高等代数、线性代数61集合映射线性空间的定义及简单性质

1、第1页 共32页2 2 线性空间的定义线性空间的定义 与简单性质与简单性质3 3 维数维数基与坐标基与坐标4 4 基变换与坐标变换基变换与坐标变换1 1 集合集合映射映射5 5 线性子空间线性子空间7 7 子空间的直和子空间的直和8 8 线性空间的同构线性空间的同构6 6 子空间的交与和子空间的交与和第2页 共32页第3页 共32页把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合集合；常用大写字母常用大写字母A A、B B、C C 等表示集合；等表示集合；当当a a是集合是集合A A的元素时，就说的元素时，就说a a 属于属于A A，记作：记作： ;aA 当

2、当a a不是集合不是集合A A的元素时，就说的元素时，就说a a不属于不属于A A， 记作：记作： .aA 组成集合的这些事物称为集合的组成集合的这些事物称为集合的元素元素 用小写字母用小写字母a a、b b、c c 等表示集合的元素等表示集合的元素 aA或者第4页 共32页集合的表示方法一般有两种：集合的表示方法一般有两种：描述法描述法、列举法列举法 描述法描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质：给出这个集合的元素所具有的特征性质.列举法列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来：把构成集合的全部元素一一列举出来.例例122( , )4, ,Mx y xyx yR 例例2 N ，0,1,2

3、,3,0, 2, 4, 6, 2Z 例例3210, 1,1Mx xxR Mx | x具有性质具有性质P Ma1，a2，an第5页 共32页 如果如果B中的每一个元素都是中的每一个元素都是A中的元素，则称中的元素，则称B是是A的的子集子集，记作，记作 ，（读作，（读作B包含于包含于A）BABA当且仅当当且仅当 xBxA 空集空集：不含任何元素的集合，记为：不含任何元素的集合，记为注意注意： 如果如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称两集合含有完全相同的元素，则称 A与与 B相等相等，记作，记作AB .AB当且仅当当且仅当 且且 ABBA约定：约定： 空集是任意集合空集是任意集合的子集合的子集合

4、.第6页 共32页交交： ； ABx xAxB 且且并并： ABx xAxB 或或显然有，显然有，;ABAAAB 第7页 共32页设设M、M 是给定的两个非空集合，如果有是给定的两个非空集合，如果有 一个对一个对应法则应法则，通过这个法则，通过这个法则对于对于M中的每一个元素中的每一个元素a，都有都有M 中一个唯一确定的元素中一个唯一确定的元素a 与它对应与它对应, 则称则称 为为称称 a 为为 a 在映射在映射下的下的象象，而，而 a 称为称为 a 在映射在映射下的下的M到到M的一个的一个映射映射，记作，记作 : :MM MM 原象原象，记作，记作(a)a 第8页 共32页 设映射设映射 ,

5、 集合集合:MM 称之为称之为M在映射在映射下的下的象象，通常记作，通常记作 Im 集合集合M 到到M 自身的映射称为自身的映射称为M 的一个的一个变换变换 ImM 显然，显然， () ( )Ma aM 第9页 共32页例例1判断下列判断下列M 到到M 对应法则是否为映射对应法则是否为映射 1）Ma，b，c、M 1,2，3,4 ：(a)1，(b)1，(c)2：(a)1,(b)2,(c)3,(c)4：(b)2，(c)4 2）MZ，M Z，：(n)|n|, nZ ：(n)|n|1,nZ （不是不是） （是是） （不是不是） （不是不是） （是是） 第10页 共32页：(a)a0，aM 4）MP，M

6、 ，（，（P为数域）为数域）n nP ：(a)aE， （E为为n级单位矩阵）级单位矩阵）aP 5）M、M 为任意两个非空集合，为任意两个非空集合，a0是是M 中的一个中的一个固定元素固定元素. （是是）（是是）6）MM Px（P为数域）为数域） ：(f (x)f (x)， ( ) f xP x （是是）3）M ，M P，（P为数域）为数域） n nP：(A)|A|，n nAP （是是） 第11页 共32页例例2M是一个集合，定义是一个集合，定义I： I(a)a ，aM 即即 I 把把 M 上的元素映到它自身，上的元素映到它自身，I 是一个映射，是一个映射，例例3 任意一个在实数集任意一个在实数

