第11讲3厄米算符和连续谱3-4

1、主讲：林洁丽主讲：林洁丽电子与信息工程学院光信息工程系电子与信息工程学院光信息工程系2012年年9月月量子力学量子力学第三章第三章 矩阵矩阵力学力学 提纲提纲3.1 3.1 力学量的平均值力学量的平均值3.2 3.2 算符的运算规则算符的运算规则3.3 3.3 厄米算符的本征值和本征函数厄米算符的本征值和本征函数3.4 3.4 连续谱连续谱本征函数（简介本征函数（简介）3.5 3.5 量子力学量子力学中力学量的测量值中力学量的测量值3.6 3.6 不确定性原理不确定性原理第第11 讲讲 第三章第三章 矩阵力学基础矩阵力学基础(I) 力学量和算符力学量和算符 3.3 3.3 厄米算符的本征值和本

2、征函数厄米算符的本征值和本征函数 3.4 3.4 连续谱本征函数连续谱本征函数 结束3.3厄米算符的本征值和本征函数厄米算符的本征值和本征函数 引言引言 表示力学量的算符所满足的条件表示力学量的算符所满足的条件 厄米算符的本征值特点厄米算符的本征值特点 厄米算符的本征函数的完备性厄米算符的本征函数的完备性 厄米算符的本征函数的封闭性厄米算符的本征函数的封闭性 厄米算符的本征函数的正交归一性厄米算符的本征函数的正交归一性 返回量子力学算符的意义和作用量子力学算符的意义和作用 表征微观系统力学量表征微观系统力学量 建立微观系统运动方程建立微观系统运动方程 可以在不同表象中测量力学量平均值可以在不同

3、表象中测量力学量平均值 在自己表象中测量本征值在自己表象中测量本征值 力学量量子化力学量量子化 返回表示力学量的算符所满足的条件表示力学量的算符所满足的条件 线性算符：态叠加原理线性算符：态叠加原理 薛定谔方程式是线性方程薛定谔方程式是线性方程哈密顿算哈密顿算符以及组成该算符的所有力学量算符都必须是线性算符符以及组成该算符的所有力学量算符都必须是线性算符 。 厄密算符（本征值必须取实数厄密算符（本征值必须取实数 ）：所有力学量的测量值都是实）：所有力学量的测量值都是实数数 。（1 1）厄密算符的本征值是实数的证明）厄密算符的本征值是实数的证明 （2 2）例子）例子证明坐标算符和动量算符是线性厄

4、密算符。而对数算符不是线性算证明坐标算符和动量算符是线性厄密算符。而对数算符不是线性算符。符。（3 3）练习）练习 本征函数组必须构成完备组本征函数组必须构成完备组 ：体系必定有一些运动状态的波函：体系必定有一些运动状态的波函数在按这个函数组展开后与另外加进的基函数有关，有的甚至是数在按这个函数组展开后与另外加进的基函数有关，有的甚至是只与这些加进的基函数有关，那么在这些状态下测量该力学量，只与这些加进的基函数有关，那么在这些状态下测量该力学量，所得到的可能取值有些甚至全部不是这个算符的本征值，换句话所得到的可能取值有些甚至全部不是这个算符的本征值，换句话说，这个力学量在体系的这些状态下不可测

5、量，从而说明该量不说，这个力学量在体系的这些状态下不可测量，从而说明该量不是力学量（因为力学量总是可以测量）。是力学量（因为力学量总是可以测量）。（注意：构成完备组的函数可以作为（注意：构成完备组的函数可以作为HibertHibert黑波特空间中黑波特空间中( (第四章第四章) )的基函数组。）的基函数组。） 返回厄密算符的本征值是实数的证明厄密算符的本征值是实数的证明厄密算符的本征值是实数的证明（经典题目）厄密算符的本征值是实数的证明（经典题目）利用厄密算符定义：利用厄密算符定义： * *dx=dx= ( ()* *dxdx，可，可以证明密算符的本征值是实数。以证明密算符的本征值是实数。设厄

