矩阵可交换性质

1、矩阵可交换的条件及其性质摘要：矩阵在高等数学中是一个极重要且应用广泛的概念，是线性代数的核心。本文通过对可交换矩阵理论的深入研究，对矩阵的可交换做了深入的探讨，归纳总结了矩阵可交换的条件及性质，给出了与已知矩阵可交换的矩阵的求法.关键词：矩阵；可交换；可交换矩阵The Conditions For The Commutation Of Matrix and Some PropertiesAbstract: Matrix in higher mathematics is a very important and widely used concept, is the core of the li

2、near algebra.This article through to exchange matrix theory research, the matrix interchange to do a further study and summarizes the matrix interchangeable condition and properties are given, and the known matrix can exchange the matrix is introduced. Key words: Matrix； Commutation；The Commutation

3、Of Matrix 目 录1 引言- 1 -2 可交换矩阵的基本定义- 1 -3 矩阵可交换的条件- 1 -3.2 矩阵可交换的几个充要条件- 3 -4 可交换矩阵的性质- 5 -5 与已知矩阵可交换的矩阵的求法- 5 -5.1 定义法- 5 -6 结论（结束语）- 9 -7 致谢- 10 -参考文献- 10 - 1 引言矩阵在高等代数以及线性代数中是一个重要的内容.本文从可交换矩阵的定义出发，通过对矩阵理论的深入研究，总结归纳了矩阵可交换的充分条件、充要条件以及可交换矩阵的一些性质及给出了求可交换矩阵的一些方法，对矩阵理论的研究具有重要的意义（文中的矩阵均指阶实方阵）.2 可交换矩阵的基本定

4、义 一般说来，矩阵的乘法不适合交换律，即，这是由于在乘积中一方面要求第一个因子的列数等于第二个因子的行数，否则没有意义.所以当矩阵有意义时，矩阵未必有意义；另一方面，即使矩阵、都有意义时，它们的级数也未必相等.因为乘积的行数等于第一个因子的行数，列数等于第二个因子的列数.由此我们给出可交换矩阵这一特殊矩阵的定义.定义2.1 对于两个n阶方阵 ,，若,则称方阵与是可交换的。3 矩阵可交换的条件 3.1 矩阵可交换的充分条件 定理3.1.1 （1）设、至少有一个为零矩阵，则、可交换；（2）设、至少有一个为单位矩阵，则、可交换；（3）设、至少有一个为数量矩阵，则、可交换；（4）设、均为对角矩阵，则、

5、可交换；（5）设、均为准对角矩阵，则、可交换；（6） 设是的伴随矩阵，则与可交换；（7）设是可逆矩阵，则与可交换; （8） 设，则、可交换. 证明： （1）对任意矩阵，均有：，表示零矩阵； （2）对任意矩阵，均有：，表示单位矩阵； （3）对任意矩阵，均有：，为任意实数； （4、5）显然成立； （6）； （7）； （8）当时，、均可逆，且为互逆矩阵.定理3.1.2(1) 设,其中,为非零实数,则,可交换;(2) 设,其中为正整数,为非零实数,则,可交换证明(1) 由可得即,故依定理3.1.1得,于是,所以;(2) 由得,故依定理3.1.1得,于是,所以可得定理3.1.3(1) 设可逆,若或或,则

6、,可交换;(2) 设,均可逆, 若对任意实数, 均有,则,可交 换证明(1) 若,由可逆得,从而,故;若,同理可得,故;若,则,故(2) 因,均可逆, 故由得可逆,且,则两边取转置可得.或由两边取逆可得. 3.2 矩阵可交换的几个充要条件 定理3.2.1下列均是A,B可交换的充要条件 ; 证明：（1）由及可证得；（2）由可证得；（3）分别由，两边取转置可证得；（4）分别由，两边取伴随可证得.定理3.2.2 可逆矩阵,可交换的充要条件是.证明 分别由,两边取逆可证得定理3.2.3 ( 1) 设,均为(反) 对称矩阵, 则,可交换的充要条件是为对称矩阵;(2) 设,有一为对称矩阵,另一为反对称矩阵

7、,则,可交换的充要条件是为反对称矩阵证明(1) 设,均为对称矩阵, 由定理3.2.1(3) , ,因此为对称矩阵;若,均为反对称矩阵,则因此也为对称矩阵.仿(1)可证(2) 定理3.2.4 设,均为对称正定矩阵, 则,可交换的充要条件是为对称正定矩阵.证明 充分性由定理3.2.3(1)可得,下面证明必要性 因,为对称正定矩阵,故有可逆矩阵,使,于是,所以为对称正定矩阵, 其特征值全为正数.而与相似, 从而的特征值也全为正数,因此为对称正定矩阵定理3.2.5 ,则与可交换的充分必要条件是、可交换.证明 因,得,所以、可交换.另一方面,所以、可交换.4 可交换矩阵的性质设可交换，则有（1） 其中都

8、是正整数； 证明 （1）由可得 同理可证.（2） ,其中是的多项式，即与的多项式可交换；（3） （4） （矩阵二项式定理）.5 与已知矩阵可交换的矩阵的求法 5.1 定义法 求此类矩阵的基本思路是：按定义，设未知数，列齐次方程组，求通解。 例 求与可交换的矩阵 解 根据定义，设与可交换的二阶矩阵为，即 = ，则有，即解出.所以就是与可交换的矩阵. 5.2 对角矩阵的可交换矩阵的求法 定理5.2.1 若，其中，则与任意同阶方阵可交换；例 设,求所有与可交换的矩阵. 解 设与可交换的矩阵由,得,故所求同样可以求得与可交换矩阵也是定理5.2.2 若，其中，则与可交换的矩阵一定是对角矩阵； 5.3 一

9、般方阵的可交换矩阵的求法 一般地，对于任意的方阵，可化为jordon标准型：其中并且中有一些可以相等.例5 已知10阶方阵的Jordan标准型为即存在可逆,使则的初等因子为设与可交换的矩阵其中为矩阵块,的分块方法与相同,则其他使不为零的上三角形矩阵;又与的最大公因式为所以有4个非零参数.同理与的最大公因式的次数为3,所以和都有3个非零参数以此类推,可将表示成其中啊为非零参数,则与可交换的矩阵由以上求法可以看出,如果阶方阵的特征艮没有重根,则与可交换的矩阵只有数量矩阵和零矩阵例 已知其中两两不等.证明与可交换的矩阵只能是对角矩阵. 证明 设与可交换，并对分别按列（行）分块，记为=，则=， .因为

10、,即=，那么，又因，可见，即是对角矩阵.例 武汉大学 1997 求所有的与相乘可交换的22实矩阵，这里是非零实数. 解 设，且，于是，由 解得为任意实数，所以与可交换的实矩阵为，其中为任意实数.6 结论（结束语）7 致谢参考文献1 同济大学数学系.工程数学线性代数M.5版.北京：高等教育出版社，2007.1 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数M.3版.北京：高等教育出版社，2003.2 杨子胥.高等代数习题解M.济南：山东科技出版社，2001.3 阎家灏, 赵锡英.可交换矩阵J.兰州工业高等专科学校学报.20024布合力且木·阿不都热合木.论可交换矩阵的一些性质J.和田师范专科学校学报.20085 曾梅兰.线性变换及阵矩可交换的性质与应用J. 孝感学院学报.20066 戴立辉等.矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质J.华东地质学院学报.20027 姜景莲.可交换矩阵的性质与求法J.南平师专学报.20038 金辉.矩阵可交换的充要条件J.沈阳师范大学学报.20059 Kailath T. Linear Systems .Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall