概率论与数理统计教程第四版课后答案第三章备课讲稿

1、一、一维随机变量一、一维随机变量(su j bin lin)的数学期望的数学期望定义定义1 设设X是一离散型随机变量，其分布列为：是一离散型随机变量，其分布列为：则随机变量则随机变量X 的的数学期望数学期望为为:X1x)(1xp2x)(ixpix)(2xpP iiixpxXE iiixpxXE dxxxfXE dxxxfXE ,xf设设X是一连续型随机变量，其分布密度为是一连续型随机变量，其分布密度为则随机变量则随机变量X的的数学期望数学期望为为定义定义2 第三章第三章 随机变量随机变量(su j bin (su j bin lin)lin)的数字特征小结的数字特征小结 第一页，共38页。随机

2、变量随机变量X及及Y 的数学期望分别定义如下：的数学期望分别定义如下：假定级数是绝对收敛的假定级数是绝对收敛的.（1）设二维离散随机变量）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为的联合概率函数为p(xi , yj)，则，则 , ijjiiyxpxXE ., jijijyxpyYE , iiXixpxXE . jjYjypyYE（2）设二维连续随机变量）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为f(x, y)，则，则随机变量随机变量X及及Y 的数学期望分别定义如下：的数学期望分别定义如下：假定积分绝对收敛假定积分绝对收敛. ,dxdyyxxfXE .,dxdyyxyfYE

3、,dxxxfXEX .dyyyfYEY二、二维随机变量二、二维随机变量(su j bin lin)的数学期望的数学期望第二页，共38页。 iiixpxgXEgEY则定义随机变量函数则定义随机变量函数的的数学期望数学期望为：为： XgY X1x)(1xp2xnx)(ixXP )(nxp)(2xp（1）设）设离散型随机变量离散型随机变量X 的概率分布为：的概率分布为：三、一维随机变量三、一维随机变量(su j bin lin)函数的数学期望函数的数学期望 dxxfxgXEgEY 机变量函数机变量函数的数学期望为：的数学期望为： XgY 则定义随则定义随（2）若）若X为连续型随机变量为连续型随机变量

4、， ,xf其概率密度为其概率密度为第三页，共38页。（1）设二维离散随机变量）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为的联合概率函数为p(xi , yj)，则，则随机变量函数随机变量函数g(X,Y)的数学期望如下：的数学期望如下： , ijjijiyxpyxgYXgE假定这个级数是绝对收敛的假定这个级数是绝对收敛的.（2）设二维连续随机变量）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为f(x, y)，则，则随机变量随机变量g(X,Y)的数学期望如下：的数学期望如下： ,dxdyyxfyxgYXgE假定这个积分是绝对收敛的假定这个积分是绝对收敛的.四、二维随机变量四、二维随机

5、变量(su j bin lin)的函数的数学期望的函数的数学期望第四页，共38页。五、关于五、关于(guny)(guny)数学期望的定理数学期望的定理定理定理1 1 bEXabXaE aEa EXaXaE bEXbXE 推论推论 （1）（2）（3）定理定理2 2推论推论.11 niiniiEXXE YEXEYXE定理定理3 3 若若X、Y 独立，则有独立，则有：推论推论.11 niiniiEXXE相相互互独独立立，则则若若nXXX,21 YEXEXYE 第五页，共38页。 X 的的标准差标准差： 2EXXEDX DXX 定义定义 X 的的方差：方差：若若X 为为离散型随机变量离散型随机变量，则

6、有则有 12)(iiixpEXxXD若若X 为为连续型随机变量连续型随机变量，则有则有 dxxfEXxXD)(2 .,2jiijjyxpEYy ,2jiijiyxpEXx jjYiypEYy2 XD iXiixpEXx 2 YD二维随机变量的方差二维随机变量的方差 离散型随机变量离散型随机变量 ,YX六、方差六、方差(fn ch)(fn ch)与与标准差标准差第六页，共38页。 ,2dxdyyxfEXx .,2dxdyyxfEYy dyyfEYyDYY2 dxxfEXxDXX2连续型随机变量连续型随机变量 ,YX22)(EXEXDX 方差的计算公式方差的计算公式: :; 0 Db ;DXbXD

