第2章_投影理论基础

1、2022-7-31职业技术教育建设类专业系列教材职业技术教育建设类专业系列教材应县职业技术学校22.1 投影法的概述2.2 点的投影2.3 直线的投影2.4 平面的投影2.5 直线与平面、平面与平面的相对位置2.6 换面法一、投影法概述一、投影法概述投影面投影面Pa 投影投影投射线投射线bS 投影中心投影中心A 空间点空间点B 将光线通过物体向选定的平面投影，并在该平面上得到物体影子的方法称为投影法。1. 投影法2. 投影法的分类投影法的分类 中心投影法 正投影法 平行投影法 斜投影法投影法（1）中心投影法中心投影法：投射线汇交于投射中心的投影法。（2）平行投影法斜投影法正投影法投射线相互平行

2、的投影法，称为平行投影法。投影方法投影方法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法直角投影法（正投影法）直角投影法（正投影法）斜角投影法斜角投影法画透视图画透视图画斜轴测图画斜轴测图画工程图样画工程图样及正轴测图及正轴测图1.1.实形性实形性2.2.积聚性积聚性3.3.类似性类似性正投影的特点正投影的特点(3).工程上常用的投影图 1.多面正投影图 2.轴测投影图 3.标高投影图 4.透视投影图（1）多面正投影 优点：能反映物体的实际形状和大小，度量性好，作图简便、在工程中被广泛使用。缺点：是直观性差。主视图主视图俯视图俯视图左视图左视图1.1.1 三面投影与三视图三面投影与三视图XYWYHZ

3、OVHW（2） 轴测投影图 轴测投影作图较繁且量度性不好、但直观较好，容易看懂，所以在工程中常作为辅助图样使用。（3）标高投影图 一般用于不规则曲面的表达。一般用于不规则曲面的表达。（4） 透视图 透视投影图是用中心投影法将物体投射在单一投影面上所得到图形称为透视投影图，简称透视图。透视图直观性较强，但度量性差，作图复杂，所以一般用于绘画和建筑设计中。1 、 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小单一正投影不能完全确定物体的形状和大小三个投影三个投影VWHx0yzy俯视俯视主视主视左视左视YXZO规定规定 : V面保持不动，面保持不动，H面面向下向后向下向后绕绕OX轴旋转轴旋转900，W面面向

4、右向后向右向后绕绕OZ轴旋转轴旋转900。高高长长宽宽长长高高长长宽宽高高宽宽X方向方向作为度量物体作为度量物体长度长度的方向的方向；Y方向方向作为度量作为度量物体物体宽度宽度的方向的方向；Z方向方向作为度量物体作为度量物体高度高度的方向的方向。主视图主视图长、长、高高 俯视图俯视图长、长、宽宽左视图左视图高、高、宽宽OXY ZVWH（3 ）视图的度量性）视图的度量性视图上物体的相对位置视图上物体的相对位置主视图主视图 实体的正面投影实体的正面投影俯视图俯视图 实体的水平投影实体的水平投影左视图左视图 实体的侧面投影实体的侧面投影三等关系三等关系主视俯视长相等且对正主视俯视长相等且对正主视左视

5、高相等且平齐主视左视高相等且平齐俯视左视宽相等且对应俯视左视宽相等且对应长长高高宽宽宽宽长对正长对正宽相等宽相等高平齐高平齐 视图就是将物体向投影面视图就是将物体向投影面投射所得的图形。投射所得的图形。OXY ZVWH上上下下左左右右后后上上下下前前后后左左右右前前上上下下左左右右前前后后上上下下左左右右后后前前上上下下前前后后左左右右 将物体自然放平，一般使将物体自然放平，一般使主要表面与投影面平行主要表面与投影面平行或垂直或垂直，进而确定主视图的投影方向。，进而确定主视图的投影方向。 整体和局部都要符合三视图的投影规律整体和局部都要符合三视图的投影规律 可见轮廓线用可见轮廓线用粗实线粗实线

