复变函数与积分变换山东大学第一章20151021

1、山东大学数学学院（第二版）山东大学数学学院（第二版）秦健秋 制 1.1 复数及其运算复数及其运算 1.2 复平面上的曲线复平面上的曲线和区域和区域 1.3 复变函数复变函数1 1.4 复变函数的极限复变函数的极限和连续和连续 1.5 MATLAB运算运算第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数 早早在在1616世纪中叶，意大利卡尔丹在世纪中叶，意大利卡尔丹在15451545年解三次方程时，年解三次方程时，首先产生复数开平方的首先产生复数开平方的思想思想: : 17 17世纪到世纪到1818世纪，复数开始有了几何解释，把它与平面世纪，复数开始有了几何解释，把它与平面向量对应起来解决实际问题向量

2、对应起来解决实际问题. . 复变函数复变函数论产生于论产生于1818世纪，由瑞士数学家欧拉作出世纪，由瑞士数学家欧拉作出. .他他在在17771777年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并用函数的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并用“ ”作为虚数的单位作为虚数的单位. . 40(515)(515)i 复变函数复变函数论的全面发展在论的全面发展在1919世纪世纪. .到了到了2020世纪，复变函世纪，复变函数被广泛应用于理论物理，弹性物理，天体力学等方面，并数被广泛应用于理论物理，弹性物理，

3、天体力学等方面，并且有很多复杂的计算都是用它来解决的且有很多复杂的计算都是用它来解决的. . 比如比如 元元代数方程代数方程 在在复数域中恒有解，这是著名的代数学基本问题，它用复变函复数域中恒有解，这是著名的代数学基本问题，它用复变函数理论来证明非常简洁数理论来证明非常简洁. . 比如比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献. .n11100nnnna xa

4、xa xa一、复数的概念一、复数的概念二、复数的表示法二、复数的表示法三、复数的代数运算三、复数的代数运算四、复数的乘幂与方根四、复数的乘幂与方根五、复球面五、复球面*六、课后作业六、课后作业七、课外例题七、课外例题1.1一、复数的概念一、复数的概念引入一个新的数引入一个新的数 ，称为虚数单位，并规定，称为虚数单位，并规定i12i1i，即，即iyxzyx,为复数。为复数。对任意的两个对任意的两个实实数数，称，称)Im(zy 1. 复数的实部：复数的实部：)Re(zx；复数的虚部：；复数的虚部：2. 复数的复数的共轭共轭：若：若iyxz；称；称zxiy为其共轭为其共轭3. 判断复数相等：设判断复

5、数相等：设111222,zxiyzxiy若若12zz1212,xxyy注：两个不全为0的复数不能比较大小0ifithen0ifithen思考：判断 和 的大小？i00ifithen解答解答提示提示1 1、( (复平面上的复平面上的) )点点),(yxM二、二、复数复数的表示法的表示法( , )x y一对有序实数对一对有序实数对( , )M x y平面直角坐标系中的任意平面直角坐标系中的任意点点 直角坐标平面上的点直角坐标平面上的点zx iy zx iy oyxx|z|r yyzxiyX轴轴 实轴，实轴，Y轴轴 虚轴，平面虚轴，平面 复平面复平面/Z平面平面2 2、复数与向量关系、复数与向量关系

6、22|yxrz| | zr（1 1）模）模 的长度的长度 ，记记为为 ，则则OM（2 2）辐角）辐角( ( ) ) 与与 轴轴正向的夹角正向的夹角 ( (周期性周期性) )0zoxOM多多值值单值单值Argarctan2,(0, 1, 2,)yzkkx 记记Argz00=argarctan, ()yzx的的主值主值:Argarg2(0, 1, 2,)zzkk 则有则有OMyxMiyxz),(点点点Z 向量向量Z 复数复数Z，即，即0z 0z 的辐角不能确定。的辐角不能确定。注：任一复数注：任一复数 有无穷多个辐角有无穷多个辐角；arctan00,02arg0,02arctan0,0arctan

