第2章时域离散信号和系统的频域分析

1、第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 2.1 引言引言 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质序列的傅里叶变换的定义及性质 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换信号傅里叶变换之间的关系之间的关系 2.5 序列的序列的Z变换变换 2.6 利用利用Z变换分析信号和系统的频域特性变换分析信号和系统的频域特性 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统

2、的频域分析2.1 引言引言 信号和系统的分析方法有两种信号和系统的分析方法有两种: 时域分析方法、频域分析方法时域分析方法、频域分析方法模拟系统模拟系统时域离散系统时域离散系统时域分析时域分析信号信号连续变量时间的函数连续变量时间的函数序列序列系统系统微分方程微分方程差分方程差分方程频域分析频域分析频域频域变换变换（一维）（一维）傅里叶变换傅里叶变换（CTFT、CFS）傅里叶变换傅里叶变换（DTFT、DFS、DFT）复频域复频域变换变换（二维）（二维）拉普拉斯变换拉普拉斯变换Z变换变换第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质序列的

3、傅里叶变换的定义及性质 2.2.1 序列傅里叶变换的定义序列傅里叶变换的定义 (2.2.1) 表示表示 的频域特性，也称为的频域特性，也称为 的的频谱频谱 FT成立的成立的充分条件充分条件是是x(n)绝对可和：绝对可和： ( ) nx n(2.2.2) jj(e )FT ( )( )ennXx nx nj(e )X( )x n( )x n第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 为求为求FT的反变换，的反变换， 用用ejm乘乘(2.2.1)式两边，式两边， 并在并在 -内对内对进行积分，进行积分， 得到得到()()()( )( )2()jj mj nj mnjm n

4、njm nX eedx n eedx nedednm(2.2.3)(2.2.4) 式中式中 因此因此 jjjIFTeeed1( )()()2nx nXX jj(e )FT ( )( )ennXx nx n(2.2.1) 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析连续信号和离散序列的傅里叶变换的比较连续信号和离散序列的傅里叶变换的比较连续连续离散离散()( )j tX jx t edt 1( )()2j tx tX jed ()( )jj nnX ex n e1( )()2jjnx nX eed 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 例例

5、 2.2.1 设设x(n)=RN(n)， 求求x(n)的的FT 10/2/2/2/2/2/2(1)/2()( )1()1()sin(/ 2)sin(/ 2)Njj nj nNnnj Nj Nj Nj Njj Njjj NX eRn eeeeeeeeeeNe解：解： (2.2.5) 设设N=4， 幅度与相位随幅度与相位随变化曲线如图变化曲线如图2.2.1所示。所示。 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 图图 2.2.1 R4(n)的幅度与相位曲线的幅度与相位曲线 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.2.2 序列傅里叶变换的性质

6、序列傅里叶变换的性质1. FT的的周期性周期性 在定义在定义(2.2.1)式中，式中，n取整数，因此下式成立取整数，因此下式成立 (2)()( ),jjM nnX ex n eM为整数为整数(2.2.6) 因此序列的傅里叶变换是因此序列的傅里叶变换是频率频率的周期函数，周期的周期函数，周期是是2。这样。这样X(ej)可可以展成傅里叶级数，其实以展成傅里叶级数，其实(2.2.1)式式已经是傅里叶级数的形式，已经是傅里叶级数的形式，x(n)是其系数。是其系数。 (2.2.1) jj(e )FT ( )( )ennXx nx n第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析由由

7、FT的周期性进一步分析得到，在的周期性进一步分析得到，在=0和和=2M附近附近的频谱分布应是相同的（的频谱分布应是相同的（M取整数），在取整数），在=0，2, 4, 点上表示点上表示x(n)信号的直流分量；离开这些点愈远，其频率信号的直流分量；离开这些点愈远，其频率愈高，但又是以愈高，但又是以2为周期，那么最高的频率应是为周期，那么最高的频率应是=。 对序列而言，观察其频谱特性时，高低频的概念与模对序列而言，观察其频谱特性时，高低频的概念与模拟信号不一样，只需观察频谱图中的拟信号不一样，只需观察频谱图中的-, 或者或者0，2区区间即可，间即可，0，2处代表低频，处代表低频，处代表高频。处代表高

8、频。 由于由于FT的周期是的周期是2，一般只分析，一般只分析之间或之间或02范围的范围的FT就够了。就够了。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析图图 2.2.2 cosn的波形的波形 1 01234110123456nn( a )( b )12) 12(McosMncosnx(n)=cosm：当当=2M, M取整数时，取整数时，x(n)的序列值如图的序列值如图2.2.2（a）所示，它）所示，它代表一个不随代表一个不随n变化的信号（直流信号）；变化的信号（直流信号）；当当=(2M+1)时，时，x(n)波形如图波形如图2.2.2（b）所示，它代表最高频）所示，它代表

