第7章一阶电路和二阶电路的时域分析

1、1第七章第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析一阶电路和二阶电路的时域分析 71 71 动态电路的议程及其初始条件动态电路的议程及其初始条件 72 72 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应 73 73 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 74 74 一阶电路的全响应一阶电路的全响应 75 75 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应 76 76 二阶电路的零状态响应和全响应二阶电路的零状态响应和全响应 77 77 一阶电路和二阶电路的阶跃响应一阶电路和二阶电路的阶跃响应 78 78 一阶电路和二阶电路的冲激响应一阶电路和二阶电路的冲激响应* *79 79 卷积积分卷积积分* *71

2、0 710 状态方程状态方程* *711 711 动态电路时域分析中的几个问题动态电路时域分析中的几个问题21.换路定则和电路初始值的求法；换路定则和电路初始值的求法；2.掌握一阶电路的掌握一阶电路的零输入响应、零状态响应、零输入响应、零状态响应、全响应全响应的概念和物理意义；的概念和物理意义；3.会计算和分析一阶动态电路会计算和分析一阶动态电路(重点是三要素法重点是三要素法)；4.了解二阶电路零状态响应、零输入响应、全响应的了解二阶电路零状态响应、零输入响应、全响应的概念和物理意义；概念和物理意义； 5.会分析简单的二阶电路；会分析简单的二阶电路；6.会计算一阶电路的阶跃响应、冲激响应；会计

3、算一阶电路的阶跃响应、冲激响应；7.会用系统法列写简单的状态方程。会用系统法列写简单的状态方程。内容提要与基本要求内容提要与基本要求3重 点(1)动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定；动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定；(2)一阶电路时间常数的概念与计算一阶电路时间常数的概念与计算 ；(3)一阶电路的零输入响应和零状态响应；一阶电路的零输入响应和零状态响应；(4)求解一阶电路的三要素法；求解一阶电路的三要素法；(5)暂态分量暂态分量(自由分量自由分量)和和(稳态分量稳态分量)强制分量概念；强制分量概念；(6)二阶电路的零输入、零状态和全响应的概念；二阶电路的零输入、零状态和全响应的概

4、念；(7)二阶电路的方程和特征根、过渡过程的过阻尼、欠二阶电路的方程和特征根、过渡过程的过阻尼、欠 阻尼及临界阻尼的概念及分析；阻尼及临界阻尼的概念及分析；(8)二阶电路的阶跃响应。二阶电路的阶跃响应。4难难 点点(1)应用基尔霍夫定律和电感、电容的元件特性建应用基尔霍夫定律和电感、电容的元件特性建立动态电路方程；立动态电路方程；(2)电路初始条件的概念和确定方法；电路初始条件的概念和确定方法；(3)二阶电路的过阻尼、欠阻尼及临界阻尼放电过二阶电路的过阻尼、欠阻尼及临界阻尼放电过程分析方法和基本物理概念。程分析方法和基本物理概念。与其它章节的联系与其它章节的联系本章讨论的仍是线性电路，因此前面

5、讨论的线本章讨论的仍是线性电路，因此前面讨论的线性电路的分析方法和定理全部可以用于本章的性电路的分析方法和定理全部可以用于本章的分析中。第分析中。第9章讨论的线性电路的正弦稳态响应章讨论的线性电路的正弦稳态响应就是动态电路在正弦激励下的稳态分量的求解。就是动态电路在正弦激励下的稳态分量的求解。57-1 动态电路的方程及其初始条件SUS+ +- -(t= =0)+ +- -uCRC+ +- -uRi引引 言言 自然界事物的运动，在一定的条件下有一定的稳自然界事物的运动，在一定的条件下有一定的稳定状态。当条件发生变化时，就要过渡到新的稳定状定状态。当条件发生变化时，就要过渡到新的稳定状态。从态。从

6、一种稳定状态一种稳定状态转到转到另一种新稳定状态另一种新稳定状态时，往往时，往往不能跃变，而是需要一定时间，或者说需要一个过程，不能跃变，而是需要一定时间，或者说需要一个过程，在工程上称在工程上称过渡过程过渡过程。接通电源，接通电源，C 被充电，被充电，C 两两端的电压逐渐增长到稳态端的电压逐渐增长到稳态值值Us ，即要经历一段时间。，即要经历一段时间。电路中的电路中的过渡过程虽然短过渡过程虽然短暂，在实践中却很重要。暂，在实践中却很重要。6一、动态电路的基本概念一、动态电路的基本概念含有动态元件含有动态元件(L、C)的电路称为的电路称为动态电路动态电路。描。描述述动态电路动态电路的方程是微分

7、方程。的方程是微分方程。全部由全部由线性非时变线性非时变元件元件构成的构成的动态电路动态电路，其，其描描述方程是线性常系数微分方程述方程是线性常系数微分方程。只含一个动态元件只含一个动态元件(L或或C)的电路，的电路，其其描述方程描述方程是一阶线性常系数微分方程，称是一阶线性常系数微分方程，称一阶电路一阶电路。一阶电路有一阶电路有3种分析方法：种分析方法：1. 经典法经典法 列写电路的微分方程，求解电流和电压。列写电路的微分方程，求解电流和电压。是一种在是一种在时时间间域域中进行的分析方中进行的分析方法法。7 2. 典型电路分析法典型电路分析法 记住一些典型电路记住一些典型电路(RC串串联、联