7、0,0yxxxyzxyyxyxyxyxarctan22yx其中其中0,z (cossin )zri,cosrx sinry 其中其中irez 3 3、复数的三种表示法、复数的三种表示法iyxz（欧拉公式）（欧拉公式）sincosiei代数表示：代数表示：三角三角表示：表示：指数指数表示：表示：,|22yxzrxyarctan且且例例1 1 求下列复数的三角形式与指数形式。求下列复数的三角形式与指数形式。322argarctanarctan(3)132z13,22xy 221rzxy2322cossin33izie 解：解： z在在第二第二象限内象限内（1 1）（1 1）132iz （2 2）3

8、 i（例（例1.1.11.1.1）例例1 1 求下列复数的三角形式与指数形式。求下列复数的三角形式与指数形式。解：解： （2 2）22(3)( 1)2z 15argarctan63z z在三象限内在三象限内5()6552cos()sin()266izie （1 1）132iz （2 2）3 i（例（例1.1.11.1.1）例例2 2 求下列复数的模和主值辐角。求下列复数的模和主值辐角。解：解：| 3;arg( 1)zz （1 1）33cos()sin()cossin25251010zii（1 1）（2 2）3ie2esincos55zi（3 3）（2 2）2|;arg0zez（3 3）3| 1

9、;arg10zz三、复数三、复数的运算的运算1 1、复数的四则运算、复数的四则运算111,zxiy222,zxiy若若则有则有121212()()zzxxi yy121122()()zzxiyxiy1122222(0)|zz zzzzz12122112()()x xy yi x yx y三、复数的运算三、复数的运算1 1、复数的四则运算、复数的四则运算1221,zzzz1221zzzz123123()()zzzzzz123123()()zzzzzz1231213()zzzzzzz交换律交换律分配分配律律结合律结合律2 2、复数的、复数的共轭共轭运算运算1212();zzzz1 21 2();z

10、 zz z1122()zzzz2Re( ); 2 Im( )zzzzziz2222Re( )Im( )zzzzxy21|zzzzz3 3、复数四则运算的相关性质、复数四则运算的相关性质加法加法: :复数加法与相应的向量的加法（平行四边形法则复数加法与相应的向量的加法（平行四边形法则）运算运算一致一致. .1212(1)| |zzzz1212(2)| |zzzz(3)|Re | |,|Im| |zzzz2(4)| zzz12|zz1z2z表示表示与与之间的距离，则有：之间的距离，则有：3 3、复数四则运算的相关性质、复数四则运算的相关性质乘乘法法: :复数加法与相应的向量的加法（平行四边形法则复

11、数加法与相应的向量的加法（平行四边形法则）运算运算一致一致. .除法除法: :两个复数的商的模等于它们的模的商，两个两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数复数的的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差商的辐角等于被除数与除数的辐角之差. .21()2211izrezr12()121 2iz zrr e1 212rg()rg( )rg()Az zAzAz2211rg()rg()rg( )zAAzAzz2211zzzz1212zzzz两边是角的集合两边是角的集合相等相等121122,iizrezr e，设设则则解：解：22222( 3)(1)|1|3|iizii由由2cos()sin()66zi所

12、以所以| 2;z 三角式为三角式为()62ize例例3 3 将复数将复数 化为三角式和指数式。化为三角式和指数式。(2 32 )(1)( 3)(1)iizii（例（例1.1.21.1.2）(13 )()3iii1argargtan36z 指数式为指数式为四、复数的乘幂与方根四、复数的乘幂与方根1、复数复数的乘幂的乘幂(cossin )cossinninin棣模佛棣模佛(De (De MoivreMoivre) )公式公式z.nzn定义：定义： 个相同的复数个相同的复数的乘积，称为的乘积，称为z的的次幂，记作次幂，记作nnnzz zz 共 个即即cossiniei由由，有，有1nnzznninz

13、r e定义定义，则，则四、复数四、复数的乘幂与方根的乘幂与方根2、复数复数的方根的方根0k接接正正边形的顶点，当边形的顶点，当时，时，n0w称为称为主值主值.1.nnwzz记作记作z问题问题：给定复数：给定复数，求所有满足，求所有满足nwz的复数的复数.wwnr的的n n个值恰为以原点为中心，个值恰为以原点为中心，为半径为半径的的圆周的内圆周的内122(cossin)(0,1,1)nnkkwzriknnnnzw定义定义：若：若，则称，则称w为复数为复数z的的n次方根次方根.注：开方注：开方乘方的逆运算乘方的逆运算.例例4 计算下列各式。计算下列各式。（1 1）（2 2）5(13 ) i23(c

