2015年中考数学九年级一轮复习+第25讲+圆的认识（世纪金榜课件）（共48张）

1、第二十五讲圆的认识一、圆的有关性质1.对称性：(1)圆是一个_图形，对称中心为_.(2)圆是一个_图形.旋转对称圆心轴对称2.圆心角、弧、弦之间的关系：同圆或等圆中，两个_、两条圆心角所对的_、两条圆心角所对的_中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等.圆心角弧弦3.圆周角定理及推论：(1)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_，都等于该弧所对的圆心角的_，相等的圆周角所对的弧_.(2)半圆或直径所对的圆周角都等于_；90的圆周角所对的弦是圆的_.相等一半相等90直径二、垂径定理及其推论1.定理：垂直于弦的直径_，并且平分弦所对的_.2.推论：平分弦(不是直径的弦)的直径_于弦，并且平分

2、弦所对的_；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的_.平分弦两条弧垂直弧弦【思维诊断】(打“或“)1.弧分优弧和劣弧.( )2.半圆是弧，直径是弦.( )3.直径是圆中最长的弦.( )4.直径是圆的对称轴.( )5.垂直于弦的直径平分这条弦.( )6.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.( )7.过圆心垂直于弦的直线平分弦所对的弧.( )8.相等的圆心角所对的弦相等.( )热点考向一 垂径定理及其推论【例1】(2021湖州中考)在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图).(1)求证：AC=BD.(2)假设大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且点O到直线AB的距离为6，

3、求AC的长.【思路点拨】(1)过圆心作弦的垂线段，由垂径定理可得.(2)由勾股定理可求相应线段的长.【自主解答】(1)作OEAB，AE=BE，CE=DE，BE-DE=AE-CE，即AC=BD.(2)由(1)可知，OEAB且OECD，连接OC，OA，OE=6，CE=AE= =8，AC=AE-CE=8-2 .【规律方法】垂径定理运用中的“两点注意1.两条辅助线：一是过圆心作弦的垂线，二是连接圆心和弦的一端(即半径)，这样把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形中，运用勾股定理求解.2.方程思想：在直接运用垂径定理求线段的长度时，常常将未知的一条线段设为x，利用勾股定理构造关于x的方程解决问题.

4、这是一种用代数方法解决几何问题的解题思路.【真题专练】1.(2021兰州中考)如图，CD是O的直径，弦ABCD于E，连接BC，BD.以下结论中不一定正确的选项是()A.AE=BEB.C.OE=DE D.DBC=90【解析】选C.由垂径定理知，A，B正确；由直径所对的圆周角是直角得，D正确.只有C错误.2.(2021嘉兴中考)如图，O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，那么AB的长为()【解析】选D.CD=10，OB=5，那么OE=3，根据勾股定理求得BE=4，由垂径定理得AB=2BE=8.3.(2021毕节中考)如图，O的半径为13，弦AB长为24，那么点O到AB的距离是()【解

5、析】选B.过O作OCAB于点C，OC过点O，AC=BC= AB=12，在RtAOC中，由勾股定理得：OC= =5.4.(2021黄冈中考)如图，在O中，弦CD垂直于直径AB于点E，假设BAD=30，且BE=2，那么CD=.【解析】连接BC.CDAB，CD=2CE，CEB=90.BCD=BAD=30，BE=2，BC=2BE=4，CE=CD= .答案：【方法技巧】利用垂径定理解题策略(1)垂径定理中的“径可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.这是常作的辅助线，以此构造直角三角形.(2)在圆中，解决有关弦的问题时，常作“垂直于弦的直径为辅助线，把垂径定理和勾股定理结合起来，易得到圆的半径r，圆心到

6、弦的距离d，弦长a之间的关系式：r2=d2+ ，其中任两个，可求出第三个.热点考向二 垂径定理及其推论的实际应用【例2】(8分)(2021邵阳中考)如下图，某窗户是由矩形和弓形组成，弓形的跨度AB=3m，弓形的高EF=1m，现方案安装玻璃，请帮工程师求出 所在圆O的半径r.【标准解答】【规律方法】垂径定理及其推论的实际应用1.解决石拱桥、弓形门等实际问题的关键是根据实物图画出几何图形，把实际问题转化为数学问题来解决.2.明确弦长、圆心到弦的距离，半径以及弓形高之间的关系，利用垂径定理和勾股定理解决.3.在圆的半径r，弦长a，圆心到弦的距离d以及弓形高四个量中，其中任意两个，可求另两个.【真题专