8、、RL串联、串联、 RC并联、并联、 RL并联等并联等) 的分析结果，的分析结果，在分析非典型电路时可在分析非典型电路时可以设法套用。以设法套用。3. 三要素法三要素法 只要知道一阶电路只要知道一阶电路的三个要素，代入的三个要素，代入一个公式就可以直一个公式就可以直接得到结果，这是接得到结果，这是分析一阶电路的最分析一阶电路的最有效方法。有效方法。任意任意NSuCC+-iS(t=0)SUS+-(t=0)+-uCRCi典型电路典型电路重点掌握重点掌握3 ， 1、2 两种方法可掌握其两种方法可掌握其中之一。中之一。891011二、换路及换路定则二、换路及换路定则1.换路换路 电路结构或元件参数的改

9、变电路结构或元件参数的改变称为称为换路换路。换路是在。换路是在t=0 (或或 t = t0) 时时刻进行的。刻进行的。 含有动态元件的电路换含有动态元件的电路换路时存在过渡过程，过路时存在过渡过程，过渡过程产生的原因是由渡过程产生的原因是由于储能元件于储能元件L、C ，在换，在换路时能量发生变化，而路时能量发生变化，而能量的储存和释放需要能量的储存和释放需要S24V+-(t=0)+LiL4W14W22W3W6H6W-uL12V+-i8W4Wt=0S纯电阻电路在换路时没有过渡期。纯电阻电路在换路时没有过渡期。 一定的时间来完成。一定的时间来完成。122. 换路定则换路定则在换路前后：在换路前后：

10、q(t) = = q(t0) + +tt0iC (x x) dx xq(0+ +) = = q(0- -) + +0+ +0- -iC(x x) dx x以以t = = t0 = = 0作为换路的计时起点：换路前最终时作为换路的计时起点：换路前最终时刻记为刻记为t = = 0- -，换路后最初时刻记为，换路后最初时刻记为t = = 0+ +。线性电容线性电容C的电荷的电荷0- -到到0+ +瞬间，瞬间，iC(t)为有限值时，积分为为有限值时，积分为0。q(0+) = q(0-) C上的上的电荷不能跃变电荷不能跃变！由由q(t) = = C uC(t)可知，当换路前后可知，当换路前后C不变时不变

11、时uC(0+ +) = = uC(0- -) C两端的两端的电压也不能跃变电压也不能跃变！13Y (0+) =Y (0-) L中的中的磁链不能跃变磁链不能跃变！由由Y (t) = LiL(t) 可知，当可知，当换路前后换路前后L不变时不变时 iL(0+) = iL(0-) L中的中的电流也不能跃变电流也不能跃变！同理可得：同理可得：q(0+) = q(0-)uC(0+ +) = = uC(0- -)换路定则表明换路定则表明 (1)换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）在换路前后保持不变，这是压（电荷）在换路前后保持不变，这是电荷守恒电荷守

12、恒定律的体现。定律的体现。(2)换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）在换路前后保持不变。这是流（磁链）在换路前后保持不变。这是磁链守恒磁链守恒定律的体现。定律的体现。14三、初始值的计算三、初始值的计算解：解：换路前的换路前的“原电路原电路”求图示电路在开关求图示电路在开关闭合瞬间各支路电闭合瞬间各支路电流和电感电压。流和电感电压。 1. 由换路前的由换路前的“原电路原电路”计算计算uC(0- -)和和iL(0- -) 。iC(0-)=0，C视为开路。视为开路。 uL(0-)=0，L视为短路。视为短路。iL(0- -) = = 12Au

13、C(0- -) = = 24V= = iL(0+ +)= = uC(0+ +)R1+ +- -U0SR2iLiCCL+ +- -uL+ +- -uCR33W W2W W2W W48ViR1+ +- -U0SR2iLiCCL+ +- -uL+ +- -uCR33W W2W W2W W48Vi由等效电路算出由等效电路算出152.画出画出t=0+等效电路：等效电路：电感用电流源替代，电电感用电流源替代，电容用电压源替代。容用电压源替代。 iC(0+ +) = =48- -243= 8A= 8AuL(0+ +) = =48-2-212 = 24= 24VR1+ +- -U0SR2iLiC12A+ +-

14、 -uL+ +- -R33W W2W W2W W48V24ViR1+ +- -U0SR2iLiCCL+ +- -uL+ +- -uCR33W W2W W2W W48ViiL(0- -) = = 12A = = iL(0+ +)uC(0- -) = = 24V = = uC(0+ +)i(0+ +) = = iL(0+ +) + + iC(0+ +) = = 12 + + 8 = = 20At=0=0+ +时刻的时刻的等效电路等效电路167-2 7-2 一阶电路的一阶电路的零输入零输入响应响应零输入响应：零输入响应：在在电源激励为零电源激励为零的的情况下，情况下，由动态元件的初始值由动态元件的初

