电子电工第章

1、第二章第二章 正弦交流电路正弦交流电路第一节第一节 正弦量的参数和相量表示法正弦量的参数和相量表示法第二节第二节 电阻元件的交流电路电阻元件的交流电路第三节第三节 电感元件的交流电路电感元件的交流电路第四节第四节 电容元件的交流电路电容元件的交流电路第五节第五节 简单交流电路的分析简单交流电路的分析第六节第六节 三相交流电路的分析三相交流电路的分析返回主目录返回主目录第一节第一节 正弦量的参数和相量表示法正弦量的参数和相量表示法 在正弦交流电路中，由于电流或电压的大小和方向在正弦交流电路中，由于电流或电压的大小和方向都随时间按正弦规律发生变化，因此，在所标参考方都随时间按正弦规律发生变化，因此

2、，在所标参考方向下的值也在正负交替。图向下的值也在正负交替。图2-1a所示电路，交流电路所示电路，交流电路的参考方向已经标出，其电流波形如图的参考方向已经标出，其电流波形如图2-1b所示。所示。 一、正弦量的三要素一、正弦量的三要素 1.振幅值（最大值）振幅值（最大值）正弦量在任一时刻的值称为瞬正弦量在任一时刻的值称为瞬时值，用小写字母表示，时值，用小写字母表示，如如 、 , , 分别表示电流及分别表示电流及电压的电压的瞬时值瞬时值。正弦量瞬时值。正弦量瞬时值中的最大值称为中的最大值称为振幅值振幅值也叫也叫最最大值大值或或峰值峰值，用大写字母加下，用大写字母加下标标m m表示，如表示，如I I

3、m m、U Um m , , 分别表分别表示电流、电压的振幅值。图示电流、电压的振幅值。图2-2-2 2所示波形分别表示两个振幅所示波形分别表示两个振幅不同的正弦交流电压。不同的正弦交流电压。iu2.2.角频率角频率 角频率是描述正弦量变化快慢的物理量。正弦角频率是描述正弦量变化快慢的物理量。正弦量在单位时间内所经历的电角度，称为角频率，用量在单位时间内所经历的电角度，称为角频率，用字母字母表示，即表示，即 t 式中，式中， 的单位为弧度的单位为弧度/秒（秒（ ） srad/ 正弦量完成一次周期性变化所需要的时间，称为正弦量完成一次周期性变化所需要的时间，称为正弦量的周期，用正弦量的周期，用T

4、 T表示，其单位是秒（表示，其单位是秒（S S）。）。 正弦量在正弦量在1 1秒钟内完成周期性变化的次数，称为秒钟内完成周期性变化的次数，称为正弦量的频率，用正弦量的频率，用f 表示。其单位是赫兹，（表示。其单位是赫兹，（H HZ Z）。）。Tf1 （2-1）根据定义，周期和频率的关系应互为倒数，即根据定义，周期和频率的关系应互为倒数，即3.3.初相初相 在正弦量的解析式中，角度（在正弦量的解析式中，角度（ ）称为正）称为正弦量的相位角，简称相位，它是一个随时间变化的弦量的相位角，简称相位，它是一个随时间变化的量，不仅确定正弦量的瞬时值的大小和方向，而且量，不仅确定正弦量的瞬时值的大小和方向，

5、而且还能描述正弦量变化的趋势。还能描述正弦量变化的趋势。t 初相初相是指是指t t =0时的相位时的相位,用用符号表示。正弦量符号表示。正弦量的初相确定了正弦量在计时起点的瞬时值。计时的初相确定了正弦量在计时起点的瞬时值。计时起点不同，正弦量的初相不同，因此初相与计时起点不同，正弦量的初相不同，因此初相与计时起点的选择有关。起点的选择有关。我们规定初相我们规定初相| | |不超过不超过弧弧度，即度，即-。图图2-32-3所示是不同初相时的所示是不同初相时的几种正弦电流的波形图。几种正弦电流的波形图。 在选定参考方向下，已知正弦量的解析在选定参考方向下，已知正弦量的解析 式为式为 。试求正弦量的

6、。试求正弦量的振幅、频率、周期、角频率和初相。振幅、频率、周期、角频率和初相。A)240314sin(10 tiA10m Irad/s314s02. 0s501s31422 THz50Hz23142 f120 i AA)120314sin(10)240314sin(10 tti例例2-1解解 已知一正弦电压已知一正弦电压 ，频率为工频频率为工频 ，试求，试求 时的瞬时值。时的瞬时值。 V)4sin(311 tu s2 tst2 VV22022311V4sin311)42100sin(311 u角频率 当时， Hz50 frad/s314rad/s1002 f 例例2-2解解二、相位差二、相位差

7、两个同频率正弦量的相位之差，称为相位差，用两个同频率正弦量的相位之差，称为相位差，用 表表示。例如示。例如)sin()sin(mmiutIitUu 则两个正弦量的相位差为：则两个正弦量的相位差为：iuiutt )()( 上式表明，同频率正弦量的相位差等于它们的上式表明，同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差，不随时间改变，是个常量，与计时起点的初相之差，不随时间改变，是个常量，与计时起点的选择无关。如选择无关。如图图2-42-4所示，相位差就是相邻两个零点所示，相位差就是相邻两个零点（或正峰值）之间所间隔的电角度。规定其绝对值不（或正峰值）之间所间隔的电角度。规定其绝对值不超过超过 180当当

8、 即两个同频率正弦量的相位差为即两个同频率正弦量的相位差为 ，称这两个正，称这两个正弦量弦量反相反相，波形如图，波形如图2-5b所示。所示。 当当 即两个同频率正弦量的相位差为零，这两个正弦量即两个同频率正弦量的相位差为零，这两个正弦量为为同相同相，波形如图，波形如图2-5a所示。所示。0 180当 AA)4314sin(8)4314sin(1021 titi2)4(421 ii 比比 超前超前 ，或，或 滞后滞后 。1i2i901i2i90图图2-62-6例例2-3解解三、有效值三、有效值 把一个交流电把一个交流电i i与直流电与直流电I I 分别通过两个相同的电阻，如分别通过两个相同的电阻

9、，如果在相同的时间内产生的热量相等，则这个直流电果在相同的时间内产生的热量相等，则这个直流电I I 的数值就的数值就叫做交流电叫做交流电i i 的有效值的有效值。直流电流通过电阻在交流一个周期的时间内所产生的热量为直流电流通过电阻在交流一个周期的时间内所产生的热量为 RTIQ2 交流电流通过电阻，在一个周期内所产生的热量为交流电流通过电阻，在一个周期内所产生的热量为 tRiQTd02 热量相等，所以热量相等，所以 TRTItRi022d若交流电流为正弦交流若交流电流为正弦交流 则则 tIim sin mm022m707.02dsin1IIttITIT 这表明振幅为这表明振幅为1A的正弦电流，在

10、能量转换方面与的正弦电流，在能量转换方面与0.707A的直流电流的实际效果相同。的直流电流的实际效果相同。同理，正弦电压的有效值为同理，正弦电压的有效值为 mm707. 02UUU 人们常说的交流电压人们常说的交流电压220V220V，380V380V指的就是有效值。指的就是有效值。 因为民用电是正弦交流电，电压的最大值因为民用电是正弦交流电，电压的最大值这个电压超过了电容器的耐压，可能击穿电容器，这个电压超过了电容器的耐压，可能击穿电容器，所以不能接在所以不能接在220V220V的电源上的电源上。V3112202m U例例2-4解解四、正弦量的相量表示法四、正弦量的相量表示法一个正弦量可以表

11、示为一个正弦量可以表示为)sin(m tUu根据此正弦量的三要素，可以作一个复数让它的模为根据此正弦量的三要素，可以作一个复数让它的模为 ，幅角为幅角为 ，即，即 mU t)sin(j)cos(mmm tUtUtU上式上式j= , j= , 为虚单位，这一复数的虚部为一正弦时间函数，为虚单位，这一复数的虚部为一正弦时间函数，正好是已知的正弦量，所以一个正弦量给定后，总可以作出一正好是已知的正弦量，所以一个正弦量给定后，总可以作出一个复数使其虚部等于这个正弦量。因此我们就可以用一个复数个复数使其虚部等于这个正弦量。因此我们就可以用一个复数表示一个正弦量，其意义在于把正弦量之间的三角函数运算变表示

12、一个正弦量，其意义在于把正弦量之间的三角函数运算变成了复数的运算，使正弦交流电路的计算问题简化。成了复数的运算，使正弦交流电路的计算问题简化。 1 由于正弦交流电路中的电压，电流都是同频率的正弦量，故角由于正弦交流电路中的电压，电流都是同频率的正弦量，故角频率这一共同拥有的要素在分析计算过程中可以略去，只在结频率这一共同拥有的要素在分析计算过程中可以略去，只在结果中补上即可。这样在分析计算过程中，只需考虑最大值和初果中补上即可。这样在分析计算过程中，只需考虑最大值和初相两个要素，故表示正弦量的复数可简化成相两个要素，故表示正弦量的复数可简化成 mU上式为正弦量的极坐标式，我们就把这一复数称为相

13、量，以上式为正弦量的极坐标式，我们就把这一复数称为相量，以“ ”表示，并习惯上把最大值换成有效值，即表示，并习惯上把最大值换成有效值，即U UU（2-52-5） 在表示相量的大写字母上打点在表示相量的大写字母上打点“ ”是为了与一是为了与一般的复数相区别，这就是正弦量的相量表示法。般的复数相区别，这就是正弦量的相量表示法。 需要强调的是，相量只表示正弦量，并不等于正需要强调的是，相量只表示正弦量，并不等于正弦量；只有同频率的正弦量其相量才能相互运算，弦量；只有同频率的正弦量其相量才能相互运算，才能画在同一个复平面上。才能画在同一个复平面上。画在同一个复平面上表示相量的图称为相量图。画在同一个复

14、平面上表示相量的图称为相量图。 UU)sin(m tU对应关系对应关系不相等！不相等！ 已知正弦电压、电流为已知正弦电压、电流为 ，V)3sin(2220 tu 写出写出 和和 对应的相量，并画出相量图。对应的相量，并画出相量图。A)3sin(07.7 ti ui 的相量为的相量为 uV3220 U的相量为的相量为iA35A3207. 7 I相量图如图相量图如图2-7所示。所示。图图2-72-7例例2-5解解 写出下列相量对应的正弦量。写出下列相量对应的正弦量。 （1 1） V45220UHz50f（2 2） A12010IHz100f V)45314sin(2220tu（1 1）A)1206

