离散傅里叶变换PPT学习教案

1、会计学1离散傅里叶变换离散傅里叶变换列，不满足DFT的变换条件。采用的处理方法：在频域中用滤波器滤除高于折叠频率的高频分量，在时域中则是截取有限点进行DFT。结论：用DFT对连续信号进行谱分析是一种近似的分析，近似程度与信号带宽、采样频率和截取的长度有关。第1页/共20页dtdttxFTjfXftjtjaa 2aa(t)ex(t)ex)()( Tp第2页/共20页NFn令f=KF，频域N点采样得 :n令X(jkF)=Xa(k)，xa(nT)=x(n)，代入得 ,)()(102 NnfnTjaaenTxTjfX , ) ( ) (102 NnfnTjaae nTx Tjf X 函数值与区间长度T

2、的乘积和F=fs/N=1/NT=1/Tp ,FT=1/N1 -Nk0 ,)()(102 NnkFnTjaaenTxTjkFX , ) ( ) (102 NnfnTjaae nTx Tjf X 210()( )NjknNanX jkF Tx nTe1 - Nk0 ,)()(102 NnkFnTjaaenTxTjkFX 1-Nk0 DFTx(n),T1N0nNkn2jae)n(xT)k(X第3页/共20页误差现象：(1)分析的结果看不到xa(jf)的全部特性，只能看到N个离散采样点的谱特性，这就是栅栏效应。(2)如果持续时间无限长，分析时要进行截断处理，这样会产生频谱混叠和泄漏现象，使谱分析产生误

3、差。(k)IDFTXaT1)n(xDFTx(n) T)k(Xa第4页/共20页sin()( )athtt用DFT来分析ha(t)的频率响应特性。 由于ha(t)的持续时间为无穷长， 所以要截取一段Tp， 假设Tp=8 s，采样间隔T=0.25 s， 采样点数N=Tp/T=32。 频域采样间隔F=1/NT=0.125 Hz。 则H(k)=TDFTh(n), 0k31 ，其中：h(n)=ha(nT)R32(n)整个频响有波动，高频部分误差较大第5页/共20页频谱分辨率越高。用DFT对连续信号进行谱分析的参数选择原则：n采样频率fs： fs 2 fcn谱分辩率: F= fs /Nn采样点数N的选择：

4、 N 2fc/Fn信号观察时间Tp的选择： Tp 1/F提高F:(1)如保持N不变，必须fs 降低，导致谱分析范围减小；(2) fs 不变，增加采样点数N，即增加Tp第6页/共20页sc样频率为2fc ，所以:频率分辨率提高一倍， 即：F=5 HzTPmin = 1/ F= 1/5 = 0.2s3m a xm in110 .21 0222 5 0 0222 5 0 05 0 01 0ccTsffNFTmax = 1/ 2fc =Nmin = 2fc / F3maxmin110.21022250022250050010ccTsffNFNmin = 2fc / Fm inm in22 5 0 01

5、 0 0 0510 .25pNTs观察时间增加一倍，采样点数增加了一倍第7页/共20页X(k) 是在区间0, 2上的N点等间隔采样。n序列x(n)的傅里叶变换可利用DFT来计算。()( )jjz eX eX z第8页/共20页NDFT周期序列的频谱结构也可以用其主值序列的离散傅里叶变换X(k)来表示(分析)x)kN2w()k(XN2)n(xFT)e(X1N0njw(k)R(k)XDFTx(n)X(k) (n),R(n)xx(n)(-k NN),e)n(x)n(xDFS)k(X1N0nknN2j若且为整数(k)R(k)XDFTx(n) X(k)(n),R(n)xx(n) , (-k ,) ()(

6、 ) (NN若且为整数102NnknNje n xn xDFSk X(k)R(k)XDFTx(n)X(k) (n),R(n)xx(n)(-k NN),e )n( x)n( xDFS)k(X1N0nknN2j若且为整数(k)R(k)XDFTx(n)X(k) (n),R(n)xx(n)(-k NN),e)n(x)n(xDFS)k(X1N0nknN2j若且为整数x (n) 第9页/共20页令：n=n+rN，r=0,1,m-1，n=0,1N-1,则 整数整数所以整数整数m, 0m),mk(mX,m, 0m, me1m0rm/rk2 jk k (k)X k k M整数整数整数整数由于m, 0m),mk(

7、mX,m, 0m, me1m0rm/rk2 jk k (k)X k k Mx xM(n)= (n)RM(n) 即：M=mN，m为整数截取序列的长度M为 (n)的整数个周期x1mN0nknmN2j1M0nknM2jMe )n(xe )n(x)k(Xrkm2j1m0r1N0nkmNn2j1m0r1N0nkmN)rNn(2jee )n( xe )rNn(x 1m0rrkm2jrkm2j1m0re)mk(Xe )mk(X设：n=n+rN第10页/共20页在其它k值， XM(k)0。(2)X(r)与XM(rm)对应点的频率相等。(3)只要截取(n)整数个周期进行DFT，就可得到它的频谱结构，达到谱分析的

8、目的。( ),( )0,Mkm XX kmk/m=整数k/m整数 (),( )0,MkmXXkm( ),( )0,MkmXX km2102(1 )0()()()()() ()()0 , 1,1MMMk nMMMnmNk nm NnxnxnRnXkD F Txnxnexnekm N X(r)xx第11页/共20页x2M(n)的DFT：x2M(n) = x(n)R2M(n)，X2M(k)= DFTx2M(n)，0k 2M-1;n将2次截取序列的频谱进行分析，是否满足误差要求，若不满足，应加大截取窗长度（增加M值），再将结果进行分析。第12页/共20页)()(4nRnx02)(jeX16点DFT相当

9、于在序列后补零第13页/共20页x(n)=cos n/416点相当于取周期序列的两个周期进行DFT第14页/共20页: 避免措施：采样频率fs2fc，以避免信号在w=处附近的混迭。具体方法是：采样时满足采样定理，采样前对信号进行预滤波，滤去信号中频率高于fs/2的频率分量。第15页/共20页采样。后果：栅栏效应可能漏掉(挡住)大的频谱分量减少栅栏效应的措施：对原序列补0，增大N，以增加采样点；第16页/共20页其中X(ejw)=FTx(n) RN(ejw)=FTRN(n)=e-jw (N-1)/2sin(wN/2) sin(w/2)=RN(w)ej(w)RN(w)w02NN2N矩形窗函数幅度谱主瓣旁瓣第17页/共20页可见，截断后的频谱Y(ejw)与原序列频谱X(ejw)存在差别表现为频谱泄漏：在上图中，原谱线是离散谱线，而截短后，原来的离散谱线向附近展宽，常称这种展宽为泄漏。使谱分辨率F降低。泄漏原因是截取的窗函数有限长。l=-w0-44Y(ejw)N/2加矩形窗后幅度谱 w0-44X(ejw) x(n)=cos(w0n)的频谱RN(w)w02NN2N矩形窗函数幅度频第18页/共20页。窗函数不变