9、最高频率信号，是一种变化最快的正弦信号。率信号，是一种变化最快的正弦信号。 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 2. 线性线性 11221212()( ),()( ),( )( )()()jjjjX eFT x nXeFT x nFT ax nbx naX ebXe那么那么 设设 式中式中a, b为常数为常数 3. 时移时移与与频移频移 设设 X(ej)=FTx(n)，那么那么(2.2.7)0000() ()()( )()j njjnjFT x nneX eFT ex nX e (2.2.8) (2.2.9) 时域位移对应频域的相移时域位移对应频域的相移频域位

10、移对应时域的调制频域位移对应时域的调制 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 4. FT的的对称性对称性 共轭对称共轭对称、共轭反对称共轭反对称及其性质。及其性质。 设序列设序列xe(n)满足下式：满足下式： 则称则称xe(n)为共轭对称序列。为共轭对称序列。 将将xe(n)用其实部与虚部表示：用其实部与虚部表示： 将上式两边将上式两边n用用-n代替，并取共轭，得到代替，并取共轭，得到*ee( )()x nxn(2.2.10)eerei( )( )j( )x nxnxn*eerei()()j()xnxnxn第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系

11、统的频域分析 对比上面两公式，对比上面两公式， 左边相等，左边相等， 因此得到因此得到 因此，对于共轭对称序列：因此，对于共轭对称序列： 实部是偶函数实部是偶函数，虚部是奇函数虚部是奇函数 erer( )()xnxneiei( )()xnxn (2.2.11)(2.2.12)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 类似地，可定义类似地，可定义共轭反对称共轭反对称序列：序列： 将将x0(n)表示成实部与虚部如下式：表示成实部与虚部如下式： 可以得到可以得到 即对于共轭反对称序列：即对于共轭反对称序列： 实部是奇函数实部是奇函数，而虚部是偶函数而虚部是偶函数*oo(

12、)()x nxn (2.2.13)ooroi( )( )j( )x nxnxnoror( )()xnxn oioi( )()xnxn(2.2.14)(2.2.15)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 例例 2.2.2 试分析试分析x(n)=e jn的对称性的对称性 解：解： 将将x(n)的的n用用-n代替，再取共轭得到：代替，再取共轭得到： x*(-n)= e jn 因此因此x(n)=x*(-n)，x(n)是共轭对称序列，如展成实是共轭对称序列，如展成实部与虚部，得到部与虚部，得到 x(n)=cosn+j sinn 上式表明：上式表明： 共轭对称序列的共轭对称

13、序列的实部是偶函数，虚部是奇函数实部是偶函数，虚部是奇函数。 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 序列可用序列可用共轭对称共轭对称与与共轭反对称序列共轭反对称序列之和之和表示，即表示，即 (2.2.16) 式中式中xe(n), xo(n)可以分别用原序列可以分别用原序列x(n)求出，将求出，将(2.2.16)式中的式中的n用用-n代替，再取共轭得到代替，再取共轭得到 (2.2.17) 利用利用(2.2.16)和和(2.2.17)两式，两式， 得到得到 1( ) ( )()21( ) ( )()2eox nx nxnx nx nxn(2.2.18) (2.2.1

14、9) *eo()( )( )xnx nx neo( )( )( )x nx nx n时域：时域：第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 函数函数X(ej)也等于也等于共轭对称部分共轭对称部分和和共轭反对称部分共轭反对称部分之和：之和： (2.2.20) Xe(ej)为为共轭对称部分共轭对称部分，Xo(ej)为为共轭反对称部分，共轭反对称部分， 满足满足 同样有下面公式：同样有下面公式： 1()()()21()()()2jjjejjjoXeX eXeXeX eXe(2.2.23) (2.2.24) j-jee(e)(e)XXjjoo(e)(e)XX 频域：频域：jj

15、je(e)(e)(e)oXXX(2.2.21)(2.2.22)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 (1) 将序列将序列x(n)分成分成实部实部xr(n)与与虚部虚部xi(n) x(n)=xr(n)+jxi(n) 将上式进行将上式进行FT， 得到得到 X(e j)=Xe(e j)+Xo(e j) ()( )( )( )()(jj nerrnjj noiinXeFT x nx n eXeFTjx nxejn式中式中 分两种情况：分两种情况：FT（序列的傅里叶变换）的对称性：（序列的傅里叶变换）的对称性：第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频

