第六章超静定

1、6-1 超静定问题概述超静定问题概述(b) 图图a所示静定杆系为减小杆所示静定杆系为减小杆1 ,2中的内力或节点中的内力或节点A的位移的位移( (如图如图b) )而增加了杆而增加了杆3。此时有三个未知内力。此时有三个未知内力FN1 ,FN2 ,FN3，但，但只有二个独立的平衡方程只有二个独立的平衡方程 一次超静定问题一次超静定问题。(b) 图图a所示简支梁为减小内力和位移而如图所示简支梁为减小内力和位移而如图b增加了中间增加了中间支座支座C成为连续梁。此时有四个未知成为连续梁。此时有四个未知约束力约束力FAx, , FA, , FB, , FC，但只有三个独立的静力平衡方程，但只有三个独立的静

2、力平衡方程 一次超静定问一次超静定问题。题。FAFBl(a)FAxABq q(b)l/2l/2CFCFAxABFBFA 解超静定问题的基本思路解超静定问题的基本思路基本静定系基本静定系(primary statically determinate system)解除解除“多余多余”约束约束(例如杆例如杆3与与接点接点A的连接的连接)例例1在基本静定系上加上在基本静定系上加上原有荷载及原有荷载及“多余多余”未知力未知力并使并使“多余多余”约束处约束处满足满足变形变形( (位移位移) )相容相容条件条件 关键步骤关键步骤 相当系统相当系统 (equivalent system)12BCAF AFN

3、3AA FN3ADA 331N32111N3coscos2AElFAElFF 于是可求出多余未知力于是可求出多余未知力FN3 。 由位移相容条由位移相容条件件 ，利利用物理关系用物理关系( (位移或位移或变形计算公式变形计算公式) )可得可得补充方程：补充方程：AA 12BCAF AFN3AA FN3ADA 基本静定系统基本静定系统ABl补充方程为补充方程为048384534 EIlFEIqlC于是可求出多余未知力于是可求出多余未知力FC。FC位移相容条件位移相容条件Cq+CFc=0 相相当系统当系统ABl/2ql例例2超静定梁超静定梁yxl/2l/2CABq 注意事项注意事项 (1) 超静定

4、次数超静定次数=“多余多余”约束数约束数=“多余多余”未知力未知力=位移位移相容条件数相容条件数=补充方程数，因而任何超静定问题都是可以补充方程数，因而任何超静定问题都是可以求解的。求解的。 (2) 求出求出“多余多余”未知力未知力后，超静定结构的内力和位移后，超静定结构的内力和位移等均可利用相当系统进行计算。等均可利用相当系统进行计算。 (3) 无论怎样选择无论怎样选择“多余多余”约束，只要相当系统的受力约束，只要相当系统的受力情况和约束条件确实与原超静定系统相同，则所得最终情况和约束条件确实与原超静定系统相同，则所得最终结果是一样的。结果是一样的。 (4) “多余多余”约束的选择虽然是任意

5、的，但应以计算方便约束的选择虽然是任意的，但应以计算方便为原则。为原则。 如上所示连续梁若取如上所示连续梁若取B处铰支座为处铰支座为“多余多余”约束，则求约束，则求解比较复杂。解比较复杂。xl/2l/2CABqFByxl/2l/2CABq6-2 拉压超静定问题拉压超静定问题. . 拉压超静定基本问题拉压超静定基本问题EAlFlN 求图求图a所示等直杆所示等直杆AB的约束力，并的约束力，并求求C截面的位移。杆的拉压刚度为截面的位移。杆的拉压刚度为EA。例题例题 6-11. 有两个未知约束力有两个未知约束力FA , FB（图（图a），但），但只有一个独立的平衡方程只有一个独立的平衡方程 FAFBF

6、=0故为一次静不定问题。故为一次静不定问题。例题例题 6-1 2. 取固定端取固定端B为为“多余多余”约约束，束，FB为多余未知力。相当系为多余未知力。相当系统如图统如图b所示，它应满足相容所示，它应满足相容条件为条件为 B0，利用叠加法得，利用叠加法得 BF+ BB=0，参见图，参见图c ， d 。例题例题 6-1 3. 利用胡克定律后可得补利用胡克定律后可得补充方程为充方程为 0 EAlFEAFaBlFaFB 由此求得由此求得所得所得FB为正值，表示为正值，表示FB的指向的指向与假设的指向相符，即向上。与假设的指向相符，即向上。例题例题 6-1得得 FA=F- -Fa/l=Fb/l。4.