7、 .)(2DXaaXD DXabaXD2 定理定理1 1推论：推论：有关方差的定理：有关方差的定理：第七页，共38页。, pEX pqDX ,npEX npqDX , EX DX2pqDX ,1pEX 12)(2abDX ,2baEX ,1 EX21 DX二项分布：二项分布：0 -1分布：分布：几何分布几何分布:均匀分布均匀分布:指数分布指数分布:Poisson分布分布定理定理2 2：DYDXYXD若若X与与Y 独立，独立，推论：推论： niiniiXDXD11若若nXXX,21相互独立，相互独立，七、某些常用七、某些常用(chn yn)(chn yn)分布的数学期望及分布的数学期望及方差方差

8、第八页，共38页。对于离散随机变量：对于离散随机变量： iikikxpxX)()( 对于连续随机变量：对于连续随机变量： dxxfxXkk)()( 对于离散随机变量：对于离散随机变量：对于连续随机变量：对于连续随机变量： iikikxpXExX)()()( dxxfXExXkk)()()( kkXEX EX 1 随机变量随机变量X 的的 k 阶原点矩：阶原点矩：定义定义1其中其中k为正整数。特别的，为正整数。特别的， kkXEXEX 定义定义2： X 的的k 阶中心矩阶中心矩：; 01 DX 2 特别的，特别的，八、原点矩与中心矩八、原点矩与中心矩第九页，共38页。).()(),cov(YEY

9、XEXEYX 1 1、X与与Y 的协方差（或的协方差（或相关矩相关矩）：）：定义定义 .,covdxdyyxfEYyEXxYX 离散型随机变量：离散型随机变量： 连续型随机变量：连续型随机变量：注注 .,cov ijjijiyxpEYyEXxYX九、协方差与相关系数九、协方差与相关系数注注 设设X与与Y是任两个随机变量，是任两个随机变量，),cov(2)()()(YXYDXDYXD 定理定理1 )()()(),cov(YEXEXYEYX 定理定理2 2 若若X与与Y 独立，则：独立，则： . 0,cov YX逆命题不成立。逆命题不成立。第十页，共38页。2 2、X与与Y 的相关系数的相关系数)

10、,(cov),( YXYXR)()(),(cov),(YDXDYXYXR 定义定义定理定理3 3 1, YXR,bXaY 且且 . 0, 1;0, 1),(bbYXR定理定理4 41),( YXR定理定理5 5如果如果 X 与与Y 独立，则独立，则, 0),( YXR反之不成立。反之不成立。即即: : X 与与 Y相互相互独立独立X与与 Y 不相关不相关第十一页，共38页。十、切比雪夫不等式与大数十、切比雪夫不等式与大数(d sh)(d sh)定定律律1 1、切比雪夫不等式、切比雪夫不等式 2)()( XDXEXP2 2、切比雪夫大数定律、切比雪夫大数定律 1)(11lim11 niiniin

11、XEnXnP独立独立(dl)且方差一致有上界且方差一致有上界3 3、辛钦大数定律、辛钦大数定律11lim1 niinXnP独立同分布独立同分布4 4、伯努利大数定律、伯努利大数定律 在独立试验序列中，事件在独立试验序列中，事件 A 的频率按概率收敛于事件的频率按概率收敛于事件 A 的的概率概率. 1 )( lim pAfPnn第十二页，共38页。3.2 一批零件中有一批零件中有9个合格品与个合格品与3个废品。安装机器时从中任取个废品。安装机器时从中任取1个。如果每个。如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前(yqin)已取出的废品已取出的废品数

