高一数学数列解题方法[指南]

1、数学高考总复习：数列的应用编稿：林景飞 审稿：张扬 责编：严春梅知识网络：目标认知考试大纲要求：1.等差数列、等比数列公式、性质的综合及实际应用；2.掌握常见的求数列通项的一般方法；3.能综合应用等差、等比数列的公式和性质，并能解决简单的实际问题.4.用数列知识分析解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题.重点：1.掌握常见的求数列通项的一般方法；3.用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题难点：用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题.知识要点梳理知识点一：通项与前n项和的关系任意数列的前n项和；注意：由前n项和求数列通项时，要分三步进行：1求，2求出当

2、n2时的，3如果令n2时得出的中的n=1时有成立，那么最后的通项公式可以统一写成一个形式，否那么就只能写成分段的形式.知识点二：常见的由递推关系求数列通项的方法1.迭加累加法：，那么，2.迭乘累乘法：，那么，知识点三：数列应用问题1.数列应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率复利以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.2.建立数学模型的一般方法步骤.认真审题，准确理解题意，到达如下要求：明确问题属于哪类应用问题；弄清题目中的主要事项；明确所求的结论是什么.抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量

3、或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.将实际问题抽象为数学问题，将与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式如函数关系、方程、不等式.规律方法指导1.由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想；2.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.3.加强数列知识与函数、不等式、方程、对数、立体几何、三角等内容的综合.解决这些问题要注意：1通过知识间的相互转化，更好地掌握数学中的转化思想；2通过解数列与其他知识的综合问题，培养分析问题和解决问题的综合能力.精析类型一：迭加法求数列通项公式1在数列中，求.解析：，

4、当时，将上面个式子相加得到：，当时，符合上式故.总结升华：1. 在数列中，假设为常数，那么数列是等差数列；假设不是一个常数，而是关于的式子，那么数列的解析式，而的和是可求的，那么可用多式累迭加法得.举一反三：【变式1】数列，求.【答案】【变式2】数列中，求通项公式.【答案】.类型二：迭乘法求数列通项公式2设是首项为1的正项数列，且，求它的通项公式.解析：由题意，又，当时，当时，符合上式.总结升华：1. 在数列中，假设为常数且，那么数列是等比数列；假设不是一个常数，而是关于的式子，那么数列不是等比数列.2假设数列有形如的解析关系，而的积是可求的，那么可用多式累迭乘法求得.举一反三：【变式1】在数

5、列中，求.【答案】【变式2】数列中，求通项公式.【答案】由得， ， 当时， 当时，符合上式类型三：倒数法求通项公式3数列中，,，求.思路点拨：对两边同除以得即可.解析：，两边同除以得，成等差数列，公差为d=5，首项，.总结升华：1两边同时除以可使等式左边出现关于和的相同代数式的差，右边为一常数，这样把数列的每一项都取倒数，这又构成一个新的数列，而恰是等差数列.其通项易求，先求的通项，再求的通项.2假设数列有形如的关系，那么可在等式两边同乘以，先求出，再求得.举一反三：【变式1】数列中，求.【答案】【变式2】数列中，,，求.【答案】.类型四：待定系数法求通项公式4数列中，求.法一：设，解得即原式

6、化为设，那么数列为等比数列，且法二： 由得：设，那么数列为等比数列法三：，总结升华：1一般地，对数列的项满足，为常数，,那么可设得，利用得即，从而将数列转化为求等比数列的通项.第二种方法利用了递推关系式作差，构造新的等比数列.这两种方法均是常用的方法.2假设数列有形如k、b为常数的线性递推关系，那么可用待定系数法求得.举一反三：【变式1】数列中，求【答案】令，那么，即，为等比数列，且首项为，公比，故.【变式2】数列满足,而且，求这个数列的通项公式.【答案】，设，那么，即，数列是以为首项，3为公比的等比数列，. .类型五：和的递推关系的应用5数列中，是它的前n项和，并且,.(1)设,求证：数列是

