数学分析傅立叶级数习题

1、第十五章 傅里叶级数一填空题1. 设是周期为的函数，在上的表达式为，则的傅里叶系数 .2.若在上按段光滑，则在上的傅里叶级数 . 3. 设则此函数的傅里叶级数在处收敛于 . 4. 设，则此函数的傅里叶级数在处收敛于 .5. 设，则此函数的傅里叶级数在处收敛于 . 6. 是以为周期的连续函数，且在上按段光滑，则 . 二选择题1.下列说法正确的是（ ）若是以为周期的函数，且在上可积，则的傅里叶系数中的，若是以为周期的函数，且在上可积，则的傅里叶系数中的，若是以为周期的偶函数，且在上按段光滑，则在上可展开成余弦级数.若是以为周期的奇函数，且在上按段光滑，则在上可展开成正弦级数.2.设是周期为的函数，

2、在上的表达式为，则下列说法错误的是（ ）在上可以展开成傅里叶级数. 的傅里叶展式在处收敛于.的傅里叶展式在处收敛于.的傅里叶系数.3.设函数满足，则该函数的傅里叶级数具有性质（ ） 4.设是周期为的函数，在上的表达式为，则下列说法正确的是（ ）的傅里叶展式在处收敛于.的傅里叶展式在处收敛于-. 的傅里叶展式在处收敛于. 的傅里叶展式在处均收敛于.5.将在上展开成余弦级数，则下面关说法错误的是（ ）的傅里叶展式在处收敛于-.的傅里叶展式在处收敛于.的傅里叶展式在处收敛于.的傅里叶展式在处收敛于.6. 若将函数在内展成正弦级数，则下列说法正确的是（ ） 的正弦级数展式在处收敛于.当时，展成的正弦级

3、数收敛于本身.在内不能展成余弦级数三判断题1.是上的正交函数系. ( ) 2.若是以为周期的函数，且在上按段光滑，则在上的傅里叶级数收敛于本身. （ ）3.若在上按段光滑，则在上可以展成傅里叶级数. （ ）4.函数是在上的周期函数，且在上按段光滑，则在上可以展成正弦级数. （ ）5.函数的傅里叶级数在连续点处收敛于该点的函数值. ( )6.设函数则此函数的傅里叶级数在处收敛于. ( )7.是上的正交函数系. ( )8.在上不能展成余弦级数. ( )9.在上不能展成正弦级数. ( )10.若级数收敛，则级数在整个数轴上一致收敛. ( ) 四计算题1.（1）将在上展开成傅里叶级数；（2）利用展开式

4、证明：2.将在上展开成傅里叶级数.3.（1）将在上展开成余弦级数；（2）根据展开式求4.将在上展开成正弦级数.5.求（是常数）在上的傅里叶展开式.五证明题1.设在上可积或绝对可积，若对，成立，证明：.2.设周期为的可积函数在的傅里叶系数为，函数的傅里叶系数为，且，证明：.3.根据在的余弦级数展开式证明.4.已知帕萨瓦尔等式为，（为的傅里叶系数），利用证明.5.已知，利用逐项积分法证明在的傅里叶级数为第十六章第十七章一、判断题1、设平面点集，则为其内点。 ( )2、若累次极限与存在且相等，则重极限必存在。( ) 3、若累次极限存在，则累次极限也存在。 ( )4、若重极限存在，则累次极限与必存在。

5、( )5、若函数在有界集上连续，则在上有界。( )6、若函数在闭域上连续，则在上有界。( )7、若函数在点处沿任何方向的方向导数都存在，则在点处可微。( )8、若函数在点处的偏导数，都存在，则在点处连续。( )9、若函数在点处的偏导数，都存在，则在点处可微。( )10、若函数在点处可微，则函数在点处的偏导数，都存在。( )11、若函数在点处可微，则在该点处连续。( )12、若在其定义域的内点处连续在和在都连续( )13、若在其定义域的内点处连续在和在都连续( )14. 若函数在点处沿任何方向的方向导数都存在，则在点处偏导数存在。15. 若在点处偏导数存在，则函数在点处沿x轴正向和负向的方向导数