15、28sin(210ti（2 2）解解例例2-6 已知已知 V)60sin(21001 tu V)30sin(21002 tu 试用相量计算试用相量计算 ，并画相量图。，并画相量图。 21uu 正弦量正弦量 和和 对应的相量分别为对应的相量分别为2u1uVV301006010021 UU它们的相量和为它们的相量和为V)50j6 .866 .86j50(V30100V6010021 UUV154 .141V)6 .36j6 .136( 对应的解析式对应的解析式 为为V)15sin(24 .14121 tuu 相量图如相量图如图图2-82-8所示。所示。 例例2-7解解图图2-82-8 如图如图2-

16、92-9为一个电阻元件的交流电路，在为一个电阻元件的交流电路，在关联参考方向下，根据欧姆定律，电压和电流关联参考方向下，根据欧姆定律，电压和电流的关系为的关系为Rui )sin(mitIi 若若)sin()sin(mmuitUtRIRiu 则则iu mmRIU 得得RIU 或或两两正弦量正弦量对应的相量为对应的相量为iII uUU 第二节第二节 电阻元件的交流电路电阻元件的交流电路图图2-9一、电阻元件上电压和电流的相量关系一、电阻元件上电压和电流的相量关系两相量的关系为两相量的关系为IRRIUUiu 即即RUI 此式就是电阻元件上电压与电流的相量关系式。此式就是电阻元件上电压与电流的相量关系

17、式。（2-62-6） 由复数知识可知，式（由复数知识可知，式（2-62-6）包含着电压与电流）包含着电压与电流的有效值关系和相位关系，即的有效值关系和相位关系，即 RUI ui 通过以上分析可知，在电阻元件的交流电路中通过以上分析可知，在电阻元件的交流电路中1 1）电压与电流是两个同频率的正弦量。）电压与电流是两个同频率的正弦量。2 2）电压与电流的有效值关系为。）电压与电流的有效值关系为。3 3）在关联参考方向下，电阻上的电压与电流同相位）在关联参考方向下，电阻上的电压与电流同相位图图2-102-10a a、b b所示分别是电阻元件上电压与电流的波形所示分别是电阻元件上电压与电流的波形图和相

18、量图。图和相量图。图图2-102-10二、电阻元件上的功率二、电阻元件上的功率 在交流电路中，电压与电流瞬时值的乘积叫做瞬时在交流电路中，电压与电流瞬时值的乘积叫做瞬时功率，用小写的字母功率，用小写的字母 表示，在关联参考方向下表示，在关联参考方向下 puip 从式中可以看出从式中可以看出 00，表明电阻元件总是消耗能，表明电阻元件总是消耗能量，是一个耗能元件。电阻元件上瞬时功率随时间量，是一个耗能元件。电阻元件上瞬时功率随时间变化的波形如变化的波形如图图2-112-11所示。所示。 ptUIttIUuip 2mmsin2sinsin )2cos1(tUI 正弦交流电路中电阻元件的瞬时功率正弦

19、交流电路中电阻元件的瞬时功率图图2-112-11通常所说的功率并不是瞬时功率，而是瞬时功率在通常所说的功率并不是瞬时功率，而是瞬时功率在一个周期内的平均值，称为平均功率，简称功率，一个周期内的平均值，称为平均功率，简称功率，用大写字母用大写字母 表示表示 ，则，则P TtpTP0d1正弦交流电路中电阻元件的平均功率为正弦交流电路中电阻元件的平均功率为UIttUITtpTPTT 00d)2cos1(1d1 RURIUIP22 即即（2-82-8） 上式与直流电路功率的计算公式在形式上完全一上式与直流电路功率的计算公式在形式上完全一样，但这里的样，但这里的U U和和I I是有效值，是有效值， 是平

20、均功率。是平均功率。P例例2-8 一电阻一电阻（2 2）电阻消耗的功率）电阻消耗的功率（3 3）作相量图）作相量图 V)30314sin(2220 tu 一电阻一电阻 ，两端电压两端电压 100 R求求:（1 1） 通过电阻的电流通过电阻的电流 Ii和和所以所以 （1 1）电压相量）电压相量 ，则，则 V30220 UA302 . 2A10030220 RUIAA)30314sin(22 . 2,2 . 2 tiIW484W2 . 2220 UIP（2 2）W484W10022022 RUP或或（3 3）相量图如）相量图如图图2-12所示所示例例2-8解解图图2-12 额定电压为额定电压为10

21、0V100V，功率分别为，功率分别为100W100W和和40W40W的电烙铁，其电阻各是多少欧姆？的电烙铁，其电阻各是多少欧姆？ 100W 100W电烙铁的电阻电烙铁的电阻 48410022022PUR40W40W电烙铁的电阻电烙铁的电阻12104022022 PUR 可见，电压一定时，功率越大电阻越可见，电压一定时，功率越大电阻越小，功率越小电阻越大小，功率越小电阻越大 。解解例例2-9第三节第三节 电感元件的交流电路电感元件的交流电路 电感元件即电感器一般是由骨架、绕组、铁电感元件即电感器一般是由骨架、绕组、铁心和屏蔽罩等组成。它是一种能够储存磁场能量心和屏蔽罩等组成。它是一种能够储存磁场