6、绘制，不可见的轮廓线用绘制，不可见的轮廓线用虚虚线线绘制，当虚线与实线重合时画实线。绘制，当虚线与实线重合时画实线。 特别应注意俯、左视图特别应注意俯、左视图宽相等宽相等和和前、后方位前、后方位关系。关系。4、三视图的绘制、三视图的绘制XYZY1Y2Y1Y2例例1 由物体的立体图画三视图由物体的立体图画三视图主主线型线型前前前前虚线虚线要画要画例例2 画三视图画三视图123要注意宽相等要注意宽相等(1) 作图方法与步聚 根据根据“三等三等”关系关系：正面图和平面图的各个相应部分用：正面图和平面图的各个相应部分用铅垂线对正铅垂线对正( (等长等长) )；正面图和侧面图的各个相应部分用；正面图和侧

7、面图的各个相应部分用水平线拉齐水平线拉齐( (等高等高) )，如图如图3.143.14（b b）； 先画出水平和垂直十字相交线表示投影轴，先画出水平和垂直十字相交线表示投影轴，如图如图3.14(a)3.14(a) 利用利用平面图和侧面图的等宽关系平面图和侧面图的等宽关系，从，从O O点作一条向右下斜点作一条向右下斜的的4545线，然后在平面图上向右引水平线，与线，然后在平面图上向右引水平线，与4545线相线相交后再向上引铅垂线，把平面图中的宽度反映到侧面投交后再向上引铅垂线，把平面图中的宽度反映到侧面投影中去，影中去，如图如图3.143.14（c c）。 三面正投影图的画法图3.14 三面正投

8、影图画图步骤 (2) 三面正投影图中的点、线、面符号 为了作图准确和便于校核，作图时可把所画物为了作图准确和便于校核，作图时可把所画物体上的点、线、面用符号来标注体上的点、线、面用符号来标注（图（图3.153.15）。 一般规定空间物体上的点用大写字母一般规定空间物体上的点用大写字母A A、B B、C C、D D，、表示，面用表示，面用P P、Q Q、R R表示。表示。 点或面的投影用相应的小写字母表示。点或面的投影用相应的小写字母表示。 直线不另注符号，用直线两端点的符号表示，直线不另注符号，用直线两端点的符号表示，如如ABAB直线的正面投影是直线的正面投影是abab。图3.15 正投影图中

9、常用的符号 2.2 点的投影(1)点的正投影是点，在过该点垂直于投影面的投射线的垂足处；(2)如果两点位于某一投影面的同一投射线上，则此两点在该投影面上的投影必定重合。 （重影点） （1 1）两投影面体系的建立）两投影面体系的建立XO 两投影面体系由V面和H面二个投影面构成。V面和H面将空间分成四个分角。处在前、上侧的那个分角称为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。正立投影面正立投影面投影轴投影轴VH水平投影面水平投影面（2 2）点的两面投影图）点的两面投影图HVOXaAa 点的二面投影图是将空间点向二个投影面作正点的二面投影图是将空间点向二个投影面作正投影后，将二个投影面展开在同一

10、个面后得到的。投影后，将二个投影面展开在同一个面后得到的。点点A的正面投影的正面投影点点A的水平投影的水平投影XHVOa aax（3 3）两面投影图的画法）两面投影图的画法HHVOXa aAax 展开时，规定展开时，规定V V面不动，面不动，H H面向下旋转面向下旋转9090 。用投影图。用投影图来表示空间点，其来表示空间点，其实质实质是在同一平面上用点在二个不同是在同一平面上用点在二个不同投影面上的投影来表示点的空间位置。投影面上的投影来表示点的空间位置。HVOXa aAaxXOa aax 点的点的V面投影与面投影与H面投影之间的连线面投影之间的连线aa垂直于投垂直于投影轴影轴0X ；点的一

