数学建模讲座

1、双层规划及其应用李 砚主要内容：一般概念 数学建模 最优化理论 运筹学优化模型 单层优化模型 双层规划模型一、数学模型 所谓数学模型是指对某种事物系统的特征和数量关系，借助数学语言而建立的符号系统。 广义上讲，数学模型是指凡是以相应的客观原型作为背景加以一级抽象或多级抽象的数学概念、数学式子、数学理论等等都叫数学模型； 狭义上讲，数学模型是指那些反映特定问题或特定事物的数学符号系统。二、最优化理论 最优化技术是一门较新的学科分支，它在物资运输、机械设计、经济管理等科学技术各领域中有广泛应用。 最优化所研究的问题是在众多的可行方案中怎样选择最合理的一种以达到最优目标，将达到最优目标的方案称为最优

2、方案或最优决策，搜寻最优方案的方法称为最优化方法，关于最优化方法的数学理论称为最优化理论。三、最优化理论与数学建模的关系 数学建模与最优化方法之间的关系蕴含在用最优化方法解决问题的一般过程中： （1）提出最优化问题，收集有关数据和资料； （2）建立最优化问题的数学模型，确定变量，列出目标函数和约束条件； （3）分析模型，选择合适的最优化方法； （4）求解，一般通过编制程序，利用计算机求最优解； （5） 最优解的检验和实施。四、运筹学 运筹学（Operations Research) 是一门以定量方法为管理决策提供科学依据的学科。 如果把运筹学及相关内容比作一棵大树，则大树的主干就是“最优化”

3、，大树的根系是其基础科学，大树的分枝是在各个角度和方向上的最优化，大树的茂密枝叶是其丰富的内容，而大树的果实则是运筹学在各个领域中的应用成果。 四、运筹学应用的一般程序明确 选择 确定 计算 结果问题 模型 参数 求解 分析 五、最优化问题5.1 基本模型例1：某工厂计划生产甲、乙两种产品，生产1kg甲产品需耗煤9t、电4KWh、油3t；生产1kg乙产品需耗煤4t、电5KWh、油10t。该工厂现有煤360t、电200KWh、油300t。已知甲产品每千克售价7万元，乙产品每千克售价12万元。在上述条件下确定生产方案，使总收入最大。具体数据如下：5.2 双层规划模型5.2.1基本概念 双层规划，最

4、早由Bracken和McGill于1973年提出，是一类研究在约束条件中包含参数化子优化问题的规划问题。 5.2.2基本模型从上面的模型中可以看出:在递阶决策过程中，上层规划不仅与本层的决策变量有关，还依赖于下层规划的最优解，同时下层规划的最优解又受到上层决策变量的影响。虽然上下两层的决策者试图在只考虑自身目标的情况下对自身的目标函数进行优化，但是各自的可能选择依然相互依存。5.2.3基本特征一般而言，双层决策系统有以下几类特征： （1）层次性。研究的系统是分层管理的，各层决策者依次做出决策，下层服从上层。 （2）独立性。各层决策者各自控制一部分决策变量，以优化各自的目标。 （3）冲突性。各层决策者有各自不同的目标，且这些目标往往是相互矛盾的。 （4）优先性。上层决策者优先做出决策，而下层决策者在优化自己的目标而选择决策时，不能违背上层的决策。5.2.4 应用范围例政府与市场（治理污染、税收） 上层政府，下层造纸厂与渔场例物流的选址与配送例喷雾干燥器设计（产品设计）例 4 产品族设计5.2.5 模型的求解 数学建模的