16、域分析 上式中，上式中，xr(n)和和xi(n)都是实数序列，容易证明：都是实数序列，容易证明： Xe(ej)具有具有共轭对称性质共轭对称性质， 它的实部是偶函数，虚部是奇函数。它的实部是偶函数，虚部是奇函数。 Xo(ej)具有具有共轭反对称性质共轭反对称性质， 其实部是奇函数，虚部是偶函数。其实部是奇函数，虚部是偶函数。 结论：结论： 序列分成实部与虚部两部分，序列分成实部与虚部两部分， 实部实部对应的对应的FT 具有具有 共轭对称性共轭对称性， 虚部和虚部和j一起一起对应的对应的FT 具有具有 共轭反对称性共轭反对称性。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析(

17、2) 将将序列序列分成分成共轭对称部分共轭对称部分xe(n)和和共轭反对称部分共轭反对称部分xo(n)， 即即 x(n)=xe(n)+xo(n) (2.2.25) 由于：由于： 1( ) ( )()21( ) ( )()2eox nx nxnx nx nxn将上面两式分别进行将上面两式分别进行FT，得到，得到j*jjjeR1FT( )(e)(e)Re(e)(e)2x nXXXXj*jjjoI1FT( )(e)(e)jIm(e)j(e)2x nXXXX第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析因此对因此对 x(n)=xe(n)+xo(n) 式进行式进行FT得到：得到：

18、上式表示：上式表示：序列序列共轭对称部分共轭对称部分xe(n)的的FT 对应着对应着 FT的实部的实部XR(ej)，序列的序列的共轭反对称部分共轭反对称部分xo(n)的的FT 对应着对应着 FT的虚部的虚部(包括包括j)。 jjjRI(e )(e )j(e )XXX(2.2.26)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析序列序列x(n)分成分成实部实部xr(n)与与虚部虚部xi(n)x(n)=xr(n)+jxi(n)将上式进行将上式进行FT， 得到得到序列序列x(n)分成分成共轭对称部分共轭对称部分xe(n)和和共轭反对称部分共轭反对称部分xo(n)x(n)=xe(

19、n)+xo(n)将上式进行将上式进行FT， 得到得到 jjjRI(e )(e )j(e )XXXjjje(e )(e )(e )oXXX第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 分析实因果序列分析实因果序列h(n)的对称性：的对称性： 因为因为h(n)是实序列，其是实序列，其FT只有共轭对称部分只有共轭对称部分He(ej) ，共轭反对称部分共轭反对称部分Ho(ej)为零。为零。 即：即： 所以所以 实序列的实序列的FT的实部是偶函数，虚部是奇函数，的实部是偶函数，虚部是奇函数， 用公式表示为用公式表示为jje(e)(e)HHjj(e )(e)HHjjRR(e)()H

20、HejjII(e)(e)HH 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 h(n) = he(n)+ho(n) he(n) = 1/2h(n)+h(-n) ho(n) = 1/2h(n)-h(-n) 1( ) ( )()21( ) ( )()2eox nx nxnx nx nxn如果如果h(n)是实因果序列，是实因果序列，由于由于所以所以第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 因为因为h(n)是实因果序列，所以是实因果序列，所以he(n)和和ho(n)可用下式表示：可用下式表示： ( )eh n ( ),01( ),021(),02h o

21、nh nnhnn( 2.2.27 ) 0,01( ),021(),02nh nnhnn( )oh n ( 2.2.28 ) 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析实因果序列实因果序列 h(n) 分别用分别用 he(n) 和和 ho(n) 表示为表示为 h(n)= he(n)u+(n) (2.2.29) h(n)= ho(n)u+(n)+h(o)(n) (2.2.30)2,01,00,0nnn( )u n(2.2.31)式中式中第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析例例 2.2.3 x(n)=anu(n); 0a1; 求其偶函数求其偶函

22、数 xe(n) 和奇函数和奇函数xo(n)。 解：解： x(n)=xe(n)+xo(n) 按按(2.2.27)式得到式得到(0),01( ),021(),02xnx n nxn n( )ex n 1,01,021,02nnnanan第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析按照按照(2.2.28)式得到式得到(0),01( ),021(),02xnx n nxn n( )ox n 1,01,021,02nnnanan图图 2.2.3 例例2.2.3图图 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 5. 时域卷积定理时域卷积定理 设设 y(n)

23、 = x(n) * h(n) 则则 Y(e j) = X(e j)H(e j) (2.2.32) ( )( ) ()() ( )( ) ()()( )( )( )( )()()mjj nnmjj kj mkmj kj mkmjjy nx m h nmY eFT y nx m h nm eY eh k ex m eh k ex m eH eX e 令令k=n-m 证明：证明：第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 该定理说明，该定理说明， 两序列卷积的两序列卷积的FT， 服从相乘的关系。服从相乘的关系。 对于对于线性时不变系统线性时不变系统，输出的，输出的FT等于输

