自动控制原理课件第七章 状态空间分析设计

1、1第七章 状态空间分析设计在状态空间中以状态向量或状态变量描述系统的方法称为系统的状态空间模型（内部表达）。控制系统的两种基本描述方法： 输入输出描述法经典控制理论 状态空间描述法现代控制理论经典控制理论的特点： (1) 优点：对单入单出系统的分析和综合特别有效。 (2) 缺点：内部的信息无法描述，仅适于单入单出系统。 现代控制理论 (1) 适应控制工程的高性能发展需要，于60年代提出。 (2) 可处理时变、非线性、多输入多输出问题。 (3) 应用方面的理论分支：最优控制、系统辩识，自适应控制2基本概念状态：系统过去、现在和将来的状况。状态变量：状态变量指能确定系统运动状态的最少数目的一组变量

2、。状态向量：若以n个状态变量 做为向量 的分量，则称 为状态向量。状态空间：以状态变量 为基构成的n维空间。状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组称为状态方程。输出方程：系统输出量y(t) 与状态变量、输入量的关系的表达式称为输出方程。 32.5 状态空间模型（现代控制理论）定义在状态空间中以状态向量或状态变量描述系统的方法称为系统的状态空间模型（内部表达）。优点能完全表达出系统的全部状态和性能（内部和外部）能了解系统内部状态的变化特性容易考虑初始条件适用范围广: 时变系统，非线性系统，多输入多输出便于设计4状态方程的一般形式单输入线性定常连续系统式中常系数 与系统特性有

3、关。上式可以写成向量矩阵形式：其中5多输入线性定常连续系统向量矩阵形式为：其中6输出方程：系统输出量与状态变量、输入量的关系称为输出方程。输出量由系统任务确定或给定单输出线性定常连续系统输出方程的一般形式为式中常系数 与系统特性有关。其向量矩阵形式为：多输入多输出系统的输出方程的一般形式为 其向量矩阵形式为：7状态空间表达式： 状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称动态方程。A(t):系统矩阵（状态矩阵）B(t):控制矩阵（输入矩阵）C(t):观测矩阵（输出矩阵）D(t):直接传递矩阵 多输入多输出系统状态空间表达式的一般形式为 单输入单输出系统状态空间表达式的一般形式为8对于线性定

4、常系统来说，状态空间模型的标准形式是 系统 A结构关系图DBC92.5.2 由微分方程建立状态变量表达式步骤：直接根据系统的物理机理建立相应的微分(连续系统）或差分（离散系统）方程组。针对微分方程，定义一组状态变量，建立状态方程，并根据系统输出和状态之间的关系，建立系统的输出方程 。 状态变量的选取 1. 状态变量的选取是非唯一的。 2. 选取方法 （1）可选取初始条件对应的变量或与其相关的变量作为系统的状态变量。 （2）可选取独立储能（或储信息）元件的特征变量或与其相关的变量作为控制系统的状态变量。（如电感电流i、电容电压uc 、质量m 和速度v 等。 10线性微分方程中不含有输入函数导数项

5、的系统的状态空间表达式 选取状态变量：则有：11系统状态空间表达式为：12系统输入量中含有导数项其一般形式为：应选择以下n个变量作为一组状态变量则状态变量如下13其中 令 则有 14将上式改为矩阵向量形式为：其中d=h0bn15一般形式： 当式中bn=0 时，还可以按如下规则选择另一组状态变量。设16d = 0 172.5.3 由传递函数建立状态变量表达式1、设线性定常系统的传递函数为有理真分式 (bn为零)2、传递函数以极点形式给出系统传递函数只有单实极点（没有重极点）系统传递函数含有重实极点情况18 可控标准型 19这种形式的状态空间表达式被称为可观测标准型 可观测标准型20 对角阵标准型