11、个投影到；点的一个投影到0X投影轴的距离等于空间投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相邻的投影面之间的距离，即点到与该投影轴相邻的投影面之间的距离，即 aax= Aa， aax= Aa 。 （4） 点的两面投影规律通常不画边界2.2.三投影面体系的建立三投影面体系的建立HVXOZYW 三投影面体系由三投影面体系由V V、H H、W W三个投影面构成。三个投影面构成。 H H、V V、W W面将面将空间分成八个分角，处在前、上、左侧的那个分角称为第空间分成八个分角，处在前、上、左侧的那个分角称为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。 （1 1）点

12、的三面投影图）点的三面投影图HVXZYWOA 点的三面投影图是将空间点向三个投影面作正投影后，将三点的三面投影图是将空间点向三个投影面作正投影后，将三个投影面展开在同一个面后得到的。展开时，规定个投影面展开在同一个面后得到的。展开时，规定V V面不动，面不动，H H面面向下旋转向下旋转9090 ，W W面向右旋转面向右旋转9090 。a aa Ha aa VWXOZYWYH（2 2）三投影面体系中点的投影规律）三投影面体系中点的投影规律HVXZYWOayaxazxyza aa a aa XOZYWYHaxayazay 点的V面投影与H面投影之间的连线垂直于0X轴，即aa0X ；点的V面投影与W

13、面投影之间的连线垂直0Z轴，即a a“0Z；点的H面投影到0X轴的距离及点的W面投影到0Z 轴的距离两者相等，都反映点到V面的距离。 长对正 高平齐 宽相等HVXZYWOayaxazxyza aa Ha aa VWXOZYWYHaxayazay3.点的投影与直角坐标的关系 若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标轴，若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用其（则点的空间位置可用其（X、Y、Z）三个坐标来确定，点的投影）三个坐标来确定，点的投影就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。

14、yAxAzA4.特殊点的投影投影面上的点坐标轴上的点1 1个坐标为个坐标为0 0。2 2个坐标为个坐标为0 0。例1 已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。ZYHXYWOa a a例2 已知点A在H面上，点B在W面上，点C在V面上，试求各点的投影。cccbbbccaaObbaaaAaBbCcXOZY5.两点的相对位置a a ab b bBA 两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或坐标大小）来确定的。坐标大小）来确定的。X X坐标值大的点在左；坐标值大的点在左；Y Y坐标值大的点在坐标值大的点在前；前；Z Z坐标值大的点在上。坐

15、标值大的点在上。 XZYWYHOa a ab bb （2 2）重影点）重影点cc(d)da(b)abAB 若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。XYHZYWOc(d)ba(b)acda b c d 判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。加括号表示。 例例3

16、 已知已知A点在点在B点的右点的右10mm、前、前6mm、上、上12mm，求求A点的投影。点的投影。a a aXZYWYHOb bb 12106例题4 已知A点的坐标为x=20mm，y=10mm，z=15mm，即A(20、10、15)，求作A点的三面投影图。axayHayw151020aaa2-3直线的投影直线的投影一般仍为直线，特殊情况下积聚为一点。OXZY直线的投影直线的投影ABbb a b aa ZXa b aOYYa bb 空间任何一直线可由直线上任意两点所确定，直线在某一投影面的投影可由该直线上某两点的同面投影所确定。一、各种位置直线一般位置直线 与三个投影面都倾斜。投影面平行线 平

17、行于某一投影面，对另外两个投影面都倾斜。投影面垂直线 垂直于某一投影面，对另外两个投影面都平行。OXZY （1）一般位置直线ABbbabaaZXabaOYHYWabb投影特性：投影特性：1、a b、 a b 、a b 均均小于实长小于实长 2 、a b、a b 、a b 均倾斜于投影均倾斜于投影轴轴 3 、 不反映不反映 、 、 实角实角一般位置线的判别一般位置线的判别 ： 三个投影三个斜，三个投影三个斜，定是一般位置线。定是一般位置线。 2-3 直线对投影面的相对位置一、特殊位置直线一、特殊位置直线1.1.直线平行于一个投影面直线平行于一个投影面 (1) (1) 水平线水平线 (2) (2)

