第4章单相正弦交流电路

1、 4.1 it i Im 2 Tit O( () ) + += =tIi sinmfT22=Tf1=t O则有则有 = =TtiTI02d1dtRiT20RTI2= = =TttIT1022mdsin2mI= =同理：同理：2mUU = =2mEE = =4.1.3 初相位与相位差初相位与相位差 it )sin(m + += =tIiO0)(= =+ += =tt )sin(1m + += =tUu)()(21 + + + += =tt21 = =若若021 = = )sin(2m + += =tIiuiu i Ot = = = =9021 90021= = = = 021 = = = = =

2、 =18021 uituiOtuiuiO uituiOuitui90O（2）不同频率的正弦量比较无意义）不同频率的正弦量比较无意义 （1）两同频率的正弦量之间的相位差为常数，）两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计时的选择起点无关与计时的选择起点无关 ti2i1iO（2）瞬时值表达式）瞬时值表达式)sin(m + += =tUu（1）波形图）波形图（3）相量相量UU = =ut O+j+1Abar O复数表示形式复数表示形式设设A为复数为复数:A =a + jbabarctan= = 22bar+=复数的模复数的模复数的辐角复数的辐角式中式中: cosra = = sinrb= =)sin

3、j(cossinjcos + += =+ += =rr rA由欧拉公式由欧拉公式,2eecosjj + += =2jeesinjj = = jerA = = sinjcosej+ += =可得可得: )(sinm + += =tUu设正弦量设正弦量:相量相量: 表示正弦量的复数称相量表示正弦量的复数称相量 rA = = UUeU= = =j rrrjrbaA= = =+ += =+ += =jesincosj mjmmUeUU= = =)(sinm + += =tIi？= 非正弦量不能用相量表示非正弦量不能用相量表示（3）只有只有同频率同频率的正弦量才能画在同一相量图上的正弦量才能画在同一相量

4、图上 mjmIeI= = =1j111e)jsin(cos UUUU= = =+ += =2j222e)jsin(cos IIII= = =+ += =1 UI2 模模用最大值表示用最大值表示 ，则用符号：，则用符号：mmI U、 实际应用中，模多采用有效值，符号：实际应用中，模多采用有效值，符号：I U、如：已知如：已知)V45(sin220 + += =tuVe220j45m = =UVe2220j45 = =U则则或或 相量图相量图: : 把相量表示在复平面的图形把相量表示在复平面的图形)jsincos(ej + += = = =UUUU相量式相量式: : 90je 旋转旋转 因子：因子

5、：j90sinj90cosej90 = = = = jerA = =2） 相量相量 乘以乘以 ， 将顺时针旋转将顺时针旋转 ，得到，得到CA -j90eA相量相量 乘以乘以 ， 将逆时针旋转将逆时针旋转 ，得到，得到BA1）A 90jeo+1+jA CBV452220 = =U？)V45(sin220 + += =tuVe22045m = =U？)A30(sin24 + += =t？Ae4j30 = =Ij45 )A60(sin10+=ti？V100= =U？Ve100j15= =U？2、已知、已知A6010 = =IV15100 = =U 1U 202U 452U1U 落后于落后于V)45(

6、sin21102+=tuV)20(sin22201+=tu+1+jV202201 + += =UV451102 + += =U1U2U超前超前落后落后例例2: 已知已知)A60sinj60cos11()A30sinj30cos12.7( + + + + = =有效值有效值 I =16.8 A)A 30 (314sin2.7 12 1+=ti )A 60 (314sin211 2=ti。 iii21+=A) 10.9 314(sin216.8 =ti试求：试求：A3012.7 1 = =IA60112 = =IA6011A3012.721 + + = =+ += =IIIA10.916.8j3.

7、18)A-16.5( = = =解：解：设设tUusinm=RUI = =根据欧姆定律根据欧姆定律:iRu =tRU2RtURuisinsinm=tI2tIsinsinm=IU相量图相量图Riu+_0II = =RIUU= = =0iup=（1）瞬时功率）瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积瞬时电压与瞬时电流的乘积tIU2mmsin=)2cos(121mmtIU=结论结论: （耗能元件）（耗能元件）,且随时间变化。且随时间变化。0ptUutIisin2sin2= = =pituOtpOiu=TTtiuTtpTP00d1d1UIttUITT=0)dcos2(11ttIUTTd)2cos(121