6、(I)写成矩阵形式有对角阵标准型 21 对角阵标准型(II) 如果状态变量选择为那么系统输出则为 同样，经过反拉氏变换并展成矩阵形式有 对角阵标准型 22 约当标准型 称重极点对应的 为约当块 23、由状态空间表达式求传递函数阵若对上式求拉氏变换，并令初始条件为零，则有 整理式得 根据传递函数阵的定义有7.1 状态空间的线性变换回顾系统动态方程建立的过程，无论是从实际物理系统出发，还是从系统方块图出发，还是从系统微分方程或传递函数出发，在状态变量的选取方面都带有很大的人为的随意性，因而求得的系统的状态方程也有很大的人为因素，很大的随意性，因此会得出不同的系统状态方程。所以说系统动态方程是非唯一

7、的。虽然同一实际物理系统，或者同一方块图，或同一传递函数所产生的动态方程各种各样，但其独立的状态变量的个数是相同的，而且各种不同动态方程间也是有一定联系的，这种联系就是变量间的线性变换关系。25如果我们将各变量次序颠倒，即令：将代入该动态方程：(1)26因此有:上式与（1）相同。也就是说（1）与（2）代表的动态方程是一种线性变换的关系。进一步，由于上述非奇异的变换矩阵T可以有无数种，所以系统的动态方程也有无数种。 (2)277.1.1 线性变换 思路：虽然通过非奇异的线性变换，可以求出无数种系统的动态方程，但是有几种标准型对我们特别有用，如可控标准型、可观标准型、对角标准型和约当标准型。 变换

8、前后系数矩阵关系： 代入原状态方程，有 P为nxn的常数非奇异矩阵。7.1.2 线性变换的不变性 线性定常系统的特征方程，特征根与特征向量 线性变换的不变性 1。 传递函数阵的不变性 2。 特征方程和特征值的不变性30系统特征值的不变性及系统的不变量特征值的不变性和系统的不变量3132对线性系统进行非奇异变换的目的: 便于系统分析与综合设计。 系统矩阵对角化、约当化 A,c化为可观测标准型 3. 化可控系统为可控标准型任何一个可控系统，当A，b 不具有可控标准型时，一定可通过适当的变换化为可控标准型。33可控性矩阵一个不具有可控标准型的可控系统，可以通过线性变换化为可控标准型。设34变换阵 P

9、 可由以下计算获得：设变换阵(1)计算()计算35()取出 的最后一行，构成p1行向量选择()构造(5)计算P。7.2 线性定常系统状态方程的解7.2.1 齐次状态方程的解 (1) 幂级数法设解为： 37 拉氏变换法由 两边取拉氏变换， 得 sX(s)-x(0)=AX(s) (sIA)X(s)=x(0) X(s)=(sIA)-1.x(0)两边取拉氏反变换 x(t)= L-1X(s)= L-1(sI-A)-1 x(0) = L-1 (sI-A)-1 x(0)比较前式，有eAt= L-1 (sI-A)-1 397.2.2 状态转移矩阵的性质 (t)=eAt=I+At+(1/2)A2 t 2+(1/

10、k！)Aktk+ (0)=I 初始状态 (2) -1(t)=(-t)， -1(-t)=(t) - 可逆性 -1(t-t0)=(t0-t) (t1t2)=(t1)(t2) =(t2)(t1) - 线性关系 (t) k= (kt) x(t2)=(t2-t1)x(t1)40 则 x(t2)=(t2)x(0)=(t2)-1(t1)x(t1) =(t2)(-t1)x(t1)=(t2-t1)x(t1)（6）(t2-t0)=(t2-t1)(t1-t0) = e (t2-t1)Ae(t1-t 0)A 可分阶段转移 x(t1)=(t1)x(0)(7) e(A+B)t=eAt.eBt=eBt.eAt (AB=BA

11、) e(A+B)teAt.eBteBt.eAt (ABBA)(8) 引入非奇异变换P，(9) 两种常见的状态转移矩阵 41若A阵为m阶的约当阵，若A为n阶对角矩阵,42例7-1 试求如下线性定常系统的状态转移矩阵(t)和状态转移矩阵的逆 。【解】对于该系统，其状态转移矩阵由下式确定由于其逆矩阵为因此 =由于 ,故可求得状态转移矩阵的逆为437.2.3 矩阵转移函数 的计算方法一 直接计算法(矩阵指数函数)可以证明，对所有常数矩阵A和有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的。方法二 线性变换法 （对角线标准形与Jordan标准形法）若可将矩阵A变换为对角线标准形，那么 可由下式给出式中，P是将A对