7、由平衡方程由平衡方程 FA+FB- -F=0例题例题 6-15. 利用相当系统（图利用相当系统（图b）求得）求得 C。 lEAFabEAalFbEAaFAC1. 拉压超静定问题的相当系统应满足变形的相容条件，本拉压超静定问题的相当系统应满足变形的相容条件，本例的相容条件为例的相容条件为 lAC+ lBC0。因为变形和位移在数值。因为变形和位移在数值上密切相关，可用已知的位移条件上密切相关，可用已知的位移条件 B0代替相容条件。代替相容条件。2.小变形的情况下，利用叠加法求位移时，均是利用构件小变形的情况下，利用叠加法求位移时，均是利用构件的的原始尺寸进行计算原始尺寸进行计算的，所以的，所以 B

8、BFBl/EA，而不用，而不用 BBFB(l+ BF)/EA ，A为在为在F力作用下变形后横截面的面力作用下变形后横截面的面积。积。例题例题 6-1 求图求图a所示结构中所示结构中1, 2, 3杆的内力杆的内力FN1 , FN2 , FN3。AB杆为杆为刚性杆，刚性杆，1, 2 , 3杆的拉压刚度均为杆的拉压刚度均为EA。aaaACDB132EFF(a)a例题例题 6-21. 共有五个未知力，如图共有五个未知力，如图b所示，但只有三个独立的静力所示，但只有三个独立的静力平衡方程，故为二次静不定问题。平衡方程，故为二次静不定问题。FN245oFFAyFAxFN1FN3(b)aaaACBD例题例题

9、 6-2解：解： 2. 取取1杆和杆和2杆为杆为AB杆的多余约束，杆的多余约束，FN1和和FN2为多余未为多余未知力。得基本静定系如图知力。得基本静定系如图c。CF3(c)AB例题例题 6-23. 由变形图（图由变形图（图d）可得变形相容条件为）可得变形相容条件为FN2D l2F(d)FN1C l1EFCA l1 l3 l2FBFN2DFN13CD45oC1123122llll (2)(1)例题例题 6-24. 利用胡克定律，由利用胡克定律，由(1)(2)式可得式可得补充方程：补充方程： EAaFEAaFEAaFEAaFN12NN31N2 22 ，解得解得 FN1=2FN3, (3) FN2=

10、2FN1=4FN3 (4)例题例题 6-2FN2D l2F(d)FN1C l1EFCA l1 l3 l2FBFN2DFN13CD45oC1 5. AB杆受力如图杆受力如图b所示，所示，MA=0得得)5(0)3()2(212N3N1N aFaFaFaF联立求解得联立求解得)(12. 121012124)(56. 02101262)(28. 02101233N2N3N1NN3拉拉拉拉拉拉FFFFFFFFFFF FN245oFFAyFAxFN1FN3(b)aaaACBD例题例题 6-2II. 装配应力和温度应力装配应力和温度应力(1) 装配应力装配应力 超静定杆系超静定杆系(结构结构)由于存由于存在

11、在“多余多余”约束，因此如果约束，因此如果各杆件在制造时长度不相匹各杆件在制造时长度不相匹配，则组装后各杆中将产生配，则组装后各杆中将产生附加内力附加内力装配内力装配内力，以，以及相应的及相应的装配应力装配应力。 图图a中所示杆系中所示杆系( (E1A1=E2A2) )中杆中杆3的长度较应有长度的长度较应有长度短了短了 e，装配后各杆的位置将如图中虚线所示。此时，装配后各杆的位置将如图中虚线所示。此时，杆杆3在结点在结点 A 处受到装配力处受到装配力FN3作用作用( (图图b) )，而杆，而杆1, ,2在在汇交点汇交点A 处共同承受与杆处共同承受与杆3相同的装配力相同的装配力FN3作用作用(

12、(图图b) )。(a)求算求算FN3需利用位移需利用位移( (变形变形) )相容条件相容条件( (图图a) )列出补充方程列出补充方程由此可得装配力由此可得装配力FN3，亦即杆，亦即杆3中的装配内力为中的装配内力为eAAAA eAElFAElF 21113N333N3cos2 21113333Ncos2AElAEleF ( (拉力）拉力）(a) 至于各杆横截面上的装配应力只需将装配内力至于各杆横截面上的装配应力只需将装配内力( (轴力轴力) )除以杆的横截面面积即得。除以杆的横截面面积即得。 由此可见，计算超静定杆系由此可见，计算超静定杆系( (结构结构) )中的装配力和装配中的装配力和装配应

13、力的关键应力的关键, ,仍在于根据位移仍在于根据位移( (变形变形) )相容条件并利用物理相容条件并利用物理关系列出补充方程。关系列出补充方程。而杆而杆1和杆和杆2中的装配内力利用图中的装配内力利用图b中右侧的图可知为中右侧的图可知为 压力压力 21113333N2N1Ncos2cos2cos2AElAEleFFF 两根相同的钢杆两根相同的钢杆1、 2，其长度其长度l =200 mm，直径，直径d =10 mm。两端用。两端用刚性块连接在一起如图刚性块连接在一起如图a所示。将长所示。将长度为度为200.11 mm，亦即，亦即 e=0.11 mm的铜杆的铜杆3（图图b）装配在与杆装配在与杆1和杆