14、ossin)88(cossin)66ii解：解：55533(2)2iiee1332()16 16 322ii 24362cos()sin()88()iiiieee42222iei（1 1）原式原式（2 2）原式原式例例4 计算下列各式。计算下列各式。（3 3）（4 4）31422i解：解：（例（例1.1.41.1.4）1cos0sin0i0000,cossin133kwi022131,cossin3322kwii 244132,cossin3322kwii （3 3）由）由302021cossin(0,1,2)33kkik则则（4 4）参见教材例）参见教材例1.1.41.1.4NSPyzZx五

15、五*、复球面、复球面复平面复平面上的点（含上的点（含|z ）与复球面上的点一一对应。与复球面上的点一一对应。0z 取一个与复平面切于原点取一个与复平面切于原点的球面，球面上的一的球面，球面上的一SS点点与原点重合。通过与原点重合。通过做垂直于复平面的直线与球面做垂直于复平面的直线与球面NNS相交相交于另一点于另一点，称，称为北极，为北极，为南极。为南极。12 （1）3 （2） （3）4 （2） （5） （6） （7） （8）课后作业一课后作业一例例1 1 判断判断下列命题是否正确？下列命题是否正确？（1 1）（2 2）（3 3）7512ii )57arg()21arg(ii)57Re()57I

16、m(ii（ ）（ ）（ ）课外例题一课外例题一1255(55 )( 34 )71.34( 34 )( 34 )55ziiiiziii 解：解：1271 55ziz 例例2 2 设设12 55 ,34 ,zi zi 1122 .zzzz与求求例例3 3 设设13 ,1izii Re( ), Im( ).zzz z与133 (1)31,1(1)(1)22iiiiziiii iii 31Re( ), Im( ),22zz 2222315Re( )Im( ).222z zzz 解：解：求求例例4 4 证明证明证明：左边证明：左边22221212122zzzzzz12121212()()()()zzzz

17、zzzz1112212211122122z zz zz zz zz zz zz zz z22122zz例例5 5 已知已知已知已知正方形正方形 的的相对相对定点定点求顶点求顶点 和和 的坐标的坐标。1 234z z z z1z4z13(0, 1),(2,5),zz解：解：31212122()()()2224zzizzzi413141()()(cossin)44223zzzzizi 24zi423zi 1zi 325zi例例6 6 计算计算下列各式。下列各式。41(2)1ii（）1025(1)4iii6(3)64解解（1 1）原式）原式241 3iiii 11iii，4111ii（）62264(

18、cossin)66(0,1,2,4,5)kkik（2 2）因为）因为 所以所以（3 3）原式原式例例7 7 求求满足下列条件的复数满足下列条件的复数z z。（1 1）（2 2） 且且3,zai|2| 2z65)2arg(zizz2|（3 3）,3)2arg(z,zxiy222xiyxyi22321.4xxyyxi3，z=4解：（解：（1 1）设）设则则由由 得得 ，故，故例例7 7 求求满足下列条件的复数满足下列条件的复数z z。a2323212zaizaia（2 2） 且且3,zai|2| 2z解：（解：（2 2）因为）因为 ，则，则所以所以 的值为的值为 内任一实数，内任一实数，故满足条件

19、的故满足条件的 有无穷多个有无穷多个.(- 3, 3)z例例7 7 求求满足下列条件的满足下列条件的复数复数z z。65)2arg(z（3 3）,3)2arg(z121212133122,22224,4 3rrrrrr 111132cossin3322zrirri22255312cossin6622zrirr i 11221331(2)(2)2222zrrirr i解解：（：（3 3）设）设则则一、复平面上的曲线方程一、复平面上的曲线方程二、简单曲线与光滑曲线二、简单曲线与光滑曲线三、区域三、区域1.2复平面上的曲线和区域复平面上的曲线和区域一、复平面上的曲线一、复平面上的曲线方程方程0),(