24、入信号的等于输入信号的FT乘乘以单位脉冲响应的以单位脉冲响应的FT。 因此求系统的输出信号，可以因此求系统的输出信号，可以 （1）在时域用卷积公式）在时域用卷积公式 y(n)=x(n)*h(n) 计算计算 （2）在频域按照式）在频域按照式 ，求出，求出输出的输出的FT， 再作逆再作逆FT求出输出信号。求出输出信号。 jjj(e )(e )(e )YHX第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 6. 频域卷积定理频域卷积定理 设设 y(n) = x(n)h(n)()()()( ) ( )1( )()21()( )21()()21()*()2jj nnjj nj nnj

25、jnnjjjjY ex n h n ex nH eedeH ex n edH eX edH eH e 则则证明：证明：()11()()*()()()22jjjjjY eX eH eX eH ed 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 7. 帕斯维尔帕斯维尔(Parseval)定理定理222*1( )()21( )( )( )( )()2jnjj nnnnx nX edx nx n x nx nX eed2*1()( )211()()()22jj nnjjjX ex n edX eXedX ed证明：证明：第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统

26、的频域分析 帕斯维尔定理又称能量定理，表明：帕斯维尔定理又称能量定理，表明： 序列的总能量等于其傅里叶变换模平方在一个周期序列的总能量等于其傅里叶变换模平方在一个周期内积分取平均，即内积分取平均，即信号时域的总能量等于频域一周期内信号时域的总能量等于频域一周期内总能量总能量。 表表2.2.1综合了综合了FT的性质，这些性质在分析问题和实的性质，这些性质在分析问题和实际应用中是很重要的。际应用中是很重要的。 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析表表 2.2.1 序列傅里叶变换的性质序列傅里叶变换的性质 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频

27、域分析2.3 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数 及傅里叶变换表示式及傅里叶变换表示式因为周期序列不满足绝对可和的条件，因此它的因为周期序列不满足绝对可和的条件，因此它的FT并并不存在，但由于是周期性的，可以展成离散傅里叶级数，不存在，但由于是周期性的，可以展成离散傅里叶级数，引入奇异函数引入奇异函数()，其，其FT可以用公式表示出来。可以用公式表示出来。( ) nx nj(e )X( )x n( )x n 序列序列 存在傅里叶变换存在傅里叶变换 的的充分条件充分条件是是 绝对可和绝对可和： 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.3 周期序列的离

28、散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数 及傅里叶变换表示式及傅里叶变换表示式 2.3.1 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数 设设 是以是以N为周期的周期序列，由于是周期性为周期的周期序列，由于是周期性的，可以展成傅里叶级数的，可以展成傅里叶级数( )210NjknNkkx na e(2.3.1) 式中式中ak是傅里叶级数的系数。是傅里叶级数的系数。 为求系数为求系数ak， 将上将上式两边乘以式两边乘以 ， 并对并对n在一个周期在一个周期N中求和中求和 2jmnNe( )x n第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析因此因此 上式中，上式中，k和和n均取

29、整数，当均取整数，当k或者或者n变化时，变化时， 是周期为是周期为N的周期函数，的周期函数， 可表示成可表示成222211111()0000021()0( )NNNNNjmnjknjmnjk m nNNNNkknnkknNjk m nNnx n ea eeaee ,0,N kmkm(2.3.2) ( )2101NjknNknax n eN-k1 X(z)存在的条件是存在的条件是|z-1|1， X(z)表达式表明，极点是表达式表明，极点是z=1，单位圆上的，单位圆上的Z变换变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆。因此其傅里叶不存在，或者说收敛域不包含单位圆。因此其傅里叶变换不存在，更不能用变换不存

30、在，更不能用(2.5.4)式求式求FT。 但如果引进奇异函数但如果引进奇异函数()，其傅里叶变换可以表，其傅里叶变换可以表示出来：示出来：jj1(e )(2 )1e kUk 该例说明：该例说明：一个序一个序列的傅里叶变换虽然不存在，但在列的傅里叶变换虽然不存在，但在一定收敛域内一定收敛域内Z变换是存在的变换是存在的。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 2.5.2 序列特性对收敛域的影响序列特性对收敛域的影响 序列的特性决定其序列的特性决定其Z变换收敛域。变换收敛域。 1. 1. 有限长序列有限长序列 如序列如序列 x(n) 满足下式：满足下式： 即序列即序列