12、角线化的非奇异线性变换矩阵。类似地，若矩阵A可变换为Jordan标准形，则 可由下式确定出44方法三 拉氏变换法为了求出 ，关键是必须首先求出（sI-A）的逆。一般来说，当系统矩阵A的阶次较高时，可采用递推算法。例7-2 考虑如下矩阵,试用线性变换法和拉氏变换两种方法计算 。 A【解】线性变换法 由于A的特征值为0和-2（ ），故可求得所需的变换矩阵P为 P= 因此，由45拉氏变换法 由于 可得 因此可得：46 例7-3 设有一控制系统，其状态方程为 在t0=0时，状态变量的初值为x1(0) x2(0) x3(0), 试求该方程的解。 4748497.2.4. 非齐次状态方程 的解 直接法（积

13、分法） (2) 拉氏变换法 sX(s)-x(0)=AX(s)+Bu(s) (sI-A)X(s)=x(0)+Bu(s) X(s)=(sI-A)-1x(0)+(sI-A)-1Bu(s)则 x(t)=-1(sI-A)-1x(0)+-1(sI-A)-1Bu(s) (由eAt=-1(sI-A)-1可得) 50例7-4 求下列系统的时间响应，其中，u(t)为t = 0 时作用于系统的单位阶跃函数，即u(t)=1(t)。【解】 对该系统状态转移矩阵为因此，系统对单位阶跃输入的响应为：即如果初始状态为零，即x(0)=0,可将x(t)简化为517.3 线性定常系统的可控性与可观测性分析线性连续系统的可控性与可观

14、性的概念线性连续系统的可控可观判据对偶原理 设线性定常连续系统的状态空间表达式为： 7.3.1 概念52 如果存在一个控制u(t)，能在有限时间间隔to,t1内，使系统从其一初态x(to)转移到任意指定的终态x(t1)，则称此状态x(to)在时刻to是可控的。若x(to)对所有的时刻都是可控的，则称x(to)为一致可控。若系统的每一个状态都可控，称系统为状态完全可（能）控，简称状态可控（只要有一个状态变量不可控，则系统不可控）。1. 可控性定义如果能找到一个无约束的控制向量 ,在有限的时间间隔 内，使任一给定的初始输出 转移到任一最终输出 ,那么称由上式所描述的系统为输出可控的。53 系统在零

15、输入u(t)0作用下，对任意初始时刻to ，若能在有限时间间隔to,tf之内，根据从to到tf对系统输出y(t)的观测值，唯一地确定系统在to时刻的状态x(to) ，则称状态系统x(to)是to时刻可观测的。若状态在所有时刻都是可观测的，称该状态为一致可观测的。 若状态空间中每一个状态都是可观测的，称该系统是状态完全可观测的，简称系统可（能）观测。（只要有一个状态变量不能（可）观测，则系统不可观测）。2. 可观测性定义可控标准型： = -=-1000B,aaaa1000001000010A1n210LLLMMMLL7.3.2. 可控性判据 线性定常连续系统状态完全可控的充要条件是可控性判别阵：

16、 必须满秩。即 （n为系统维数）判据一： 如果系统的状态方程为55试判别其状态的可控性。 解： 例7-5 设系统状态方程为：系统可控！ 例7-6 已知三阶二输入系统状态方程, 试判别其状态的可控性。 不可控！ 56 设线性定常系统具有互异的特征值，则系统可控的充要条件是，系统经非奇异变换后的对角线标准型方程：中， 阵不包含元素全为零的行。判据二: 例7-7 试确定如下几个经非奇异变换后的对角线标准型系统的可控性。 例7-8 试判断下列已经非奇异变换成约当标准型的系统的可控性。 中，与每个约当小块 的最后一行相对应 的 阵 中的所有那些行，其元素不全为零。（若两个约当块有相同特征值，此结论不成立