8、10mm=IUP = =单位单位:瓦（瓦（W） 2RI= =P RU2=Riu+_pptO)90(sin2 + += =tLI基本关系式基本关系式 = = = =90iu 相位差相位差tiLeuLdd=设设tIisin2=iu+-eL+-LttILud)sind(m=)90(sin2+=tU90utu iiO)90(sin2+=tLIutIisin2=LUI = =LXIU = =则则因此，电感因此，电感L具有通直阻交的作用具有通直阻交的作用f = 0, XL =0，电感电感L视为短路视为短路LfLXL2= = =fLXL2= =L IU=fXLLfLXL2=LX)(jjLXILIU=fLUI

9、 2=UI相量图相量图 90IU超前超前)90(sin2+=tLIutIisin2=根据根据 = =0II = = = =9090LIUULIUIU j90 = = = =则则LXI,fO0d)(2sind1oo= = = = ttUIT1tpTPTT)90(sinsinmm+=ttIUuiptUI2sin=tIUttIU2sin2cossinmmmm=)90(sin2+=tLIutIisin2=p 0分析：分析： 瞬时功率瞬时功率 ：uip=tUI2sin=ui+-ui+-ui+-ui+-+p 0p 0p 0p XC 时，时， 0 ，u 超前超前 i 呈感性呈感性当当 XL XC 时时 ，

10、0 感性感性)XL XC由电压三角形可得由电压三角形可得cosUUR=sinUUx=URUCLUU+ XU=CUIRU( 0 容性容性)XL C时，时，u超前超前i，当当LC时，时，u滞后滞后i，这样分析对吗？这样分析对吗？RLCRu+_Lu+_Cu+_u+_i正误判断正误判断ZUI =？ZUI =Zui =？ZUI=？在在RLC串串联电路中，联电路中， ZUI=？UUUCL= arctan？RXXCL= arctanRCLUUU = arctan？ ？CX+=LXRUI？CLRUUUU+=？CLRuuuu+=？)CLXXRZ+=j(RCL= arctan？ ？CLXXRZ+= = =0II设

11、设UZZZU2122+ += =ZUI= =分压公式分压公式21ZZZ+ += =对于阻抗模一般对于阻抗模一般21ZZZ+ + 注意：注意：IZZIZIZUUU)( 212121+ += =+ += =+ += =UZZZU2111+=+UZ-IU1U2U1Z2Z+-+-I通式通式: + += = =kkkXRZZj解：解：+ +U1U2U1Z2Z+ +- - -+ +- -I3010j58.664)j(92.5)(6.1621 = =+ += = + + += =+ += =ZZZA022301030220 = = = = =ZUIV55.6239.822V55.610.922Vj9)(6.

12、1611 = = = = + += = =IZU同理同理V58103.622Vj4)(2.522 = = = = =IZUj96.161+=Z例例1:1:有两个阻抗有两个阻抗j42.52=Z串联接在串联接在V30220 = =U的电源的电源; ;I和和21UU、并作相量图。并作相量图。1UUI2U58 30 55.6 21UUU+=注意注意 21UUU+ + V58103.6V30220j58.66j42.52122 = = + + = =+ += =UZZZUV55.6239.8V30220j58.66j96.162111 = = + + += =+ += =UZZZU+ +U1U2U1Z2

13、Z+ +- - -+ +- -I下列各图中给定的电路电压、阻抗是否正确下列各图中给定的电路电压、阻抗是否正确？两个阻抗串联时两个阻抗串联时,在什么情况下在什么情况下:21ZZZ+=成立。成立。7=ZU=14V ?10=ZU=70V ?(a)3 4 V1V2 6V8V_U6 8 30V40V(b)V1V2_U2121ZUZUIII+ += =+ += =21111ZZZ+ += =ZUI= =由图（由图（b）可得）可得+U1Z-I2Z1I2I+UZ-IIZZZI2112+=IZZZI2121+=+U-I1I2IRLC2= =RH18= =LF1= =Co010= =Uo6316713266210

14、18105322.jjLjRZ= =+ += = + += =+ += = 5150671581671326010ooo11.j.ZUI = = = = = =o63290331011053211 = = = = = = = = jjCjZ 339033903010ooo22.j.ZUI= = = = = =Ao2174.51.87j1.80.5j3j1.5)(0.5= =+ += =+ + = =+ += =III1I2IIUo74.5o71.6+u-i1i2iR1LCR2 )30314sin(2380o+ += =tuo1153501270314j30j= = + += =+ += =.L

