmeU)sin()cos()(tjUtUeUmmtjm )cos()(tUtum)()(tjjmetjmeeeUReURtutjmeeURmjmmUeUUUUeUjmUU21mII21对复指数函数对复指数函数有有 设某正弦电压为设某正弦电

20、压为 则有则有 其中复数其中复数 - - 振幅相量振幅相量 -有效值相量有效值相量 模模= =正弦电压的振幅正弦电压的振幅辐角辐角= =正弦电压的初相正弦电压的初相mjmmUeUU 定义：定义： )cos()(tUtum22mjmUeUU振幅相量振幅相量: :有效值相量有效值相量: : mjmmUeUU用相量表示正弦信号用相量表示正弦信号Vttuo)452cos(23)(Vttio)303cos(5)(VUom4523VUo453AIom305AIo3025例例1 1 已知正弦电压、电流如下，写出对应振幅相量和有效值相量。已知正弦电压、电流如下，写出对应振幅相量和有效值相量。解：解：VttuU

21、oom4523)452cos(23)(用相量表示正弦信号用相量表示正弦信号VUo305srad /4AjIm3 . 45 . 2Vttuo)304cos(25)(AjIom6055 . 234. 4arctan34. 45 . 234. 45 . 222Attio)60cos(5)(例例2 2 已知正弦电压、电流对应相量如下，写出信号表达式。已知正弦电压、电流对应相量如下，写出信号表达式。，角频率为，角频率为解：解：（2）（1）1. 把下列正弦量表示为有效值相量：把下列正弦量表示为有效值相量：V)30sin(2220 3V)45-cos(2220 2A)45cos(10 1tututi）（）（

22、）（V120220V135220A45-25oooUUI2. 指出下列各式的错误并改正：指出下列各式的错误并改正：V60380 3A)9 .36cos(2109 .3610 2A2220)4cos(2220 145oojUtIetu）（）（）（正弦量和相量正弦量和相量之间只有对应之间只有对应没有相等。没有相等。电压单位是电压单位是V！相量上面要加符号相量上面要加符号“ ”！o9016o607o180101690sin90cos169016jjooo1 . 65 . 3)60sin()60cos(7607jjooo10180sin180cos1018010oooj例例3 3 化下列复数（相量）为

23、直角坐标形式。化下列复数（相量）为直角坐标形式。（2 2）（3 3）解：（解：（1 1）（2 2）（1 1）（3 3）j146j8j43joj45211arctan11122oj7 .332 . 764arctan)4(64622oj90808arctan)8(0822oj1 .233534arctan)4()3(4322oo9090o180例例4 4 化下列复数（相量）为极坐标形式。化下列复数（相量）为极坐标形式。（2 2）（3 3）（4 4）解：（解：（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）注意：注意：辐角由复数所在象限决定，通常查表所得角度数在辐角由复数所在象限决定，通常查表所得角度数在

24、若辐角在第二、三象限，则需在查表所得的角度上若辐角在第二、三象限，则需在查表所得的角度上“+ +”或或“- -”（1 1）461jA372jA21AA21AAooojjAA5 .109 . 02 .236 . 77 .332 . 737462113113374621jjjAA例例5 5 已知相量已知相量，。化为极坐标形式并画相量图。化为极坐标形式并画相量图。求求解：解：，（1 1）（2 2）复数运算中，应根据复数所在象限正确写出幅角的值。如复数运算中，应根据复数所在象限正确写出幅角的值。如)1803/4(arctan9 .126/ 5 43) 3/4arctan180(9 .126/ 5 43

25、) 3/4arctan(1 .53/ 5 43) 3/4(arctan1 .53/ 5 43AjAAjAAjAAjA第三象限第二象限第四象限第一象限 代数形式中虚部数值前面的代数形式中虚部数值前面的，一个复数乘以，一个复数乘以j相当于在复平面上逆时针旋转相当于在复平面上逆时针旋转90；除以；除以j相当于在复平面上相当于在复平面上顺时针旋转顺时针旋转90。1. 已知复数已知复数A=4+j5，B=6-j2。试求。试求A+B、A-B、AB、AB。2. 已知复数已知复数A=17/24，B=6/-65。试求。试求A+B、A-B、AB、AB。7 .69/01. 1)4 .18(3 .51/32. 64 .