6、都存在，且互为相反数.二、选择题1、若对任何k都成立，则必有( )(A) 在处连续 (B) 在处有偏导数(C) (D) 不一定存在2、连续是可微的( )(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件(C) 充分必要条件 (D) 无关条件3、二元函数在处可微的充分条件是（ ）（A）在处连续；（B），在的某邻域内存在；（C） 当时，是无穷小；（D）。4、设函数 ,则在点处（ ） （A）连续且偏导数存在； （B）连续但偏导数不存在； （C）不连续但偏导数存在； （D）不连续且偏导数不存在。5、设存在，则=（ ） （A） （B）0 （C）2 （D） 6、函数的定义域是（ ）（A）； （B）； （C）；

7、 （D） 。7、设，在点处，下列结论（ ）成立。（A）有极限，且极限不为0 （B）不连续（C） （D）可微8、设函数有，且，则=（ ）（A）（B）（C）（D）9、设函数满足方程及条件，则 (A) (B) (C) (D) 10、二元函数在点处的两个偏导数，存在是在该点连续的（ ） (A) 充分条件非必要条件 (B) 必要条件非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件11、设函数在点附近有定义，且，则（ ）成立。 (A) (B)曲面在点处的法向量为(C)曲线在点处的切向量为 (D)曲线在点处的切向量为12、已知为某个函数的全微分，则（ ） (A) (B) 0 (C) 1 (

8、D) 2 13、下列命题正确的是（ ） (A) 若在处可微，则在该点处连续； (B) 若在处可微，则存在； (C) 若在处都存在，则在处连续；(D) 若在处的二阶偏导数都存在，则在处连续。14、下列论述正确的是（ ） (A) 的极值点必是的驻点； (B) 的驻点必是的极值点； (C) 可微函数的极值点必是的驻点；(D) 可微函数的驻点必是的极值点。15、函数在点沿方向的方向导数等于（ ）(A) (B) (C) (D) 16、极限之值为（ ）(A) (B)不存在 (C) (D) 17、设有二阶连续偏导数，则=（ ）(A) (B) (C) (D) 18、若，存在，则在点处( )(A) 一定不可微

9、( B)一定可微 (C) 有意义 (D)无意义19、设二元函数在点处的两个偏导数，则点一定是函数的（ ） (A) 极大值点 (B) 极小值点 (C) 极值点 (D) 驻点20、函数的定义域为（ ）(A) (B) (C) (D)21、设，则=（ ）(A) (B) (C) (D) ;22、函数在原点沿方向的方向导数=（ ）(A) ( B) (C) (D) 23、设在处的偏导数存在，则=（ ）(A) (B) (C) (D) 24、函数的定义域是（ ）(A); (B) ;(C) ; (D) ;25、已知函数在点的某个领域内连续，且则下列四个选项中正确的是（ ）(A) 点不是的极值点 (B) 点是的极大

10、值点;(C) 点是的极小值点 (D) 根据所给条件无法判断点是否为的极值点26、设的偏导数连续，可导，则必有（ ）(A); (B) ;(C) ; (D) 27、设，则（ ）(A) (B) (C) (D) 28.曲线在点处的切线与y轴的夹角为（ ） A. B. C. D. 29. 设在点处取得极小值，则函数在处( )A. 取得极小值 B. 取得极大值 C.取得最小值 D. 取得最大值30. 函数在点处沿曲线在此点的内法线方向的方向导数为（ ）A. B C. D.31. 设可微函数在点处取得极小值，则下列结论正确的是（ ）A. 在处的导数等于0 B. 在处的导数大于0C. 在处的导数小于0 D.

11、在处的导数不存在32. 设函数在点(0,0)附近有定义，且 ，则（ ）A. B. 曲面在点的法向量为C. 曲线在点的切向量为D. 曲线在点的切向量为三、填空题1、设平面点集，则( )( )。2、设平面点集，则_,_。3、设，则_。4、 。5、设， 则 。 6、函数在点（0，0）处沿的方向导数= 。7、设，则= 。8、设，则 。9、在处的梯度为 。10、设具有二阶连续导数，则 。11、若在点处存在一阶、二阶连续偏导数，且=0，则当 时，必是的极值点。12、设，且当时，则 13、设，则= 14、函数的连续点的集合为 15、函数的定义域是 16、设函数，则 17、设，则= 18、椭球面在点（1，1，

