第13章非正弦周期电流电路和信号的频谱

1、第第12章章 非正弦周期电流电路和信号的频谱非正弦周期电流电路和信号的频谱12-1 12-1 非正弦周期信号非正弦周期信号12-2 12-2 周期函数分解为傅里叶周期函数分解为傅里叶( (Fourier) )级数级数12-3 12-3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率12-4 12-4 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算非正弦非正弦电压或电压或 电流电流12-1 12-1 非正弦周期信号非正弦周期信号1 1、概念、概念 线性电路中，当有一个正弦电源作用或多个同频电源同时线性电路中，当有一个正弦电源作用或多个同频电源同时作用时，电路各部分的稳态电压、电流都是同频的正

2、弦量。作用时，电路各部分的稳态电压、电流都是同频的正弦量。 但在生产实践和科学实验中，通常还会遇到按非正弦规律但在生产实践和科学实验中，通常还会遇到按非正弦规律变动的电源和信号。此时电路中将产生非正弦的电压和电流。变动的电源和信号。此时电路中将产生非正弦的电压和电流。线性线性电路电路同频同频正弦正弦电源电源非正弦信号非正弦信号 几个例子：几个例子： 实际的交流发电机发出实际的交流发电机发出的电压波形；的电压波形； 收音机、电视机收到的收音机、电视机收到的信号电压或电流；信号电压或电流； 应用于自动控制、计算应用于自动控制、计算机等技术领域的脉冲信号。机等技术领域的脉冲信号。同频同频正弦正弦稳态

3、稳态响应响应 非线性非线性电路电路激励激励非正弦非正弦电压或电压或 电流电流 另外，如果电路中存在非线另外，如果电路中存在非线性元件，即使在正弦电源的作用性元件，即使在正弦电源的作用下，电路中也将产生非正弦的电下，电路中也将产生非正弦的电压和电流。压和电流。 非正弦电流可分为周期的和非周期的两种。本章非正弦电流可分为周期的和非周期的两种。本章主要讨论主要讨论在非正弦周期电压、电流或信号的作用下，在非正弦周期电压、电流或信号的作用下，线性电路线性电路的稳态分的稳态分析和计算方法。析和计算方法。2 2、非正弦周期电流、电压波形、非正弦周期电流、电压波形O Ot ti iT T脉冲波形脉冲波形方波电

4、压方波电压O Ot tu uT TO Ot tu uT T2 2T T锯齿波锯齿波3 3、谐波分析法、谐波分析法 线性电路在非正弦周期量作用下的稳态分析方法线性电路在非正弦周期量作用下的稳态分析方法：首先应：首先应用傅里叶级数用傅里叶级数( (Fourier) )展开方法，将非正弦周期激励电压、电展开方法，将非正弦周期激励电压、电流或信号流或信号分解为一系列不同频率的正弦量之和分解为一系列不同频率的正弦量之和，再根据线性电，再根据线性电路的叠加定理，路的叠加定理，分别计算在各个正弦量单独作用下在电路中产分别计算在各个正弦量单独作用下在电路中产生的同频率正弦电流分量和电压分量生的同频率正弦电流分

5、量和电压分量；最后，把所得；最后，把所得分量按时分量按时域形式叠加域形式叠加，就可以得到电路在非正弦周期激励下的稳态电流，就可以得到电路在非正弦周期激励下的稳态电流和电压。和电压。 非正弦非正弦周期量周期量( (激励激励) )不同频率不同频率正弦量的和正弦量的和各个正弦量各个正弦量单独作用下单独作用下的响应分量的响应分量非正弦非正弦稳态量稳态量( (响应响应) )FourierFourier正弦稳态分析正弦稳态分析叠加定理叠加定理？ 谐波分析法的谐波分析法的实质是把非正弦周实质是把非正弦周期电流电路的计算期电流电路的计算化为一系列正弦电化为一系列正弦电流电路的计算。流电路的计算。谐波分析法示意

6、图：谐波分析法示意图：12-2 12-2 周期函数分解为傅里叶周期函数分解为傅里叶( (Fourier) )级数级数 周期电流、电压信号等都可用一个周期函数周期电流、电压信号等都可用一个周期函数f(t)=f(t+kT)来表来表示，式中示，式中T T为周期函数为周期函数f(t)的周期，的周期，k=0=0，1 1，2 2，。若若f(t)满足狄满足狄里赫利条件，则可展开为收敛的傅里叶级数：里赫利条件，则可展开为收敛的傅里叶级数：)sin()cos()(11110tbtaatf )2sin()2cos(1212tbta )sin()cos(11tkbtkakk 1110)sin()cos(kkktkb

