自动控制理论翁思义第二章自动控制系统的数学模型

1、第二章自动控制系统的数学模型第二章自动控制系统的数学模型u 系统方框图的等效变换和信号流图及梅森公式系统方框图的等效变换和信号流图及梅森公式u 微分方程、拉氏变换和传递函数u 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数u 电气环节的负载效应及其传递函数u 常规控制器的基本控制规律、动态特性和实现方法引引 言言数学模型的定义数学模型的定义: : 描述系统输入、输出变量以及内部各变量描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式之间关系的数学表达式建模方法：机理分析法、实验法（系统辨识）建模方法：机理分析法、实验法（系统辨识）类型：动态模型、静态模型类型：动态模型、静态模型动态模型：微分方

2、程、差分方程、状态方程等动态模型：微分方程、差分方程、状态方程等系统系统u(t)y(t)白箱法白箱法黑箱法黑箱法第一节 微分方程、拉氏变换和传递函数 一、一、 微分方程的建立微分方程的建立 方法与步骤总结方法与步骤总结:（1）确定系统的输入、输出变量；）确定系统的输入、输出变量；（2）从输入端开始，按信号传递遵循的有关规律）从输入端开始，按信号传递遵循的有关规律列出元件微分方程；列出元件微分方程；（3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；方程；（4）整理，输入量项）整理，输入量项=输出量项。输出量项。（1）确定输入、输出量为ui 、u0（2）根据

3、电路原理列微分方程（3）消去中间变量，可得电路微分方程dtduCiuRiui00, iuudtduRC00这是一个线性定常一阶微分方程。iooouudtduRCdtudLC22dtduCio由： ，代入得：这是一个线性定常二阶微分方程。iuidtCRidtdiL1dtiCou1解：据基尔霍夫电路定理：iu输入ou输出iuouLRCi例：写出RLC串联电路的微分方程。例：图示弹簧-质量-阻尼器机械位移系统。试列写质量m在外力F(t)作用下位移x(t)的运动方程。 解：由牛顿运动定律有)()()()()()()(2122tKxdttdxftFtFtFtFdttxdm式中式中 F1（t）是阻尼器的阻

4、尼力，）是阻尼器的阻尼力， F2（t）是弹簧反力）是弹簧反力)()()()(22tFtKxdttdxfdttxdm)()()()(22tutudttduRCdttudLCrCCC)()()()(22tFtKxdttdxfdttxdm 比较比较: R-L-C: R-L-C电路运动方程与电路运动方程与 M-S-DM-S-D机械系统机械系统 运动方程运动方程 相似系统相似系统：同一形式的数学描述可以代表不同的实际系统，同一形式的数学描述可以代表不同的实际系统， 这些系统具有相同的输入输出特性；这些系统具有相同的输入输出特性； 对于不同的实际系统，只要其数学描述相同，则对于不同的实际系统，只要其数学描

5、述相同，则 分析和设计的思路、方法及过程也基本一致。分析和设计的思路、方法及过程也基本一致。1、定义：设函数、定义：设函数f(t)当当t=0时有定义，而且积时有定义，而且积分存在，则称分存在，则称F(s)是是f(t)的拉普拉斯变换。简的拉普拉斯变换。简称拉氏变换。记为称拉氏变换。记为: f(t)称为称为 F(s)的拉氏逆变换。记为：的拉氏逆变换。记为： 0( )( )stF sLf tf t edt 1( )ftLF s二二. .拉氏变换拉氏变换)()()()(2121sFsFtftfL线性性质：)0()()(fssFtfL)0()0()()(2fsfsFstfL )0(.)0()0()()(

6、)1(21)(nnnnnffsfssFstfL微分定理：ssFdttfL)()(积分定理：（设初值为零）)()()(0sfedtTtfeTtfLsTst时滞定理：)(lim)(lim0ssFtfst初值定理：2 2、性质：、性质：)(lim)(lim0ssFtfst终值定理：f(t)F(s)f(t)F(s)(t)1sint1(t)1/scost t1/(s+a)21 scosatetsinatet22()sasa22()sa22()ss22()sate几个重要的拉氏变换几个重要的拉氏变换3、微分方程的求解方法步骤方法步骤（1）考虑初始条件，对微分方程两端进行拉氏变换；）考虑初始条件，对微分方程