22、能量的元件，其在电路中的图形符号如的元件，其在电路中的图形符号如图图2-132-13所示。所示。一、电感元件一、电感元件图图2-132-13 电感元件的电感量简称电感。电感的符号是电感元件的电感量简称电感。电感的符号是大写字母大写字母L L。其单位为亨利（简称亨），用符号。其单位为亨利（简称亨），用符号H H表示。实际应用中常用毫亨（表示。实际应用中常用毫亨（mHmH）和微亨（）和微亨（HH）等。等。 二、电压与电流的相量关系二、电压与电流的相量关系设电流设电流 , ,由上式得由上式得)sin(mitIi )cos(ddmitLItiLu )(sin)2(sinmmuitUtLI 式中，式中，

23、 mmLIU LIU 2 iu 两正弦量对应的相量分别为两正弦量对应的相量分别为 iII uUU 图图2-142-14所示电路是一个纯电感的交流电路，所示电路是一个纯电感的交流电路，选择电压与电流为关联参考方向，则电压与电选择电压与电流为关联参考方向，则电压与电流的关系为流的关系为tiLudd 图图2-142-14两相量的关系：两相量的关系：IXILLILIUULiiujj2)2( LXUIj 即即 （2-92-9） 上式就是电感元件上电压与电流的相量关系式。上式就是电感元件上电压与电流的相量关系式。 由复数知识可知，它包含着电压与电流的有效值关系和相由复数知识可知，它包含着电压与电流的有效值

24、关系和相位关系，即位关系，即IXUL 2 iu 通过以上分析可知，在电感元件的交流电路中：通过以上分析可知，在电感元件的交流电路中：1 1）电压与电流是两个同频率的正弦量。）电压与电流是两个同频率的正弦量。2 2）电压与电流的有效值关系为）电压与电流的有效值关系为 。IXUL3 3）在关联参考方向下，电压的相位上超前电流）在关联参考方向下，电压的相位上超前电流90 图图2-152-15a a、b b分别为电感元件上电压、电流的波形图和相分别为电感元件上电压、电流的波形图和相量图量图图图2-152-15 把有效值关系式把有效值关系式 与欧姆定律与欧姆定律 相比较，可以相比较，可以看出，看出， 具

25、有电阻具有电阻 的单位欧姆，也同样具有阻碍电流的物理的单位欧姆，也同样具有阻碍电流的物理特性，故称特性，故称 为感抗。为感抗。 IXULRIU LXRLXfLLXL2 （2-102-10） 当电感两端的电压当电感两端的电压 及电感及电感 一定时，通过的电流一定时，通过的电流 及感抗及感抗 随频率随频率 变化的关系曲线如图变化的关系曲线如图2-162-16所示。所示。 LIULXf图图2-162-16三、电感元件的功率三、电感元件的功率 在电压与电流参考方向一致时，电感元件的瞬时功率为在电压与电流参考方向一致时，电感元件的瞬时功率为tItUuiP sin)90sin(mm tUIttUI 2si

26、ncossin2 上式说明，电感元件的瞬时功率也是随时间变化的正弦函上式说明，电感元件的瞬时功率也是随时间变化的正弦函数，其频率为电源频率的两倍，振幅为数，其频率为电源频率的两倍，振幅为 , ,波形图如图波形图如图2-172-17所示所示 UI图图2-172-17电感元件的平均功率为电感元件的平均功率为 TTttUITtpTP000d2sin1d1 上式表明：电感是储能元件上式表明：电感是储能元件, ,它在吸收和释放能量的过程中它在吸收和释放能量的过程中并不消耗能量。并不消耗能量。 为了描述电感于外电路之间能量交换的规模为了描述电感于外电路之间能量交换的规模, ,引入瞬时功率引入瞬时功率的最大

27、值的最大值, ,并称之为无功功率并称之为无功功率, ,用用 表示表示, ,即即 LLLXUXIUIQ22 （2-112-11） LQ 也具有功率的单位也具有功率的单位, ,但为了和有功功率区别但为了和有功功率区别, ,把无功功把无功功率的单位定义为乏（率的单位定义为乏（ ）LQvar应该注意应该注意: : 无功功率无功功率 反映了电感与外电路之间能量交换的规反映了电感与外电路之间能量交换的规模模,“,“无功无功”不能理解为不能理解为“无用无用”, ,这里这里“无功无功”二字的实际含二字的实际含义是交换而不消耗义是交换而不消耗. .以后学习变压器以后学习变压器, ,电动机的工作原理时就会电动机的

28、工作原理时就会知道知道, ,没有无功功率没有无功功率, ,它们无法工作。它们无法工作。 LQH0255. 0L1 1）线圈的感抗）线圈的感抗 。2 2）线圈中的电流）线圈中的电流 。3 3）线圈的无功功率）线圈的无功功率 。4 4）若线圈接在）若线圈接在 的信号源上，感抗为多少？的信号源上，感抗为多少？LXILQHz5000f (1)(1) 80255. 05014. 322 fLXL(2)(2) A5 .27A8220LXUI(3)(3) var6050var5 .27220UIQL8000255. 0500014. 322fLXL(4)(4) 例例2-10 解解 的电感元件，在关联参考方向