7、tkaa 其中各个系数按下式求解：其中各个系数按下式求解： 22)(1)(100TTdttfTdttfTaT TkdttktfTa01)cos()(2 22)cos()(21TTdttktfT 2011)()cos()(1tdtktf )()cos()(111tdtktf, 3 , 2 , 1 k TkdttktfTb01)sin()(2 22)sin()(21TTdttktfT 2011)()sin()(1tdtktf )()sin()(111tdtktf, 3 , 2 , 1 k 1110)sin()cos()(kkktkbtkaatf 工程上傅里叶级数常用另一种形式：工程上傅里叶级数常用

8、另一种形式：)cos()(1110 tAAtfm )2cos(212 tAm )cos(1kkmtkA 110)cos(kkkmtkAA )sin()cos(11tkbtkakk )sin()cos(12212222tkbabtkbaabakkkkkkkk )cos(1kkmtkA , 3 , 2 , 1 k)sin()cos(11tkbtkakk )sin()cos(12212222tkbabtkbaabakkkkkkkk )cos(1kkmtkA 22kkkmbaA kmkAa cos kmkAb sin )/arctan(kkkab 比较可知比较可知00aA T/21 1110)sin(

9、)cos()(kkktkbtkaatf 110)cos()(kkkmtkAAtf 周期函数周期函数f(t)的恒定分量的恒定分量( (或直流分量或直流分量) )cos(111 tAm0A称为称为1 1次谐波次谐波( (或基波分或基波分量量) )，它的周期，它的周期( (或频率或频率) )与原函数与原函数f(t)相同。相同。其他各项其他各项统称为高次谐波，即统称为高次谐波，即2 2次、次、3 3次、次、谐波。谐波。 为了直观地表示一个周期函数分解为傅里叶级数后包含哪为了直观地表示一个周期函数分解为傅里叶级数后包含哪些频率分量以及各分量所占的些频率分量以及各分量所占的“比重比重”，用长度与各次谐波振

10、，用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率的高低顺序把它们依次排列起来，幅大小相对应的线段，按频率的高低顺序把它们依次排列起来，这样得到的图形称为该周期函数的幅度频谱这样得到的图形称为该周期函数的幅度频谱( (图图) )。 由于各谐波的角频率是基波频率的整数倍，所以这种频由于各谐波的角频率是基波频率的整数倍，所以这种频谱是离散的，又称为有线频谱。谱是离散的，又称为有线频谱。O OkmA1 k1 12 13 14 15 如果把各次谐波的初相用相应的线段依次排列，那么得到如果把各次谐波的初相用相应的线段依次排列，那么得到的频谱称为相位频谱。的频谱称为相位频谱。 本书中频谱专指幅度频谱。本书中频

11、谱专指幅度频谱。例例12.112.1 求图示周期性矩形信号求图示周期性矩形信号f(t)的傅里叶级数展开式及其频谱。的傅里叶级数展开式及其频谱。Of (t)TT/2 2t1 tEm- Emf(t)在第一个周期内的表达式为在第一个周期内的表达式为解：解：f (t)=Em 0t (T/2)f (t)=Em (T/2)t T则则0)(100 TdttfTa 2011)()cos()(1tdtktfak 011)()cos(1tdtkEm 211)()cos(1tdtkEm0)()cos(2011 tdtkEm 2011)()sin()(1tdtktfbk 011)()sin(1tdtkEm 211)(

12、)sin(1tdtkEm 011)()sin(2tdtkEm 01)cos(12tkkEm )cos(1 2 kkEm 为奇数为奇数为偶数为偶数kkEkm 40)5sin(51)3sin(31)sin(4)(111 tttEtfm 因此可得因此可得)5sin(51)3sin(31)sin(4)(111 tttEtfm EmEmf (t)t1 Akm1 kO1 13 15 17 mE4 34mE 54mE 74mE谐波合成谐波合成频谱频谱利用函数的对称性计算傅里叶级数展开式中的系数利用函数的对称性计算傅里叶级数展开式中的系数1. f (t)= f (t) )()sin()(111tdtktfbk