7、等比数列；(2)设，求证：数列是等差数列；(3)求数列的通项公式及前n项和.解析：1因为，所以 以上两式等号两边分别相减，得 即，变形得 因为，所以 由此可知，数列是公比为2的等比数列. 由, 所以, 所以, 所以.2，所以 将代入得 由此可知，数列是公差为的等差数列，它的首项， 故.3，所以 当n2时， 由于也适合此公式， 故所求的前n项和公式是.总结升华：该题是着眼于数列间的相互关系的问题，解题时，要注意利用题设的条件，通过合理转换，将非等差、等比数列转化为等差、等比数列，求得问题的解决利用等差比数列的概念，将关系式进行变形，变形成能做出判断的等差或等比数列，这是数列问题中的常见策略.举一

8、反三：【变式1】设数列首项为1，前n项和满足.1求证：数列是等比数列；2设数列的公比为，作数列，使，求的通项公式.【答案】1， ， 又 ， 是一个首项为1公比为的等比数列；2 是一个首项为1公比为的等差比数列 【变式2】假设,()，求.【答案】当n2时，将代入, , 整理得 两边同除以得常数 是以为首项，公差d=2的等差数列， ， .【变式3】等差数列中，前n项和，假设.求数列的前n项和.【答案】为等差数列，公差设为, , , , 假设，那么, . ， , , -得 类型六：数列的应用题6.在一直线上共插13面小旗，相邻两面间距离为10m，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，

9、每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？思路点拨：此题求走的总路程最短，是一个数列求和问题，而如何求和是关键，应先画一草图，研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程，然后求和.解析：设将旗集中到第x面小旗处，那么 从第一面旗到第面旗处，共走路程为了， 回到第二面处再到第面处是， 回到第三面处再到第面处是， ， 从第面处到第面处取旗再回到第面处的路程为， 从第面处到第面处取旗再回到第面处，路程为202， 总的路程为： ，时,有最小值 答：将旗集中到第7面小旗处，所走路程最短.总结升华：此题属等差数列应用问题，应用等差数列前项和公式，在求和后，利用二次函数求最

10、短路程.举一反三：【变式1】某企业2007年12月份的产值是这年1月份产值的倍，那么该企业2007年年度产值的月平均增长率为 A B C D【答案】D；解析：从2月份到12月份共有11个月份比基数1月份有产值增长，设为， 那么【变式2】某人2006年1月31日存入假设干万元人民币，年利率为，到2007年1月31日取款时被银行扣除利息税税率为共计元，那么该人存款的本金为A1.5万元 B2万元 C3万元 D2.5万元【答案】B；解析：本金利息利率，利息利息税税率利息元，本金元【变式3】根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的个月内累积的需求量万件近似地满足.按比例预测，在本年度内，需求量超过

11、万件的月份是()A5月、6月 B6月、7月 C7月、8月 D9月、10月【答案】C；解析：第个月份的需求量超过万件，那么解不等式，得，即.【变式4】某种汽车购置时的费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增，问这种汽车使用多少年后报废最合算？即年平均费用最少【答案】设汽车使用年限为年，为使用该汽车平均费用. 当且仅当，即年时等到号成立. 因此该汽车使用10年报废最合算.【变式5】某市2006年底有住房面积1200万平方米，方案从2007年起，每年撤除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年

12、年底住房面积的5%.1分别求2007年底和2021年底的住房面积；2求2026年底的住房面积.计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01【答案】12007年底的住房面积为1200(1+5%)20=1240万平方米， 2021年底的住房面积为1200(1+5%)220(1+5%)20=1282万平方米， 2007年底的住房面积为1240万平方米； 2021年底的住房面积为1282万平方米.22007年底的住房面积为1200(1+5%)20万平方米， 2021年底的住房面积为1200(1+5%)220(1+5%)20万平方米， 2021年底的住房面积为1200(1+5%)320(1+5%)220(