7、两端进行拉氏变换；（2）求出输出量的拉氏变换表达式；）求出输出量的拉氏变换表达式；（3）求输出量的拉氏反变换，得到输出量的时域解）求输出量的拉氏反变换，得到输出量的时域解.例例2：求解微分方程：求解微分方程1) 0 () 0 (, 054 yyyyy微分方程两边同时取拉氏变换（初始条件不为零）teteysssssssssssFsFfssFfsfsFsttsin3cos1)2(31)2(21)2(321)2(5545)(0)(5)0(4)(4)0()0()(22222222这个推导属配方法和查表法，心中要有公式这个推导属配方法和查表法，心中要有公式342)(2 ssssF例例 已知已知，求，求?

8、)( tf解解. .3131221 sCsC)(s(ssF(s)2131213121lim11 )(s(ss)(sCs2113233123lim32 )(s(ss)(sCs321121 ssF(s)tteef(t)32121 3455)(22 sssssF例例 已知已知，求，求?)( tf解解. .34)2()34(22 sssssF(s)3)(1(21 ssstteetf(t)32121)( 1 21 2113ss传递函数传递函数1 1、传递函数的定义、传递函数的定义： 线性定常系统在线性定常系统在零初始条件零初始条件下，输出信号的拉氏变下，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换与输入信号的

9、拉氏变 换之比。换之比。 线性定常系统微分方程的一般表达式线性定常系统微分方程的一般表达式: : 其中其中 y y 为系统输出量，为系统输出量，r r为系统输入量为系统输入量,mn,mn 在初始情况为零时，两端取拉氏变换：在初始情况为零时，两端取拉氏变换：rdtrdydtdydtyddtxdbbaaaammmnnnnncn011110)()()()(0110sRbsbsYasasammnnnnjjmiinnnmmmpszsKcscscsdsdsdsabsG110111011100)()()(*)/()(/)()(11101110nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsYsGnjimi

10、innnnmmmmnmsTsKsesesesfsfsfabsG11111111) 1() 1(11)(传递函数的零点iZ为传递函数的极点jP 移项后得移项后得： 上式中上式中Y(s)Y(s)输出量的拉氏变换；输出量的拉氏变换；R(s)R(s)输入量的输入量的 拉氏变换；拉氏变换； G(s) G(s) 为为系统或环节的传递系数。系统或环节的传递系数。传递函数的两种表达形式传递函数的两种表达形式a.a.传递函数的零极点表示形式传递函数的零极点表示形式为b.b.传递函数的时间常数表示形式传递函数的时间常数表示形式2、传递函数的性质n 传递函数的概念只适应于线性定常系统。传递函数的概念只适应于线性定常

11、系统。n 传递函数只与系统本身的特性参数有关，而与输入量传递函数只与系统本身的特性参数有关，而与输入量变化无关。变化无关。n 传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动规律。传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动规律。n 传递函数分子多项式阶次低于或至多等于分母多项式传递函数分子多项式阶次低于或至多等于分母多项式的阶次。的阶次。( mn)n 只能描述一个输出与一个输入之间的关系。只能描述一个输出与一个输入之间的关系。n 许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。3.传递函数的求法例例1 RC电路电路（1）当）当u1为输入，为输入，u2为输出时：为输出时

12、：122uRiuduiCdt122uudtduRC21( )1( )( )1UsW sU sRCs 221RCsUsUsUs(1) 根据微分议程求传递函数例例2 RLC电路电路取取ur为输入，为输入，uc为输出为输出,系统微分方程为：系统微分方程为：2( )1( )( )1crUsW sUsLCsRCs 21crLCsRCsUsUs22cccrd uduLCRCuudtdt（2 2） 无源网络的传递函数求取无源网络的传递函数求取-复阻抗法复阻抗法 无源网络通常由电阻、电容和电感组成。 复阻抗法: 依据电路理论复阻抗概念有 电阻R的复阻抗为: ZR=R电容C的复阻抗为: ZC=1/CS 电感L的