26、 69 .32/ 4 .40)4 .18(3 .51/32. 64 . 64 .18/32. 626 3 .51/ 4 . 654106/28. 772)2(5)64(7 .16/ 4 .10310)25()64(BABAjBjAjjBAjjBA第第2题自己练习。题自己练习。一一 相量相量 与正弦量相对应的复电压和复电流称之为与正弦量相对应的复电压和复电流称之为。为区别。为区别于一般复数，相量的头顶上一般加符号于一般复数，相量的头顶上一般加符号“ ”。正弦量正弦量i=14.1sin(t+36.9)A，A9 .36/ 1 .14mI有效值相量为：有效值相量为：A9 .36/10I 由于同一电路中

27、各正弦量频率相同，所以相量只需对应由于同一电路中各正弦量频率相同，所以相量只需对应正弦量的两要素即可。即正弦量的两要素即可。即对应正弦量的对应正弦量的或最大或最大值值)，对应正弦量的对应正弦量的。其最大值相量为：其最大值相量为：二二 复数及其表示方法复数及其表示方法复数复数A在复平面上是一个点，在复平面上是一个点，j0a2 a1原点指向复数的箭头称为它的原点指向复数的箭头称为它的,模模a与正向实轴之间的夹角称为复与正向实轴之间的夹角称为复数数A的的；A在实轴上的投影是它的在实轴上的投影是它的； A在虚轴上的投影称为其在虚轴上的投影称为其。复数复数A的的为：为：由图又可得出复数由图又可得出复数A

28、的模值的模值a和幅角和幅角分别为：分别为：122221arctan aaaaa，aj0a21a1aA与模及幅角的关系与模及幅角的关系sincos21aaaa又可得到复数又可得到复数A的的为：为：复数还可以表示为复数还可以表示为和和：41 .53sin531 .53cos521aaA=ae j或A=a /已知复数已知复数A的模的模a=5，幅角，幅角=53.1=53.1，试写出复数，试写出复数A的极坐标形式和代数形式表达式。的极坐标形式和代数形式表达式。极坐标形式为极坐标形式为：A=5/53.1代数表达形式代数表达形式为：为：A=3+j4三三 复数运算法则复数运算法则 设有两个复数分别为：设有两个

29、复数分别为：A、B加、减、乘、除时的运算公式加、减、乘、除时的运算公式2121 jbbbBjaaaAba/bababaBAabBAbajbaBAbajbaBA/)()()()(22112211RetjkmeI)cos()( kkmKtIti0)(1tinKK1、KCL的相量形式的相量形式 0Re1nktjkmeI0Re1nktjkmeI代入有：代入有： 0Re)Re(1tjtjnkkmeeI01nkkI9.4 KCL9.4 KCL和和KVLKVL的相量表示的相量表示 01nkkmI2、KVLKVL的相量形式的相量形式01nkkmU01nkkU同理同理 在正弦稳态电路中，在正弦稳态电路中，任一时

30、刻，沿任一闭任一时刻，沿任一闭合回路，各支路电压合回路，各支路电压相量降的代数和为零。相量降的代数和为零。在正弦稳态电路中，任在正弦稳态电路中，任一时刻，流入任一节点一时刻，流入任一节点的各支路电流相量的代的各支路电流相量的代数和为零。数和为零。j43213jIII解：解： 3031I49042jI 故：故：A3读数为读数为5A 01nkkmI01nkkmUA cos23)(1ttiA )90cos(24)(02tti3A 例例1 1 如图所示，已知如图所示，已知，求，求表的读数。表的读数。其模值为其模值为 AI543223i1i2A3i3方法一方法一（采用相量代数运算）（采用相量代数运算）方

31、法二方法二（相量图法）（相量图法） 故：故：A3读数为读数为5A 3453028bcU)493.6(21j)66. 85(21j120210abU)30cos(890120cos(8ttubc）bcabacUUU)66. 493. 1 (21jVUac 5 .6704. 521Vtuac )5 .67cos(04.5 例例2 已知已知 Vtuab)60cos(10Vtubc)120sin(8acu求求)120cos(10)18060cos(10ooabttu0jbcUacUabUVUac 5 .6704. 5213028bcU120-210abU 按照各个正弦量的按照各个正弦量的和和关系用关系