15、始值(0)(0)引起的响应。引起的响应。1. RC 电路电路 SR+ +- -uC(t=0)i+ +- -uRU0SR+ +- -uC(t0+)i+ +- -uRU0换路后的换路后的“新电路新电路”i = =ducdt- - C= = Riducdt= = - - RC由由KVL得：得：ducdtRC+ + uC = = 0uR分析分析 RC 电路的零输入响应，电路的零输入响应，实际上是分析其放电过程。实际上是分析其放电过程。一阶齐次微分方程一阶齐次微分方程17 = RC 称称RC电路的电路的时间常数时间常数。若若R取取W，C取取F，则，则 t 为为 s 。 的大小，反映的大小，反映uC的变化

16、快慢：的变化快慢： SR+ +- -uC(t0+)i+ +- -uRU0p = = - -RC1通解通解 uC = = A e1RC- -t由初始条件由初始条件 uC(0+ +) = = uC(0- -) = = U0 得：得：uC = = U0 e= = U0 e - -t1RC- -t，t 0touC 2233U0 的图解的图解ducdtRC+ + uC = = 0特征方程特征方程特征根特征根RCp+ +1= =018t=0，uC =U0t= ，uC =U0 e- -10.638U0 在理论上，要经过在理论上，要经过无限长时间，无限长时间， uC才才能衰减到能衰减到0。 在工程上，认为经在

17、工程上，认为经过过3 5 时间，过时间，过渡过程即告结束。渡过程即告结束。touC 2233U00.368U00.05U0uC= =U0 e - -tt=3 ，uC =U0 e- -30.05U0t=5 ，uC =U0 e- -50.007U0uR = = uC = = U0 e - -tSR+ +- -uC(t0+ +)i+ +- -uRU0, uRi = =ducdt- - C= =RU0 - -teWR = = 0i2 (t) R dt= = 0RU022RC- -tedt = =21CU02C储存的能量全被储存的能量全被R 吸收，吸收，并转换成热能消耗掉。并转换成热能消耗掉。RU0i1

18、9tU0uC0I0ti0令令 =RC , , 称称 为一阶电路的时间常数为一阶电路的时间常数 秒秒伏伏安秒安秒欧欧伏伏库库欧欧法法欧欧= = = = = = = = RC （1 1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；从以上各式可以得出：从以上各式可以得出：连续连续函数函数跃变跃变 （2 2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关；有关；20时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短 = R C 大大 过渡过程时间长过渡过程时间长 小小 过渡过程时间

19、短过渡过程时间短电压初值一定：电压初值一定：R 大（大（ C一定）一定） i=u/R 放电电流小放电电流小放电时间长放电时间长U0tuc0 小小 大大C 大（大（R一定）一定） W=Cu2/2 储能大储能大 11- -= =- -= =RCp物理含义物理含义21工程上认为工程上认为, , 经过经过 3 5 , , 过渡过程结束。过渡过程结束。 ：电容电压衰减到原来电压：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。所需的时间。 t2t1 t1时刻曲线的斜率等于时刻曲线的斜率等于)(1dd1011tueUtuCtttC - -= =- -= =- - I0tuc0 t1t2U0 0.368 U0

20、0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0 t0 2 3 5 tceUu 0- -= =U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 )(368. 0)(12tutuCC= =次切距的长度次切距的长度22（3 3）能量关系）能量关系RdtiWR = =02 电容电容不断释放能量被电阻吸收不断释放能量被电阻吸收, , 直到全部消耗完毕直到全部消耗完毕. .设设 uC(0+)=U0电容放出能量：电容放出能量： 2021CU电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：RdteRURCt2 00)(- - = =2021CU= =uCR+CdteRURCt2 020-

21、- = = - - -= =02 20| )2(RCteRCRU23例例 已知图示电路中的电容原本充有已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求电压，求K闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解解这是一个求一阶这是一个求一阶RC零输零输入响应问题，有：入响应问题，有：i3K3W W+uC2W W6W W5Fi2i1+uC4W W5Fi1t 0等效电路等效电路0 0 = =- -teUuRCtcsRCVU 2045 24 0= = = = = = 代代入入0 2420 = =- -tVeutc分流得：分流得：AeuitC20 164- -=

22、= =Aeiit20 12432- -= = =Aeiit20 13231- -= = =24例：试求例：试求t0时的时的i(t)。 换路后，换路后，C 通过通过(R1/R2)放电，放电，Req= R1/R2 = 2。 所以所以 t = ReqC = 2 s 引用典型电路结果：引用典型电路结果：uC(0- -) = =2+4+4104= = 4 V根据换路定则：根据换路定则： uC(0- -) = = uC(0+ +) = = 4 VR2+ +- -uC4W W4W WC1Fit0SR1uC = = uC(0+ +) e - -t= = 4 e- -0.5t Vi = -= -21RequC=