13、 011)()sin()(1 tdtktf 011)()sin()(1tdtktf 011)()sin()(1 tdtktf 011)()sin()(1tdtktf 011)()sin()(1 tdtktf 011)()sin()(1tdtktf0 偶函数，关于纵轴对称偶函数，关于纵轴对称Of (t)T/2tT/22. f (t)=f (t) )()cos()(111tdtktfak 011)()cos()(1 tdtktf 011)()cos()(1tdtktf 011)()cos()(1 tdtktf 011)()cos()(1tdtktf 011)()cos()(1 tdtktf 011

14、)()cos()(1tdtktf0 奇函数，关于原点对称奇函数，关于原点对称Of (t)T/2tT/23. 022 kkba奇谐波函数，镜对称奇谐波函数，镜对称)()(2Ttftf Of (t)T/2tT4. 4. 任意一个函数都可以分为两个这样的函数之和：任意一个函数都可以分为两个这样的函数之和：)()()(tftftfoe 其中其中)()(21)(tftftfe )()(21)(tftftfo 偶函数偶函数奇函数奇函数三角函数系及其正交性三角函数系及其正交性1 1、三角函数系、三角函数系,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx三角函数系中任何两个不同的函数

15、的乘积在区间三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在区间, 上的积分等于零。上的积分等于零。2 2、三角函数系的正交性、三角函数系的正交性 0cosnxdx 0sinnxdx), 3 , 2 , 1( n), 3 , 2 , 1( n 0cossinnxdxkx), 3 , 2 , 1,( nk 0coscosnxdxkx), 3 , 2 , 1,(nknk 0sinsinnxdxkx), 3 , 2 , 1,(nknk 12-3 12-3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率1 1、有效值、有效值 对任何一个周期电流对任何一个周期电流 i 的有效值的有效值 I 定义为定义为Tdtt

16、iTI02)(1设非正弦周期电流设非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数可以分解为傅里叶级数 110)cos()(kkkmtkIIti 将将 i 代入有效值公式，则得此电流有效值为代入有效值公式，则得此电流有效值为均方根均方根TkkkmdttkIITI02110 )cos(1TkkkmdttkIITI02110 )cos(1上式中的平方项展开后将含有下列各项：上式中的平方项展开后将含有下列各项：200201IdtITT2201222/)(cos1kkmTkkmIIdttkIT0)cos(21010TkdttkIT0)cos()cos(21011TqqmkkmdttqItkIT)(qk 则则

17、i 的有效值为的有效值为 122023222120kkIIIIIIIi 的有效值为的有效值为 122023222120kkIIIIIII即即非正弦周期电流的有效值等于非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平方恒定分量的平方与与各次谐各次谐波有效值的平方波有效值的平方之和的平方根之和的平方根。 110)cos()(kkkmtkUUtu 122023222120kkUUUUUUU则其有效值为则其有效值为 此结论可以此结论可以推广推广用于其他非正弦周期量。如果非正弦用于其他非正弦周期量。如果非正弦周期电压的表达式为周期电压的表达式为2 2、平均值、平均值以电流以电流 i 为例，其定义如下：为例，其定义

18、如下：dtiTITav0|1即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值。即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值。正弦电流的平均值为正弦电流的平均值为dttTIdttITITmTmav4/00)cos(4| )cos(|1IItTImTm898. 0637. 0)sin(44/0 它相当于正弦电流经过全波整流后的平均值，这是因为它相当于正弦电流经过全波整流后的平均值，这是因为取电流的绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。取电流的绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。3 3、测量仪表的使用、测量仪表的使用 对非正弦周期电流电路的测量，使用不同的测量仪表对非正弦周期电流电路的测量

19、，使用不同的测量仪表将得出不同的结果。将得出不同的结果。磁电系仪表磁电系仪表( (直流仪表直流仪表) )恒定分量恒定分量TidtT01电磁系仪表电磁系仪表有效值有效值TdtiT021全波整流仪表全波整流仪表平均值平均值TdtiT0|14 4、非正弦周期电流电路的平均功率、非正弦周期电流电路的平均功率N N+ +_ _u ui i 110)cos()(kkkmtkUUtu 若若 110)cos()(qiqqmtqIIti 则任意一端口吸收的瞬时功率为则任意一端口吸收的瞬时功率为 )cos()cos(110110 qiqqmkukkmtqIItkUUuip 11011000)cos( )cos(k