18、 正平线正平线 (3) (3) 侧平线侧平线2.2.直线垂直于一个投影面直线垂直于一个投影面 (1) (1) 铅垂线铅垂线 (2) (2) 正垂线正垂线 (3) (3) 侧垂线侧垂线3.3.从属于投影面的直线从属于投影面的直线 从属于投影面的直线从属于投影面的直线 从属于投影面的铅垂线从属于投影面的铅垂线 从属于投影轴的直线从属于投影轴的直线二、一般位置直线二、一般位置直线（2） 投影面的平行线 （水平线）XZYOaababb Xa b ab OzYHYWbaAB投影特性：1. ab OX ; ab OYW 2. ab=AB 3. 反映、 角的真实大小XZYO正平线 平行于正面投影面的直线Xa

19、bab baOZYHYWAB 投影特性：投影特性： 1、ab OX ; a b OZ 2、a b =AB 3、反映反映 、 角的真实大小角的真实大小aababbXZYO侧平线 平行于侧面投影面的直线XZOYHYWa b babaAB投影特性：投影特性： 1、a b OZ ; ab OYH 2、a b =AB 3 、反映反映 、 角的真实大小角的真实大小aa b a bb平行线空间位置的判别：平行线空间位置的判别： OXZYZb Xa ba(b)OYHYWa投影特性：投影特性：1、a b 积聚积聚 成一点成一点 2、 a bOX ; a b OY 3、 a b = a b = AB（3）铅垂线

20、垂直于水平投影面的直线ABb a(b)a ab正垂线 垂直于正面投影面的直线OXZY投影特性：投影特性： 1、 a b 积聚积聚 成一点成一点 2 、 ab OX ; a b OZ 3 、 ab = a b =ABABzXab baOYHYWabbababa侧垂线 垂直于侧面投影面的直线OXZYAB投影特性：投影特性： 1、a b 积聚积聚 成一点成一点 2 、 ab OYH ; a b OZ 3 、 ab = a b =ABbaababZXabbaOYHYWab垂直线空间位置的判别垂直线空间位置的判别 ： 一点两直线，定是垂直线；一点两直线，定是垂直线；点在哪个面，垂直哪个面。点在哪个面，垂

21、直哪个面。 1 1、根据下列直线的两面投影，（、根据下列直线的两面投影，（1 1）判断）判断直线对投影面的位置；（直线对投影面的位置；（2 2）作出直线的第）作出直线的第三面投影三面投影（1 1）线线正平正平 分析：由于有两个投影平行于两个坐标轴，该线必平行于一个坐分析：由于有两个投影平行于两个坐标轴，该线必平行于一个坐标面，故为投影面平行线。标面，故为投影面平行线。 正面投影反映实长，故为正平线。正面投影反映实长，故为正平线。 解：补全侧面投影。解：补全侧面投影。 WYHY例题例题线线（2 2）水平水平 分析：由于有两个投影平行于两个坐标轴，该分析：由于有两个投影平行于两个坐标轴，该线必平行

22、于一个坐标面，故为投影面平行线。线必平行于一个坐标面，故为投影面平行线。 水平投影反映实长，故为水平线。水平投影反映实长，故为水平线。 补全水平投影。补全水平投影。 HYWYcdcdd c （3 3）线线侧垂侧垂 分析：一个投影积聚，两个投影同时平行于一分析：一个投影积聚，两个投影同时平行于一根坐标轴。该线必为投影面垂直线。根坐标轴。该线必为投影面垂直线。 侧面投影积聚，故为侧垂线。侧面投影积聚，故为侧垂线。 补全侧面投影。补全侧面投影。 HYWY线线（4 4）一般位置一般位置 分析：三个投影均不平行于轴，故为一般位置线。分析：三个投影均不平行于轴，故为一般位置线。 补全水平投影。补全水平投影