32、用画出的若干个相量的图形，称为画出的若干个相量的图形，称为。把它们表示为相量，并且画在相量图中。把它们表示为相量，并且画在相量图中。，222111 cos2 cos2tUutUu用有效值相量表示，即：用有效值相量表示，即：画在相量图中：画在相量图中：12U2U1也可以把复平面省略，直接画作也可以把复平面省略，直接画作12U2U1虚线可以不画虚线可以不画222 111UUUU谈谈相量图画法及其应用谈谈相量图画法及其应用U。，求，21222111 cos2 cos2uuutUutUu利用相量图辅助分析，利用相量图辅助分析，12U2U1根据平行四边形法则，根据平行四边形法则，由相量图可以清楚地看出：

33、由相量图可以清楚地看出：221122112221122211coscossinsinarctan)sinsin()coscos(UUUUUUUUUU1cos1+U2cos2 2U1sin1+U2sin2 2利用相量图分析计算同频率正弦量之间利用相量图分析计算同频率正弦量之间的加、减运算，显然能起到化隐含为浅的加、减运算，显然能起到化隐含为浅显的目的，根据相量与正弦量之间的对显的目的，根据相量与正弦量之间的对应关系得：应关系得：9.5 R、L、C元件元件VAR的相量表示的相量表示 )cos(2)(utUtu )cos(2)(itItiiuIIUU 元元件件+_uiRiu ReReRe tjmtj

34、mtjmeIReIReUIRUmmIRUUuuitIi有有： iuRIU（同相） iuRIUiuIIUU IRUmmIRU二、二、电容元件电容元件dtduCiCC ReRe tjCmtjCmeUdtdCeIRetjCmeUCj )cos(2)( )cos(2)(iutItitUtu元元件件+_uiCCUCjICmCmUCjI电流超前电压电流超前电压90ouCiCCUjI212jejCCCUI2ui有有: )2(uCCUiuIIUU CCUCjItuiUuIi三、电感元件三、电感元件利用对偶关系可得利用对偶关系可得 :CCUCjI电压超前电流电压超前电流90oLLLIU2iuLLILjUtiuI

35、iUuRRIRU iuRRRIUCCUCjICCCUI2ui电流超前电流超前电压电压90oLLILjU电压超前电压超前电流电流90oLLLIU2iu电流与电流与电压电压同向同向I0 0SUCURU222226080 CRSUUUVUS100CRSUUU例例1 1 如图电路，已知如图电路，已知V1表的读数为表的读数为80V，V2表的读数为表的读数为60V。 求：求：V表的读数。表的读数。 us+CRV1VV2解：解：相量图法相量图法由由KVLKVL有有以电流相量为参考以电流相量为参考画出相量图画出相量图如图有如图有电阻电压与电流同相电阻电压与电流同相电容电压滞后电流电容电压滞后电流9090o o

36、VttuS )901000cos(1202)(例例2 如图电路，已知如图电路，已知 解解：设电流如图，设电流如图，有有 9081590120 RUISR求求i(t)并画相量图并画相量图。 15 83.3 F us+i30mH iRiLiC04903090120LjUISLSCUCjI9012090)103 .831000(6104)10(8jIIIICLRA 1271086jA )1271000cos(102)(tti故故 相量图如图相量图如图jRIILICILCII一、阻抗及导纳的定义一、阻抗及导纳的定义IUjZ）(元元件件IU+_定义阻抗定义阻抗单位欧姆（单位欧姆（ ）单位西门子（单位西门

37、子（S S） UIjY）(定义导纳定义导纳阻抗和导纳阻抗和导纳都是都是 的函的函数数IZU可得：可得： UYI-欧姆定欧姆定律的相量形律的相量形式式故故RRIRUCCICjU1LLILjUCjZLjZRZCLR1元元件件IU+_二、元件的阻抗和导纳二、元件的阻抗和导纳CjYLjYGRYCLR11RXLXC0ZRZRLLjXLjZ感抗LXLCCjXCjZ1容抗LXC1与信号频与信号频率率 有关有关同理有同理有LLjBLjY1CCjBCjY感纳LBL1容纳CBC电感元件的电压电流有效值关系为电感元件的电压电流有效值关系为 XL=2f L=L，虽然式中感抗和电阻类似，等于元件上虽然式中感抗和电阻类似