12、1 ）处的切平面方程是 19、曲线在点（，）处的切线方程是 。20、空间曲线在任意点处的切线的切向量 21、设是可微函数，且 ，曲面通过点，则曲面在这点的法线方程是 22、设，其中可微，则23、设都是由方程确定的具有连续偏导数的函数，则 24、设，其中是二元连续函数，则四、计算题1、设均为连续可微函数，求。2、设，求3、求函数在点沿A指向点的方向的方向导数。4、求函数在由直线所围成的闭区域D上的最大值和最小值。5、在椭圆上求一点，使其到直线的距离最短。6、设求。7、设，具有连续偏导数，求。8、已知函数，其中具有二阶连续导数，求 的值9、求在区域上的最大值和最小值。10、计算。11、设具有连续导

13、数，求。12、在椭圆的第一象限部分上求一点，使得该点处的切线与坐标轴所围成的三角形面积最小，并求面积的最小值13、设，且所有函数均具有连续的偏导数，求。14、设，其中具有连续偏导，求,15、设，求（7分）16、设是由方程组所确定的隐函数，求, 17、设，而，其中二阶可导，求18、设，其中具有一阶连续偏导数，具有一阶连续导数，求 、五、证明题1、证明：不存在2、证明：不存在3、设，证明：在点处连续且偏导数存在，但不可微。4、证明：函数在点处连续且偏导数存在，可微5、设可微，与是上的一组线性无关向量，试证明：若，则常数6、函数有一阶连续偏导数，对任意，有，证明曲面上任一点处的法线与直线垂直 第18

14、-19章一、判断题 1.平面曲线上任一点处的切线被坐标轴所截取的线段为定长. （ ） 2. 方程在原点的邻域内不一定能确定隐函数 （ ）3. 在上不一致收敛. （ ） 4. 设函数组与互为反函数组，且它们的雅可比行列式存在，则互为倒数. （ ）5若含参量的反常积分在上绝对收敛，且在上连续，则在上连续. （ ）二、 填空题1.已知，则 ， .2. 若，则 .3. 在(1,1,1)的切平面方程 .4. 已知函数，求= .5.求含参量积分的导数 .6.设，求 .7.由方程所确定隐函数，在点P(1,2,-2)处的全微分 .8. 含参量反常积分在 上一致收敛.9. 对任何正数函数和函数之间的关系= .1

15、0. 利用函数定义，= .三、选择题1. 隐函数定理中的四个条件是隐函数存在的（ ）条件. A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 不必要不充分2. 反函数组的偏导数与原函数组的偏导数之间的关系为（ ）. A. B. C. D.3. （ ） . A. B. C. 3 D. 4.在点(2，1)的切线方程为 ( ).A. B. C. D. 5. 关于含参量非正常积分的一致收敛，不正确的是 ( ).A. 在上一致收敛 B. 在上一致收敛C. 在上一致收敛D. 在上一致收敛6. 方程所确定的曲线在(0,0)点的切线斜率为（ ）A-1 B. 1 C. 0.5 D. -0.57. 函数，则的

16、值是（ ）A. B. C. D. 8. 方程在原点（0,0）的某邻域内必可确定隐函数的形式为（ ）A. B. C. 两种形式都能 D. 两种形式都不能9. 椭圆上横坐标与纵坐标相等的点的切线斜率为( ) A. -2 B-0.5 C. 0.5 D. 2四、解答题1. 求方程组所确定的隐函数组的偏导数2. 求下面的方程组所确定的隐函数组的导数：3. 方程在点(0,1, 1)的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的函数？4. 设，其中为由方程所确定的隐函数，求.5. 已知，求.6. 证明对任意常数，球面与锥面是正交的7. 已知，计算积分.8. 已知，求9. 求10. 对于有，利用该公式计算（其

17、中）11. 应用证明12. 已知试证 13. 讨论下列含参变量的广义积分在指定区间的一致收敛性(1)在上一致收敛；（2）在上关于的一致收敛性（3）在上一致收敛（4）在中的一致收敛性14. 讨论下列含参变量的广义积分在指定区间的一致收敛性1）在上一致收敛吗？2）在上一致收敛吗？3）在上一致收敛吗？4）在上一致收敛吗？5）在上一致收敛吗？15. 求下列极限(1)； (2)；（3） （4）16. 1）设，求 2）设，其中可导，求 3）设，求17. 应用含参变量积分性质计算1）2） 第二十章 曲线积分一 选择题1设是连接，的折线，则 （ ） （A）0 （B） （C） （D）2 2设为椭圆，并且其周长为