23、。 HYWYghh g gh四、作图四、作图1 1 求直线的实长及对水平投影面的夹角求直线的实长及对水平投影面的夹角 角角2 2 求直线的实长及对正面投影面的夹角求直线的实长及对正面投影面的夹角 角角3 3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角角 例题例题1 1 一般位置线段的实长及其与投影面的夹角|zA-zB |ABABbbaaCXO|zA-zB|XaabbABab|zA-zB|AB|zA-zB|abO三、一般位置线段的实长及对投影面的倾角三、一般位置线段的实长及对投影面的倾角直角三角形法直角三角形法1 求线段的实长及对水平投影面的夹角角2 求线段的实长及对正

24、立投影面的夹角 角a bABABa b|yA-yB|AB|yA-yB|O|yA-yB|yA-yB|3 求线段的实长及对侧立投影面的夹角 角|xA-xB|xA-xB|W 例题例题 求线段求线段ABAB的实长及对的实长及对H H、V V面的夹角面的夹角、。b baaZ实长实长Y实长实长ZY 例例4 已知已知 线段的实长线段的实长AB以及以及ab和和a，求它的正面投影，求它的正面投影ab。aXa bAOBb0bb0bb0b b bb0=|zB-zA| 典型例题典型例题已知等腰三角形已知等腰三角形ABC的斜边为的斜边为AC，顶，顶点点B在直线在直线CD上，试完成三角形上，试完成三角形ABC的两面投影。

25、的两面投影。直线上的点具有两个特性：直线上的点具有两个特性： 1 1 从属性从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。 2 2 定比性定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即A C: C B = a c : c b= a c : c b = a c : c b 利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以

26、在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。断已知点是否在侧平线上。 四、直线上的点ABbbaaXOccCcb Xa abcc 例例5 已知线段已知线段AB的投影图，试将的投影图，试将AB分成分成1：2两段，求分点两段，求分点C的投影。的投影。O 例例6 已知点已知点C在线段在线段AB上，求点上，求点C的正面投影。的正面投影。bXaabccaccbXOABbbaacCcHVO4.2 直线的迹点XAb aa m N n bBM mnOVHa b bam mnn XO 直线与投影面的交点称为迹点。它是属于直线上直线与投影面的交点称为迹点。它是属于直线上的特殊点，既是直线上的点又是投影面上的点。的特殊

27、点，既是直线上的点又是投影面上的点。五、两直线的相对位置五、两直线的相对位置（1）两平行直线在同一投影面上的投影仍平行。）两平行直线在同一投影面上的投影仍平行。 反之，若两反之，若两直线在同一投影面上的投影相互平行，则该两直线平行。直线在同一投影面上的投影相互平行，则该两直线平行。（2）平行两线段之比等于其投影之比。）平行两线段之比等于其投影之比。XbaadbbccABCDXbaabdcdc（1）平行两直线OO（2）相交两直线 两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点属于两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点属于两直线。两直线。 反之，若两直线在同一投影面上的投影相交，且反之，若两直

28、线在同一投影面上的投影相交，且交点属于两直线，则该两直线相交。交点属于两直线，则该两直线相交。bXaabkcddckXBDACKbbaaccddkkOO（3）交叉两直线 凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。 XOBDACbb aa c cdd 211 (2 )21b Xa abc d dc11 (2 )2OdacboYWYHZXaacddcbb例例7 判断两直线的相对位置。判断两直线的相对位置。判断重影点的可见性XOBDACbb aa c cdd (3 )4 1(2)43341 2 12 判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐

29、标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。bbcddcXaa3(4)34121(2)例例8 8 判断两直线重影点的可见性判断两直线重影点的可见性O六、六、垂直两直线的投影垂直两直线的投影AHBCacbcXbacba 互相垂直（相交或交叉）的两直线其中一条为投影面平行线时，则两直线在投影面上的投影必定互相垂直。 反之，若两直线在某一投影面上的投影成直角，且其中一条直线平行于该投影面时，则空间两直线一定垂直。ObbaaOfeefX例9 过点A 作直线直线EF 的垂线AB。 已知等边三角形已知等边三角形ABC的顶点的顶点A，另两点，另两点B和和C在在直线直线MN上，试完成三角形上，试