38、，等于元件上电压与电流的比值，但它与电阻有所不同，电阻反映了元电压与电流的比值，但它与电阻有所不同，电阻反映了元件上耗能的电特性，而感抗则是表征了电感元件对正弦交件上耗能的电特性，而感抗则是表征了电感元件对正弦交流电流的阻碍作用，这种阻碍作用不消耗电能，只能推迟流电流的阻碍作用，这种阻碍作用不消耗电能，只能推迟正弦交流电流通过电感元件的时间。正弦交流电流通过电感元件的时间。感抗与哪些因感抗与哪些因素有关？素有关？XL与与频率频率成成；与；与电感量电感量L成成。直流情况直流情况下感抗为下感抗为多大？多大？IUXLL直流下频率直流下频率f =0，所以，所以XL=0。其中：其中：电容元件电压电流有效

39、值关系为电容元件电压电流有效值关系为容抗与哪些因容抗与哪些因素有关？素有关？XC与与频率频率成成；与；与电容量电容量C成成，因此频率越高电路中容抗越小，这，因此频率越高电路中容抗越小，这被称作电容元件的通交作用，高频电被称作电容元件的通交作用，高频电路中电容元件相当于短路。路中电容元件相当于短路。直流情况直流情况下容抗为下容抗为多大？多大？直流下频率直流下频率f =0，所以，所以XC=。我们说。我们说电容元件电容元件。（隔直作用）。（隔直作用）CfCX121C 容抗反映了电容元件对正弦交流电流的阻碍作用。只有容抗反映了电容元件对正弦交流电流的阻碍作用。只有在在下，电容元件的容抗才是下，电容元件

40、的容抗才是。问题与讨论问题与讨论1. 电源电压不变，当电路的频率变化时，电源电压不变，当电路的频率变化时， 通过电感元件的电流发生变化吗？通过电感元件的电流发生变化吗？2. 2. 电容元件在直流、高频电路中如何？电容元件在直流、高频电路中如何？3. 3. 电感元件和电容元件有什么异同？电感元件和电容元件有什么异同？0。超前且，iu 90。超前且ui ,90电阻元件上电压与电流的相位同相，电阻元件上电压与电流的相位同相，电感元件上电压与电流的相位差电感元件上电压与电流的相位差感抗与频率成正比，直流情况下感抗与频率成正比，直流情况下f=0，L相当于短路；相当于短路；高频情况下，由于感抗很大，高频情

41、况下，由于感抗很大，L L相当于开路。相当于开路。高频情况下，由于容抗近似等于零，高频情况下，由于容抗近似等于零，C相当于短路。相当于短路。电容元件上电压与电流的相位差电容元件上电压与电流的相位差容抗与频率成反比，直流情况下容抗与频率成反比，直流情况下f=0，C相当于开路；相当于开路；CUICuiCUIXUimC）（；）（；）（；）（4 3 2 1LUILuiLUIXUim）（；）（；）（；）（4 3 2 1L1.1.电阻元件在交流电路中电压与电流的相位差是多少？电阻元件在交流电路中电压与电流的相位差是多少？ 判断下列表达式的正误。判断下列表达式的正误。RuiRUiRUIRUim）（；）（；）

42、（；）（4 3 2 12.2.纯电感元件在交流电路中电压与电流的相位差是多少？纯电感元件在交流电路中电压与电流的相位差是多少？ 感抗与频率有何关系？判断下列表达式的正误。感抗与频率有何关系？判断下列表达式的正误。3.3.纯电容元件在交流电路中电压与电流的相位差是多少？纯电容元件在交流电路中电压与电流的相位差是多少？ 容抗与频率有何关系？判断下列表达式的正误。容抗与频率有何关系？判断下列表达式的正误。三、阻抗（导纳）的串联、并联及三、阻抗（导纳）的串联、并联及T-T- 等效等效与电阻（电导）相同与电阻（电导）相同四、电路的相量模型四、电路的相量模型将时域电路所有元件用阻抗（或导纳）表示，电压和电