7、集R上的函数上的函数 yf(x) 都是都是实数集实数集R到自身的映射到自身的映射，即，函数可以看成是，即，函数可以看成是称称 I 为为 M 上的上的恒等映射恒等映射或或单位映射单位映射 映射的一个特殊情形映射的一个特殊情形 第12页 共32页设映射设映射 ， :,:MMMM 乘积乘积 定义为：定义为： (a)(a) aM 即相继施行即相继施行和和的结果，的结果， 是是 M 到到 M 的一个的一个 映射映射 对于任意映射对于任意映射 ，有，有 :MM MMII 设映射设映射:,:,:MMMMMM ， 有有()(). 第13页 共32页设映射设映射:MM 1）若）若ImM，即对于任意，即对于任意y

8、M ，均存在，均存在（或称（或称 为为映上的映上的）；）； 2）若）若M中不同元素的象也不同，即中不同元素的象也不同，即 121212,()()a aMaaaa 若若则则（或（或121212,()(),a aMaaaa 若若），）， 则称则称是是M到到M 的一个的一个单射单射（或称（或称为为11的的）；）； 3）若）若既是单射，又是满射，则称既是单射，又是满射，则称为为双射双射,xM ，使，使 ，则称，则称是是M到到M 的一个的一个满射满射( )yx （或称（或称为为 11对应对应） 第14页 共32页例例4判断下列映射的性质判断下列映射的性质1）Ma，b，c、M 1,2，3：(a)1，(b)

9、1，(c)2 （既不单射，既不单射，也不是满射也不是满射） ：(a)3，(b)2，(c)12）M=Z，M Z，：(n)|n|1,nZ （是满射，但不是单射是满射，但不是单射） 3）Mn nP，M P，（，（P为数域）为数域） ：(A)|A|，n nAP （是满射，但不是单射是满射，但不是单射） （双射双射）第15页 共32页4）MP，M ,n nP P为数域为数域, E为为n级单位矩阵级单位矩阵：(a)aE，aP （是单射，但不是满射是单射，但不是满射） ：(a)a0，aM （既不单射，也不是满射既不单射，也不是满射） 6）MM Px，P为数域为数域：(f (x)f (x)，( ) f xP

10、x （是满射，但不是单射是满射，但不是单射） 7）M是一个集合，定义是一个集合，定义I：I(a)a，aM 8）M=Z，M 2Z，：(n)2n,nZ （双射双射） （双射双射） 5）M、M 为任意非空集合，为任意非空集合， 为固定元素为固定元素 0aM 第16页 共32页对于有限集来说，两集合之间存在对于有限集来说，两集合之间存在11对应对应的充要条的充要条 件是它们所含元素的个数相同；件是它们所含元素的个数相同； 对于有限集对于有限集A及其子集及其子集B，若，若BA（即（即B为为A的真子集），则的真子集），则 A、B之间不可能存在之间不可能存在11对应；对应；但是对于无限集未必如此但是对于无限

11、集未必如此.如例如例4中的中的8），），是是11对应，但对应，但2Z是是Z的真子的真子集集 M=Z，M 2Z，：(n)2n,nZ 第17页 共32页：设映射：设映射:,MM 若有映射若有映射:,MM 使得使得,MMII 则称则称为为可逆映射可逆映射，为为的的逆映射逆映射， 若若为可逆映射，则为可逆映射，则1也为可逆映射，且也为可逆映射，且 （1）11().aa 则则有有:MM 为可逆映射，为可逆映射，aM ，若，若( ),aa 的逆映射是由的逆映射是由唯一确定的唯一确定的记作记作1第18页 共32页 为可逆映射的充要条件是为可逆映射的充要条件是为为11对应对应证：证：若映射若映射:MM为为11

12、对应，则对对应，则对yM 均存在唯一的均存在唯一的xM，使，使(x)y，作对应作对应 :MM( ),( )yxxy这里( )( ( )( )( ),MxxyxIx 则即即MI ； ( )( ( )( )( ),MyyxyIy 则即即MI 为可逆映射为可逆映射 则则是一个是一个M 到到M的映射的映射, 且对且对 ,( ),xMxy 若,( ),yMxx 若若y y= =有有 ( (y y) )= =第19页 共32页11,( )( )yMyyy 对对有有即即, 1( ),( ).xyMyx 使使所以所以为满射为满射. 其次，对其次，对1212,()()x xMxx若，则，则 11111112(