29、下，设通过的电感元件，在关联参考方向下，设通过的电流的电流 ，两端的电压，两端的电压 ，求感抗及，求感抗及电源频率。电源频率。mH5LA01IV90110U 根据有效值关系式可得感抗根据有效值关系式可得感抗 0111110IUXL电源频率电源频率kHz5 . 3Hz10514. 3211023 LXfL例例2-12-11 1 解解第四节第四节 电容元件的交流电路电容元件的交流电路一、电容元件一、电容元件 电容元件即电容器是由两个导体中间隔以介质（绝缘电容元件即电容器是由两个导体中间隔以介质（绝缘物质）组成。此导体称为电容器的极板。电容器加上电源物质）组成。此导体称为电容器的极板。电容器加上电源

30、后，极板上分别聚集起等量异号的电荷。带正电荷的极板后，极板上分别聚集起等量异号的电荷。带正电荷的极板称为正极板，带负电荷的极板称为负极板。此时在介质中称为正极板，带负电荷的极板称为负极板。此时在介质中建立了电场，并储存了电场能量。当电源断开后，电荷在建立了电场，并储存了电场能量。当电源断开后，电荷在一段时间内仍聚集在极板上。所以，电容器是一种能够储一段时间内仍聚集在极板上。所以，电容器是一种能够储存电场能量的元件。电容元件在电路中的图形符号如存电场能量的元件。电容元件在电路中的图形符号如图图2-2-1818所示。所示。 图图2-182-18二、电压与电流的相量关系二、电压与电流的相量关系 图图

31、2-192-19所示为一个纯电容的交流电路，选择电压与电流所示为一个纯电容的交流电路，选择电压与电流为关联参考方向，设电容元件两端电压为正弦电压为关联参考方向，设电容元件两端电压为正弦电压)sin(mutUu 则电路中的电流，根据公式则电路中的电流，根据公式 tuCidd )sin(ddmutUtCi 得得)sin()2sin()cos(mmmiuutItCUtCU mmCUI CUI 2 ui 式中，式中，即即图图2-192-19上述两正弦量对应的相量分别为上述两正弦量对应的相量分别为uUU iII 上式就是电容元件上电压与电流的相量关系式。上式就是电容元件上电压与电流的相量关系式。它们的关

32、系为它们的关系为222 UCCUCUIIuui CCXUXUUCjjj CXUIj 即即（2-122-12） 由复数知识可知，它包含着电压与电流的有效值关系和由复数知识可知，它包含着电压与电流的有效值关系和相位关系，即相位关系，即IXUC2iu通过以上分析可以得出，在电容元件的交流电路中通过以上分析可以得出，在电容元件的交流电路中 1 1）电压与电流是两个同频率的正弦量。）电压与电流是两个同频率的正弦量。2 2）电压与电流的有效值关系为）电压与电流的有效值关系为 。IXUC3 3）在关联参考方向下，电压滞后电流）在关联参考方向下，电压滞后电流 90 图图2-20 2-20 a a、b b所示分

33、别为电容元件两端电压与电流的波形所示分别为电容元件两端电压与电流的波形图和相量图。图和相量图。图图2-202-20 由有效值关系式可知，由有效值关系式可知， 具有同电阻一样的单具有同电阻一样的单位欧姆，也具有阻碍电流通过的物理特性，故称位欧姆，也具有阻碍电流通过的物理特性，故称 为容抗。为容抗。 CXcXfCCXC211 （2-132-13）容抗容抗 与电容与电容 、频率、频率 成反比。当电容一定时，成反比。当电容一定时，频率越高，容抗越小。因此，电容对高频电流的频率越高，容抗越小。因此，电容对高频电流的阻碍作用小，对低频电流的阻碍作用大，而对直阻碍作用小，对低频电流的阻碍作用大，而对直流，由

34、于频率流，由于频率 ，故容抗为无穷大，相当于开，故容抗为无穷大，相当于开路，即电容元件有隔直作用。路，即电容元件有隔直作用。CXCf0f三、电容元件的功率三、电容元件的功率在关联参考方向下，电容元件的瞬时功率为在关联参考方向下，电容元件的瞬时功率为 )2(sinsinmm ttIUuip tUIttUI 2sincossin2 由上式可见，电容元件的瞬时功率也是随时间变化的正弦函由上式可见，电容元件的瞬时功率也是随时间变化的正弦函数，其频率为电源频率的数，其频率为电源频率的2 2倍，倍，图图2-212-21所示是电容元件瞬时功所示是电容元件瞬时功率的变化曲线。率的变化曲线。电容元件在一周期内的