30、完成三角形ABC的两面投影。的两面投影。2-4 平面的投影平面的投影一、平面的表示法一、平面的表示法1. 几何元素表示平面 用几何元素表示平面有五种形式：（1）不在一直线上的三个点；（2）一直线和直线外一点；（3）相交两直线；（4）平行两直线；（5）任意平面图形。1.1.几何元素表示法几何元素表示法aabcbcbaacbcbaacbcaabcbcabcabcdd用几何元素表示平面有五种形式：用几何元素表示平面有五种形式：（1 1）不在一直线上的三个点；）不在一直线上的三个点；（2 2）一直线和直线外一点；）一直线和直线外一点；（3 3）相交两直线；）相交两直线；（4 4）平行两直线；）平行两直

31、线；（5 5）任意平面图形。）任意平面图形。2.2.各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性1.1.一般位置平面一般位置平面2.2.投影的垂直面投影的垂直面(1)(1)铅垂面铅垂面(2)(2)正垂面正垂面(3)(3)侧垂面侧垂面3.3.投影的平行面投影的平行面(1)(1)水平面水平面(2)(2)正平面正平面(3)(3)侧平面侧平面 一般位置平面一般位置平面abcbacababbaccbacCAB投影特性投影特性 1. abc 、 a b c 、 a b c 均为均为 ABC的类似形的类似形 2. 不反映不反映 、 、 的真实角度的真实角度 铅垂面铅垂面投影特性：投影特性：1、 水平投影水平

32、投影abc积聚为一条直线积聚为一条直线 2 、正面投影、正面投影 a b c 、 侧面投影侧面投影a b c 为为 ABC的类似形的类似形 3 、 abc与与OX、 OY的夹角的夹角反映反映 、 角的真实大小角的真实大小 VWHPPHABCacbababbaccc 正垂面正垂面投影特性：1、 正面投影abc 积聚为一条直线 2 、 水平投影abc、侧面投影abc是 ABC的类似形 3 、 abc与OX、 OZ的夹角反映、 角的真实大小 VWHQQVababbacccAcCabB侧垂面投影特性：投影特性：1、 侧面投影侧面投影a b c 积聚为一条直线积聚为一条直线 2 、 水平投影水平投影ab

33、c、正面投影、正面投影 a b c 为为 ABC的类似形的类似形 3 、 a b c 与与OZ、 OY的夹角的夹角反映反映、角的真实大小角的真实大小 VWHSWSCabABcabbbaaccc水平面水平面VWHCABabcbacabccabbbaacc投影特性：投影特性： 1. a b c 、 a b c 积聚为一条线积聚为一直条线，具有积聚性积聚为一条线积聚为一直条线，具有积聚性 2. 水平投影水平投影abc反映反映 ABC实形实形 正平面正平面VWHcabbacbcabacabcbcaCBA投影特性：投影特性： 1. 1. abcabc 、 a a b b c c 积聚为一条直线，具有积聚

34、性积聚为一条直线，具有积聚性 2.2.正平面投影正平面投影a a b b c c 反映反映 ABCABC实形实形 侧平面侧平面VWHabbbacccabcbacabcCABa投影特性：投影特性： 1. abc 、 a b c 积聚为一直条线，具有积聚性积聚为一直条线，具有积聚性 2. 侧平面投影侧平面投影a b c 反映反映 ABC实形实形 二二. . 属于平面的点和直线属于平面的点和直线（一）、属于一般位置平面的点和直线（二）、属于特殊位置平面的点和直线（三）、属于平面的投影面平行线（四）、属于平面的最大斜度线（一）、属于一般位置平面的点和直线1 1平面上的直线平面上的直线 直线在平面上的几