13、1+5%)20万平方米， 2026年底的住房面积为1200(1+5%)2020(1+5%)1920(1+5%)20 万平方米 即1200(1+5%)2020(1+5%)1920(1+5%)1820(1+5%)20 2522.64万平方米， 2026年底的住房面积约为2522.64万平方米.高考题萃12021四川设数列的前项和为.求；证明：是等比数列；求的通项公式.解析：因为，由知，得 所以，由题设和式知所以是首项为2，公比为2的等比数列.22021全国II设数列的前项和为，设，求数列的通项公式；假设，求的取值范围解析：依题意，即，由此得因此，所求通项公式为，由知，于是，当时，当时，又综上，所求

14、的的取值范围是32021天津数列中，且设，证明是等比数列；求数列的通项公式；假设是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项解析：由题设，得，即又，所以是首项为1，公比为的等比数列由，将以上各式相加，得所以当时，上式对显然成立由，当时，显然不是与的等差中项，故由可得，由得 整理得，解得或舍去，于是另一方面，由可得所以对任意的，是与的等差中项42021陕西数列的首项，求的通项公式；证明：对任意的，；证明：解析：，又，是以为首项，为公比的等比数列，由知，原不等式成立另解：设，那么，当时，；当时，当时，取得最大值原不等式成立由知，对任意的，有令，那么，原不等式成立学习成果测评根底达标：1

15、假设数列中，且(n是正整数)，那么数列的通项=_.2对正整数n，设曲线在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为，那么数列的前n项和的公式是_.3. 设是等比数列，是等差数列，且，数列的前三项依次是， 且，那么数列的前10项和为_.4. 如果函数满足：对于任意的实数，都有，且，那么 _5数列中，,()，求通项公式.6数列中，求的通项公式.7各项均为正数的数列的前项和满足，且，求的通项公式.8设数列满足，求数列的通项；设，求数列的前项和能力提升：9数列的前项和为，求数列的通项；求数列的前项和10数列的前n项和为, 是各项为正数的等比数列，试比拟与的大小关系.11某国采用养老储藏金制度公民在就业的第一年就

16、交纳养老储藏金，数目为，以后每年交纳的数目均比上一年增加，因此，历年所交纳的储藏金数目是一个公差为的等差数列与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利这就是说，如果固定年利率为，那么，在第年末，第一年所交纳的储藏金就变为，第二年所交纳的储藏金就变为，以表示到第年末所累计的储藏金总额写出与的递推关系式；求证：，其中是一个等比数列，是一个等差数列122007年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2021年开始，方案每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化.1设该县的总面积为1，2007年底绿化面积为，经过n年后绿化的面积为，试用表示；2

17、求数列的第n+1项；3至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过60%.参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771综合探究：13函数，设曲线在点处的切线与x轴的交点为，其中为正实数.用表示；假设，记，证明数列成等比数列，并求数列的通项公式；假设，是数列的前n项和，证明.参考答案：根底达标：1.答案：解析：由题设的递推公式可得 即,2答案：2n+1-2解析：， 曲线在x=2处的切线的斜率为，切点为2，-2n, 所以切线方程为y+2n=k(x-2),令x=0得,令. 数列的前n项和为2+22+23+2n=2n+1-23.答案：9784.答案：5解析：将递推关系整理为 两边同除以得 当时， ，

18、 将上面个式子相加得到： ，即， . 当时，符合上式 故.6.解析：由题设 所以数列是首项为，公比为的等比数列， ， 即的通项公式为，7.解析：由，解得或， 由假设，因此， 又由， 得，即或， 因，故不成立，舍去 因此，从而是公差为，首项为的等差数列， 故的通项为8.解析：， 当时， -得， 在中，令，得符合上式 ， ， -得 即，能力提升：9解析：， 又， 数列是首项为，公比为的等比数列， 当时， ， 当时，； 当时， ， ， 得： 又也满足上式， 10.解析：为各项为正数的等比数列，设其首项为，公比为, 那么有,，(), ，即 1当时，, 而, 时，. 2当时，, 当时， 当时， 当时， 综上，1在时恒有 2在时，假设那么； 假设那么； 假设那么.11.解析：， 对反复使用上述关系式，得 ， 在式