7、练】1.(2021丽水中考)一条水管的截面如下图，排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，那么截面圆心O到水面的距离OC是()【解析】选C.OCAB，AC=BC= AB=8，在RtOBC中，OC= =6.2.(2021兰州中考)如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影局部为有水局部，如果水面AB宽为8cm，水的最大深度为2cm，那么该输水管的半径为()【解析】选C.如下图，设O为圆心，过点O作ODAB于点D，连接OA，ODAB，AD= AB= 8=4(cm)，设OA=r，那么OD=r-2，在RtAOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=(r-2)2+42，解得r=5cm.【知识归纳】利用垂径定理解

8、决实际问题的根本思路(1)问题类型：实际问题大多涉及弦、半径、弦心距及拱形高等问题，属于典型的数形结合问题.(2)解题依据：根据和未知设法构造直角三角形，通过这个直角三角形就能把垂径定理和勾股定理有机地结合起来，把未知转化为，从而使所求问题得以解决.3.(2021绍兴中考)把球放在长方体纸盒内，球的一局部露出盒外，其主视图如图，O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交(E，F是交点).EF=CD=8，那么O的半径为.【解析】过点O作OGEF，垂足为G，连接OF，所以FG= EF=4，在RtFGO中，根据勾股定理得：OG2+FG2=OF2，设半径为x，那么(8-x)2+42=x2，解得x=5

9、.答案：54.(2021漳州中考)如图，一个宽为2cm的刻度尺(刻度单位：cm)放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为cm.【解析】如下图，设该圆的半径为xcm，那么弦长为6cm，根据垂径定理和勾股定理得OA2-OB2=AB2，即x2-(x-2)2=32，解得x= .答案：热点考向三 圆周角定理及其推论【例3】(2021温州中考)如图，AB为O的直径，点C在O上，延长BC至点D，使DC=CB.延长DA与O的另一个交点为E，连接AC，CE.(1)求证：B=D.(2)假设AB=4，BC-AC=2，求CE的长.【思

10、路点拨】(1)由AB为O的直径，易证得ACBD，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD=AB，即可得：B=D.(2)首先设BC=x，那么AC=x-2，由在RtABC中，AC2+BC2=AB2，可得方程(x-2)2+x2=42，解此方程即可求得CB的长，进而求得CE的长.【自主解答】(1)AB为O的直径，ACB=90，ACBC，DC=CB，AD=AB，B=D.(2)设BC=x，那么AC=x-2.在RtABC中，AC2+BC2=AB2，(x-2)2+x2=42，解得x1=1+ ，x2=1- (舍去)，B=E，B=D，D=E，CD=CE，CD=CB，CE=CB=1+ .【规律方法】圆周

11、角定理及推论的应用技巧1.由于直径所对的圆周角是直角，所以在圆中，有直径时，构造直径所对的圆周角是直角，利用解直角三角形的知识解决问题，这是圆中最常用的辅助线.2.在圆中，常利用等弧所对的圆周角相等证明角相等.【真题专练】1.(2021湖州中考)如图，AB是ABC外接圆的直径，A=35，那么B的度数是()A.35B.45C.55D.65【解析】选C.因为AB是直径，所以C=90，那么B=90-A=55。【知识归纳】圆周角与圆心角的区别与联系 关系名称圆心角圆周角区别顶点顶点在圆心处顶点在圆周上个数在同圆中，一条弧所对的圆心角唯一在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个联系位置两边都和圆相交大小一条

12、弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半【变式训练】(2021成都中考)如图，点A，B，C在O上，A=50，那么BOC的度数为()A.40B.50C.80D.100【解析】选D.一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的度数的一半，BOC=2A=250=100.应选D.2.(2021潍坊中考)如图，ABCD的顶点A，B在O上，顶点C在O的直径BE上，连接AE，E=36，那么ADC的度数是()A.44 B.54C. 72D.53【解析】选B.BE是直径，BAE=90，又E=36，B=90-E=54.四边形ABCD是平行四边形，ADC=B=54.3.(2021重庆中考)如图，ABC的顶点A，B，C均在O上

13、，假设ABC+AOC=90，那么AOC的大小是()A.30 B.45 C.60D.70【解析】选C.根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半知ABC= AOC，因为ABC+AOC=90，所以 AOC=90.即AOC=60.【知识归纳】弧、弦、圆心角的关系的应用(1)在圆中，弧、弦、圆心角的关系定理常与垂径定理联系，求角的度数或证明线段相等或弧相等.(2)在圆中，常利用弧、弦、圆心角的关系进行转化，当证明两条弧相等有困难时，可转化为证明两条弦(或两个圆心角)相等，使问题简便.(3)在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关局部，比方“等弧所对圆心角相等“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等等.【典例】(2021凉山州中考)O的直径CD=10cm，AB是O的弦，AB=8cm，且ABCD，垂足为M，那么AC的长为()A.2 cmB.4 cmC.2 cm或4