17、。） 约当标准型 判据三： 判据一: 线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件为可观测性矩阵:2. 可观测性判据必须满秩，即 rankQo=n（n为系统维数）可观测标准型：60例7-9 已知系统的A, C阵如下，试判断其可观性。例7-10 试判别如下系统的可观测性。解：解：61的矩阵 中不包含元素全为零的列。 设线性定常连续系统具有不相等的特征值, 则其状态可观测的充要条件是系统经非奇异变换后的对角线标准型:例7-11 试判别以下系统的状态可观测性. 判据二:62中,与每个约当块 首行相对应的矩阵 中的那些列,其元素不全为零。(如果两个约当块有相同的特征值, 此结论不成立)。 约当标准型判

18、据三: 63例7-12 试判别下列系统的状态可观测性。 64对偶原理下面介绍由提出的对偶原理，该原理揭示了可控性和可观测性之间的关系。考虑由下述状态空间表达式描述的系统 S1：以及由下述状态空间表达式定义的对偶系统S2：对偶原理 当且仅当系统S1状态可观测（状态可控）时，系统S2才是状态可控（状态可观测）的。65证明 对于系统S1：状态可控的充要条件是nnr维可控性矩阵 的秩为n。状态可观测的充要条件是nnm维可观测性矩阵 的秩为n。 对于系统S2：状态可控的充要条件是nnm维可控性矩阵 的秩为n。状态可观测的充要条件是nnr维可观测性矩阵 的秩为n。对比这些条件，可以很明显地看出对偶原理的正

19、确性。利用此原理，一个给定系统的可观测性可用其对偶系统的状态可控性来检检和判断。简单地说，对偶性有如下关系：667.4 线性定常系统的状态反馈和状态观测器状态,输出反馈与极点配置问题的提法可配置条件(极点配置定理)极点配置的算法677.4.1 状态,输出反馈与极点配置状态反馈给定单输入单输出线性定常被控系统选取线性反馈控制律为式中KR1n为状态反馈增益矩阵或线性状态反馈矩阵。下图分别给出了开环控制系统和具有状态反馈的系统的结构图。uBRCyAk- +x(a) 开环控制系统 (b) 闭环反馈控制系统68将控制 代入系统 ，得到由此可见，系统的响应特性将由闭环系统矩阵A-BK的特征值决定。如果矩阵

20、K选取适当，则可使矩阵A-BK构成一个渐近稳定矩阵。矩阵A-BK的特征值即为闭环系统的极点。这种使闭环系统的极点任意配置到所期望位置的问题，称为极点配置问题。69 uxy B C A 输出反馈至状态微分 H-输出反馈 r70可配置条件_极点配置定理考虑线性定常系统假设控制输入u的幅值是无约束的。如果选取控制规律为式中K为线性状态反馈矩阵。定理 (极点配置定理) 线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全部极点的充要条件是，此被控系统状态完全可控。该定理对多变量系统也成立。证明 (对单输入单输出系统) 1、充分性2、必要性71极点配置定理_充分性1. 充分性。 如果线性系统 状态完全可控，一定

21、存在非奇异变换，使其变换为可控标准形。定义非奇异线性变换矩阵P为P=QW，其中Q为可控性矩阵，式中ai为特征多项式的系数：72定义一个新的状态向量如果可控性矩阵Q的秩为n（即系统是状态完全可控的），则矩阵Q的逆存在，并且可将原线性系统 改写为上式为可控标准形。选取一组期望的特征值为 ，则期望的特征方程为73设 由于 ，此时该系统的状态方程为相应的特征方程为因为非奇异线性变换不改变系统的特征值，当利用 u=r-Kx作为控制输入时，相应的特征方程与上式相同，均有如下结果。这是具有线性状态反馈的闭环系统的特征方程，它一定与期望特征方程相等。通过使s的同次幂系数相等，可得74求解上述方程组，得到 的值，则如果系统是状态完全可控的，则通过对应于上式所选取的矩阵K，可任意配置所有的特征值。充分性得证。75极点配置定理_必要性即已知闭环系统可任意配置极点，证明被控系统状态完全可控。现利用反证法证明。先证明如下命题：如果系统不是状态完全可控