20、yxF平面曲线的直角坐标平面曲线的直角坐标方程方程形式形式i2zzy,2zzx0),(yxF令令代入代入得得0)2,2(izzzzF( ),( )xx tyy t平面曲线在直角坐标下的参数方程形式平面曲线在直角坐标下的参数方程形式,zxiy令令对应复数形式为：对应复数形式为：( )( )( )()z tx tiy tt对应复数形式为：对应复数形式为：（例（例1.2.11.2.1）例例1 1 将直线方程将直线方程13 yx化为复数形式。化为复数形式。2)()(3zzizzizzyzzx2,2解：将解：将代入方程，得代入方程，得例例2 2 指出下列方程表示什么曲线。指出下列方程表示什么曲线。4|

21、) 1 (0 zz|2|2| )2(ziz4)2Re()3( z0z解：以解：以为圆心，半径为为圆心，半径为 4 的圆周的圆周i 2解：点解：点与与 -2 的垂直平分线的垂直平分线42 x解：直线解：直线二、简单曲线与光滑曲线二、简单曲线与光滑曲线1 1、简单闭曲线简单闭曲线注：定义或者简单叙述为简单曲线自身不相交注：定义或者简单叙述为简单曲线自身不相交.若若是一段连续曲线是一段连续曲线.如果对如果对)(),(btatzz,ba上任意不同两点上任意不同两点，但但不同时是不同时是的端点的端点，,ba1t2t及及我们我们，那么那么上述集合称为一条简单连续曲线上述集合称为一条简单连续曲线，)()(2

22、1tztz有有或若尔当或若尔当（Jordan）曲线曲线.，称，称简单简单连续连续闭曲线闭曲线（若尔若尔当当闭曲线闭曲线）.)()(bzaz若若2 2、光滑光滑曲线曲线注注：光滑曲线一定可以求长光滑曲线一定可以求长.若若，且，且( )( ) , x ty tC a b、22 ( ) ( )0 x ty t三三、区域、区域1 1、相关概念、相关概念内点内点与开集与开集区域区域：连通连通的的开集开集边界点与边界边界点与边界邻域邻域0(, )U z与去心领域与去心领域闭闭区域区域与开区域与开区域有有界域与无界域界域与无界域注：注：闭区域不是区域闭区域不是区域.三三、区域、区域2 2、单连通区域与多连通

23、区域、单连通区域与多连通区域单连通区域与多连通区域单连通区域与多连通区域若若尔当定理尔当定理 任意任意一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共公共点点的区域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为外区域的区域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为外区域.DD曲线的内部总是完属于曲线的内部总是完属于 ，则称，则称是单连通区域，否则称是单连通区域，否则称D是多连通区域是多连通区域.DCD设设是一个区域，在复平面是一个区域，在复平面上，如果上，如果内任何简单闭内任何简单闭注：单连通区域内的任一条简单闭曲线，在其内可以经过注：单连通区域内的任一条简单闭曲线，在

24、其内可以经过连续的连续的变形而收缩成变形而收缩成一点。一点。例例3 3 判断下列区域是无界域（有界域），单连通区域（多判断下列区域是无界域（有界域），单连通区域（多连通区域）。连通区域）。4| 1| 1| )4(; 3|1| )3(;3|arg| )2(; 1)Re() 1 (2zzzzz2222 Re(),Re()1zxiyzxyz该区域是该区域是无无界单连通区域界单连通区域.(2) argarg,333zz 角形域，无界的单连通区域角形域，无界的单连通区域.解解： (1)(1)当当(4)114 zz是椭圆是椭圆，该区域是此椭圆内部，该区域是此椭圆内部.11(3)3,3zz有界的单连通区域有

25、界的单连通区域.22 1,xy一、复变函数概念一、复变函数概念二、映射二、映射1.3复变函数复变函数一一、复变函数的概念复变函数的概念Gzxiy, f设设是一个复数是一个复数的非空集合的非空集合. 如果有一个法则如果有一个法则zG wuiv使得使得，就就有一个或几个有一个或几个与之对应，则称复与之对应，则称复变变wz( ).wf z是复变数是复变数数数的函数，简称复变函数的函数，简称复变函数.记作记作z w( )f z若若一个一个值，称值，称单值函数单值函数zw( )f z若若多多个个值，称值，称多多值函数值函数注注2：今后无特别声明所指的函数均为单值函数：今后无特别声明所指的函数均为单值函数