23、 = - -e- -0.5t A解：解：(t0)(t0)2W WSR2+ +- -(t= =0)+ +- -uC4W WR14W WC1F12R10Vi252. RL电路电路由由KVL uL + uR = 0SR+ +- -(t= =0)R0L12uL+ +- -iU0R(t0)LuL+ +- -iS2+ +- -uRdiLdt+ + Ri = = 0didtL+ + i = = 0Ri(0+ +)= = i(0- -)= =R0U0i(t) = = i(0+ +) e= =R0U0 = =RL为为RL电路的电路的时间常数。时间常数。 - -tes = =WWH - -t得得 i(t) 解之解

24、之 代入初试条件代入初试条件 基本形式：基本形式：i(t)= =I0 e - -t(t 0)26电阻电阻和和电感电感上的上的电压分别为：电压分别为：R(t0)LuL+ +- -iS2+ +- -uRRI0uRtoi, uR , uL iI0uL- -RI0uR= = Ri= = R I0 euL = - = - uR= = - - R I0 edidtL或者：或者：uL = = = - -R I0 ei(t) = = I0 e - -t - -t - -t - -t，(t 0)，(t 0)，(t 0)27RLtLLeRIdtdiLtu/ 0)(- - -= = =0)(/ 0 = =- -te

25、ItiRLtL-RI0uLttI0iL0从以上式子可以得出：从以上式子可以得出：连续连续函数函数跃变跃变 （1 1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数； （2 2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关；有关；28令令 = L/R , , 称为一阶称为一阶RL电路时间常数电路时间常数L大大 W=Li2/2 起始能量大起始能量大R小小 P=Ri2 2 放电过程消耗能量小放电过程消耗能量小放电慢放电慢 大大 秒秒欧欧安安秒秒伏伏欧欧安安韦韦欧欧亨亨= = = = = = = =RL 大大 过渡过

26、程时间长过渡过程时间长 小小 过渡过程时间短过渡过程时间短物理含义物理含义时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短 = L/R 1/1- -= =- -= =RLp电流初值电流初值i(0)一定：一定：29（3 3）能量关系）能量关系RdtiWR = =02 电感电感不断释放能量被电阻吸收不断释放能量被电阻吸收, , 直到全部消耗完毕直到全部消耗完毕. .设设iL(0+)=I0电感放出能量：电感放出能量： 2021LI电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：RdteIRLt2/ 00)(- - = =2021LI= =dteRIRLt/2 020

27、- - = = - - -= =02 20| )2/(RCteRLRIiL+uLR30t0+3.例题分析例题分析 P144 例例7-2试求试求： ；i(0+)和和i(0-) ；i(t)和和uV (t) ；uV (0+)。VS+ +- -RL+ +- -URVuVi0.189W W0.398H5kW W35V某某300kW汽轮发电机汽轮发电机励磁回路的电路模型励磁回路的电路模型电压表的量程才电压表的量程才50V。 = =R+RVL= =0.189+ +51030.398= = 79.6 (m 79.6 (ms)i(0- -)RU= =0.18935= =185.2 Ai(t) = = 185.2

28、 e- -12560t AuV(t) ) = = - -RV i(t) = ) = - -926 e- -12560t kVuV(0+ +) = = 926 kV !实践中，要实践中，要切断切断 L 的电的电流，必须考流，必须考虑磁场能量虑磁场能量的释放问题的释放问题解：解：= = i(0+ +)317-3 7-3 一阶电路的一阶电路的零状态零状态响应响应零状态响应：零状态响应：在动态元件在动态元件初值为初值为 0 的状态下，外施的状态下，外施激励引起的响应。激励引起的响应。1. RC电路电路 由由KVL： uR + uC = USSUS+ +- -(t=0)+ +- -uCRC+ +- -u

29、RiuR = = Riducdt = = RCducdtRC+ + uC = = US常系数非齐次线性方程常系数非齐次线性方程对应的齐次方程：对应的齐次方程：其解为：其解为：uC = = uC + + uC 通解：通解： uC = = A e1RC- -t特解：特解： uC = = US 所以：所以： uC = = US + + A educdtRC+ + uC= = 01RC- -t32与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解RCtCAeu- -= = 变化规律由电路参数和结构决定变化规律由电路参数和结构决定全解全解uC (0+)=A+US= 0 A=

30、 US由起始条件由起始条件 uC (0+)=0 定积分常数定积分常数 A的通解的通解0dd= =+ +CCutuRCSCUu = = RCtSCCCAeUuutu- -+ += = + + = =)(通解（自由分量，暂态分量）通解（自由分量，暂态分量）Cu 特解（强制分量，稳态分量）特解（强制分量，稳态分量）Cu SCCUutuRC= =+ +dd的特解的特解33)0( )1( - -= =- -= =- - -teUeUUuRCtSRCtSScRCtSeRUtuCi- -= = =ddC-USuCuC“UStiRUS0tuc0 （1 1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；）电压、电

31、流是随时间按同一指数规律变化的函数； 电容电压由两部分构成：电容电压由两部分构成：从以上式子可以得出：从以上式子可以得出：连续连续函数函数跃变跃变稳态分量（强制分量）稳态分量（强制分量）暫态分量（自由分量）暫态分量（自由分量）+34 （2 2）响应变化的快慢，由时间常数）响应变化的快慢，由时间常数 RC决定；决定； 大，充电大，充电 慢，慢， 小充电就快。小充电就快。 （3 3）响应与外加激励成线性关系；）响应与外加激励成线性关系；（4 4）能量关系）能量关系221SCU电容储存：电容储存：电源提供能量：电源提供能量：20dSSSCUqUtiU= = = 221SCU= =电阻消耗电阻消耗tR