31、x(n) 从从n1到到n2序列值不全为零，此范围之序列值不全为零，此范围之外序列值为零，这样的序列称为有限长序列。其外序列值为零，这样的序列称为有限长序列。其Z变换变换为：为： 12( )( )0 x nnnnx n其它其它21( )( )nnn nX zx n z 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 设设x(n)为有界序列，由于是有限项求和，公式收敛为有界序列，由于是有限项求和，公式收敛与否要看与否要看Z的两个特殊取值，的两个特殊取值，0与与。考虑。考虑 项项 对于对于 Z=0 而言，而言，n不能取正值不能取正值 对于对于 Z= 而言，而言，n不能取负值不能

32、取负值21( )( )nnn nX zx n z 即：如果即：如果n10，则收敛域不包括，则收敛域不包括z=0点；点； 如果是因果序列，收敛域包括如果是因果序列，收敛域包括z=点。即：点。即： n10， n20时，时，0|z| n1 0时，时，0 0时，时，0 |z| nz 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析随着随着n1n2线段自左向右移动，收敛域变化顺序依次为：线段自左向右移动，收敛域变化顺序依次为：（1）包含）包含Z=0的圆（不包含的圆（不包含），），（2）既不包含）既不包含Z=0，也不包含，也不包含的环的环（3）不包含）不包含Z=0，包含，包含的圆外区域

33、的圆外区域（4）当）当n1n2重合时，即序列为重合时，即序列为(n)时，收敛域为整个时，收敛域为整个Z平面平面第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析注意注意： 对有限长序列，根据对有限长序列，根据n1、n2两点取值判定两点取值判定Z变换收敛变换收敛域情况时，前提是域情况时，前提是X（z）为如下形式：）为如下形式： 即，即，z的指数是的指数是-n，否则会出现误判，否则会出现误判21( )( ) nnnnX zx n z第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析例例 2.5.2 求求 x(n)=RN(n) 的的Z变换及其收敛域变换及其收敛域解

34、：解： 这是一个这是一个因果有限长序列因果有限长序列，因此收敛域为，因此收敛域为0 |z|。 观察分母：观察分母：z=1是是X(z)的极点，的极点， 观察分子：观察分子：z=1是是X(z)的零点，的零点， 极零点对消，极零点对消，X(z)在单位圆上仍存在。在单位圆上仍存在。 若求若求RN(n)的的DTFT，可将，可将z=ej代入代入X(z)得到，即得到，即 其结果和例题其结果和例题2.2.1中的结果中的结果(2.2.5)公式是相同的。公式是相同的。1101( )( )1NNnnNnnzX zRn zzz(1)/21sin(/2)()1sin/2j Njj NjeNX eee 第第2章章 时域离

35、散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 2. 2. 右序列右序列 右序列是在右序列是在nn1时，序列值不全为零，而其它时，序列值不全为零，而其它nn1，序列值全为零。序列值全为零。 1110( )( )( )( )nnnn nn nnX zx n zx n zx n z第一项：第一项：有限长序列，设有限长序列，设n1-1，其收敛域为，其收敛域为0|z|。第二项：第二项：因果序列，其收敛域为因果序列，其收敛域为Rx-|z|，Rx-是第二项最小的是第二项最小的收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为 Rx-|z|如果是因果序列，收敛域定为如果是因果序列，

36、收敛域定为Rx- |z|。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析例例 2.5.3 求求x(n)=anu(n)的的Z变换及其收敛域变换及其收敛域解：解： 为因果右序列，故收敛域应为为因果右序列，故收敛域应为 Rx- |z|01( )( )1nnnnnnnX za u n za zaz 在收敛域中必须满足在收敛域中必须满足|az-1|a|。 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析3. 3. 左序列左序列 左序列是在左序列是在nn2时，序列值不全为零，而在时，序列值不全为零，而在nn2，序列值全为零的序列。左序列的序列值全为零的序列。左序列

37、的Z变换表示为变换表示为 2( )( )nnnX zx n z 如果如果n20, z=0点收敛，点收敛，z=点不收敛，其收敛域是点不收敛，其收敛域是在某一圆（半径为在某一圆（半径为Rx+）的圆内，即）的圆内，即0|z|0，则收敛域为，则收敛域为 0|z| Rx+ 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析例例 2.5.4 求求 x(n)=anu(n1) 的的Z变换及其收敛域。变换及其收敛域。 解：解： 为左序列，且为左序列，且n2= -1 0, 收敛域应为收敛域应为0|z| Rx+ 11( )(1)nnnnnnnnnX za unza zaz X(z)存在要求存在要求