35、平均功率电容元件在一周期内的平均功率 TTttUITtpTP000d2sin1d1 平均功率为零，说明电容元件不消耗能量，只与电源进行能平均功率为零，说明电容元件不消耗能量，只与电源进行能量的相互转换。这种能量转换的大小用瞬时功率的最大值来衡量的相互转换。这种能量转换的大小用瞬时功率的最大值来衡量，称为无功功率，用量，称为无功功率，用 表示，即表示，即 CQCCCXUXIUIQ22 式中，式中， 的单位为乏的单位为乏 CQ图图2-212-21图图2-222-22 有一电容有一电容 ，接在，接在 的电源上。试求：的电源上。试求： (1)(1)电容的容抗。电容的容抗。 (2)(2)电流的有效值。电

36、流的有效值。 (3)(3)电流的瞬时值。电流的瞬时值。 (4)(4)电路的有功功率及无功功率。电路的有功功率及无功功率。 (5)(5)电压电压与电流的相量图。与电流的相量图。F30CV)30314sin(2220tu (1) (1) 容抗容抗 16.1061030314116CXc （2 2）电流的有效值）电流的有效值 A07. 2A16.106220CXUI（3 3）电流的瞬时值）电流的瞬时值 电流超前电压电流超前电压 ，即，即906090uiA)60314sin(207. 2ti则则（4 4）电路的有功功率）电路的有功功率 0CP无功功率无功功率 var4 .455var07. 2220U

37、IQc（5 5）相量图如）相量图如图图2-222-22所示。所示。例例2-12-12 2 解解 在关联参考方向下，已知电容两端的电在关联参考方向下，已知电容两端的电压压 ，通过的电流，通过的电流 ，电源的，电源的频率频率 ，求电容，求电容 。V30220CUA605CIHz50fC 由相量关系式可知由相量关系式可知44j904460530220jCCCIUX所以所以 44CXF4 .724431411F CXC则则例例2-12-13 3 解解第五节第五节 简单交流电路的分析简单交流电路的分析一、相量形式的基尔霍夫定律一、相量形式的基尔霍夫定律 基尔霍夫定律是电路的基本定律，不仅适用于直流电路，

38、基尔霍夫定律是电路的基本定律，不仅适用于直流电路，而且适用于交流电路。在正弦交流电路中，所有电压、电流而且适用于交流电路。在正弦交流电路中，所有电压、电流都是同频率的正弦量，它们的瞬时值和对应的相量都遵守基都是同频率的正弦量，它们的瞬时值和对应的相量都遵守基尔霍夫定律。尔霍夫定律。 1 1基尔霍夫电流定律基尔霍夫电流定律 瞬时值形式瞬时值形式 0i（2-152-15）相量形式相量形式 0I（2-162-16）2 2基尔霍夫电压定律基尔霍夫电压定律瞬时值形式瞬时值形式 0u（2-172-17）相量形式相量形式 0U（2-182-18） 设两端电压设两端电压 0UUa a图中电压、电流为关联参考方

39、向，电阻上的电流与电图中电压、电流为关联参考方向，电阻上的电流与电压同相，故压同相，故A051I电感上的电流滞后电压电感上的电流滞后电压 ，故，故90A9052I根据相量形式的根据相量形式的KCL 得得A4507. 7)55(9050521AjAAIII即电流表即电流表A A的读数为的读数为7.07A7.07A。b b图中电流与电压为关联参考方向，电容上的电流超前图中电流与电压为关联参考方向，电容上的电流超前电压，故电压，故 A9051I电感上的电流滞后电压电感上的电流滞后电压 ，故，故A9052I90根据相量形式的根据相量形式的KCL 得得05590590521jjAAIII即电流表即电流表

40、A A的读数为的读数为0 0。例例2-12-14 4 解解图图2-232-23图图2-242-24 设设0 II图图2-24a2-24a：V01001UV901002U根据相量形式的根据相量形式的KVLVjVV)100100(90100010021UUUV454 .141电压表的读数为电压表的读数为141.4V141.4V。 图图2-24b2-24b：V901001UV901002U根据相量形式的根据相量形式的KVL0)100100(901009010021VjjVVUUU电压表的读数为电压表的读数为0 0。例例2-12-15 5 解解二、串联电路的分析二、串联电路的分析 1 1电压与电流的相

41、量关系电压与电流的相量关系 在在图图2-252-25所示电路中，设电流所示电路中，设电流 ，对应的，对应的相量为相量为 tIi sinm 0 II则电阻上的电压则电阻上的电压IRUR电感上的电压电感上的电压 IXULLj电容上的电压电容上的电压IXUCCj根据相量形式的根据相量形式的KVLIXIXIRUUUUCLCLRjjIZIXRIXXRCL)()(jj即即ZUI（2-192-19）式中，式中， 称为电抗（称为电抗（），它反映了电感和电容共），它反映了电感和电容共同对电流的阻碍作用。同对电流的阻碍作用。X X可正、可负；可正、可负； 称为复阻称为复阻抗（抗（）。）。CLXXXXRZj图图2-

42、25图图2-262-26图图2-272-27复阻抗是关联参考方向下，电压相量与电流相量之复阻抗是关联参考方向下，电压相量与电流相量之比。但是复阻抗不是正弦量，因此，只用大写字母比。但是复阻抗不是正弦量，因此，只用大写字母Z Z表示，而不加黑点。表示，而不加黑点。Z Z的实部的实部R R为电路的电阻，虚部为电路的电阻，虚部X X为电路的电抗。复阻抗也可以表示成极坐标形式。为电路的电抗。复阻抗也可以表示成极坐标形式。| ZZ其中其中RXXRXXXRXRZCLCLarctanarctan2222)(|（2-202-20）|Z|Z|是复阻抗的模，称为阻抗，它反映了是复阻抗的模，称为阻抗，它反映了 串联