14、和杆2对称的位置对称的位置( (图图c) )，求各杆横截面上，求各杆横截面上的应力。已知：铜杆的应力。已知：铜杆3的横截面为的横截面为20 mm30 mm的矩形，钢的弹性模量的矩形，钢的弹性模量E=210 GPa，铜的弹性模量，铜的弹性模量E3=100 GPa。例题例题 6-31. 装配后有三个未知的装配内力装配后有三个未知的装配内力FN1, FN2 , FN3，如图，如图d所示。所示。但平行力系只有二个独立的平衡方程，故为一次静不定问题。但平行力系只有二个独立的平衡方程，故为一次静不定问题。也许有人认为，根据对称关系可判明也许有人认为，根据对称关系可判明FN1=FN2，故未知内力，故未知内力

15、只有二个，但要注意此时就只能利用一个独立的静力平衡方只有二个，但要注意此时就只能利用一个独立的静力平衡方程：程：)1(0201NN3 FFFx(d)所以这仍然是一次静不定问题。所以这仍然是一次静不定问题。例题例题 6-3解：解：2. 变形相容条件变形相容条件( (图图c) )为为这里的这里的 l3是指杆是指杆3在装配后的缩短值，不带负号。在装配后的缩短值，不带负号。)2(31ell 例题例题 6-33. 利用胡克定律由利用胡克定律由(2)式得补充方程式得补充方程)3(33N3N1eAElFEAlF 例题例题 6-34. 联立求解联立求解(1)和和(3)式得式得 所得结果为正，说所得结果为正，说

16、明原先假定杆明原先假定杆1、2的装的装配内力为拉力和杆配内力为拉力和杆3的装的装配内力为压力是正确的。配内力为压力是正确的。 EAAElAeEFAEEAleEAFF21121133333N332NN1例题例题 6-35. 各杆横截面上的装配应力如下：各杆横截面上的装配应力如下：MPa51.19MPa53.743N331N21 AFAF （拉应力）（拉应力）（压应力）（压应力）例题例题 6-31. 求装配内力也是求解静不定问题，其关键仍是根据相求装配内力也是求解静不定问题，其关键仍是根据相容条件建立变形几何方程。容条件建立变形几何方程。2. 以上计算结果表明，很小的制造误差，却产生较大的以上计算

17、结果表明，很小的制造误差，却产生较大的装配应力，从而使构件的承载能力降低。因此，要尽装配应力，从而使构件的承载能力降低。因此，要尽量提高加工精度，减小装配应力的不利影响。量提高加工精度，减小装配应力的不利影响。例题例题 6-3(2) 温度应力温度应力 也是由于超静定杆系存在也是由于超静定杆系存在“多余多余”约束，杆件会因温约束，杆件会因温度变化产生的变形受到限制而产生温度内力及温度应力。度变化产生的变形受到限制而产生温度内力及温度应力。铁路上无缝线路的长钢轨在温度变化时由于不能自由伸缩，铁路上无缝线路的长钢轨在温度变化时由于不能自由伸缩，其横截面上会产生相当可观的温度应力。其横截面上会产生相当

18、可观的温度应力。 两端与刚性支承连接的等截面杆如图两端与刚性支承连接的等截面杆如图a所示。试求当温所示。试求当温度升高度升高 t 时横截面上的温度应力。杆的横截面面积为时横截面上的温度应力。杆的横截面面积为A，材料的弹性模量为材料的弹性模量为E，线膨胀系数为，线膨胀系数为 l。例题例题 6-41. 若若AB杆仅杆仅A端固定，端固定，B端无约束，当温度升高时，只会端无约束，当温度升高时，只会产生纵向伸长产生纵向伸长 lt，而不会产生内力。当，而不会产生内力。当A、B均为固定端均为固定端时，时， lt受到约束不能自由伸长，杆端产生约束力受到约束不能自由伸长，杆端产生约束力FA和和FB。两个未知力，

19、一个平衡方程，为一次静不定问题。两个未知力，一个平衡方程，为一次静不定问题。(b)例题例题 6-4解：解： 2. 以刚性支撑以刚性支撑B为为“多余多余”约束，约束，FB为多余约束未知为多余约束未知力，设基本静定系由于温度升高产生的伸长变形力，设基本静定系由于温度升高产生的伸长变形 lt，由，由“多余多余”未知力未知力FB产生的缩短变形产生的缩短变形 lF分别如图分别如图c、d所示。所示。(c)(d)例题例题 6-43. 变形相容条件是杆的总长度保持不变，即变形相容条件是杆的总长度保持不变，即(1)0 Ftll(c)(d)例题例题 6-44. 将将(2)式代入式代入(1)，得，得EAlFEAlFltllBFltN, (2)0N EAlFltl 补充方程为补充方程为(3)(c)(d)例题例题 6-45. 由由(3)