二次常见图形

1、常见平面曲线常见平面曲线(1) 三次抛物线三次抛物线(3) 概率曲线概率曲线(5) 蔓叶线蔓叶线(7) 星形线星形线(9) 心形线心形线(11) 对数螺线对数螺线(13) 伯努利双纽线伯努利双纽线(15) 四叶玫瑰线四叶玫瑰线(2) 半立方抛物线半立方抛物线(4) 箕舌线箕舌线(6) 笛卡儿叶形线笛卡儿叶形线(8) 摆线摆线(12) 阿基米德螺线阿基米德螺线(10) 双曲螺线双曲螺线(14) 三叶玫瑰线三叶玫瑰线结束 3xy 三次抛物线三次抛物线 拐点: (0, 0) xyxy 关于原点对称32xy 尖点: (0, 0) 在尖点处与 x 轴相切 关于 x 轴对称半立方抛物线半立方抛物线结束 2

2、xey概率曲线概率曲线 拐点:),(121exyBA 拐点处切线斜率:e2 渐近线:轴x 与 x 轴之间的面积: 关于 y 轴对称设 服从标准正态分布 ,则其概率密度函数为2221)(xexf 拐点:), 1(1e 与 x 轴之间的面积: 1箕舌线箕舌线taxtantay2cos223axay或点击图中任意点动画开始或暂停 渐近线: y = 0 曲线与渐近线之间的面积:2aSM是直径为a 的圆上的动点,Q是射线OM与 y = a 的交点,QPx 轴 , MPx 轴P点轨迹即为箕舌线 . 轨迹 :ayoxtPMQ结束 oxya蔓叶线蔓叶线221 ttaax32)2(xxay或231 ttaayM

3、 是半径为 a 的母圆上的动点 ,满足 OM = PQ 之点 P 的轨迹即为 渐近线:ax2 曲线与渐近线之间的面积:23 aS点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停 轨迹:)tan(tMPQ蔓叶线 结束 313tatx3213taty笛卡儿叶形线笛卡儿叶形线1t参数的几何意义参数的几何意义:tant),() 1,(42t图形在第四象限,(0, 1(43t图形在第二象限),0),02t图形在第一象限动画走向: 1 1+结束 点击图中任意点动画开始或暂停 313tatx3213taty笛卡儿叶形线笛卡儿叶形线(续续)1t 结点:)0,0(O在该点与 x 轴 y 轴相切, 曲率半

4、径为a23 顶点:),(2323aaA 渐近线:0ayx 圈套所围面积:2231aS 曲线与渐近线之间的面积:2232aSoxyaaA结束 tax3costay3sin323232ayx或4a星形线星形线(内摆线的一种内摆线的一种) 弧 长 :as6 所围面积 :283aS 轨迹 : 半径为半径为 a 的定圆滚动时, 其上定点 M 的轨迹即为星形线的动圆圆周沿axoytM结束 点击图片任意处播放开始或暂停摆线摆线)sin( ax)cos1 ( ay点击图中任意点动画开始或暂停半径为 a 的圆周沿直线Moyxa无滑动地滚动时 , 其上定点 M 的轨迹即为摆线 . 轨迹:结束 Moyxta摆线摆线

5、(续续)a2 周 期:aT2 极大点:),2, 1() 12(kakxk 曲率半径:2sin4taR 一拱长:a8 一拱面积:23 aS 渐屈线: 仍为摆线yoxaa2Mo坐标系下在o与原摆线一致)sin( ax)cos1 ( ay结束 1x心形线心形线2222yxaxayx或)cos1 ( aroxy 尖点: (0, 0) 面积:223a 弧长:a8 轨迹: 外摆线的一种 点击图中任意点动画开始或暂停动圆直径 = 定圆直径 = a 结束 oxya心形线的另一种形式心形线的另一种形式2222yxaxayx即)cos1 ( ar 尖点: (0, 0) 面积:223a 弧长:a8点击图中任意点动画

6、开始或暂停结束 外摆线外摆线 (圆外旋轮线圆外旋轮线) 族族tbtbaxbbacoscos)(tbtbaybbasinsin)(定圆圆心为 (0,0), 半径为 a, 动圆半径为 b, abm m = 1为心形线2m3m4m23m5m点击图中任意点动画开始或暂停结束 0a0a阿基米德螺线阿基米德螺线ar 物理意义: 动点 M 以常速 v 沿一射线运动, 该射线又 以定速 绕极点转动时, 点M 的轨迹即为阿基米德螺线 结束 vr 阿基米德螺线阿基米德螺线(续续) 等距性: 过极点的射线与曲线 ,321AAA交于ox1A2A3A1M2MM)1ln(arsh2其中 弧 长 :)arsh1(22aOM

7、L2) 1(2232aR)(2221261aS 曲率半径 :21的面积MOM 扇形结束 它们之间的间隔都是a2对数螺线对数螺线aer xo的交角 都相等:a1tan(等角螺线等角螺线) 等比性: 过极点的射线与曲线交于,101AAA,101OAOAOA则各线段成等比级数, 公比为ae2 弧长 :)(121221rrLaaMM 曲率半径 :raR21rLaaOM211M2MM曲线与所有过极点的射线0A1A1A2A动画走向为0: 等角性 :点击图中任意点动画开始或暂停结束 oxya双曲螺线双曲螺线ar 1M 渐近点 :2M极点 O)( 渐近线 :ay 曲率半径 :312aR 扇形：的面积21MOM

8、212112aS 曲线由两支组成 ,它们关于 y 轴对称动画走向为0:点击图中任意点动画开始或暂停结束 伯努利双纽线伯努利双纽线2cos22ar或)()(222222yxayx点击图中任意点动画开始或暂停 结点(同拐点) :)0,0(O在该点的切线斜率为1 顶 点: )0,(,aBA 极值点:a46a42 曲率半径:ra32 双纽面积:2a极 值 :对应点:DDCC,xyoABCCDD结束 伯努利双纽线的轨迹特点伯努利双纽线的轨迹特点xyo1F2F221aOFOF 双纽线上的点 M 满足 :22121aMFMF 以1F为圆心 ,a21为半径作圆, 自O 作射线交圆于P, Q 则双纽线右支上的点满足 :PQOM M QP由对称性 , 左支也有类似结果结束 2sin22ar伯努利双纽线伯努利双纽线点击图中任意点动画开始或暂停 结点(同拐点) :)0,0(O在该点的切线为 x , y 轴 顶点: ),(,2222aaBA 极值点:44108ay 曲率半径:ra32 双纽面积:2a4412