43、流将时域电路所有元件用阻抗（或导纳）表示，电压和电流用对应相量表示，得到假想的电路模型称为相量模型。用对应相量表示，得到假想的电路模型称为相量模型。RCLi(t)uS(t)时域模型时域模型IRSULjCj1相量模型相量模型五、二端网络的阻抗和导纳五、二端网络的阻抗和导纳（无源）（无源）)()(iuIUIUjZZZjXR|)()(22| XRIUZRXiuZarctan电抗电抗电纳电纳阻抗角阻抗角阻抗模阻抗模无 源无 源二 端二 端网络网络IU+uUUiII设设有有复数复数其中其中电阻电阻同理同理)()(uiUIUIjYYYjBG|)()(电导电导导纳模导纳模 导纳角导纳角ZZjXRjZ|)()

44、()(无 源无 源二 端二 端网络网络IU+YYjBGjY|)()()(判断判断: :(1) (1) 电阻分量只与二端网络内的电阻有关，电抗分量只与二端网电阻分量只与二端网络内的电阻有关，电抗分量只与二端网络内的动态元件有关。络内的动态元件有关。(2)(2)为电压超前于电流的角度22| XRIUZRXiuZarctan网络端口电压、电流的幅度比值0z0zo90电容：电容：o90电感：电感：oo9090无源网络：无源网络：网络呈感性网络呈感性网络呈容性网络呈容性 o0电阻：ZY1ZY1zYRG1(3)(3)XB1 解：解：1.画相量模型画相量模型2 .40)1088002(3jjLjZL8 .3

45、91058002116jjCjZC2.2.编写相量方程求解响应相量编写相量方程求解响应相量)()()(tututiLC、VttuS )8002cos(2)(例例1 如图电路，已知如图电路，已知 求求8mH5 F2 ius+uc+uL2 +2 .40jICULUSUVo018 .39joCLjZZRZ3 .1104. 24 . 02AZUIos3 .1149. 03 .1104. 210VIZUoLL7 .787 .19VIZUoC3 .1015 .193.3.写出对应响应量写出对应响应量Attio)3 .118002cos(249. 0)(VttuoL)7 .788002cos(27 .19)

46、(VttuoC)3 .1018002cos(25 .19)(tAttissin11cos8)()(tu例例2 2 电路如图所示，已知电路如图所示，已知求电压求电压7F 1H is+u1 AjIsm118sjCjYC7sjjLjYL1111sYR1解：（解：（1 1）画相量模型，其中）画相量模型，其中sjYYYYCLR61VjjjYIUosmm56.265261118（2 2）求解响应相量）求解响应相量（3 3）写出对应响应量）写出对应响应量Vttuo)56.26cos(5)(YCYL +YRSmICmU 应用相量法分析时，正弦交流电路中各元件的电阻、电应用相量法分析时，正弦交流电路中各元件的电

47、阻、电抗要用复数形式表示，称抗要用复数形式表示，称。复阻抗的代数形式有：。复阻抗的代数形式有： 如果如果时，它们复阻抗的模和幅角时，它们复阻抗的模和幅角可由以下三角形求出：可由以下三角形求出：RXL|Z|RXC|Z|RXL-XC|Z| 单一电阻元件的复阻抗单一电阻元件的复阻抗Z=R，只有实部没有虚部；，只有实部没有虚部； 单一电感元件的复阻抗单一电感元件的复阻抗Z=jXL，只有虚部没有实部；，只有虚部没有实部； 单一电容元件的复阻抗单一电容元件的复阻抗Z=-jXC，只有虚部没有实部。，只有虚部没有实部。 再谈阻抗（复阻抗）再谈阻抗（复阻抗）下图中已知下图中已知I1=10A、UAB =100V，

48、求，求A、U0读数。读数。应用举例AAB C25 j5UOC1 10j2II1I解题方法有两种：解题方法有两种：V45/4 .141100)10(10)( A0/10101010 A45/14.1445/07.70/100550/100A90/10V0/100ABC1O2121ABjUjXIUjjIIIjIIU则：；则，作为电路参考相量，设：AAB C25 j5UOC1 10j2II1I已知：已知： I1=10A、 UAB =100V，求：求：A、UO的读数。的读数。下图中已知下图中已知R=15，L=12mH，C=40F，端电压，端电压u=28.3cos(2500t)V，求：，求：i及各元件电

49、压。及各元件电压。 IURUCUULUL+UC由电压三角形可导出由电压三角形可导出阻抗三角形为：阻抗三角形为：RXL-XC|Z|，电路呈感性。，相位差：电路中电流有效值：由阻抗三角形可得：，V1 .143/ 8V9 .36/24V1 .53/21 A )1 .532500(cos28 . 0 1 .53)15/20(arctanA8 . 025/20/25)1030(15104025001030012. 02500CLR226CLUUUtiuiZUIZXXi =u R一、一、 电阻元件电阻元件1、电阻元件上的电压、电流关系、电阻元件上的电压、电流关系 RtUucos2tItRURuicosco

50、s2m电压、电流的瞬时值表达式为：电压、电流的瞬时值表达式为： 由两式可推出，电阻元件上电压、电流的相位上存在由两式可推出，电阻元件上电压、电流的相位上存在同相关系；数量上符合欧姆定律，即：同相关系；数量上符合欧姆定律，即：I =U Ri u)90(cossin-)cos(LmmmLtUtLIdttIdLdtdiLu1. 电感元件上的电压、电流关系电感元件上的电压、电流关系 tIicos2设通过设通过L中的电流为中的电流为 则则L两端的电压为两端的电压为 由式可推出由式可推出L上电压与电流上电压与电流之间在相位上存在之间在相位上存在90的正交的正交关系，且电压超前电流。关系，且电压超前电流。电

51、压电流之间的数量关系：电压电流之间的数量关系：其中其中XL是电感电抗，简称感抗，单位是欧姆。是电感电抗，简称感抗，单位是欧姆。dtdiLuLL+ui二、二、 电感元件电感元件)90cos(sin)cos(CmmmCtItCUdttUdCdtduCi1. 电容元件上的电压、电流关系电容元件上的电压、电流关系 tUucos2设加在设加在C上的电压上的电压 则则C中通过的电流中通过的电流 由式可推出由式可推出C上电压与电流上电压与电流之间在相位上存在之间在相位上存在90的正交的正交关系，且电流超前电压。关系，且电流超前电压。电压电流之间的数量关系：电压电流之间的数量关系：其中其中XC是电容电抗，简称

52、容抗，单位也是欧姆。是电容电抗，简称容抗，单位也是欧姆。dtduCiCC+ui三、 电容元件9.7正弦稳态电路的相量法分析正弦稳态电路的相量法分析 电阻电路 正弦稳态电路 KCL 01nkkI 01nkkI KVL 01nkkU 01nkkU元件约束 RIU IZU 因此，直流电路的网孔法、节点法、叠加定理、戴维南因此，直流电路的网孔法、节点法、叠加定理、戴维南- -诺顿定理等同样适用于正弦稳态电路的分析。诺顿定理等同样适用于正弦稳态电路的分析。11313212111sUIZIZIZ22323222121sUIZIZIZ33333232131sUIZIZIZiiZ)(jiZijsiiU一、一、

53、 网孔法网孔法网孔的自阻抗，为该网孔所有阻抗之和。网孔的自阻抗，为该网孔所有阻抗之和。网孔的互阻抗，为该两网孔共有支路的阻抗。有网孔的互阻抗，为该两网孔共有支路的阻抗。有+有有-网孔中沿网孔电流方向所有电源电压相量升的代数和。网孔中沿网孔电流方向所有电源电压相量升的代数和。，则有，则有1I2I3I、与直流电阻电路类似，一个具有与直流电阻电路类似，一个具有3 3个网孔的电路，个网孔的电路，设其网孔电流相量分别为设其网孔电流相量分别为tVtuscos10)(1Vttus）（0260cos20)()(1ti例例1 1 电路如图所示，已知电路如图所示，已知，求，求02160202)22(IjIj10)

54、24(221IjjIjAI014 .15387. 3Atti)4 .153cos(87. 3)(01解：（解：（1 1）画电路的相量模型如图，）画电路的相量模型如图，（2 2）编写网孔方程）编写网孔方程解得解得（3 3）对应响应量）对应响应量1I2I设网孔电流设网孔电流us1+0.5Fus22 4Hi11I2I+-j2 2 j4 i1o010o6020SUZ3+Z5Z4Z2Z1例例2 2 交流电桥的相量模型如图所示，求电桥平衡条件。交流电桥的相量模型如图所示，求电桥平衡条件。解：电桥平衡时解：电桥平衡时 0I设网孔电流如图，有设网孔电流如图，有为系数矩阵的行列式值为系数矩阵的行列式值 SUZZ