12、的数学期望、方差和标准差。数的数学期望、方差和标准差。解解 第三章答案第三章答案(d n)设在取得设在取得(qd)合格品以前已取出的废品数为合格品以前已取出的废品数为XX)(ixP1043449220132220922013220924491430)( XE3 . 0 22013220924491430)(22222 XE409.0 )()()(22XEXEXD 319.0 )(XDX 565.0 第十三页，共38页。3.3 对一目标射击，直至击中为止。如果每次射击命中率为对一目标射击，直至击中为止。如果每次射击命中率为 p，求射击次数，求射击次数(csh)的数学期望和方差。的数学期望和方差。

13、解解设随机变量设随机变量X表示射击表示射击(shj)次数，次数，则则X 服从服从(fcng)几何分布。几何分布。2,1)1()(1 mppmXPm )(XE11nnnpq11nnnqp211qp2111pp. 1,11211xxnxnnp1 )(2XE112nnpqn112nnqnp. 1,113112xxxxnnn311qqp.22pp )(XD 22)()(XEXE 2212ppp.12pp第十四页，共38页。3.4 对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。如果发现次品对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。如果发现次品(cpn)，则立，则立即停止检查而认为这批产品不合格；若连续检查即停止检查而认

14、为这批产品不合格；若连续检查5个产品都是合格，个产品都是合格，则也停止检查而认为这批产品合格。设这批产品的次品则也停止检查而认为这批产品合格。设这批产品的次品(cpn)率为率为p，求每批产品抽查样品的平均数。求每批产品抽查样品的平均数。设随机变量设随机变量(su j bin lin)X 表示每批产品抽查的样品数，则表示每批产品抽查的样品数，则:)4, 3, 2,1()(1 mpqmXPmX 的概率分布表如下的概率分布表如下(rxi)：)1( qp454)5(qqpqXP X)(mXP 4q521ppq432pq3pq4324325101055432)(ppppqpqpqpqpXE 解解第十五页

15、，共38页。解解011)(112 dxxxXE)()()()(222XEXEXEXD 112211dxxx令令tdtdxtxcos,sin3.6 设随机变量设随机变量X X 的概率密度为：的概率密度为：求数学期望求数学期望E E(X)(X)与方差与方差D(X)D(X)。 1, 01,112xxxxf212212102212dxxx2022 cossin1sin2)(dttttXD202)(sin2dtt2022cos12dtt20)22sin(212tt 第十六页，共38页。解解021)( dxexXEx dxexXDx21)(202212dxexx3.7 随机变量随机变量X X 的概率密度为

16、的概率密度为: :,21)( xexfx求数学期望求数学期望E E(X)(X)与方差与方差D(X)D(X)。 )()()()(222XEXEXEXD 02dxexx2)3(第十七页，共38页。2.22, 3.8解解(1) dxxf01dxeAxx 01xdexAx A, 1 . A当, 1 . A . 0, 0; 0,1xxeAxxfx . 0, 0; 0,xxexfx .eX(2)设随机变量设随机变量(su j bin lin) X 的概率密度为的概率密度为 求系数求系数(xsh)A时时，是是什什么么分分布布？1 (2)(3)求数学期望求数学期望(qwng)和方差和方差(1)(3) dxxx

17、fXE)( 01dxexxx 0111xdexx 1. 第十八页，共38页。(3). dxxfxXE22)( 012dxexxx 01221xdexx 2221 )(XD 22)()(XEXE 2221 .2 dxxxfXE)(第十九页，共38页。3.9 设随机变量设随机变量X X 的概率密度为：的概率密度为： )0(0, 00,222 axxeAxxfax求系数求系数A A及及E E(X)(X)与与D(X)D(X)。 解解dxxf)(dttaetaAttax2102222)(2233 aA 1421233 aAaA 34aA dxexaXEax033224)(dxeAxax0222dteta

18、At02132dtteat02aa2)2(2dttaetaattax21023332422第二十页，共38页。dxexaXEax0432224)(232123222aa )()()(22XEXEXD 423423222aaadtetat023222522a第二十一页，共38页。3.12 设随机变量设随机变量X X 服从二项分布服从二项分布B B(3,0.4),(3,0.4),求下列随机变量的求下列随机变量的数学期望数学期望与方差与方差: :2)3()3();2()2(;) 1 (3221XXYXXYXY . 3 , 2, 1 , 06 . 04 . 0)(33 mCmXPmmm解解X)(mXP