32、RUtRiRCSted)(d2002- - = =RC+-US电源提供的能量一半消耗在电阻上，电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。一半转换成电场能量储存在电容中。35(t0+ +)2. RL电路的零状态响应电路的零状态响应(1) 激励是恒定直流激励是恒定直流(并联）并联）换路前：换路前： iL(0+) = iL(0-) = 0 换路后：换路后： iR + iL = ISSRL+ +- -ISuLt= =0iRiLiR = =uLR= =LRdiLdtLRdiLdt+ + iL = = ISLR = =解得：解得： iL = = IS (1- - e ) - -t代入

33、代入式中：式中：36SLLUiRtdidL= =+ +)1 (tLRSLeRUi-=tLRSLLeUtiLu- -= = =ddiLK(t=0)US+uRL+uLR已知已知iL(0)=0，电路方程为电路方程为：LLLiii + + = =tuLUStiLRUS00RUiSL- -= = =+ +A0)0(tLRSAeRU- -+ += =(2) (2) 激励是恒定直流激励是恒定直流( (串联）串联）37例例1t=0时时 , ,开关开关K打开，求打开，求t0t0后后iL、uL的变化规律的变化规律 。解解这是一个这是一个RL电路零状态响电路零状态响应问题，先化简电路，有：应问题，先化简电路，有：i

34、LK+uL2H80W W10A200W W300W WiL+uL2H10AReqW W= =+ += =200300/20080eqRAiL10)(= = sRLeq01. 0200/2/= = = = AetitL)1(10)(100- - -= =VeeRtutteqL100100200010)(- - -= = = =t038全响应全响应稳态解稳态解暂态解暂态解7-4 7-4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应1.1.全响应：全响应：外施激励外施激励和动态元件初值都和动态元件初值都不为零时的响应。不为零时的响应。SUS+ +- -(t= =0)+ +- -uCRC+ +- -uRi+ +-

35、 -U0uC(0+ +) = = uC(0- -) = = U0uC = = US + ( + (U0 - - US) ) educdtRC+ + uC = = US- - t(1)一阶电路的全响应一阶电路的全响应可以看成是稳态分量可以看成是稳态分量(强制分量强制分量) 与暂态分与暂态分量量(自由分量自由分量) 之和。之和。= =+ +2.2.全响应的两种分解方式全响应的两种分解方式强制分量强制分量自由分量自由分量39零输入响应零输入响应(2)把上式改写成下列形式：把上式改写成下列形式：零状态响应零状态响应全全响响应应此种分解方式便于叠加计算，此种分解方式便于叠加计算，体现了线性电路的叠加性质

36、。体现了线性电路的叠加性质。uC = = US + ( + (U0 - - US) ) e- - tSUS+ +- -(t= =0)+ +- -uCRC+ +- -uRi+ +- -U0uC = = U0 e- - t + + US ( (1 - - e ) )- - t= =+ +403.3.三要素法三要素法(1) 在恒定激励下在恒定激励下f(t) = = f() + + f(0+ +) - - f()- - te由由初始值初始值、稳态值稳态值和和时间常数时间常数三个要素决定。三个要素决定。全响应全响应 = = 稳态分量稳态分量 + + 暂态分量暂态分量uC = = US + ( + (U0

37、 - - US) ) e- - t(2) 在正弦电源激励下在正弦电源激励下f(t) = = f(t) + + f(0+ +) - -f(0+ +) - - te的正弦量；的正弦量；f(t)是换路后的稳态响应是换路后的稳态响应(特解特解) ，是与激励同频率，是与激励同频率f(0+)是稳态响应是稳态响应f(t)的初始值。的初始值。f(0+)和和 的含义与恒定激励下相同。的含义与恒定激励下相同。说明一阶电路的响应说明一阶电路的响应求求f(t)的方法是待定系数法的方法是待定系数法或或相量法相量法。414. 解题指导解题指导 例例1换路前：换路前：iL(0-)= -IS= -2A求换路后的戴维宁电路求换

38、路后的戴维宁电路SUs+ +- -(t= =0)iLRLiIsab10V4H2W W2A?Uoc+ +- -(t0+ +)iLReqLab= =10- -22= =6 VUoc= =Us- -RisReq = = R = = 2W W求求iL的三个要素：的三个要素：iL(0+ +)= =iL(0- -) = = - -2AiL()= = Uoc / Req= = 6/ /2 = = 3 (A) = = L / Req= = 4 / 2 = = 2 (s)f(t) = = f() + + f(0+ +)- - f() e- - tiL(t)2iL(t)= =3- -5e- -0.5t Ai(t)