15、RZ o6223710010533141j801j = = = = = = CRZ ooo112367535030380 = = = =.ZUIooo2267833710030380.ZUI= = = = =2888835067302222221121= = + + = =+ += =+ += =.IRIRPPP335867832367oo21.III= =+ + = =+ += = + + = =+ + = =3710053503710053502121ZZZZZ819j40.+ += = = = = =+ + = = =735832674430380819j4030380.ZUI28905

16、84022= = = = =.RIP解解:同理同理+U1Z-I2Z1I2I26.54.4710.511.81650j68j4337105352121 = = = = + + + = =+ + = =ZZZZZA5344A535022011 = = = = =ZUIA3722A3701022022 = = = = =ZUIj431+=Z有两个阻抗有两个阻抗j682=Z它们并联接在它们并联接在V0220 = =U的电源上。的电源上。试求试求:I和和21II、并作相量图。并作相量图。 21III+相量图相量图1IUI2I533726.5 21III+=注意注意A26.549.226.54.47022

17、0 = = = = =ZUI或或A26.549.2A3722A53-44 21 = = + + = =+ += =III思考题：思考题： 下列各图中给定的电路电流、阻抗是否正确下列各图中给定的电路电流、阻抗是否正确？21111ZZZ+=两个阻抗并联时两个阻抗并联时,在什么情况下在什么情况下:成立成立。2=ZI=8A ?2=ZI=8A ?(c)4A4 4A4 A2IA1(d)4A4 4A4 A2IA1 L 与与 C 串联时串联时 u、i 同相同相L 与与 C 并联时并联时 u、i 同相同相 研究谐振的目的，就是一方面在生产上充分利用研究谐振的目的，就是一方面在生产上充分利用谐振的特点，（如在无线

18、电工程、电子测量技术等谐振的特点，（如在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应用）。另一方面又要预防它所产生的许多电路中应用）。另一方面又要预防它所产生的危害危害IU、同相同相由定义，谐振时由定义，谐振时或或CLoo 1= =0arctan=RXXCL即即谐振条件谐振条件CLXX=RURLC+_+_CU+_U+_I根据谐振条件根据谐振条件CLoo1=LULC10= = LCf 210= =或或电路发生谐振的方法：电路发生谐振的方法：（1）电源频率）电源频率 f 一定，调参数一定，调参数L、C 使使 fo= f；（2）电路参数）电路参数LC 一定，调电源频率一定，调电源频率 f，使使 f = f

19、o 或或CfLf00212=RXXRZCL= = + += =22)(可得可得为为当电源电压一定时当电源电压一定时 RUII= = =0 电路呈电阻性，能量全部被电阻消耗，电路呈电阻性，能量全部被电阻消耗， 和和 相相互补偿。即电源与电路之间不发生能量互换互补偿。即电源与电路之间不发生能量互换LQCQIU、0arctan=RXXCL电阻电压电阻电压 UR = Io R = U 00CCLLXIUXIU= = = =电容、电感电压电容、电感电压CLUU=UC 、UL将大于将大于电源电压电源电压URX XCL=当当 时时有有UUU URCL= 由于由于UU UCL= 可能会击穿线圈或电容可能会击穿

20、线圈或电容的的绝缘，因此在电力系统中一般应避免发生串联绝缘，因此在电力系统中一般应避免发生串联谐振，但在无线电工程上，又可利用这一特点达谐振，但在无线电工程上，又可利用这一特点达到选择信号的作用到选择信号的作用RCRLUUUUQCL001 = = = = =令令表征串联谐振电路的谐振质量表征串联谐振电路的谐振质量Q所以串联谐振又称为所以串联谐振又称为电压谐振。电压谐振。QUUCRXIUCC= = = =001 QUURLXIULL= = = =00 与与相互抵消，但其本相互抵消，但其本身不为零，而是电源电压的身不为零，而是电源电压的Q倍倍LUCUILUCUUUR=如如Q=100,U=220V,

21、则在谐振时则在谐振时22000V=QUUUCLQUUUCL= = 有有 阻抗随频率变化的关系阻抗随频率变化的关系 Z0 RZ = = =0 Z0 LXZ0fCXLfXL 2=fcCX 21= =容性容性)(0感性感性)(0f0R)( jCLXXRZ+=22)1(CLRZ + += = )1-()(22CLRUZUI + += = =0I Q大大Q小小0I分析分析谐振电流谐振电流RUI = =0 f0fOZI,ZRLQ0 = =R 0I:0f谐振频率谐振频率:2f下限截止频率下限截止频率:1fQ大大选择性越好，抗干扰能力越强选择性越好，抗干扰能力越强Q小小OIf= 21 当电流下降到当电流下降到