26、.注注3：一个复变函数等价于两个自变量为实数的实值函数：一个复变函数等价于两个自变量为实数的实值函数 例例1 1 考虑映射考虑映射 2zw 与实变函数的关系。与实变函数的关系。解：解：ixyyxiyxzw2)(2222由由22yxuxyv2，可知函数等价于可知函数等价于例例2 2 考虑下列函数是否为单值函数。考虑下列函数是否为单值函数。 （例（例1.3.11.3.1）3(1) wz2(2) wz（例（例1.3.31.3.3）单值函数单值函数多多值函数值函数221( )()()f zxiyxiyxy例例3 3 将函数将函数222211( )(1)(1)f zxiyxyxy改写成关于改写成关于z的

27、解析式。的解析式。11(),()22xzzyzzi将将代入原式代入原式,1( )f zzz整理整理得：得：zxiy将表达式凑成将表达式凑成的因式的因式:1zzz z1zz解法一（共轭法）解法一（共轭法）解法二（拼凑法）解法二（拼凑法）21 ( )(1)f xxx例例3 3 将函数将函数222211( )(1)(1)f zxiyxyxy改写成关于改写成关于z的解析式。的解析式。解法三（设零法）解法三（设零法）在在中，令中，令，zxiy0y 得得，代入原式：，代入原式：zx1xx1( )f zzz二、映射二、映射 复变函数复变函数反映的是两对变量之间的对应关系，要反映的是两对变量之间的对应关系，要

28、借助于借助于四维空间四维空间才能表示才能表示，因此因此借助于借助于两张复平面来表示两张复平面来表示.在几何上在几何上可以可以看做看做：( )wf z平面平面）平面）的映射（变换平面）的映射（变换）（zGz( )*wf zwGw（xyozx iy uvow u iv G*G平面平面z平面平面w原象原象G象（映象）象（映象）*G中的点一一对应中的点一一对应G*G与与映射为双射映射为双射为单值函数为单值函数( )wf z函数在几何上可以看着是把函数在几何上可以看着是把平面平面上的一个点集上的一个点集 （定（定zG义域）变到义域）变到平面平面上的一个点集上的一个点集（值域）的一个（值域）的一个映射映射

29、.W*G( )zw存在反函数（逆映射），记为存在反函数（逆映射），记为例例4 4 研究研究iwe z所构成的映射。所构成的映射。解：设解：设izre()iiiiwe ze rere 所以所以旋转变换旋转变换0arg( )4z例例5 5 求区域求区域在映射在映射2wz下的象。下的象。,iizrewe222,iiwezr e解：解： 设设则有则有2 ,即即04由由02得得解：设解：设228xy例例6 6 求曲线求曲线 在映射在映射1wz下的象。下的象。,zxiywuiv111wzzwuiv则由则由22uivuv所以所以2222,uvxyuvuv代入代入228xy得：得：228uv一、复变函数的极限

30、一、复变函数的极限二、复变函数的连续性二、复变函数的连续性1.4复变函数复变函数的极限与连续性的极限与连续性一一、复变函数的极限复变函数的极限1、复变函数极限复变函数极限的定义的定义形式：与一元实函数的极限一致，记为形式：与一元实函数的极限一致，记为0lim( )zzf zA理解理解：对任意：对任意0zz的路径多样性的路径多样性掌握掌握：判别：判别0lim( )zzf z不存在的方法不存在的方法2、极限的运算法则极限的运算法则定理定理1.4.1 如果如果 000iyxz，则，则0000000,0000,lim( , )(,)lim( )lim( , )(,)xxyyzzxxyyu x yu x