39、= = IS + + iL(t) = = 5 - - 5 e- -0.5t A42例例2：图示电路原本处于稳定状态，图示电路原本处于稳定状态，t=0 时开关时开关S闭合，闭合，求换路后的电流求换路后的电流i(t) 。iU= =10V+ +- -R1=2W=2WSL= =1HR2=5W=5WC= =0.25FS闭合前闭合前C开路开路L短路短路iL(0- -) = = 0， uC(0- -) = = 10V，换路后变为两个独立的单回路换路后变为两个独立的单回路iL(0- -)+ +- -uC(0- -)iU= =10V+ +- -R1=2W=2WSL= =1HR2=5W=5WC= =0.25F+

40、+- -uCiLiC解：解：电容电路的三要素为电容电路的三要素为 iC(0+ +) = = uC(0+ +)R1 = = 5A 1 1 = = R1C = = 0.5s ,iC() = = 0电感电路的三要素为电感电路的三要素为 iL(0+ +) = = iL(0- -) = = 0 2 2 = = LR2 = = 0.2s ,iL() = = UR2 = = 105 = = 2Ai(t) = = iL(t) + + iC(t) 求出求出iC(t)、iL(t) 后后 (t0)43例例3：电路如图。电路如图。t=0时时S1从位置从位置1拨拨向位置向位置2，经，经0.12s后后S2打开，求打开，求

41、uC(t)并绘波形图。并绘波形图。U1+ +- -R21 10m mFS250VR1= =20kW WCS121U2- -+ +30kW W10V+ +- -uC解：解：先求初始值先求初始值 uC(0- -) = = - -10V再分阶段用三要素法求解。再分阶段用三要素法求解。(1) 0t0.12sU1+ +- -R21 10m mFS250VR1= =20kW WCS1230kW W+ +- -uCuC(0+ +) = = uC(0- -) = = - -10VuC() = = 3030+20+2030305050 = =30V 1 = = (20/30)10103 31010- -6= =

42、 0.12suC(t) = = 30- -40e- -8.33t V(0t0.12s)44(2) t0.12sU1+ +- -R21 10m mFS250VR1= =20kW WCS1230kW W+ +- -uCuC(0.12- -) = = 30- -40e- -8.330.12 = = 15.28VuC(t) = = 30- -40e- -8.33t V(0t0.12s)uC(0.12+ +) = = uC(0.12- -) = = 15.28V 2 = = R2 C = = 3010103 31010- -6 = = 0.3s,uC() = = 0uC(t) = = 15.28e- -

43、3.33(t- -0.12) Vt0.12s00.10.20.30.4 0.5t /suC(t) / V- -1010200.12s15.2845 在前面的讨论中，我们看到直流一阶电路中的在前面的讨论中，我们看到直流一阶电路中的各种开关，可以起到将直流电压源和电流源接入各种开关，可以起到将直流电压源和电流源接入电路或脱离电路的作用，这种作用可以描述为分电路或脱离电路的作用，这种作用可以描述为分段恒定信号对电路的激励。段恒定信号对电路的激励。 随着电路规模的增大和计算工作量增加，有随着电路规模的增大和计算工作量增加，有必要引入阶跃函数来描述这些物理现象，以便更必要引入阶跃函数来描述这些物理现象，

44、以便更好地建立电路的物理模型和数学模型，也有利于好地建立电路的物理模型和数学模型，也有利于用计算机分析和设计电路。用计算机分析和设计电路。 460 0( )1 0tI tt= 单位阶跃函数单位阶跃函数的定义为的定义为图图725 阶跃函数阶跃函数 (7-26) = =0 0 0)(tkttk11k = =- -000 1 0)(tttttt1t011 = =- -0 00 1)(ttt147。图图726 用阶跃函数代替开关的作用用阶跃函数代替开关的作用 48 ：阶跃信号作用下电路的零状态响阶跃信号作用下电路的零状态响 应，称为电路的应，称为电路的 .：单位阶跃信号作用下电路的：单位阶跃信号作用下

45、电路的 零状态响应，称为电路的零状态响应，称为电路的. . 49 单位阶跃输入的单位阶跃输入的零状态响应零状态响应称为电路的单位阶跃称为电路的单位阶跃响应，响应，记作记作s(t)。通过例题说明一些概念。通过例题说明一些概念。+ +- -uCRC+ +- -e e(t)iC例例1：求：求 uC(t) 、iC(t)。根据阶跃函数的性质得根据阶跃函数的性质得 uC(0- -)= =0，解：解：uC()= =1V单位阶跃响应为单位阶跃响应为 uC = = (1- - e RC- -tiC = =R1ee e(t) AtouC11/RiC - -tf(t) = = ee e(t) - -tf(t) =

46、= et00初值为零。初值为零。注意注意 初值可以初值可以不为零。不为零。) e e(t) VRC- -t50若激励在若激励在t = t0 时加入，则响应从时加入，则响应从t = t0 开始。开始。 + +- -uCRC+ +- -e e(t- -t0)iC延迟的阶跃响应为延迟的阶跃响应为 uC = = (1- - e RC- -t- -t0iC = =R1e) e e(t- -t0) VRC- -t- -t0e e(t- -t0) A注意：注意：uC = = (1- - e RC- -t) e e(t- -t0) V阶跃响应的求法与恒定激励下的零状态响阶跃响应的求法与恒定激励下的零状态响应的