13、复阻抗为: ZL=LSCR+)(tui(t)u(t)= i (t)Ri(t)=dttduC)(u(t)=C1i(t)dtLi(t)(tu+u(t)=Ld i (t)dti(t)=dttuL)(1)(tui(t)+i(t)=Rtu)(R) s ( I) s (U Cs1) s ( I) s (U Ls)s (I)s (U 电阻、电容、电感的复阻抗电阻、电容、电感的复阻抗例题例题: 求下图所示电网络的传递函数G(S)。 C2R2R1C1u1u2Z2Z1U1U2解解： 将电源等效为复阻抗电路 Z1=ZR1ZC1/（ZR1+ZC1）=R1/（R1C1S+1）； Z2= ZR2+ZC2 =（R2C2S+

14、1）/C2S； G(S) =U2/U1= Z2 /（Z1 +Z2） =（R1C1S+1）（R2C2S+1）/（R1C1S+1）（R2C2S+1）+ R1C2S 注：请用注：请用“传递函数定义法传递函数定义法”求解该例题。求解该例题。 第二节、典型环节及其传递函数第二节、典型环节及其传递函数 典型环节有比例、积分、惯性、振荡、微分和延迟环节等多种。以下分别讨论典型环节的时域特征和复域（s域）特征。时域特征包括微分方程和单位阶跃输入下的输出响应。s域特性研究系统的零极点分布。 比例环节又称为。k为放大系数。实例：分压器，放大器，无间隙无变形齿轮传动等。一、比例环节：0),()(ttkxtyksXs

15、YsG)()()(时域方程：传递函数：21crrRxxKxR )()(sKXsXrcKsXsXsWrc)()()( 有一个0值极点。在图中极点用“ ”表示，零点用“ ”表示。K表示比例系数，T称为时间常数。 ttdttxkty00,)()(TssksXsYsG1)()()(时域方程：传递函数：0S平面j0)( 1)(ttxkty )(tytRe二、积分环节：积分环节实例：RCiuouCsoisuRsu1)()(RCssusuio1)()(理想微分理想微分sK)s(U)s(Ydt)t (duK)t (ydd 一阶微分一阶微分二阶微分环节二阶微分环节012201222KsKsK)s(U)s(Y)t

16、 (uKdt)t (duKdt)t (udK)t (y 0101KsK)s(U)s(Yu(t)Kdtdu(t)Ky(t) 特点：反映输入的变化率，有超特点：反映输入的变化率，有超前作用，常用来改善动态性能前作用，常用来改善动态性能注：微分对信号的高频噪声很敏注：微分对信号的高频噪声很敏感，实际使用时通常加惯性环节感，实际使用时通常加惯性环节 , 1Ts1sT1TssTdd 如如三、微分环节三、微分环节uouiR+CRbRCs(s)U(s)Uio 1)()()(sTsTsUsUsGccrc式中 RCTc CsRRRZRZsZsYsZsX1121, 22211,)()()()(1) 1()1 ()

17、()()(212112kTsTskCsRRRRCsRRsXsYsGCRTRRRk1212,式中：y(t)x(t)R1R2C实例微分环节实例微分环节实例四、惯性环节时域方程：0),()()(ttkxtytTy传递函数：1)()()(TsksXsYsG当输入为单位阶跃函数时,有 ，可解得： ，式中：k为放大系数，T为时间常数。ktytTy)()()1 ()(Ttekty当k=1时，输入为单位阶跃函数时,时域响应曲线和零极点分布图如下：通过原点的 斜率为1/T，且只有一个极点（-1/T）。1yt00.632T通过原点切线斜率为1/TjRe0S平面T111/11)()()(TsKRsLRRLssUsI

18、sG式中 RLT RK1惯性环节实例惯性环节实例R2Ciuou-+R1CsRRZRCsRCsRZRZ2222222111,111,而CsRsUsUZUsZsURRioi22011)()(,)()(12RCiuou11)()(,)()(11RCssususuRsuioCsoCsi两个实例：惯性环节实例惯性环节实例五、振荡环节：时域方程：)()()()(001 2txbtyatyatya传递函数：121)(220122001220TssTkasasaakasasabsG上述传递函数有两种情况：当 时，可分解为两个惯性环节相乘。即：)1(,) 1)(1()(22, 121TTsTsTksG)1(12