18、S，则= （ ） （A）S （B）6S （C）12S （D）24S3设以，为顶点的正方形周边，为逆时针方向，则 （ ） （A）1 （B）2 （C）4 （D）04设是抛物线,增加的方向为正向，则和（ ） （A） （B） （C） （D）5设L为，则曲线积分（ ） A； ； ； 6. 设L为从A（0，0）到B（4，3）的直线，则曲线积分（ ）A.； B.；C.； D.7 设为取正向的圆周，则（ ） A. ； B. ； C. ； D. 以上答案都不对。8曲线弧上的曲线积分和上的曲线积分有关系( )A B C D 9 设是平面可求面积的有界闭区域的边界，则的面积可表示为（ ）A. B. C. D.二 填

19、空题1设平面曲线为下半圆周，则曲线积分 。2设是由点O(0,0)经过点A(1,0) 到点B(0,1)的折线，则曲线积分 3设设是由原点O沿到点A，则曲线积分 。 4设是由点到的线段，则= ，则曲线积分，。5. 设为取正向的圆周，则曲线积分 6. 设是抛物线上从点（1，1）到点（4，2）的一段弧则 .7.设为三顶点分别为（0，0）、（3，0）、（3，2）的三角形的边界正方向，则曲线积分= 8设为椭圆其周长为,则 9已知曲线，则10为圆周，计算对弧长的曲线积分= 三 计算题1,计算，其中曲线C分别为1）直线，2）抛物线，3）立方抛物线，都是有原点（）到点。2. 计算, 其中L是抛物线y=

20、x2上从点(0, 0)到点(2, 4)的一段弧; 3已知曲线弧，计算。4设是曲线上从点（1, 1）到点（2, 2）的一段弧，计算 5 求，其中为圆周.6计算，其中L为球面被平面所截得的圆周。7计算第一类曲线积分，其中L为双纽线。8 ，其中为按逆时针方向绕椭圆周。 9计算,其中为圆周，直线在第一象限内所围成的扇形的边界。10计算,其中是,顺时针方向11 计算，其中为任意一条不通过原点的简单光滑正向的封闭曲线.12利用曲线积分求下列星形线 ()）这个平面曲线所围成图形的面积:。 第二十一章 重积分一、判断题1、若函数在有界闭区域D上有界，则在D上必然可积。 （ ）2、在区域上有。（ ）3、二元函数

21、在某点的两个累次极限存在，则在该点的重极限必存在。（ ）4、 积分在球面坐标下其体积微元将变成。 （ ）5、在区域上有。 （ ）二、填空题1、交换二重积分次序= 2、 3、由椭圆，所围区域的面积为 4、设密度均匀的平面薄板方程为半椭圆，则其重心为 三、选择题1、设，若，则 （ ）A 1 B C D 2、设，为D在第一象限部分，则下列各式中不成立的是（ ）A B C D 3、设，则（ ）A B C D 4、将交换积分次序后为（ ）A. B. C. D. 5、设，则更换积分次序后 ( ) A. B. C. D. 6、设 ，则改变积分次序后( )A B C D 7、设是平面可求面积的有界闭区域的边界

22、，则的面积可表示为（ ）A. B. C. D.8、设有空间有界闭区域，则有（ ）A、 B、 C、 D、9、设D为平面上一个闭区域, L是包围了区域D的边界正向曲线，则D的面积为( )A. B. C. D. 四、计算题1、计算二重积分，其中D是由圆周所围区域.2、计算二重积分，其中。3、求，其中。4、计算如下积分.5、计算：, 其中L为任一闭区域的边界线.6、应用Green公式计算（的方向取逆时针方向）,其中（1）原点不在所围成的闭区域的内部和边界上；（2）原点在所围成的闭区域的内部. 7、计算，其中是由曲面与为界面的闭区域。8、计算，其中V由椭球围成的区域.9、设平面薄片所占的闭区域由抛物线及直线所围成，它在点处的面密度，求该薄片的质心。五、证明题1、证明：由椭圆所围