43、电串联电路对正弦电流的阻碍作用，阻抗的大小只与元件的参路对正弦电流的阻碍作用，阻抗的大小只与元件的参数和电源频率有关，而与电压、电流无关。数和电源频率有关，而与电压、电流无关。RLC 是复阻抗的幅角，称为阻抗角。它也是关联参考是复阻抗的幅角，称为阻抗角。它也是关联参考方向下电路的端电压方向下电路的端电压 超前电流超前电流 的相位差。的相位差。 uiZIU即即 | ZIUiu式中，式中，IUZ iu2 2电路的三种情况电路的三种情况当当X XL LX XC C时，时，U UL LU UC C。以电流。以电流 为参考相量，分别画出与为参考相量，分别画出与电流同相的电流同相的 ，超前电流，超前电流

44、的的 ，滞后于电流，滞后于电流 的的 ，然后合并然后合并 和和 为为 ，再合并，再合并 和和 即得到总电压即得到总电压 。相量图如相量图如图图2-26 a2-26 a所示。从相量图中可以看出，电压所示。从相量图中可以看出，电压 超超前电流前电流 的角度为的角度为 ， 0 0，电路呈感性，称为感性电，电路呈感性，称为感性电路。路。ICURU90LU90LUCUXUXURUUUIIU0（3 3）阻性电路（谐振电路）阻性电路（谐振电路）当当X XL L= =X XC C ，U UL L= =U UC C，相量图如，相量图如图图2-26c2-26c所示，电压所示，电压 与电与电流流 同相，同相， 。电

45、路呈电阻性。我们把电路的这种特殊。电路呈电阻性。我们把电路的这种特殊状态，称为谐振。状态，称为谐振。U0I 由由图图2-262-26可以看出，电感电压可以看出，电感电压 和电容电压和电容电压 的相量的相量和和 与电阻电压与电阻电压 以及总电压以及总电压 构成一个直角三构成一个直角三角形，称为电压三角形。由电压三角形可以看出，总电压角形，称为电压三角形。由电压三角形可以看出，总电压的有效值与各元件电压的有效值的关系是相量和而不是代的有效值与各元件电压的有效值的关系是相量和而不是代数和。这正体现了正弦交流电路的特点。把电压三角形三数和。这正体现了正弦交流电路的特点。把电压三角形三条边的电压有效值同

46、时除以电流的有效值条边的电压有效值同时除以电流的有效值 ，就得到一个和，就得到一个和电压三角形相似的三角形，它的三条边分别是电阻电压三角形相似的三角形，它的三条边分别是电阻R R、电、电抗抗X X和阻抗和阻抗|Z|Z|，所以称它为阻抗三角形，如，所以称它为阻抗三角形，如图图2-272-27所示。所示。由于阻抗三角形三条边代表的不是正弦量，所画的三条边由于阻抗三角形三条边代表的不是正弦量，所画的三条边是线段而不是相量。关于阻抗的一些公式都可以由阻抗三是线段而不是相量。关于阻抗的一些公式都可以由阻抗三角形得出，它可以帮助我们记忆公式。角形得出，它可以帮助我们记忆公式。LUXCLUUURUUCU 在

47、在R-LR-L串联电路中，已知串联电路中，已知 ， 外外加电压加电压 ，求电路的电流，求电路的电流 、电阻的电、电阻的电压压 和电感的电压和电感的电压 ，并画相量图。，并画相量图。I 6R8LXV60110 URULU电路的复阻抗电路的复阻抗V9 .666V9 .6116A9 .611A1 .5310601101 .53108 j6jIRUZUIXRZRLV9 .9688V9 . 611908V9 . 6118 jjIXULL相量图如相量图如图图2-282-28所示。所示。例例2-12-16 6 解解图图2-282-28图图2-292-29 在电子技术中，常利用在电子技术中，常利用RCRC串联

48、作移相电路，如串联作移相电路，如图图2-29a2-29a所示。已知输入电压频率所示。已知输入电压频率 。需输出电压需输出电压 在相位上滞后输入电压在相位上滞后输入电压 为为 ，求电阻，求电阻 。F0.025Hz1000Cf，ouiu30R 设以电流设以电流 为参考相量，作相量图，如为参考相量，作相量图，如图图2-29b2-29b所示。所示。已知输出电压已知输出电压 （即（即 ）滞后于输入电压）滞后于输入电压 为为 ，则电压则电压 与电流与电流 的相位差的相位差 。I0UCUiU30iUI60636910025. 0100014. 32116CXC即即 时，输出电压就滞后于输入电压时，输出电压就