6、密算符设厄密算符属于本征态属于本征态的本征值为的本征值为，则，则=令令=则有：则有： * *dx=dx= ( ()* *dxdx利用本征方程上式左边和右边分别得到：利用本征方程上式左边和右边分别得到：左边左边= = * *dx=dx= * *dxdx，右边，右边= = ()()* * dx=dx=* * * *dxdx，所以所以 * *dx =dx =* * * *dxdx，即，即=* *，因此，因此是实数。是实数。 返回返回厄米算符典型特性厄米算符典型特性厄米算符的本征值是实数厄米算符的本征值是实数OO drOdrO drO 逆定理：在任何状态下平均值为实数的算逆定理：在任何状态下平均值为实

7、数的算符必定是厄米算符。符必定是厄米算符。返回厄米算符本征函数系的完备性厄米算符本征函数系的完备性通过算符本征方程求得的一组本征函数是通过算符本征方程求得的一组本征函数是n任何满足同样边界条件且在同样区间内定任何满足同样边界条件且在同样区间内定义的波函数都可以由它展开（义的波函数都可以由它展开（因为因为）：）：nnn( x)C( x)返回厄米算符本征函数的正交归一性厄米算符本征函数的正交归一性属于不同本征值的本征函数正交归一（属于不同本征值的本征函数正交归一（证明证明）nmnmnmd 返回属于相同本征值的本征函数可以经过重新组合得到的新属于相同本征值的本征函数可以经过重新组合得到的新函数正交归

8、一，本征值不变（证明见函数正交归一，本征值不变（证明见P99）111 2gg*njnjjijininiiinjnjjjv v da advv( j, j, ,.,g ) 厄米算符本征函数的正交归一证明厄米算符本征函数的正交归一证明返回返回nnnOOmmmOO*nnnOOnmnmOO nmnnmnnmOOO nmnmmmnmOOO 0mnmnOO0mn 正交mnmnnnmmnmOO 已知已知厄米性厄米性取共轭取共轭所以所以得到得到结论结论合并：合并：正交归一正交归一厄米算符本征函数系的封闭性厄米算符本征函数系的封闭性要求要求nnn( x)C( x)nnnnnnnnn( x)C( x)( x )

9、( x )dx ( x)( x )( x )( x)dx nnn( x )( x)( xx )返回完备性：是指波函数能完全代表微观体系的状态，完备性：是指波函数能完全代表微观体系的状态，由这些状态测量的力学量是确定的和正确的。由这些状态测量的力学量是确定的和正确的。封闭性：是指本征值的取值范围，或域。此域之封闭性：是指本征值的取值范围，或域。此域之外，波函数为零，力学量的取值也是零。外，波函数为零，力学量的取值也是零。这就是通常说的完全正交归一化条件。这就是通常说的完全正交归一化条件。例子：例子：无限深势阱、谐振子、角动量无限深势阱、谐振子、角动量z分量、氢原子的分量、氢原子的电子运动波函数等

10、的正交归一性。电子运动波函数等的正交归一性。返回小结小结 3.4 3.4 连续谱本征函数连续谱本征函数 连续谱本征函数的典型例子连续谱本征函数的典型例子 连续谱本征函数的正交归一化连续谱本征函数的正交归一化 返回连续谱本征函数的典型例子连续谱本征函数的典型例子坐标算符坐标算符 的本征方程的本征方程本征函数：本征函数：本征值大小本征值大小 可以是连续取值。可以是连续取值。动量算符动量算符 的本征方程的本征方程本征函数：本征函数：本征值大小本征值大小 可以是连续取值。可以是连续取值。返回 xx-x =xx-xxxxip x/ip x/ip x/xx p e=-ie=p ex x=xx p =-ixx-xxip x/exxp连续谱本征函数的正交归一化连续谱本征函数的正交归一化无穷空间的归一化无穷空间的归一化结论：连续谱本征函数不能归一化为结论：连续谱本征函数不能归一化为1 1，只能归一，只能归一化为化为 函数。函数。 例子例子箱归一化（课本箱归一化（课本P103P103）返回返回无穷空间的归一化例子无穷空间的归一化例子坐标算符