35、何条件是：通过平面上的两点；通直线在平面上的几何条件是：通过平面上的两点；通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。2 2平面上的点平面上的点 点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。 在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题：判别已知点、线是否属于已知平面；题：判别已知点、线是否属于已知平面； 完成已知平面上的点和直线的投影；完成

36、已知平面上的点和直线的投影； 完成多边形的投影。完成多边形的投影。1取属于平面的直线 取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。EDFddeeff 2取属于平面的点 取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线EDddee例题例题10 已知 ABC给定一平面，试判断点D是否属于该平面。ddee例题例题11 已知已知 ABC ABC 给定一平面，（给定一平面，（1 1）判断点）判断点K

37、 K是否属于该平面。是否属于该平面。（2 2）已知平面上一点）已知平面上一点E E的正面投影的正面投影e e作出水平投影。作出水平投影。k kabcabcddee11XO例题例题12 已知点D在 ABC上，试求点D的水平投影 。dd例题例题13 已知点E在 ABC上，试求点E的正面投影 。ee（二）、属于特殊位置平面的点和直线 1取属于投影面垂直面的点和直线 2过一般位置直线总可作投影面的垂直面 (1) 几何元素表示法 (2) 迹线表示法 3过特殊位置直线作平面 (1) 过正垂线作平面 (2) 过正平线作平面 bb1 取属于投影面垂直面的点和直线aaeffeabbaSbaabAB2过一般位置直

38、线总可作投影面的垂直面过一般位置直线AB作铅垂面PH过一般位置直线AB作正垂面SVPPHSVAB(1) 过一般位置直线作投影面的垂直线(几何元素表示法)mn(n)(m)(2) 过一般位置直线作投影面的垂直面(迹线表示法)baSVQWPH(3) 过正垂线作平面 (迹线表示法)PVSVQVRV（a ）给题（c）作侧平面（ b）作水平面（d）作正垂面（有无穷多个）(4) 过正平线作平面PHSHgg（a ）给题（c）作正垂面（ b）作正平面（d）作一般位置平面（有无穷多个）（三）、属于平面的投影面平行线属于平面的水平线和正平线 例题14、15P属于平面的水平线和正平线PVPH例题例题14 已知 ABC

39、给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面 的水平线。mnnm例题例题15 已知点E 在ABC平面上，且点E距离H面15，距离V 面10，试求点E的投影。mnmnrsrs1015ee（四）、属于平面的最大斜度线1平面上的投影面最大斜度线平面上的投影面最大斜度线平面上对某个投影面倾角最大的直线。平面上对某个投影面倾角最大的直线。它与投影面的倾角反映该平面与投影面的夹角。它与投影面的倾角反映该平面与投影面的夹角。2平面上对某投影面的最大斜度线与该平面上对某投影面的平行线相平面上对某投影面的最大斜度线与该平面上对某投影面的平行线相互垂直。互垂直。3平面上的投影面最大斜度线有三组，即

40、分别对正面投影面、水平投平面上的投影面最大斜度线有三组，即分别对正面投影面、水平投影面及侧面投影面三组最大斜度线。影面及侧面投影面三组最大斜度线。（1 1）平面上对水平投影面的最大斜度线）平面上对水平投影面的最大斜度线（2 2）平面上对正面投影面的最大斜度线）平面上对正面投影面的最大斜度线（3 3）平面上对侧面投影面的最大斜度线）平面上对侧面投影面的最大斜度线 例题例题16 16 例题例题17 17 例题例题18 18 例题例题1919PCDaE1 SAE（1）平面上对水平投影面的最大斜度线 EF AB平行于 H， EF垂直于 ABPEFBA（2）平面上对正面投影面的最大斜度线 CD AB平行