19、2, 1Tp1传递函数有两个实数极点：振荡环节分析振荡环节分析分析：y(t)的响应过程是振幅按指数曲线衰减的的正弦运动。与 有关。 反映系统的阻尼程度，称为阻尼系数， 称为无阻尼振荡圆频率。当 时，曲线单调上升,无振荡。当 时，曲线衰减振荡。 越小，振荡越厉害。n110若 ，传递函数有一对共轭复数极点。传函可写成：2222)(nnnsssG10)2()()()(222nnnssssXsGsY对阶跃输入： 0),11sin(11)(2122ttgtetynt单位阶跃响应曲线mIeR0n21nj21nj极点分布图解：当 时，有一对共轭复数极点。所以：, FkxfxmxkfsmssFsXsG21)(

20、)()(042 mkf,1)(2mksmfsmkksG,2 ,2mfmknn解得：mkfmkn2,例：求质量-弹簧-阻尼系统的 和 。n振荡环节例子振荡环节例子其传递函数为：)()(txtysesG)(延迟环节是一个非线性的超越函数，所以有延迟的系统是很难分析和控制的。为简单起见，化简如下：sseess11.111或ses12/12/12/2/sseeesssx(t)ty(t)t六、延迟环节：又称时滞，时延环节。它的输出是经过一个延迟时间后，完全复现输入信号。第三节 电气环节的负载效应及其传递函数2.无负载效应的环节：环节是组成控制系统的基本功能单位；如果环节的输出信号仅决定于输入信号及环节本

21、身的结构和参数，而与环节的外接负载无关，则称为无负载效应的环节；反之，如果缓解的输出信号还受外接负载的影响，则称为有负载效应的环节。一、负载效应：1.负载效应：环节的负载对环节传递函数的影响，称为负载效应。3.加载隔离放大器可消除环节间的负载效应。二、复阻抗由电路中的无源元件或有源元件构成的环节，称为电气环节。 电阻R的复阻抗为: ZR=R电容C的复阻抗为: ZC=1/CS电感L的复阻抗为: ZL=LS 传递函数定义法: 微分方程 拉氏变换 传递函数 复阻抗法: 依据电路理论利用复阻抗直接求得传递函数。 电气环节的数学模型建立方法：大多数运算放大器是由下述三个元件的电路连接成一个系统：具有高放

22、大系数、高输入阻抗和低输出阻抗的反相放大器；由外接阻抗构成的输入回路；由外接阻抗构成的反馈回路。三、由运算放大器构成的环节)()()()()(sGsZsZsusuifio运算放大器为无负载效应的环节 Ui(s) Uo(s) - - Rf Ri K 1.反号器2.比例器为比例系数其中：KKsGRRsUsUifio)()()(ififioRRsGRRsUsU其中：1)()()(由运算放大器构成的环节 K R R R : Ui1 Ui2 Is Uo N P R Ui3 If )().()()(21sUsUsUsUiniio由运算放大器构成的环节3.加法器4.积分器TsRCssZsZsUsUsGifi

23、o11)()()()()(sTRCssZsZsUsUsGdifio)()()()()( C Ui(s) Uo(s) - - Rf Ri K 由运算放大器构成的环节5.微分器6.实际微分环节11)()()()()(21sTsTRiCsCsRsZsZsUsUsGfifio第四节 发电机励磁控制系统及其传递函数注意：图230（43页）第五节第五节 系统方框图的等效变换和信号流图及梅森公式系统方框图的等效变换和信号流图及梅森公式动态结构图，动态结构图，是描述系统各组成元件之间信号传是描述系统各组成元件之间信号传递关系的数学图形，它表示了系统的输入输出之间的关系。递关系的数学图形，它表示了系统的输入输出