22、0.707Io时所对应的上下限频率之时所对应的上下限频率之差，称差，称通频带通频带。即即00.707 I1f2f0I0ff 接收机的输入电路接收机的输入电路1L：接收天线：接收天线LC：组成谐振电路：组成谐振电路1LLC电路图电路图321eee、 为来自为来自3个不同电台个不同电台(不同频率不同频率)的电动势信号；的电动势信号；调调C，对所需，对所需信号频率产生信号频率产生串联谐振串联谐振CLR1e2e3e1f2f3f等效电路等效电路+-CuQUUIIC=max0最大最大则则LCRCLRLRCLRCZ2+=+=j1j)j(j1)j(j1+U-RCXLXI1ICI因为线圈中的电阻很小，所以在谐振

23、时有因为线圈中的电阻很小，所以在谐振时有RL0)(LCLRCCRLCLZ21j1j1j + += =+ + 则则0100 LC谐谐振振条条件件：或或LCff 210 = =可得出：可得出：LC10）LCLRCCRLCLZ21(j1j1j + += =+ + 由由RCLZ= =0（当满足（当满足 0L R时）时）I00ZURCLUII=0SZIU = =ZZI,00Z0ILfULfRUI020212)(2+=当当 0L R时时01QIIIC= = UCII 11I相量图相量图CfUCfUI00C221=QRLRLf= = = =002 RCLUCfU)2(0 = =000)2(ZUCfUIIC

24、= =已知：已知：85pF25Hm250=CRL、.解：解：rad/s106.8610850.25116150=LCOOZQ、试求：试求：68.625100.25106.86360=RLQ117K 108525100.25-1230=RCLZU-RCXLXI1ICI 电路如图：已知电路如图：已知 R=10 、IC=1A、 1 =45 （ 间的相位角）、间的相位角）、=50Hz、电路处于谐振状态。、电路处于谐振状态。1I,U试计算试计算 I、I1、U、L、C之值，并画相量图。之值，并画相量图。 解：（解：（1）利用）利用相量图求解相量图求解UI相量图相量图1Asin11= = =CCIII 由相

25、量图可知由相量图可知电路谐振，则电路谐振，则1I45A21.41445sin1= = = = =CIIA1= = =CIIRULUCI+U-RCXLXI1ICI V20V2102221= = = =+ += =LXRIU201202= = = = =IUXCF159 21= = =CfXCH0.0318H314102= = = =fXLL10451=R、又因又因10= = = RXL设设V0 = =UUA901 = =CI则则A9014501 + + = =IIC1III+ += =1、功率因数、功率因数（scoZRXjXRZ+=U-ZI的的意义意义 电压与电流的相位差，阻抗的辐角电压与电流的

26、相位差，阻抗的辐角1cossinUIQ =功率功率UIAkV1000NNN=IUS 若用户若用户 则电源可发出的有功功率为则电源可发出的有功功率为 1co=s 若用户若用户 则电源可发出的有功功率为则电源可发出的有功功率为 0.6co=s800kvarsinNN=IUQ则需提供的无功功率为则需提供的无功功率为600kWcosNN=IUPcos1000kWcosNN=IUP无需提供的无功功率无需提供的无功功率（费电）（费电）设输电线和发电机绕组的电阻为设输电线和发电机绕组的电阻为 r要求要求:(、定值定值)时时cosIUP =cosUPI =rIP2=cos（导线截面积）（导线截面积）IS 日常

27、生活中日常生活中多为感性负载多为感性负载-如电动机、日光灯，如电动机、日光灯，其等效电路及相量关系如下图其等效电路及相量关系如下图 IURULU图图+U-RLXI+RU-+-LU感性等效电路感性等效电路A0.182A22040= = = =UPIcosIUP =A0.364A0.522040co= = = = = sUPI40W220V日光灯日光灯 0.5cos= 0.85cos 1cos=cosL LI0)(=R-L-)9090(+纯纯)90(= 日光灯日光灯 （R-L串联电路）串联电路）1cos=0.30.2cos=0cos=0co1s0.90.7cos=0.60.5cos=1ICIIU1

