第6节多元函数的极值与最值PPT学习教案

1、会计学1第第6节多元函数的极值与最值节多元函数的极值与最值2(1)(2)(3)例1处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz 例处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz 第1页/共43页3的图形的图形观察二元函数观察二元函数22eyxxyz 播放第2页/共43页4的图形的图形观察二元函数观察二元函数22eyxxyz 第3页/共43页5的图形的图形观察二元函数观察二元函数22eyxxyz 第4页/共43页6的图形的图形观察二元函数观察二元函数22eyxxyz 第5页/共43页7的图形的图形观察二元函数观察二元函

2、数22eyxxyz 第6页/共43页8的图形的图形观察二元函数观察二元函数22eyxxyz 第7页/共43页9的图形的图形观察二元函数观察二元函数22eyxxyz 第8页/共43页10的图形的图形观察二元函数观察二元函数22eyxxyz 第9页/共43页11的图形的图形观察二元函数观察二元函数22eyxxyz 第10页/共43页12设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx具具有有偏偏导导数数，且且在在点点),(00yx处处有有极极值值，则则它它在在该该点点的的偏偏导导数数必必然然为为零零：0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. . 极值的求法（称驻点） 例如例如, 点点)

3、0 , 0(是函数是函数xyz 的驻点，的驻点，但但不不是是极极值值点点.驻点极值点注意：定理1（必要条件） 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？第11页/共43页13设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内连续，的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，有一阶及二阶连续偏导数， 设设 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 定理2（充分条件）则则),(yxf在在点点),(00yx处处是是否否取取得得极极值值的的条条件件如如下下：令令 Ayxfxx ),(00，Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00， （1 1）02 ACB时时具具有有极极值值，且

4、且当当0 A时时有有极极大大值值，当当0 A时时有有极极小小值值； （2 2）02 ACB时时没没有有极极值值； （3 3）02 ACB时时可可能能有有极极值值, ,也也可可能能没没有有极极值值，还还需需另另作作讨讨论论 第12页/共43页14求求函函数数xyxyxyxf933),(2233 的的极极值值. . 求求得得驻驻点点：)2 , 1(),2 , 3(),0 , 1(),0 , 3( , , 二二阶阶偏偏导导数数为为：66, 0, 66 yffxfyyxyxx, , 例4解 063096322 yyfxxfyx令令CBA ACB 2)0, 3( )0, 1()2, 3( )2, 1(6

5、 0 12 6 0 126 0 12 6 0 12 无极值极小值-5极大值31无极值1, 3 x2, 0 yf驻点第13页/共43页15 若根据实际问题,目标函数有最大值(或最小值),而在定义区域内部有唯一的极大(小)值点,则可以断定该极大(小)值点即为最大(小)值点. 设生产某种商品需原料A和B，设A的单价为2，数量为x；而B 的单价为1，数量为y，而产量为 例5解，yyxxz52102022 且商品售价为5,求最大利润. 利润函数为 yxyyxxyxL 2)521020(5),(22第14页/共43页16yxyyxxyxL 2)521020(5),(22令1048020240 xyLxLy

6、 ，解得唯一驻点 ，2 . 1, 8 . 4 yx唯一驻点为极大值点，.6 .229)2 . 1 , 8 . 4( L，yyxx24104851122 10,0,20,xxxyyyALBLCL ,02 ACB,0 A即为最大值点，最大利润为 第15页/共43页17例6解 sincos222422421xxxxS ， cossinsin2sin2422xxx 其其中中 120 x, ,20 , , 第16页/共43页18其其中中 120 x, ,20 , , 注注意意到到 0sin, 0 x, ,化化简简后后解解得得 3, 8 x, , 由由实实际际问问题题可可知知, ,S 必必有有最最大大值值