47、求法本质相同。用应的求法本质相同。用 f (t) e e(t- -t0) 表示。表示。延迟的阶跃响应不要写为延迟的阶跃响应不要写为 51例例2：S在位置在位置1时电路处于稳态。时电路处于稳态。 t=0时时S由位置由位置1合向位置合向位置2，在在t=t 时，时，S又从位置又从位置2 合向位置合向位置1。求求t0时的时的uC 。S (t= = )+ +- -uCRC21US+ +- -t= =0解法解法1：把电路的工作过程分段求解：把电路的工作过程分段求解(1) 0tt ：为典型为典型RC串联电路的零状态响应。串联电路的零状态响应。 (2) tt：为典型：为典型RC串联电路的零输入响应。串联电路的

48、零输入响应。uC = = US (1- -e ) - -t = = RCuC = = 0.632US e - -t - - 0t t初始值：初始值：uC(t+) = uC(t-) = US (1- e-1) = 0.632US 52解法解法2：用阶跃函数表示激励，求阶跃响应。：用阶跃函数表示激励，求阶跃响应。uS(t) = US e(t) -US e(t-t)RC电路的单位阶跃响应为电路的单位阶跃响应为 uS(t)toUSs(t) = = (1- -e - -t - -t - - s(t- - ) = = (1- -e 利用线性电路的叠加性质可得利用线性电路的叠加性质可得uC(t) = =阶跃

49、响应阶跃响应延迟的阶跃响应延迟的阶跃响应S (t= = )+ +- -uCRC21US+ +- -t= =0) e e(t) e e(t- - )uc(t)to 0.632UsUsUS (1- -e ) e e(t) - -t- - US (1- -e ) e e(t- - ) - -t - - 53)()e1 ()(ttsRCte-=)()e1()(ttstLRe-= 利用三要素公式得到电感电流利用三要素公式得到电感电流iL(t)的阶跃响应的阶跃响应如下所示。如下所示。 以上两个式子可以用一个表达式表示如下以上两个式子可以用一个表达式表示如下： )()e1 ()(ttste-= 其中时间常数

50、其中时间常数 =RC或或 =L/R。 用阶跃函数代替开关的作用用阶跃函数代替开关的作用 (a)(b)54 已知电路的阶跃响应，利用叠加定理容易求得已知电路的阶跃响应，利用叠加定理容易求得在任意分段恒定信号激励下线性时不变电路的零在任意分段恒定信号激励下线性时不变电路的零状态响应，例如图状态响应，例如图7-28(b)所示信号作用图所示信号作用图7-28(a)所示所示RC串联电路时，由于图串联电路时，由于图(b)所示信号可以分解所示信号可以分解为下面所示的若干个延迟的阶跃信号的叠加。为下面所示的若干个延迟的阶跃信号的叠加。 图图728 RC电路及其分段恒定信号电路及其分段恒定信号55)(2)(3)

51、(4)(2)()(4321Sttttttttttu-+-+=eeeee 其电容电压其电容电压uC(t)的零状态响应可以表示为的零状态响应可以表示为 )(2)(3)(4)(2)()(4321Cttsttsttsttststu-+-+=由图由图(b)知，知，4 , 3 , 2 , 1)()e1 ()()()e1 ()(=-=-=-kttttsttskRCttkRCtkee其中56例例7-14 用阶跃电流源表示图用阶跃电流源表示图(b)所示的方波电流，所示的方波电流，求解电路中电感电流的响应，并画出波形曲线。求解电路中电感电流的响应，并画出波形曲线。 (a)(b)解：图解：图(b)所示的方波电流，用

52、两个阶跃函数表示：所示的方波电流，用两个阶跃函数表示： iS(t)=10 (t)-10(t-1ms) mA57由于该电路是线性电路，根据动态电路的叠由于该电路是线性电路，根据动态电路的叠加定理，其零状态响应等于加定理，其零状态响应等于10 (t)和和-10 (t-1ms)两两个阶跃电源单独作用引起零状态响应之和。个阶跃电源单独作用引起零状态响应之和。 1. 阶跃电流源阶跃电流源10(t)mA单独作用时，其响应为单独作用时，其响应为 mA )()1000e1(10)(Ltttie-= 2. 阶跃电流源阶跃电流源-101(t-1ms)mA单独作用时，其单独作用时，其响应为响应为 mA )ms1(e

53、1 10)()ms11000(L-=-ttite 3. 应用叠加定理求得应用叠加定理求得10(t)和和-10(t-1ms)共同作共同作用的零状态响应为用的零状态响应为 58mA ms)1(e1 10)()e1(10 ms)1(10001000LLL- - - - -= =+ += =- - - -t1t1)t (i)t (i)t (itt 分别画出分别画出 和和 的的波形，如曲线波形，如曲线1和和2所示。然所示。然后它们相加得到后它们相加得到iL(t)波形曲波形曲线，如曲线线，如曲线3所示。所示。 )(Lti)(Lti59在前面的讨论中，我们用到的激励都是直流电在前面的讨论中，我们用到的激励都