19、 216. 00321432. 0288. 0064. 072. 0)( XD2 . 1)( XE16. 22 . 172. 0)()()()() 1 (2221 XEXDXEYE)()(421XEYE 224.10064. 03288. 02432. 01444 5584. 516. 2224.10)()()(212211 YEYEYD24. 02 . 1216. 2)(2)()2()()2(222 XEXEXXEYE008. 1064. 09432. 01)2()(2222 XXEYE9504. 0)24. 0(008. 1)()()(222222 YEYEYD第二十二页，共38页。72.

20、 016. 2212 . 123)(21)(23223)()3(223 XEXEXXEYE72. 0)288. 04432. 04(41)3(41)(2223 XXEYE2016. 0)72. 0(72. 0)()()(232233 YEYEYD. 3 , 2, 1 , 06 . 04 . 0)(33 mCmXPmmmX)(mXP 216. 00321432. 0288. 0064. 072. 0)( XD2 . 1)( XE第二十三页，共38页。解解3.13.00)1(1都都是是常常数数及及及及方方差差，其其中中的的数数学学期期望望，求求随随机机变变量量函函数数设设随随机机变变量量 XYeX

21、X 的密度的密度(md)函数为函数为 . 0, 0;0,1 1 xxexfxX当当当当 01 11dxexx)(YE 0t 11dtettx)11(1 01 21dxexx)(2YE 0t 22dtettx)12(2 )()()(22YEYEYD )11()12(22第二十四页，共38页。解解3.14 对球的直径做近似测量，设其值均匀分布在区间对球的直径做近似测量，设其值均匀分布在区间 内。内。求球体积的数学期望。求球体积的数学期望。 ba,积积分分别别表表示示球球的的直直径径和和体体，设设随随机机变变量量YX,baUX则则 dxxfxYE361)(361XY )(2422baba dxabx

22、ba36第二十五页，共38页。3.16 证明：若随机变量证明：若随机变量X 与与Y 独立，则独立，则 )()()()()()()(22XDYEYDXEYDXDXYD =左左右右= )()()()()()()()()()(2222222222XEXEYEYEYEXEYEYEXEXE )()()()(2222XEYEYEXE 22)()(XYEXYE X与与Y 独立独立(dl)， X2 与与Y2 独立独立(dl)，)()()(),()()(2222YEXEXYEYEXEYXE 右右也可从左往右证也可从左往右证.第二十六页，共38页。解解 3.17 nXXX,21独立，且服从同一分布，数学期望为独立

23、，且服从同一分布，数学期望为 ，方差为，方差为2 ，求这些随机变量的算术平均值，求这些随机变量的算术平均值 niinXnX11的数学期望及方差。的数学期望及方差。随机变量随机变量)1()(1 niinXnEXE)(11 niiXEn)(11 niiXEn )1()(1 niinXnDXD)(112 niiXDn)(112 niiXDn21 n第二十七页，共38页。解解3.18N个人同乘一辆汽车，沿途有个人同乘一辆汽车，沿途有n个车站，每到一个车站时，若个车站，每到一个车站时，若无人下则不停车。设每个人在任一站下车是等可能的，求停无人下则不停车。设每个人在任一站下车是等可能的，求停车次数的数学期

24、望。车次数的数学期望。）个个车车站站的的停停车车次次数数（表表示示在在第第设设niiXi, 2 , 1 的的概概率率分分布布为为则则iXiX)(xP0Nn)11 ( 1Nn)11 (1 niiXY1则则停停车车总总次次数数 niiXEYE1)()()11 (1 Nnn 第二十八页，共38页。 3.5 3.5和和3.193.19（帕斯克分布）设事件（帕斯克分布）设事件A A在每次实验中发生的概率为在每次实验中发生的概率为 p p，进行进行(jnxng)(jnxng)重复独立实验，直至事件重复独立实验，直至事件A A发生发生r r 次为止，求需要次为止，求需要进行进行(jnxng)(jnxng)的