7、, ,且且内内部部唯唯一一驻驻点点, ,故故当当3, 8 x时时, ,槽槽的的截截面面积积最最大大, ,348 最最大大S. . ， cossinsin2sin2422xxxS 222224sin4 sin2 sincos024 cos2cos(cossin)0 xSxxSxxx 令第17页/共43页19解*例7总利润为 )258000(yxQpQCRL 8000)25( yxQp,8000)25(2000003 . 01 . 05 . 1 yxyxpp第18页/共43页208000)25(2000003 . 01 . 05 . 1 yxyxppL令,0)75(1000003 . 01 . 0

8、5 . 2 yxppLp,01)25(200003 . 09 . 05 . 1 yxppLx01)25(600007 . 01 . 05 . 1 yxppLy解得,750 p3555540 x(元元)，1066662300 xy(元元) 最最佳佳经经营营时时的的产产量量为为 711112000003 . 001 . 005 . 100 yxpQ(件件) 此此时时企企业业获获得得的的最最大大利利润润为为 21253348000)25(),(0000000 yxQpyxpL(元元) 第19页/共43页21 用铁皮做一个有盖的长方体水箱,要求容积为V,问怎么做用料最省？ 设设水水箱箱的的长长、宽宽、

9、高高分分别别为为zyx, ,则则 目目标标函函数数：)( 2zxyzxyS , , 约约束束条条件件：xyzV , , 实际问题中,目标函数的自变量除了受到定义域的限制外, 往往还受到一些附加条件的约束,这类极值问题称条件极值问题. 例8解即表面积最小. ，xyVz 代入目标函数,化为无条件极值问题： xyz第20页/共43页22目目标标函函数数化化为为：)( 2yVxVxyS , , 0, 0 yx 令令 0)(20)(222yVxSxVySyx, , 求得唯一驻点求得唯一驻点3Vyx , ,从而从而3Vz , , 内部唯一驻点,且由实际问题S有最大值,故做成立方体表面积最小. 这种做法的缺

10、点： 1.变量之间的平等关系和对称性被破坏； 2.有时隐函数显化困难甚至不可能. 第21页/共43页23 要要找找函函数数),(yxfz 在在条条件件0),( yx 下下的的可可能能极极值值点点，解解出出 , yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的极极值值点点的的坐坐标标.拉格朗日乘数法其其中中 为为参参数数， 引入拉格朗日函数),(),();,(yxyxfyxF 令,0),(0),(),(0),(),( yxFyxyxfFyxyxfFyyyxxx 若这样的点唯一,由实际问题,可直接确定此即所求的点.第22页/共43页24如如果果目目标标函函数数是是三三元元函函数数),(zyxf, ,且且约

11、约束束条条件件有有两两个个, , 0),( zyxg, ,0),( zyxh, , 则构造拉格朗日函数为 . ),(),(),(),;,(zyxhzyxgzyxfzyxL 令,0),(0),(),(),(),(0),(),(),(0),(),(),( zyxhzyxgzyxhzyxgzyxfzyxhzyxgzyxfzyxhzyxgzyxfzzzyyyxxx 第23页/共43页25 用铁皮做一个有盖的长方体水箱,要求容积为V,问怎么做用料最省？ 例8目目标标函函数数：)( 2zxyzxyS , , 约约束束条条件件：xyzV , , 解构构作作拉拉格格朗朗日日函函数数 )()( 2Vxyzzxy

12、zxyL , , 令令 VxyzxyyxLxzzxLyzzyLzyx0)(20)(20)(2 , , 解解得得唯唯一一驻驻点点3Vzyx , , 由实际问题,即为最小值点. 设设水水箱箱的的长长、宽宽、高高分分别别为为zyx, ,则则 xyz第24页/共43页26 在实际问题中,经常要求某多元函数在已知区域D内的最大值和最小值.根据实际情况,我们往往可以判断最大值或最小值在区域D的内部达到，若函数在D内仅有一个驻点，则可以断定该驻点就是最大值点或最小值点. 第25页/共43页27在在周周长长为为p2的的一一切切三三角角形形中中, ,求求出出面面积积最最大大的的三三角角形形. . 设设三三角角形