38、|a-1 z|1，即收敛域为，即收敛域为|z|Rx-，其收敛域为，其收敛域为Rx- |z| Rx+，这是一个环状域；，这是一个环状域； 如果如果Rx+Rx-，两个收敛域没有公共区域，两个收敛域没有公共区域，X(z)没有收敛域，没有收敛域， 因此因此X(z)不存在。不存在。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析例例 2.5.5 x(n)=a|n|，a为实数，求为实数，求x(n)的的Z变换及其收敛域。变换及其收敛域。 解：解： 1010( )nnnnnnnnnnnnnnnX za zaza za za z第一部分收敛域为第一部分收敛域为|az|1，得，得|z|a|-1

39、，第二部分收敛域为第二部分收敛域为|az-1|a|。如果如果|a|1，两部分的公共收敛域为，两部分的公共收敛域为|a|z|a|-1，其，其Z变换为：变换为：21111( ),11(1)(1)azaX zazazazaz|a|z|a|-1 如果如果|a|1，则无公共收敛域，因此，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。不存在。 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 图图 2.5.2 例例2.5.5图图当当0a1时，时，x(n)的波形及的波形及X(z)的收敛域如图的收敛域如图2.5.2所示。所示。 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 2

40、.5.3 2.5.3 逆逆Z Z变换变换已知：序列的已知：序列的Z变换及其收敛域变换及其收敛域求解：序列求解：序列1( )( ),1( )( ),(,)2nxxnnxxcX zx n zRzRx nX z zdzcRRj 序列的序列的Z变换及其逆变换及其逆Z变换：变换：c是是X(z)收敛域中收敛域中一条一条包围原点包围原点的的逆时针逆时针的的闭合曲线闭合曲线第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 1. 1. 用留数定理求逆用留数定理求逆Z Z变换变换 如果如果X(z)zn-1在围线在围线c内的极点

41、用内的极点用zk表示，有留数定理：表示，有留数定理：111( )Res( ),2nnkckX z zdzX z zzj 式中式中 表示被积函数表示被积函数X(z)zn-1在在极点极点z=zk的留数，即的留数，即 逆逆Z变换是围线变换是围线c内所有的极点留数之和内所有的极点留数之和。 1Res( ),nkX z zz计算逆计算逆Z变换的方法有：变换的方法有： 留数法留数法、部分分式展开法部分分式展开法、幂级数法幂级数法（长除法）。（长除法）。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 问题：对于问题：对于N阶极点，需要求阶极点，需要求N-1次导数，麻烦！次导数，麻烦！

42、方法：如果方法：如果c内内有多阶极点，而有多阶极点，而c外外没有多阶极点，可以根没有多阶极点，可以根据留数辅助定理改求据留数辅助定理改求c外的所有极点留数之和外的所有极点留数之和，使问题简化。，使问题简化。 如果如果zk是是N阶极点，则根据留数定理阶极点，则根据留数定理11111Res( ),()( )(1)!kNnNnkkz zNdX z zzzzX z zNdz 如果如果zk是单阶极点，是单阶极点， 则根据留数定理则根据留数定理s11Re ( ),()( )knknkz zzX z zzX z zz 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 F(z)在在z平面上

43、有平面上有N个极点，在收敛域内的封闭曲线个极点，在收敛域内的封闭曲线c将将z平面上极点分成两部分：平面上极点分成两部分：u c内极点内极点，设有，设有N1个，用个，用z1k表示；表示；u c外极点外极点，设有，设有N2个，个，N2=N-N1，用，用z2k表示。表示。121211Re ( ),Re ( ),NNkkkks F z zs F z z 设被积函数用设被积函数用F(z)表示，即表示，即1( )( )nX zzzF 根据留数辅助定理有：根据留数辅助定理有：第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析上式成立的条件是：上式成立的条件是： F(z)的分母阶次应比分子阶

44、次高二阶以上的分母阶次应比分子阶次高二阶以上。(2.5.9) 121211Res ( ),Res ( ),NNkkkkF z zF z z ()(P zXQzz （2.5.9）式成立的条件是）式成立的条件是 NMn+12 即即n a，求其逆，求其逆Z变换变换x(n)。解：解： 先找出先找出F(z)的极点，极点有两个：的极点，极点有两个： z=a; z=0（当（当n0时），时）， 其中其中z=0极点和极点和n的取值有关：的取值有关： n0时，时，n=0不是极点。不是极点。 n 0时，时，z=0是一个是一个n阶极点。阶极点。 因此因此分成分成n0和和n0两种情况求两种情况求x(n)。 111111