13、)( )( ( )( ( )MxIxxxx 即即为单射为单射.所以所以为为11对应对应1222()()MxIxx 反之，设反之，设 为可逆映射，则为可逆映射，则 : MM 第20页 共32页补充双射（或者11对应）的传递性第21页 共32页小结：n集合的概念我们并不陌生。这里重要的集合的表达和运算。n另外一个重要的是映射。我们要了解映射其实就是一种法则，这种法则使得集合之间的元素产生联系，我们可以说这种联系使得某个集合中的每一个元素有了自己的老师（当然也可以是其他关系）。请你们再去思考：n单射、满射和双射吧。作业：复习集合映射，P268: 1, 2(选一个)第22页 共32页第23页 共32页

14、12121122(,)(,)(,)nnnna aab bbab abab 1212(,)(,)nnk a aakakkakaP 而且这两种运算满足一些重要的规律而且这两种运算满足一些重要的规律, ,如如 对对 空间空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法：，定义了两个向量的加法和数量乘法： 在第三章在第三章2中，我们讨论了数域中，我们讨论了数域P上的上的n维向量维向量0()() ()0 1 ()()k lkl ()klkl()kkk,nPk lP 第24页 共32页同样满足上述这些重要的规律，即对同样满足上述这些重要的规律，即对 ( ), ( ), ( ) ,f xg x h xP xk lP

15、 ( )( )( )( )f xg xg xf x 数域数域P上的一元多项式环上的一元多项式环Px中，定义了两个多中，定义了两个多项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算( )( )( )( )( ( )( )f xg xh xf xg xh x ( ) ( )() ( )k l f xkl f x 1 ( )( )f xf x ( )( )0f xf x ( )0( )f xf x () ( )( )( )kl f xkf xlf x ( )( )( )( )k f xg xkf xkg x 第25页 共32页设设V是一个非空集合，是一个非空集

16、合，P是一个数域，在集合是一个数域，在集合V中中定义了一种代数运算，叫做定义了一种代数运算，叫做加法加法：即：即对，对， ,V 在在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为 的的和和，记为，记为 ；在；在P与与V的元素之间还的元素之间还与 定义了一种运算，叫做定义了一种运算，叫做数量乘法数量乘法：即：即,VkP 在在V中都存在唯一的一个元素中都存在唯一的一个元素与它们对应，称与它们对应，称为为 的的数量乘积数量乘积，记为，记为 如果加法和数量乘如果加法和数量乘k与.k法还满足下述规则，则称法还满足下述规则，则称V为数域为数域P上的上的线性空间线性空间：第2

17、6页 共32页加法满足下列四条规则：加法满足下列四条规则： 1 ()()k lkl 数量乘法与加法满足下列两条规则：数量乘法与加法满足下列两条规则： ()klkl （具有这个性质的元素（具有这个性质的元素0称为称为V的的零元素零元素） 数量乘法满足下列两条规则数量乘法满足下列两条规则 : ()() ()kkk, ,.V k lP 对对 都有都有V中的一个元素中的一个元素，使得，使得 ,V ; ;（称为称为 的的负元素负元素） 0 在在V中有一个元素中有一个元素0，对，对,0V 有有第27页 共32页3 线性空间的判定：线性空间的判定：1 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也凡满足以上八条规则的

18、加法及数量乘法也2线性空间的元素也称为线性空间的元素也称为向量向量，线性空间也称，线性空间也称向量空间向量空间但这里的向量不一定是有序数组但这里的向量不一定是有序数组称为称为线性运算线性运算就不能构成线性空间就不能构成线性空间 运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者第28页 共32页例例1引例引例1, 2中的中的 Pn, Px 均为数域均为数域 P上的线性空间上的线性空间的加法和数量乘法，构成数域的加法和数量乘法，构成数域 P上的一个线性空间，上的一个线性空间，例例2数域数域 P上上 矩阵的全体作成的集合矩阵的全体作成的集合, ,按矩阵按矩阵m n 用用 表示表示m nP 例例3任一数域任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个按照本身的加法与乘法构成一个数域数域P上的线性空间上的线性空间第29页 共32页1、零元素是唯一的零元素是唯一的. 2、 ，的负元素是唯一的，记为，的负元素是唯一的，记为- - V 利用负元素，我们定义利用负元素，我们定义减法减法： () 00,00, ( 1),()kkkk 3、4、如果如果k0，那么，那么k0或或 0. 第30页 共32页证明：数域证明：数域P上的线性空间上的线