55、ZZIII3142232IsUIZIZIZZ3421141)(0)(35252111IZIZZZIZ0)(35432514IZZZIZIZ3142ZZZZ0I令令 ，得电桥平衡条件，得电桥平衡条件1I3IIR1R2LxuSC如图，改变如图，改变R2使电桥平衡，有使电桥平衡，有:CjLjRRx121CRRLx21交流电桥的应用测量电感或电容11313212111snnnIUYUYUY22323222121snnnIUYUYUY33333232131snnnIUYUYUY二、节点法二、节点法tAtiscos2)(1Attis）（0245cos2)(1mUmU2251)5110121mmUjUj（0

56、21452)5141(51mmUjjUjVUUmm0264.656 .11Vttu)64.65cos(6 .11)(010 + +u1/4Fis2iS15H例例3 3 电路如图，已知电路如图，已知)(tu求求解：（解：（1 1）画出相量模型如图，）画出相量模型如图，（2 2）编写节点方程）编写节点方程解得解得（3 3）响应量）响应量设参考点及节点电压设参考点及节点电压A2o452Usj51s101sj41mU1mU23 3、叠加法所适用的对象限于电路的响应电压或电流，对于、叠加法所适用的对象限于电路的响应电压或电流，对于电路中功率的计算，则要十分当心，一般而言，功率是不电路中功率的计算，则要十

57、分当心，一般而言，功率是不满足叠加性的。满足叠加性的。三、叠加法三、叠加法注意：注意：1 1、若各激励源频率相同，则可以用叠加法分析，也可以不、若各激励源频率相同，则可以用叠加法分析，也可以不用叠加法分析。当用叠加法时，可以将响应相量叠加，也用叠加法分析。当用叠加法时，可以将响应相量叠加，也可以写出响应量后再叠加。可以写出响应量后再叠加。2 2、如果电路中存在不同的激励频率，则一定要用叠加法才、如果电路中存在不同的激励频率，则一定要用叠加法才能求解，此时要分别求出各不同频率激励下电路的响应，能求解，此时要分别求出各不同频率激励下电路的响应，然后叠加。这种情况下响应相量是不能叠加的。然后叠加。这

58、种情况下响应相量是不能叠加的。uuu ）（mmmUUU VjjjjjUm1080)4(2451010VjjjjjjUom1020604524510)510(4 mmmUUUV064.656 .11Vttu)64.65cos(6 .11)(0例例4 4 试用叠加法计算例试用叠加法计算例3 3 。有有 mU1、求、求如图得如图得mU 2、求、求如图得如图得叠加叠加故故utis)(1utis )(2解：设解：设10 + +u1/4Fis2iS15HA2o452mUsj51s101sj41mU us+ +10V+ +10V+ +例例5 如图电路，已知如图电路，已知 VttuS410cos21 . 0)

59、()(2tu求输出电压求输出电压解：电路中存在直流和正弦激励，必须应用叠加法求解解：电路中存在直流和正弦激励，必须应用叠加法求解。100K 1 F+ +u249i100 1K 25 i设参考点及节点如图，设参考点及节点如图，IUjUjS49)1 (1001)1 (100125111000492IUV 8 .17562. 3)49(251IIU21)(utus2u 222uuu 设设有有 2u （1 1）求）求画相量模型画相量模型25100K可视为开路可视为开路AIo2 . 41039. 75辅助方程：辅助方程： 得：得： Vttuo)8 .17510cos(262. 3)(42SUI2UI49

60、 100j有：有： 1U两个直流电源两个直流电源us+ +设参考点及节点如图，设参考点及节点如图，2u （2 2）求）求有：有： 10V+ +10V+ +100K 1 F+ +u249i100 1K 25 iVttuo)8 .17510cos(262. 3)(42222uuu iU49101012515125501iUViu16. 5101000492 1U辅助方程：辅助方程： （3 3）叠加）叠加2u 例例6 如图电路，已知如图电路，已知 VttuS100cos2)(1)(2tu求输出电压求输出电压VttuS1000cos2)(2us2+ +us1+ +0.01F+ +u21H0.01F1