28、 必须保证必须保证原负载的工作状态不变。原负载的工作状态不变。即：即：加至负载上的电压和负载的有功功率不变加至负载上的电压和负载的有功功率不变 在感性负载两端并电容在感性负载两端并电容 cosIcosCIC+U-RLI1I（1）电路的总电流）电路的总电流 ，电路总功率因数，电路总功率因数Icos电路总视在功率电路总视在功率S1cos不变不变感性支路功率因数感性支路功率因数不变不变感性支路的电流感性支路的电流1I1ICIIU11IIU1CIsinsin11IIIC=CUIC= =11sinIsinICI即即sinsin11IICU=CIC+U-RLI1I)tan(tan12 = =UPC sin

29、cossincos11UPUPCU = =思考题思考题:解：解：（1）F656F)tan18(tan53220314101023= = = =C（2）如将）如将 从从0.95提高到提高到1，试问还需并多大，试问还需并多大 的电容的电容C。（1）如将功率因数提高到）如将功率因数提高到 ,需要并多需要并多 大的电容大的电容C,求并求并C前后的线路的电流。前后的线路的电流。一感性负载一感性负载,其功率其功率P=10kW, ，接，接在电压在电压U=220V , =50Hz的电源上的电源上。0.6cos=0.95cos=cos)tan(tan12=UPC0.6cos=即即= 530.95co=s即即=1

30、8并并C前前:A75.6A0.62201010co311= = = = = sUPIF213.6)Ftan0(tan18220314101023= = = =CA47.8A0.952201010cos3= = = = = UPI并并C后后:（2）从从0.95提高到提高到1时所需增加的电容值时所需增加的电容值cos解：解： （1）电源提供的电流为）电源提供的电流为54.54AA0.5220106cos3= = = = = UPI电源的额定电流为电源的额定电流为0.5cosN=已知电源已知电源 UN=220V , =50Hz，SN=10kVA 向向PN=6kW,UN=220V， 的感性负载供电，的

31、感性负载供电，cos45.45AA22010103NNN= = = = =USINII （2）如将）如将 提高到提高到0.9后，电源提供的电流为后，电源提供的电流为cos30.3AA0.9220106cos3= = = = = UPINII Ee 、Ii 、UuX C 、XL 、 RRCLjjVsin2220tu =400,200100,501=CLXX,RRi21ii,I21（2 2）i ,i 、I1I2IU1RCXj-LXjRI1I2I V0220 = =Uj1200)100(j11+ += =+ += =LXRZ140jj2=CXZA330.5A334400220 = = = = =ZU

32、IA59.6-0.89A330.5j400j200100j4002121 = = + + = =+ += =I IZZZI33440240)j32050(j400j200100j400)(j200)(10050 = =+ + += = + + + + += =Z+U-50I1I2I100j200j400- )A33(sin20.5 = =ti所所以以)A59.6(sin20.891=ti)A93.8(sin20.52+=ti同理：同理：A93.80.5A330.5j400j200100j2001002112 = = + + += =+ += =I IZZZI+U-50I1I2I100j200j

33、400- 下图电路中已知：下图电路中已知：I1=10A、UAB =100V，试，试求：总电压表和总电流表的读数求：总电压表和总电流表的读数。题目分析题目分析AB C1V51I2Ij10Aj5I解法一解法一: 故故即：即：V0100AB = =U为参考相量，为参考相量，ABU设设则：则：A45210A)5j5/(1002 = =+ += =IAj10A90101= = = =IA01021 = =+ += =IIIAB C1V51I2Ij10Aj5IVj100)Vj10(L= = = IU所所以以A01021 = =+ += =III因因为为V452100j100V100AB = =+ += =

34、+ += =UUULAB C1V51I2Ij10Aj5I解法二解法二: 利用相量图分析求解利用相量图分析求解相量图相量图ABU设设 为参考相量为参考相量,由相量图可求得：由相量图可求得： I =10 AABU求：求：A、V 的读数的读数已知：已知：I1=10A、 UAB =100V，10A1= =I超超前前1I90ABU A,21055100222= =+ += =I101II452102I45ABUI2滞后滞后AB C1V51I2Ij10Aj5IUL= I XL =100VV =141V由相量图可求得：由相量图可求得：ABU90IUL超超前前100ABU101II452102I100LU45UAB C1V51I2Ij10Aj5IIU、 若正弦量用相量若正