31、yf zAuivv x yv xy一个复变函数的连续性等价于两个实变二元函数的连续性一个复变函数的连续性等价于两个实变二元函数的连续性3、极限极限的的四则四则运算运算等同于实函数的四则运算，等同于实函数的四则运算，参见教材定理参见教材定理1.4.2。处的极限。处的极限。例例1 1 求求( )zzf zzz在点在点(0,0)解：解：原式原式整理得整理得22222()( )xyf zxyz当当 沿直线沿直线ykx趋于零时，有趋于零时，有0lim( )xy kxf z221)1 (2kk22222202()limxy kxxk xxk x处的极限不存在。处的极限不存在。即函数即函数( )f z在点在

32、点(0,0)处的极限不存在。处的极限不存在。例例2 2 证明证明Re( )|zf zz在点在点(0,0)解：解：原式原式整理得整理得22( )xf zxyz当当 沿直线沿直线ykx趋于零时，有趋于零时，有0lim( )xy kxf z220lim()xy kxxxkx处的极限不存在。处的极限不存在。即函数即函数( )f z在点在点(0,0)211k 二、二、复变函数复变函数的的连续性连续性1、定义、定义( )f z在一点处连续在一点处连续00lim( )()zzf zf z( )f z在区域内连续在区域内连续函数在区域内每一点都连续函数在区域内每一点都连续2、复变函数复变函数连续存在判别法连续

33、存在判别法( )f z连续连续函数的实部、虚部同时连续函数的实部、虚部同时连续定理定理1.4.4 连续函数的和、差、积、商连续函数的和、差、积、商 ( (分母不为分母不为0)0)仍为连续函数仍为连续函数； 连续函数的复合函数仍为连续函数连续函数的复合函数仍为连续函数. .由此可推：由此可推：01( )nnP zaa za z在整个复平面内连续在整个复平面内连续( )( )( )P zR zQ z在复平面内除分母为零点外处处在复平面内除分母为零点外处处连续连续二、二、复变函数复变函数的的连续性连续性例例3 试证试证在原点和负实轴上不连续在原点和负实轴上不连续（习题（习题1：16）。）。arg(

34、) z证明：证明：arg(0)因为因为无意义无意义，0,z对负实轴上任对负实轴上任一点一点arg( )wz所以所以在在0z 点不连续点不连续。z当当沿平行于沿平行于y轴正向趋近于轴正向趋近于0z时，时，0limarg( );zzz z当当沿平行于沿平行于y轴轴负负向趋近于向趋近于0z时，时，0limarg( );zzz0limarg( )zzz所以所以不存在，函数不存在，函数arg( ) z在负实轴上不连续。在负实轴上不连续。综上所述：综上所述：在原点和负实轴上不连续在原点和负实轴上不连续。arg( ) z课后作业二课后作业二9 （1） （3）11 （2） （4）12 （2） （3）17课外例

35、题二课外例题二1z例例1 用用复数方程表示过两复数方程表示过两点点和和2z的直线。的直线。解解：()OPOAt OBOA 121()zzt zzt 其中其中1z2zABPOxywz例例2 研究映射研究映射。解：设解：设,iyxz,ivuwiba则有则有byvz这是一个这是一个平面到平面到w平面的双射。平面的双射。, axu 平移平移 即即 ，这是一条直线。，这是一条直线。uv34解：解：22)43()2(titiw(2)zi t例例3 求曲线求曲线 在映射在映射2wz下的象。下的象。1wz例例4 研究映射研究映射。映射映射 是一个关于实轴的对称映射；是一个关于实轴的对称映射；1zw 解：它解：

36、它可以可以分解为以下两个映射的复合：分解为以下两个映射的复合：,11zz 1zwzz11映射映射 把把 映射成映射成 ，其辐角与，其辐角与 相同；相同；z1zz而模而模 ，满足，满足 。|1|1|1zzz1|1zz我们称我们称 为关于单位圆的对称映射，为关于单位圆的对称映射， 与与 称称 zz11z1z为关于单位圆的相互对称点。为关于单位圆的相互对称点。例例5 求曲线求曲线 在映射在映射 下的象。下的象。 (2)zi t2wz解：解：224(2) (34 )3wi ti tvu例例6 考察函数考察函数 的连续性。的连续性。 2222( )ln()()f zxyi xy解：由于解：由于 在复平面内除原点