24、之间的关系。的组成的组成G(S)H(S)E(S)R(S)Y(S)-G(S)R(S)Y(S)2、的等效变换和简化的等效变换和简化典型连接方式及等效变换典型连接方式及等效变换X1(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s)112112( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )XsY sG sGsX sXsY sG sG s GsX s，G(s)X(s)Y(s)（1 1）串联及等效）串联及等效（2 2）并联及等效）并联及等效X(s)G2(s)G1(s)Y1(s)Y2(s)Y(S)12121212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )(

25、)( )Y sY sY sX s G sX s G sX s G sG sX s G sG sG sG sG(s)X(s)Y(s)（3 3）反馈及等效）反馈及等效G(s)H(s)E(s)R(s)Y(s)R(s)Y(s)()(1)(sHsGsG( )( ) ( ), ( )( )( )( )( ) ( )Y sE s G s E sR sB sB sY s H sm( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )1( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )1( ) ( )Y sR sB s G sR s G sY s H s G sY sH s G sR s G s

26、Y sG ssR sH s G smm（4 4）引出点的移动）引出点的移动G(S)G(S)X1X2X2X2X1X2G(S)1 1）前移）前移G(S)X2X1X1G(S)1/G(S)X1X2X12 2）后移）后移在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框 在移动支路中串入所越过的传递函数方框在移动支路中串入所越过的传递函数方框（5 5）综合点的移动）综合点的移动在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框 在移动支路中串入所越过的传递函数方框在移动支路中串入所越过的传递函数方框1 1）前前移移G(S)1/G(S)X

27、1X2X3-G(S)X1X2X3-2 2）后后移移x2x3x1G(s)G(s)G(s)x1x2x3相邻综合点之间可以随意调换位置相邻综合点之间可以随意调换位置 （6 6）相邻综合点移动）相邻综合点移动x1Yx2x3x1Yx2x3注意：相邻引出点和综合点之注意：相邻引出点和综合点之间不能互换间不能互换! !例：试简化系统结构图，并求系统传递函数。例：试简化系统结构图，并求系统传递函数。1212121( )1G s G sC sR sG sG sG s G s H s( )( )( )( )( )( ) ( ) ( )二、信号流图x1x4x3x2abc1 支路：支路： 表示变量之间的传输关系。表示

28、变量之间的传输关系。 节点：节点： 表示系统中的变量。表示系统中的变量。 信号流图是一种表示线性化代数方程组变量信号流图是一种表示线性化代数方程组变量间关系的图示方法。信号流图由节点和支路组成间关系的图示方法。信号流图由节点和支路组成（一）信流图的基本术语（一）信流图的基本术语1 1、输入节点：、输入节点：只有输出支路，没有输入支路的节点称为只有输出支路，没有输入支路的节点称为源点，它对应于系统的输入信号，或称为源点，它对应于系统的输入信号，或称为点点源节点源节点。2 2、输出节点：、输出节点：只有输入支路，没有输出支路的节点称为只有输入支路，没有输出支路的节点称为阱点，它对应于系统的输出信号

29、，或称为陷阱点，它对应于系统的输出信号，或称为陷点点。3 3、混合节点：、混合节点：既有输入支点也有输出支点的节点称为混既有输入支点也有输出支点的节点称为混合节点。合节点。混 合 节 点1X2X3X4Xabcd5X输入节点输入节点（源点）（源点）输出节点输出节点（汇点）（汇点）输入节点输入节点（源点）（源点）4、通路：从某一节点开始沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点（或同一节点）构成的路径称为通路。5、开通路：与任一节点相交不多于一次的通路称为开通路。6、闭通路：如果通道的终点就是通道的起点，并且与任何其他节点相交不多于一次的称为闭通道或称为回路。7、回路增益：回环中各支路传输的乘积称为回