41、于V， CD垂直于 ABPCDBA（3） 平面上对侧面投影面的最大斜度线 MN AB 平行于W， MN垂直于ABPBAMN例题例题16 求作 ABC平面上对水平面的最大斜度线BE 。bddee例题例题17 求 ABC平面与水平投影面的夹角 。be BEab例题例题18 过正平线作平面与水平投影面成 60。60bbbaaabAB例题例题19 已知直线EF为某平面对H面的最大斜度线，试作出该平面。aa给题例例2020求求 ABC平面与水平投影面的夹角平面与水平投影面的夹角 。be BEddeeabcabc2-5 2-5 直线与平面、平面与平面的相对位置直线与平面、平面与平面的相对位置一、平行问题一

42、、平行问题二、相交问题二、相交问题1.11.1直线与平面平行直线与平面平行 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。与该平面平行。PCDBA例例21 21 试判断直线试判断直线ABAB是否平行于平面是否平行于平面 CDECDE。fgfgbaabcededc结论：直线结论：直线ABAB不平行于定平面不平行于定平面XO例例22 过点过点K作一水平线作一水平线AB平行于已知平面平行于已知平面 CDE。b a af fbc e d edk kcXO1.2 1.2 平面与平面平行平面与平面平行 若平面内的两相交直线对应地平行于另一

43、平面内的两相交若平面内的两相交直线对应地平行于另一平面内的两相交直线，则这两个平面平行。直线，则这两个平面平行。PSEFDACBf e d edfc a acb bm n mnr rss 结论：两平面平行结论：两平面平行XO例例23 23 试判断两平面是否平行试判断两平面是否平行二、相交问题二、相交问题 2.1 积聚性积聚性 2.2 辅助平面法辅助平面法2.1.1 交点与交线的性质交点与交线的性质 直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直

44、线与平面的共有点。两平面的交线是直线，它是两个平面的共与平面的共有点。两平面的交线是直线，它是两个平面的共有线。求线与面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有有线。求线与面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有线的投影。线的投影。 PABKDBCALKEF2.1.2 2.1.2 积聚性积聚性 当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。可在直线的另一个投影上找到。VHPHPABCacbkNKM2.1.3直线可见性

45、的判别b ba acc m mn k n 特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影能直接特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影能直接判别直线的可见性判别直线的可见性-观察法观察法 VHPHPABCacbkNKMk在平面之前XOaa(b)bcedcefdfkk例例24 铅垂线铅垂线AB与一般位置平面与一般位置平面CDE相交，求交点并判别相交，求交点并判别可见性。可见性。（2 2） 两平面相交两平面相交f k 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于由于特殊位置特殊位置平面的某些投影有积聚性平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。交线可直接求

46、出。VHMmnlPBCacbPHkfFKNLnlmm l n bacc a b XOfk平面可见性的判别平面可见性的判别VHMmnlBCackfFKNLbbacnlmcmalnfkfkXO平面可见性的判别VHMmnlBCackfFKNLXObbacnlmcmalnfkfk过过AB作作平面平面P垂直于垂直于H投影面投影面2.2 2.2 辅助平面法辅助平面法DECP12KBA2PH1 作题步骤：作题步骤：1、 过过AB作铅作铅垂平面垂平面P。2、求、求P平面与平面与CDE的交线的交线。3、求交线、求交线与与AB的交的交点点K。XOa b bacd e edc 12 kk 直线直线ABAB与平面与平面CDECDE相交，判别可见性。相交，判别可见性。( )a b bace edc d 124 （ ）kk XO3 342 1 以正垂面为辅助平面求线面交点以正垂面为辅助平面求线面交点1 2 QV21步骤：步骤：1、 过过EF作正作正垂平面垂平面Q。2、求、求Q平面与平面与ABC的交线的交线。3、求交线、求交线与与EF的交的交点点K。f e efba acb c k k 利用求一般位利用求一般位置线面交点的方法置线面交点的方法找出交线上的两个找出交线上的两个点，将其连线即为点，将其连线即为两平面的交线。两平面的交线。FBCALKED两一般位置平面相交求交线的方法两一般位置平面相交求交