专题七曲线运动

1、 专题七 曲线运动考点一：曲线运动平抛运动1、分运动和合运动的关系:等时性、独立性、等效性；合运动的性质是由分运动的性质决定的2、平抛运动：位移：分位移xv0t；ygt2. 合位移x合，tan. 为合位移与x轴的夹角速度：分速度vxv0；vygt. 合速度v，tan.为合速度v与x轴的夹角注意：(1)平抛运动是匀变速曲线运动，故相等的时间内速度的变化量相等由vgt，速度的变化必沿竖直方向（2）物体由一定高度做平抛运动，其运动时间由下落高度决定，与初速度无关，由公式ygt2，可得t；落地点距抛出点的水平距离xv0t，由水平速度和下落时间共同决定(3)水平方向和竖直方向的两个分运动同时存在，互不影

2、响，具有独立性推论1：从抛出点开始，任意时刻速度偏向角的正切值等于位移偏向角的正切值的2倍推论2：从抛出点开始，任意时刻速度的反向延长线与x轴的交点为此时刻对应水平位移的中点例1：下列哪幅图能正确描述质点运动到P点时的速度v和加速度a的方向关系()AC例2：如图所示，红蜡块能在玻璃管里的水中匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时，使玻璃管水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的()A直线PB曲线QC曲线R D无法确定B题后反思：(1) 判定曲线轨迹可从以下三个方面入手：初始状态和受力情况，合外力指向曲率中心，可知曲线弯曲方向与合外力的关系；速度、加速度矢量分析：根据运动合成与分

3、解的平行四边形定则，作矢量图判断；列轨迹方程，利用数形结合思想判断（2）研究曲线运动的思维过程(欲知)曲线运动规律(只需研究)两分运动规律(得知)曲线运动规律例3：如图，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经3.0 s落到斜坡上的A点已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角为37°，运动员的质量为m50 kg.不计空气力(取sin37°0.60，cos37°0.80；g取10 m/s2)求(1)A点与O点的距离L；(2)运动员离开O点时的速度大小；(3)运动员落到A点时的动能解析：(1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有Lsin37°gt2A

4、点与O点的距离L75 m(2)设运动员离开O点的速度为v0，运动员在水平方向做匀速直线运动，即Lcos37°v0t解得v020 m/s(3)由机械能守恒，取A点为重力势能零点，运动员落到A点时的动能为EkAmghmv0232500 J例4：如图所示，一小球从平台上水平抛出，恰好落在临近平台的一倾角为53°的光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h0.8 m，g10 m/s2，sin53°0.8，cos53°0.6，求：(1)小球水平抛出的初速度v0是多少？(2)斜面顶端与平台边缘的水平距离x是多少？(3)若斜面顶端高H20.8 m

5、，则小球离开平台后经多长时间t到达斜面底端？解析：(1)由题意可知：小球落到斜面上并沿斜面下滑，说明此时小球速度方向与斜面平行，否则小球会弹起，所以vyv0tan53°vy22gh则vy4 m/s，v03 m/s.(2)由vygt1得t10.4 sxv0t13×0.4 m1.2 m.(3)小球沿斜面做匀加速直线运动的加速度agsin53°8 m/s2初速度v5 m/s.则vt2at22解得t22 s(或t2 s不合题意舍去)所以tt1t22.4 s.练习1：1下列说法正确的是()A物体在恒力作用下不可能做曲线运动B物体在变力作用下有可能做曲线运动C物体做曲线运动，

6、沿垂直速度方向的合力一定不为零D沿垂直速度方向的合力为零时，物体一定做直线运动BCD2、 河水的流速与离河岸的关系如图甲所示，船在静水中速度与时间的关系如下图乙所示若要使船以最短时间渡河，则()A船渡河的最短时间是100 sB船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直C船在河水中航行的轨迹是一条直线D船在河水中的最大速度是5 m/sABD3、一水平抛出的小球落到一倾角为的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图14中虚线所示小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为()A.B.Ctan D2tanB4、(2011·上海单科)如图，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖

7、船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行当绳与河岸的夹角为时，船的速率为 ()Avsin B.Cvcos D.C5、(2011·广东理综)如图所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上已知底线到网的距离为L，重力加速度取g，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是()A球的速度v等于LB球从击出至落地所用时间为 C球从击球点至落地点的位移等于LD球从击球点至落地点的位移与球的质量有关解析：球做平抛运动，则其在竖直方向做自由落体运动，Hgt2得t，故B正确，水平方向做匀速运动，Lv0t得v0L，可知A正确球从击

8、球点到落地点的位移s与m无关，可知C、D错误答案：AB6、(2011·江苏单科)如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且OAOB.若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为()At甲<t乙Bt甲t乙Ct甲>t乙 D无法确定解析：设水速为v0，人在静水中速度为v，对甲，由OA，所用时间t1，由AO所用时间t2，则甲所用时t甲t1t2s(1)式；对乙，由OB和由BO的实际速度v，故所用时间t乙(2)式；两式相比得>1即t甲>t乙，故C正确答案：C

9、7、(2011·海南单科)如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆ab为沿水平方向的直径若在a点以初速度v0沿ab方向抛出一小球，小球会击中坑壁上的c点已知c点与水平地面的距离为圆半径的一半，求圆的半径解析：小球做平抛运动落到c点的竖直高度为yRsin30°而ygt2即gt2水平位移xRRcos30°而xv0t联立得R(2816).8如图所示，光滑斜面长为a，宽为b，倾角为.一物块沿斜面上方顶点P水平射入，而从右下方顶点Q离开斜面，求物块入射的初速度为多少？解析：物体在光滑斜面上只受重力和斜面对物体的支持力，因此物体所受的合力大小为Fmgsin，方向沿斜面向下；

10、根据牛顿第二定律，则物体沿斜面方向的加速度应为a加gsin，又由于物体的初速度与a加垂直，所以物体的运动可分解为两个方向的运动，即水平方向是速度为v0的匀速直线运动，沿斜面向下的是初速度为零的匀加速直线运动因此在水平方向上有bv0t，沿斜面向下的方向上有aa加t2；故v0b.9. 如图所示，在水平地面上固定一倾角37°、表面光滑的斜面体，物体A以v16 m/s的初速度沿斜面上滑，同时在物体A的正上方，有一物体B以某一初速度水平抛出如果当A上滑到最高点时恰好被B物体击中(A、B均可看作质点，sin37°0.6，cos37°0.8，g取10 m/s2)求：(1)物体A

11、上滑到最高点所用的时间t；(2)物体B抛出时的初速度v2；(3)物体A、B间初始位置的高度差h.解析：(1)物体A上滑过程中，由牛顿第二定律得mgsinma代入数据得a6 m/s2设经过t时间相撞，由运动学公式0v1at代入数据得t1 s.(2)物体B做平抛运动，它的水平位移xv1tcos37°2.4 m则抛出物体B时的初速度v22.4 m/s.(3)物体A、B间的高度差hhAhBv1tsin37°gt26.8 m.考点二：匀速圆周运动1、(1)线速度v定义：质点运动通过的弧长l与所用时间t的比值物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢，是矢量方向：质点在圆弧上某点的线速度方向沿

12、圆弧该点的切线方向大小：v(l是t时间内通过的弧长)(2)角速度定义：连结质点和圆心的半径转过的圆心角与所用时间t的比值物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢大小：(是连接质点和圆心的半径在t时间内转过的角度)(3)周期T、频率f做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫周期做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫做频率，也叫转速(4)v、f、T的关系T，2f，v2frr2、圆周运动中向心力的分析(1)匀速圆周运动：合力就是向心力，向心力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心(2)变速圆周运动：在变速圆周运动中，合外力不仅大小随时间改变，其方向也不沿半径指向圆心合外力沿半径方向的分力(或

13、所有外力沿半径方向的分力的矢量和)提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方向；合外力沿轨道切线方向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小Fmamm2r4m2f2rm.例1、小球质量为m，用长为L的悬线固定在O点，在O点正下方L/2处有一光滑圆钉C(如图所示)今把小球拉到悬线呈水平后无初速地释放，当悬线呈竖直状态且与钉相碰时()A小球的速度突然增大B小球的向心加速度突然增大C小球的向心加速度不变D悬线的拉力突然增大BD例2、如图所示，两个啮合的小齿轮半径为10 cm，大齿轮半径为20 cm，大齿轮中C点离圆心O2的距离为10 cm，A、B分别为两个齿轮边缘上的点，则A、B、C三点的(

14、)A线速度之比为111B角速度之比为111C向心加速度之比为421D转动周期之比为211C注意：(1)固定在一起共轴转动的物体上各点的角速度相同(2)不打滑的摩擦传动和皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等例3、小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的(小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角)与线速度v、周期T的关系(小球的半径远小于R) 解析小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上(不在半球的球心)，向心力F是重力G和支持力N的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平如图所示有：mgtanmRsin2由此可得：v，T2 2 ，(式中h为小球轨道平面到球心的高度)可

15、见，越大(即轨迹所在平面越高)，v越大，T越小题后反思：应用向心力公式解题的步骤1确定研究对象，确定轨道平面和圆心位置从而确定向心力的方向2选定向心力方向为正方向3受力分析(不要把向心力作为某一性质的力进行分析)4由牛顿第二定律和平衡条件列方程：沿径向有：F向ma向沿切向有：F切0.5求解并说明结果的物理意义练习：1如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上若在传动过程中，皮带不打滑则()Aa点与b点的线速度大小相等Ba点与b点的角速度大小相等Ca点与c

16、点的线速度大小相等Da点与d点的角速度大小相等C2、如图为某一皮带传动装置主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n1，转动过程中皮带不打滑下列说法正确的是()A从动轮做顺时针转动 B从动轮做逆时针转动C从动轮的转速为n1 D从动轮的转速为n1BC3、在光滑的圆锥漏斗的内壁，两个质量相同的小球A和B，分别紧贴着漏斗在水平面内做匀速圆周运动，其中小球A的位置在小球B的上方，如图3所示下列判断正确的是()AA球的速率大于B球的速率BA球的角速度大于B球的角速度CA球对漏斗壁的压力大于B球对漏斗壁的压力DA球的转动周期大于B球的转动周期AD4、如图所示，有一质量为M的大

17、圆环，半径为R，被一轻杆固定后悬挂在O点，有两个质量为m的小环(可视为质点)，同时从大环两侧的对称位置由静止滑下，两小环同时滑到大环底部时，速度都为v，则此大圆环对轻杆的拉力大小为()A(2m2M)gBMg2mv2/RC2m(gv2/R)MgD2m(v2/Rg)MgC考点三、圆周运动应用及离心运动1、火车转弯：如图所示，设两轨间距为l，内外轨水平高度差为h，转弯处轨道半径为R，向心力由火车重力mg和轨道对火车的支持力FN的合力提供F合mgtanmgsinmgF合m当mgm时，火车拐弯，既不挤压内轨又不挤压外轨，则v，当l、h、R确定，则v被惟一确定，即为规定的行驶速度2、竖直平面圆周运动：在最

18、高点：mmg±F，在最低点：mFmg. 轻绳模型轻杆模型常见类型均是没有支撑的小球均是有支撑的小球过最高点的临界条件由得由小球能运动即可得讨论分析（1）过最高点时，（2）不能过最高点，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道（1）当时，（2）当时，（3）当时，（4）当时，在最高点的图线取竖直向下为正方向3、汽车过桥问题凸形桥凹形桥受力分析图以a方向为正方向牛顿第三定律讨论增大，减小；当增大到时，增大，增大；只要 ，例1：上海磁悬浮线路的最大转弯处半径达到8000 m，近距离用肉眼看几乎是一条直线，而转弯处最小半径也达到1300 m一个质量为50 kg的乘客坐在车上以360 km/h不变速率

19、随车驶过半径2500 m弯道，下列说法正确的是()A乘客受到的向心力大小约为200 NB乘客受到来自车厢的力大小约为200 NC乘客受到来自车厢的力大小约为539 ND弯道半径设计特别长可以使乘客在转弯时更舒适ACD例2：长l0.5 m、质量可以忽略的杆，其下端固定于O点，上端连接着一个质量m2 kg的小球A，A绕O点做圆周运动，如图17所示，在A通过最高点时，试讨论在下列两种情况下杆的受力：(取g10 m/s2)(1)当A的速率v11 m/s时(2)当A的速率v24 m/s时解析小球在最高点的临界速度v0 m/s，小球的速度大于 m/s时受拉力，小于 m/s时受压力(1)当v11 m/s&l

20、t; m/s时，小球受向下的重力mg和向上的支持力N，如图所示由牛顿第二定律mgNm得Nmgm16 N由牛顿第三定律知，杆受小球的压力为16 N.(2)当v24 m/s> m/s时，小球受向下的重力mg和向下的拉力F，如图所示由牛顿第二定律 mgFm，得Fmmg44 N由牛顿第三定律知，杆受小球的拉力为44 N.例3：2009年12月15日港珠澳大桥正式开建，桥梁按六车道高速公路标准建设，设计行车速度每小时100千米假设一辆质量m2.0 t的小轿车，驶过半径R90 m的一段圆弧形桥面，重力加速度g10 m/s2.求：(1)若桥面为凹形，汽车以20 m/s的速度通过桥面最低点时，对桥面的压