13、形的的三三条条边边长长分分别别为为zyx, , 则则面面积积为为 )()(zpypxppS , , 约约束束条条件件: : pzyx2 , , 例9解，)2()()(pzyxzpypxppL解得唯一驻点 ，pzyx32 即做成正三角形时面积最大. 第26页/共43页28用用一一根根长长为为p2的的铁铁丝丝做做一一个个网网兜兜边边框框： 圆圆：2223183. 0/ ppRS , ,最最大大. . 三角形中,以正三角形面积为最大: .1925. 09322pp 四边形中,以正方形面积为最大： .25. 04122pp 第27页/共43页29解xyo6 yxD*例10先求函数在D内的驻点， 0)4

14、(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx解方程组 06)268()1 , 2()1 ,2(2 yxyyfAxx4)438()1 , 2()1 ,2(2 xyxxfBxy,82)1 , 2()1 ,2(2 xfCyy,02 ACB,0 A. 4)1 , 2( 是极大值是极大值所以所以 f第28页/共43页30 xyo6 yxD再再求求),(yxf在在 D边边界界上上的的最最值值， 在在边边界界0 x和和0 y上上0),( yxf, 是是极极大大值值 4)1 ,2( f在在边边界界6 yx上上，即即xy 6， 得得 4, 021 xx， ,2|64 xxy,64)2 ,

15、 4( f 比比较较后后可可知知4)1 , 2( f为为最最大大值值, 64)2 , 4( f为最小值., )6(223xx )2)(6(2 xxz)60( x,0)4(6 xxz, )4(),(2yxyxyxfz 第29页/共43页31例11解目目标标函函数数 414380),(yxyxQ ， 约约束束条条件件 4000002000600 yx, , 或或 2000103 yx, , ，)2000103(804143 yxyxL 第30页/共43页32由，)2000103(804143 yxyxL 200010301020036043434141yxyxLyxLyx ，3103 yx，yx1

16、0 ,50,500 yx由实际问题，此即最佳分配方案. 第31页/共43页33设两种产品的需求量设两种产品的需求量21,QQ分别为分别为112 . 024pQ ， 2205. 010pQ ( (21, pp为其价格为其价格),),总成本为总成本为 )(403521QQC , ,问如何定价，才能获取最大利润？问如何定价，才能获取最大利润？ 解法1),(),(21221121QQCQpQpQQL ,139605. 02 . 01232222121 pppp 01 . 01204 . 0322121pLpLpp,12080 21 pp例12因驻点唯一，且由问题的实际含义可知必有最大利润， 第32页/

17、共43页34设两种产品的需求量设两种产品的需求量21,QQ分别为分别为112 . 024pQ ， 2205. 010pQ ( (21, pp为其价格为其价格),),总成本为总成本为 )(403521QQC , ,问如何定价，才能获取最大利润？问如何定价，才能获取最大利润？ 因驻点唯一，且由问题的实际含义可知必有最大利润， 解法2CpQpQQQL 221121),(,3520160580222211 QQQQ0108011 QLQ,8 1 Q04016022 QLQ,4 2 Q212211404035)20200()5120(QQQQQQ ,80 1 p,120 2 p例12第33页/共43页3

18、5P317 习题八第34页/共43页36第35页/共43页37例 价格与供给量的观察数据见下表：x (元元) 2 3 4 5 6 810 12 14 16y (吨吨) 15 20 25 30 35 45 60 80 80 110散点图由图可以看出，x 与 y 之间存在一定的相关关系，且这种关系是线性关系.02040608010012005101520第36页/共43页38,bxay niiibxaybaQ12)(),(达到最小.上述估计a,b的方法称为最小二乘法.LSE (Least Square Estimation)求线性经验公式(回归直线方程)使第37页/共43页39ba,的求解的求解： niiibxaybaQ12)(),( 0)(20)(211 niiiiniiixbxaybQbxayaQ niniiiiyxbxaxnynbxnna112)( 称为正规方程组其中 niiniiynyxnx111,1第38页/共43页40 niniiiiyxbxaxnynbxnna112)( 系数行列式 niixxnxnnD