20、ukkmqiqqmtkUItqIUIU 1111)cos()cos(qiqqmkukkmtqItkU 该一端口吸收的平均功率定义为该一端口吸收的平均功率定义为 TdttpTP0)(1 11011000)cos( )cos(kukkmqiqqmtkUItqIUIUp 1111)cos()cos(qiqqmkukkmtqItkU 经分析可知经分析可知dttkItkUTIUPkTikkmukkm 101100)cos()cos(1 22211100coscos IUIUIU其中其中2/ 2/kmkkmkIIUU ikukk , 3 , 2 , 1 k结论结论： 非正弦周期电流电路的非正弦周期电流电路

21、的平均功率平均功率等于等于恒定分量构成的功率恒定分量构成的功率和和各次谐波平均功率各次谐波平均功率的代数和。的代数和。注意注意：1)1)不同频率的正弦电压、电流不引起功率消耗。不同频率的正弦电压、电流不引起功率消耗。2)2)对一个电路来说，不同频率的电源产生的功率满足可加性。对一个电路来说，不同频率的电源产生的功率满足可加性。同频率或直流电源所产生的功率不满足可加性。同频率或直流电源所产生的功率不满足可加性。5 5、其他问题、其他问题1) 1) 非正弦周期电流电路无功功率的情况较为复杂，不予讨论。非正弦周期电流电路无功功率的情况较为复杂，不予讨论。2) 2) 非正弦周期电流电路视在功率的定义非

22、正弦周期电流电路视在功率的定义UIS 例例12.212.2Ati)60 3cos(3o1 Ati)45 3cos(3o3 Ati)30 cos(245o2 已知：已知：N N1i2i3iiA A求：电磁系电流表的读数。求：电磁系电流表的读数。解：解：321iiii Attt)45 3cos(3)60 3cos(3)30 cos(245ooo o1603 mIo3453 mIooo315 .5295. 5453603 mmII对三次谐波，有对三次谐波，有Atti)5 .52 3cos(95. 5)30 cos(245 oo AI66. 7)295. 5(45 222 读数读数12-4 12-4

23、非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算谐波分析法的具体步骤：谐波分析法的具体步骤： 1) 1) 把给定的非正弦周期电压或电流分解为傅里叶级把给定的非正弦周期电压或电流分解为傅里叶级数，高次谐波取到哪一项为止，要根据所需准确度的高低数，高次谐波取到哪一项为止，要根据所需准确度的高低而定。而定。 2) 2) 分别求出电源电压或电流的恒定分量及各次谐波分别求出电源电压或电流的恒定分量及各次谐波分量单独作用时的响应。分量单独作用时的响应。对恒定分量，求解时把电容看成对恒定分量，求解时把电容看成开路，把电感看成短路。开路，把电感看成短路。对各次谐波分量可以用相量法求对各次谐波分量可以用相量法求

24、解，但要注意感抗、容抗与频率的关系。解，但要注意感抗、容抗与频率的关系。把各计算结果及把各计算结果及时转换为时域形式。时转换为时域形式。 3) 3) 应用叠加定理，把步骤应用叠加定理，把步骤 2) 2) 计算出的结果计算出的结果在时域在时域内进行叠加内进行叠加，从而求得所需的响应。，从而求得所需的响应。注意注意：不同频率的正弦电流相量或电压相量不能直接相加。：不同频率的正弦电流相量或电压相量不能直接相加。谐波分析法的步骤图示：（分析用相量法，叠加在时域内）谐波分析法的步骤图示：（分析用相量法，叠加在时域内）RLC+_)(tusRLC+_)1(u+_+_)(ku0URL短短C开开+_0U)1(U

25、+_Lj1 Cj11 RLjk1 Cjk11 R)(kU+_ 例例12.312.3L LC C0i+ +)(tu1R2R1i2iVtttu)303cos(7 .70)cos(4 .14110)( o11 已知已知 21)1(LXL 1511)1(CXC 51R 102R求各支路电流。求各支路电流。解：解：电压电压u(t)的的直流分量单独作用直流分量单独作用时的电路如下图所示，时的电路如下图所示，此时电感相当于短路，电容相当于开路。此时电感相当于短路，电容相当于开路。C)0(0I+)0(U1R2R)0(1I)0(2I+ARUI25101)0()0(1 AI0)0(2 AIII2)0(2)0(1)0(0 电压电压u u( (t t) )的的基波分量单独作用基波分量单独作用时的电路如下图所示，时的电路如下图所示，此时应使用相量法进行计算，基波的角频率就是此时应使用相量法进行计算，基波的角频率就是1 1。)1(0I+)1(U1R2R)1(1I)1(2I)1(LX)1(CXVtu)cos(4 .1411)1( VUo)1(0100 250100 o)1(1)1()1(1jjX