21、力是多大？(2)若桥面为凸形，汽车以10 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？(3)汽车以多大速度通过凸形桥面最高点时，对桥面刚好没有压力？解析：(1)汽车通过凹形桥面最低点时，在水平方向受到牵引力和阻力f，在竖直方向受到桥面向上的支持力N1和向下的重力Gmg，如图所示圆弧形轨道的圆心在汽车上方，支持力N1与重力G的合力就是汽车通过桥面最低点时的向心力，即F向N1mg，由向心力公式有：N1mgm解得桥面的支持力大小为N1mmg(2000×2000×10) N2.89×104 N根据牛顿第三定律，汽车对桥面最低点的压力大小是2.89×104

22、N. (2)汽车通过凸形桥面最高点时，在水平方向受到牵引力F和阻力f，在竖直方向受到竖直向下的重力Gmg和桥面向上的支持力N2，如图所示圆弧形轨道的圆心在汽车的下方，重力G与支持力N2的合力就是汽车通过桥面最高点时的向心力，即F向mgN2，由向心力公式有：mgN2m解得桥面的支持力大小为N2mgm(2000×102000×) N1.78×104 N根据牛顿第三定律，汽车在桥的最高点时对桥面的压力大小为1.78×104 N.(3)设汽车速度为vm.通过凸形桥面最高点时对桥面压力为零根据牛顿第三定律，这时桥面对汽车的支持力也为零，汽车在竖直方向只受到重力G作

23、用，重力Gmg就是汽车驶过桥最高点时的向心力，即F向mg，由向心力公式有mgm解得vm m/s30 m/s汽车以30 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面刚好没有压力例5：如图所示，细绳一端系着质量m0.6 kg的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑的小孔吊着质量m0.3 kg的物体，m的重心与圆孔距离为0.2 m，并知m和水平面的最大静摩擦力为2 N现使此平面绕中心轴线转动，问角速度在什么范围，m 会处于静止状态(取g10 m/s2)解析要使m静止，m也应与平面相对静止，而m与平面静止时有两个临界状态：当为所求范围最小值时，m有向着圆心运动的趋势，水平面对m的静摩擦力的方向背离圆心，大小等于

24、最大静摩擦力2 N.此时，对m运用牛顿第二定律，有Tfmaxm12r，且Tmg解得12.9 rad/s.当为所求范围最大值时，m有背离圆心运动的趋势，水平面对m的静摩擦力的方向向着圆心，大小还等于最大静摩擦力2 N.再对m运用牛顿第二定律，有Tfmaxm22r，且Tmg解得26.5 rad/s.所以，题中所求的范围是：2.9 rad/s<<6.5 rad/s.练习1、如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是() A小球通过最高点时的最小速度vminB小球通过最高点时的最小速度vmin0 C小球在水平线ab以下的管道中运动时

25、，内侧管壁对小球一定无作用力D小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力解析：小球沿管上升到最高点的速度可以为零，故A错误，B正确；小球在水平线ab以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力FN与球重力在背离圆心方向的分力Fmg的合力提供向心力，即：FNFmgm，因此，外侧管壁一定对球有作用力，而内侧壁无作用力，C正确；小球在水平线ab以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力与小球速度大小有关，D错误答案：BC2、城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，跨度为L，桥高为h.一辆质量为m的小汽车，在A端以速度v0冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为v1，若小汽车在上桥过程中，克服桥面摩擦力做的功忽略不计，则()A小汽车通过桥顶时处于失重状态B小汽车在上桥过程中受到桥面的支持力大小为FNmgmC上桥过程中小汽车发动机做的功为mv12mv02D小汽车到达桥顶时的速度不会大于解析：由圆周运动知识知，小汽车通过桥顶时，其加速度方向向下，由牛顿第二定律得mgFN，解得FNmg<mg, 故其处于失重状态，A正确；此式只在小汽车通过桥顶时成立，而其上桥过程中的受力情况较为复杂，B错误；上桥过程中小汽车发动机做的功为Wmghmv12mv02，C不正确；由mgF