54、是直流电源，应用三要素法求解电路初始值的求解的依源，应用三要素法求解电路初始值的求解的依据是换路定律，即在换路瞬间，电容电压和电感据是换路定律，即在换路瞬间，电容电压和电感电流是连续变化的电流是连续变化的 在介绍在介绍时，我们也提到它的时，我们也提到它的这一节我们将介绍的冲击响这一节我们将介绍的冲击响应在求解时换路定律将不成立因此，本节介绍应在求解时换路定律将不成立因此，本节介绍有关跃变电路的求问题有关跃变电路的求问题 60=atatattf00100)(单位脉冲函数特点是，单位脉冲函数特点是，脉宽与幅值乘积为脉宽与幅值乘积为.当脉宽当脉宽 a 变小时，幅值变小时，幅值 1/a 变大当变大当a

55、0时，其幅时，其幅值值 1/a ，但其面积仍为，但其面积仍为1把单位脉冲的这种把单位脉冲的这种极限情况，称为单位冲击函数极限情况，称为单位冲击函数波形如图所示。波形如图所示。 1.1.单位脉冲函数单位脉冲函数的定义为的定义为 单位脉冲函数单位脉冲函数 612. 冲击函数的定义冲击函数的定义(1)单位冲击函数单位冲击函数(2)延时的单位冲击函数延时的单位冲击函数pD D(t)to1/D DD DD D0D D1/D Dlim pD D(t)=d=d(t)d d(t)ot1d d(t) = =0，t 0+ +和和t t0+ +和和t 0+ +和和t 0- -时时d d(t) = =0，所以：，所以

56、：623. 冲击函数的性质冲击函数的性质(1) d() 与与 e()的关系的关系(2)“筛分筛分”性质性质 f(t) d(t-t0) = f(t0) d(t-t0) d(t) =de(t)dte(t) =-td(x)dx -+f(t0) d d(t- -t0) dt= = f(t0)把把t0时刻的函数值时刻的函数值“筛筛”出来，也称出来，也称取样性质。取样性质。(3)冲击强度冲击强度定义中的积分值定义中的积分值称为冲击强度。称为冲击强度。kd d(t)的冲击强度为的冲击强度为k。d(t)otkt0-k-kd(t-t0)63 冲击响应：冲击响应：冲击信号作用下电路的零状态响应，冲击信号作用下电路

57、的零状态响应，称为电路的称为电路的 冲激响应冲激响应.如果电路的激励是冲击信号，那么此电路是如果电路的激励是冲击信号，那么此电路是跃变电路因此，换路定律不成立这样就不能跃变电路因此，换路定律不成立这样就不能用换路定律求初始值，进而也不能直接应用三要用换路定律求初始值，进而也不能直接应用三要素公式这里介绍一种利用单位阶跃响应求解冲素公式这里介绍一种利用单位阶跃响应求解冲击响应的方法击响应的方法单位冲击信号作用下电路的零状态响应，称单位冲击信号作用下电路的零状态响应，称为电路的为电路的单位冲击响应单位冲击响应，用符号，用符号h(t)表示。表示。64 冲击响应的分析冲击响应的分析 对上式取积分求对上

58、式取积分求uC(0+)；d di(t)RC+ +- -uC在冲击电流激励在冲击电流激励下的下的RC并联并联电路电路duCdtC+ +R= = d di(t)uCuC(0- -) = = 00+ +0- -duCdtCdt + +0+ +0- -RuCdt = =0+ +0- -d di(t) dtC uC(0+ +) - -uC(0- -) 因因uC是有限值，是有限值，故此项积分为故此项积分为0。uC(0+ +) = =C1+ + uC(0- -)电路在单位冲击函数激励下的电路在单位冲击函数激励下的零状零状态响应态响应称为冲击响应。称为冲击响应。记作记作h(t)。(1) 分析过程分析过程 列列

59、t0- -时电路的微分方程；时电路的微分方程；根据根据d di(t)的定义，的定义，故此项积分为故此项积分为1。= = 165(3) t0+时，时，di(di() ) = 0。用同样的方法，可求用同样的方法，可求得得RL串联串联电路在单位电路在单位冲击电压作用下的响冲击电压作用下的响应。应。d di(t)RC+ +- -uCduCdtC+ +R= = d di(t)uC变为变为= = 0 0duCdtC+ +RuCuC(0+ +) = =C1+ + uC(0- -)d du(t)RL+ +- -uL+ +- -iLdiLdtL+ + RiL = = 0 0iL(0+ +) = =L1+ + i

60、L(0- -)方程方程t0+ +d di(t)uC(0+)已已变成了零输入响应变成了零输入响应的求解问题的求解问题(t0+ +) 。iL(0+)d du(t)+ +- -t0+ +66综上，冲击响应分两个过程：综上，冲击响应分两个过程：若若d d(t)的强度为的强度为kuC(0+ +) = =Ck+ + uC(0- -)iL(0+ +) = =Lk+ + iL(0- -)过程过程1 ： t 从从 0- -0+ + uC(t)从从uC(0- -) uC(0+ +)iL(t) 从从iL(0- -) iL(0+ +)建立初始值的过程。建立初始值的过程。uC或或iL 产生跃变，已不产生跃变，已不满足换