30、路增益。8、前向通路：是指从源头开始并终止于汇点且与其他 节点相交不多于一次的通道，该通道的各传输乘积 称为前向通路增益。9、不接触回路：如果一信号流图有多个回路，各回环之间没有任何公共节点，就称为不接触回路，反之称为接触回路。（二）（二）信号流图的性质 x1x4x3x2abc1（三）信流图的绘制（三）信流图的绘制1 1、由方程组绘制信流图、由方程组绘制信流图首先按照节点的次序绘出各节点，然后根据首先按照节点的次序绘出各节点，然后根据各方程式绘制各支路。当所有方程式的信号流图各方程式绘制各支路。当所有方程式的信号流图绘制完毕后，即得系统的信号流图。绘制完毕后，即得系统的信号流图。4342341

31、21 dxxcxxexbxxfxaxxgxxxcccr绘制信号流图时，只需在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号，便得到节点；用标有传递函数的线段代替结构图中的方框，便得到支路。2 2、由系统结构图绘制信号流图、由系统结构图绘制信号流图结构图结构图信流图信流图变量变量传递传递综合点变成综合点变成混合节点混合节点1例2.设某系统的方框图如图所示，绘制信号流图绘制信号流图R(S)11G1G3G2C(S)G4-1-H1-H2CG1G2G3G4-H1H2R三、及梅逊公式三、及梅逊公式 为从源接点到阱接点的传递函数（或总增益）；为从源接点到阱接点的传递函数（或总增益）； 为从源接点到阱接点的前向通路

32、总数；为从源接点到阱接点的前向通路总数； 为从源接点到阱接点的第条前项通路总增益；为从源接点到阱接点的第条前项通路总增益； 为流图特征式；为流图特征式； 为流图余因子式；为流图余因子式；211ppkkk=pnpkk1abdefcLL LL L L 为所有单回路增益之和；为所有单回路增益之和； 为每两个互不接触的单独回路的回路增益的乘积之和；为每两个互不接触的单独回路的回路增益的乘积之和； 为每三个互不接触的单独回路的回路增益的乘积之和；为每三个互不接触的单独回路的回路增益的乘积之和； 等于流图特征式中除去与第等于流图特征式中除去与第 条前项通路相接触的回路增益项条前项通路相接触的回路增益项（包

33、括回路增益的乘积项）以后的余项式。（包括回路增益的乘积项）以后的余项式。aLbcL LdefL L Lkk例例1. 用用Mason公式求传递函数公式求传递函数前向通路前向通路311GGp 322GGp 431GGL312GGL无不接触回路无不接触回路)(121LL 1, 1211122Y(s)1(pp)R(s) 回路回路。图所示系统的传递函数使用梅森增益公式求下例 27432154363243211111743215436323217432135432321143211GGGGGGGGGGG1GGGGP1PR(S)C(S)( 11)(1GGGGGL GG-GL , )(R(S) : 接接触触三

34、三个个回回路路均均与与不不存存在在互互不不接接触触回回路路各各回回路路增增益益分分别别为为信信号号流流图图共共有有三三个个回回路路间间只只有有一一条条前前向向通通路路与与解解PGGGGGGGGGGGLLLGGGLGGGGPSCR(S)11G1-G7-G6-G5G3G2C(S)G4例例3. 用用Mason公式求传递函数公式求传递函数 前向通路：前向通路：6543211GGGGGGp 回路：回路： 2321HGGL1212HGGL 453HGL3654HGGL 43215GGGGL56543216HGGGGGGL不接触回路：不接触回路：L L1 1L L3 3 , , L L1 1L L4 4 ,

35、 L, L2 2L L3 3 , L, L2 2L L4 4 , L, L3 3L L5 5 , L, L4 4L L5 511 )L.L(161)LLLLLLLLLLLL(545342324131 11C(s)1pR(s)第五节常规控制器的基本控制规律、动态特性和实现方法 直到现在，比例积分微分(Propotional Intigrate Differential, PID)控制由于它自身的优点仍然是应用最广泛的基本控制方式。优点有：(1)原理简单，使用方便。 (2)适应性强。 (3)鲁棒性强，即其控制品质对被控对象特性 的变化不太敏感。 一个大型的现代化生产装置的控制回路可能多达一二百甚至更多，其中绝大部分都采用PID控制。一、常规控制器的类型及动态特性 在反馈控制系统中，控制器和被控对象构成一个闭合回路。两种情况：正反馈和负反馈： 正