45、( )(1)21( )1ncnnx nazzdzjzF zzazza第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析n0 时，时，( )Res ( ), ()nnz azx nF z azaaza n0时，增加时，增加z=0的的n阶极点，采用留数辅助定理求解。阶极点，采用留数辅助定理求解。 检查是否检查是否满足满足式式nNM ，此处，此处na，圆外没有极点，故圆外没有极点，故n0，x(n)=0，所以，原序列为所以，原序列为x(n)=anu(n)图图 2.5.4 例例2.5.6中中n| a-1 |， 对应的对应的x(n)是因果序列；是因果序列； (2) | a | z | a

46、 -1 |， 对应的对应的x(n)是双边序列；是双边序列； (3) | z |a-1|211211( )(1)(1)1()()nnaF zzazazaza zaza原序列是因果序列，无须求原序列是因果序列，无须求n0时的时的x(n)。 当当n0时，时， 围线积分围线积分c内有内有二个极点二个极点z=a和和z=a-1， 因此因此 112211( )Res ( ), Res ( ),(1)(1)()()()(1)()()nnz az annx nF z aF z aazazzazazaaza za zaaa 所以：所以： x(n)=(an-a-n)u(n)。 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分

47、析时域离散信号和系统的频域分析 (2) 收敛域收敛域|z|a| 这种情况原序列是左序列，无须计算这种情况原序列是左序列，无须计算n0情况，情况， 当当n0时，围线积分时，围线积分c内没有极点，因此内没有极点，因此x(n)=0。 当当n0时，时，c内只有一个极点内只有一个极点z=0，且是，且是n阶极点，改求阶极点，改求c外极点留数之和外极点留数之和11221110, ( )Re ( ), Re ( ),(1)(1)()()()()()()()nnz az annnnnx ns F z as F z aazazzazaa zazaa zazaaaaa 所以：所以： x(n)=(a-n-an)u(-

48、n-1)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析(3) 收敛域收敛域|a|z|a-1| 这种情况对应的这种情况对应的x(n)是双边序列。根据被积函数是双边序列。根据被积函数F(z)， 按按n0和和n0两情况分别求两情况分别求x(n)。 n0时，时， c内极点内极点z=a x(n)=ResF(z), a=an n 0 时，时，c内极点有二个，其中内极点有二个，其中z=0是是n阶极点，阶极点， 改求改求c外极点留数，外极点留数，c外极点只有外极点只有z=a-1， 因此因此 x(n)=-ResF(z), a-1=a-n an n0 x(n)= a-n n2。第二部分极点是

49、第二部分极点是z=-3，收敛域应取，收敛域应取|z|3。查表。查表2.5.1得到得到 x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 表表2.5.1 常见序列常见序列Z变换变换 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.5.4Z Z变换的性质和定理变换的性质和定理1 1线性性质线性性质设设 m(n)=ax(n)+by(n)a, b为常数为常数 X(z)=ZTx(n) Rx|z|Rx+Y(z)=ZTy(n) Ry|z|Ry+ 则则

50、 M(z)=ZTm(n)=aX(z)+bY(z) Rm|z|R x-R y+R y- 时，则时，则M(z)不存在。不存在。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 设设 X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+ 则则 如果原序列的收敛域为环形区域，则序列位移不会如果原序列的收敛域为环形区域，则序列位移不会使使Z变换收敛域发生变化。变换收敛域发生变化。 ZT00 ()( ),|nxxx nnzX zRz R 2 2序列的移位性质序列的移位性质第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析3 3序列乘以指数序列的性质序列乘以指数序列的性质设设 X(z

51、)=ZTx(n)Rx|z|Rx+ y(n)=anx(n)a为常数为常数则则 Y(z)=ZTanx(n)=X(a1z)|a|Rx|z|a|Rx+ 证明：证明： 因为因为Rx|a1z|Rx+，得到，得到|a|Rx|z|a|Rx+。 11( )( )( )()()nnnnnY za x n zx n a zX a z本性质又称：本性质又称：序列指数加权，序列指数加权，Z域尺度变换域尺度变换第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析111( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnnndX zddx n zx nzdzdzdznx n zznx n zz ZT

52、 nx ndX zZT nx nzdz 4.4.序列乘以序列乘以n n设设 ( ) ( )( )( )xxxxX zZT x nRzRdX zZT nx nzRzRdz 则则证明证明 本性质又称：本性质又称：序列线性加权，序列线性加权，Z域微分域微分因此因此联系联系()()( )jjdX edX eDTFT nx njjdd 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 设设 X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+ 则则 ZTx*(n)=X*(z*)Rx|z|Rx+ 证明证明ZT*( )( ) ( )()( )()()nnnnnnx nx n zx n zx n zXz