25、实验总次数的实验总次数 X X 的数学期望与方差。的数学期望与方差。解解rmrrmqpCmXP 11)(), 1,(rrm设随机变量设随机变量1X表示事件表示事件A第一次发生时已进行的实验次数，第一次发生时已进行的实验次数，)(,21pGXXXXir，即即且且服服从从相相同同的的几几何何分分布布相相互互独独立立显显然然 21)(ppXDi ,1)(pXEi ,1 riiXX则则), 3 , 2(riXi 表示事件表示事件A从第从第i -1次发生后到第次发生后到第i 次发生时所次发生时所进行的实验次数，进行的实验次数，), 2 , 1()1()(1rmppmXPmi riiXE1)()(1 ri

26、iXE )(XE,pr riiXD1)()(1 riiXD )(XD2)1(ppr 第二十九页，共38页。解解3.20 计算二项分布计算二项分布 pnB,的三阶原点距，三阶中心距。的三阶原点距，三阶中心距。 XEX )(1np 22)(XEX nmmnmmnqpCm12 1 pnpnp nmmnmmnqpCm13 nmmnmmnqpCmnp11112 33)(XEX nmmnmmnqpmC1nmmnmmnqpmCnp111110111nkknkknqpCknp1 mk10111011nkknkknnkknkknqpCqpkCnp11pnnp 101121nkknkknqpCknp1 mk第三十

27、页，共38页。31123323 XEX )(1np 22)(XEX 1 pnpnp)13323(2222 pnppnppnnp 33)(XEX )21)(1(ppnp 10111011101122nkknkknnkknkknnkknkknqpCqpkCqpCknp np 1)1()1( ppnpnpn)1(2 1 101121nkknkknqpCknp1 mk)13323(2222 pnppnppnnp第三十一页，共38页。 3.24 二维随机变量在二维随机变量在 区域区域R：YX,xyx 0 , 10上服从均匀分布，求（上服从均匀分布，求（1） 的概率密度；的概率密度；（2）数学期望）数学期

28、望)(XE及及，方差，方差)(XD及及（3）相关矩）相关矩及相关系数及相关系数YX,)(YE)(YD),cov(YX),(YXR解解其中其中(qzhng)C 为常数。为常数。 dxdyyxf,则则 xdydxC01012 C（1）设（）设（X,Y）的概率密度）的概率密度其其它它xyxCyxf0 , 10 0),(2C)(XE（2） dxdyyxxf, xdyxdx010232 )(YE dxdyyxyf, xydydx010231 )(2XE dxdyyxfx,2 xdydxx0102221 )(2YE dxdyyxfy,2 xdyydx0210261 第三十二页，共38页。 22)()(XE

29、XEXD 181 22)()(YEYEYD 181 （3）)(XYE dxdyyxxyf, xydyxdx010241 )()()(),cov(YEXEXYEYX 361 )()(),(Cov),(YDXDYXYXR 21 第三十三页，共38页。(2), 0)1(1)(222 dxdyyxxXE，同同理理0)( YE dxdyyxxXEXD22222)1(1)()(drrrd 2002232)1(cos1drrr 0223)1(dttttr 1211212,1ln211 tt不不存存在在，同同理理)(YD. ),cov(不不存存在在YX3.25 二维随机变量二维随机变量 的联合密度函数为的联合

30、密度函数为YX, 22211, yxyxf求（求（1）数学期望）数学期望)(XE及及)(YE（2）方差）方差)(XD及及)(YD（3）协方差）协方差),cov(YX解解( 1)第三十四页，共38页。3.28 3.28 利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望的差大于三利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望的差大于三倍标准差的概率倍标准差的概率.解解 3)(XEXP 23)( XD1111. 091第三十五页，共38页。3.29 为了确定事件为了确定事件 A 的概率的概率, 进行了进行了10000次重复独立试验次重复独立试验. 利用利用切比雪夫不等式估计切比雪夫不等式估计:用事件用事件 A 在在10000次试验中发生的频率作为次试验