53、 5 5复共轭序列的复共轭序列的ZTZT性质性质第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析设设 x(n)是因果序列，是因果序列，X(z)=ZTx(n)， 则则证明证明 因此因此(0)lim( )zxX z120( )( )(0)(1)(2)nnX zx n zxxzxzlim( )(0)zX zx6 6初值定理初值定理第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析若若x(n)是是因果序列因果序列，其，其Z变换的极点，除可以有一变换的极点，除可以有一个一阶极点在个一阶极点在z=1上，其它极点均在单位圆内，则上，其它极点均在单位圆内，则证明证明因为因

54、为x(n)是因果序列，是因果序列，x(n)=0, n0, 所以所以1lim ( )lim(1)( )nzx nzX z(1)( ) (1)( )nnzX zx nx n z7 7终值定理终值定理10(1)( )lim(1)( )nnmmnmmzX zx mzx m z第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析因为因为(z1)X(z)在单位圆上无极点，上式两端对在单位圆上无极点，上式两端对z=1取极限：取极限：110lim(1)( )lim(1)( )nnznmmzX zx mx mlim (0)(1)(1)nxxx n(0)(1)(2)( )xxxx nlim (1)

55、lim ( )nnx nx n10(1)( )lim(1)( )nnmmnmmzX zx mzx m z第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 终值定理也可用终值定理也可用X(z)在在 z = 1 点的留数表示，因为点的留数表示，因为因此因此 x()=ResX(z), 1 如果在单位圆上如果在单位圆上X(z)无极点，则无极点，则x()=0。1lim(1)( )Res( ),1zzX zX z第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析设设w(n)=x(n)*y(n)X(z)=ZTx(n)Rx-|z|Rx+Y(z)=ZTy(n)Ry-|z|R

56、y+则则 W(z)=ZTw(n)= X(z)Y(z)Rw-|z|Rw+ Rw+= minRx+, Ry+ Rw-= maxRx-, Ry-8 8 时域卷积定理时域卷积定理 ()()()jjjY eX eH e联系：若联系：若( )( )( )y nx nh n则则第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析( ) ( )( )( ) ()( )()( )( )( )( )nnmnmnmmW zZT x ny nx m y nm zx my nm zx m zY zX zY z证明证明 W(z)的收敛域就是的收敛域就是X(z)和和Y(z)的公共收敛域。的公共收敛域。第第2

57、章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析【例【例2.5.9】已知网络的单位脉冲响应】已知网络的单位脉冲响应h(n)=anu(n)，|a|1, 网络输入序列网络输入序列x(n)=u(n)，求网络的输出序列，求网络的输出序列y(n)。解：解：y(n)=h(n)*x(n) 求求y(n)可用两种方法：可用两种方法：u 直接求解线性卷积直接求解线性卷积u Z变换法。变换法。( )( ) ()my nh m x nm010( ) ()1,01mmnnmma u m u nmaana（1）直接求解）直接求解第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 （2） Z

58、变换法变换法( )( )* ( )y nh nx n111( )( ) | |11( ) ( ) | 11nH zZT a u nzaazX zZT u nzz111( )( )( ) 1(1)(1)Y zH zX zzzaz11( )d2j(1)()nczy nzzza第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析由收敛域判定由收敛域判定 y(n)=0n0n0时，时，将将y(n)表示为表示为11( )Res ( ),1Res ( ), nny nY z zY z za1111111nnaaaaa11( )( )1nay nu na第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析

59、时域离散信号和系统的频域分析9 9复卷积定理（复卷积定理（Z Z域卷积定理）域卷积定理）如果如果 ZTx(n)= X(z)Rx|z|Rx+ ZTy(n)= Y(z)Ry|z|Ry+w(n)=x(n)y(n)则则 11d( )( ) ( )2jczW zXYW(z)的收敛域为的收敛域为RxRy|z|Rx+Ry+21d( )( )( )2jczW zYX或或（2.5.24）第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析证明：证明：( )( ) ( )nnW zx n y n z11( )d( )2j1d( )( )2j1d( ) ( )2jnncnncncXy n zzXy

60、nzXY （2.5.24）式中）式中平面上，被积函数的收敛域为平面上，被积函数的收敛域为|max,| min,xxyyzzRRRR第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析由由X(z)的收敛域和的收敛域和Y(z)的收敛域得到：的收敛域得到：因此因此 |xxRRyyzRR|max,| min,xyxyxxyyR RzR RzzRRRR第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析【例【例2.5.10】已知】已知x(n)=u(n)，y(n)=a|n|，0 |a| 1 若若w(n)=x(n)y(n)，求，求W(z) = ZTw(n)。 解解 11( )