49、滞后于输入电压 。 3677R30RXCtan而而3677732. 16369)60(6369tantanCXR所以所以例例2-12-17 7 解解RL串联电路和串联电路和RC串联电路均视可为串联电路均视可为RLC串串联电路的特例。联电路的特例。在在RLCRLC串联电路中串联电路中)(CLXXRZj当当 时，时， ，即，即RL串联电路。串联电路。0CXLXRZj当当 时，时， ，即，即RC串联电路。串联电路。0LXCXRZj由此推广，由此推广，R、L、C单一元件也可看成单一元件也可看成RLC串联串联电路的特例。这表明，电路的特例。这表明，RLC串联电路中的公式对串联电路中的公式对单一元件也同样

50、适用。单一元件也同样适用。 在在RLC串联电路中，已知串联电路中，已知 ， ， 。电源电压。电源电压 。求此电路的电。求此电路的电流和各元件电压的相量，并画出相量图。流和各元件电压的相量，并画出相量图。 15R 20LX 5CXV)30sin(30tu电路的复阻抗电路的复阻抗452151515)520(15)(jjjCLXXRZ电流相量电流相量A151A4521530215ZUI各元件的电压相量各元件的电压相量V1055V1515 jjV7520V15120jjV1515V15115IXUIXUIRUCCLLR相量如相量如图图2-302-30所示。所示。例例2-12-18 8 解解图图2-30

51、2-30图图2-312-31在在RLCRLC串联电路中，既有耗能元件，又有储能元件，所以电串联电路中，既有耗能元件，又有储能元件，所以电路既有有功功率又有无功功率。路既有有功功率又有无功功率。电路中只有电阻元件消耗能量，所以电路的有功功率就是电路中只有电阻元件消耗能量，所以电路的有功功率就是电阻上消耗的功率电阻上消耗的功率IUPPRR 由电压三角形可知由电压三角形可知 cosUUR 所有所有 cosUIP 上式为上式为RLCRLC串联电路的有功功率公式，它也适用于其它形式的串联电路的有功功率公式，它也适用于其它形式的正弦交流电路，具有普遍意义。正弦交流电路，具有普遍意义。 电路中的储能元件不消

52、耗能量，但与外界进行着周期性电路中的储能元件不消耗能量，但与外界进行着周期性的能量交换。由于相位的差异，电感吸收能量时，电容释放的能量交换。由于相位的差异，电感吸收能量时，电容释放能量，电感释放能量时，电容吸收能量，电感和电容的无功能量，电感释放能量时，电容吸收能量，电感和电容的无功功率具有互补性。所以，功率具有互补性。所以，RLCRLC串联电路和电源进行能量交换串联电路和电源进行能量交换的最大值就是电感和电容无功功率的差值，即的最大值就是电感和电容无功功率的差值，即RLCRLC串联电路串联电路的无功功率为的无功功率为)()(2CLCLCLXXIIUUQQQ 由电压三角形可知由电压三角形可知

53、sinUUUUCLX 所以所以 sinUIQ （2-222-22）上式为上式为RLC串联电路的无功功率计算公式。它也适用于其它串联电路的无功功率计算公式。它也适用于其它形式的正弦交流电路。形式的正弦交流电路。我们把电路的总电压有效值和总电流有效值的乘积，我们把电路的总电压有效值和总电流有效值的乘积，称为电路的视在功率，用符号称为电路的视在功率，用符号 表示，它的单位是伏安表示，它的单位是伏安(VA)(VA)，在电力系统中常用千伏安，在电力系统中常用千伏安(kVA(kVA) )SUIS （2-232-23）视在功率表示电源提供的总功率，也用视在功率表视在功率表示电源提供的总功率，也用视在功率表示

54、交流设备的容量。通常所说变压器的容量，就是示交流设备的容量。通常所说变压器的容量，就是指视在功率。指视在功率。将电压三角形的三条边同时乘以电流有效值将电压三角形的三条边同时乘以电流有效值I，又能得到一个，又能得到一个与电压三角形相似的三角形。它的三条边分别表示电路的有与电压三角形相似的三角形。它的三条边分别表示电路的有功功率功功率P P、无功功率、无功功率Q Q和视在功率和视在功率S S，这个三角形就是功率三角，这个三角形就是功率三角形，如形，如图图2-312-31所示。所示。P P与与S S的夹角的夹角 称为功率因数角。至此，称为功率因数角。至此， 角有三个含义，即电压超前电流的相位差、阻抗

55、角和功率因角有三个含义，即电压超前电流的相位差、阻抗角和功率因数角，三角合一。数角，三角合一。PQarctan 由功率三角形可知由功率三角形可知22QPS （2-242-24）（2-252-25）为了表示电源功率被利用的程度，我们把有功功率与视在功率为了表示电源功率被利用的程度，我们把有功功率与视在功率的比值称为功率因数，用的比值称为功率因数，用 表示，即表示，即cosSPcos（2-262-26）对于同一个电路，电压三角形、阻抗三角形和功率三角形对于同一个电路，电压三角形、阻抗三角形和功率三角形都相似，所以都相似，所以|cosZRUUSPR 从上式可以看出，功率因数取决于电路元件的参数和电从

56、上式可以看出，功率因数取决于电路元件的参数和电源的频率。源的频率。关于功率的有关公式虽然是由关于功率的有关公式虽然是由RLCRLC串联电路得出的，但也串联电路得出的，但也适用于一般正弦交流电路，具有普遍意义。适用于一般正弦交流电路，具有普遍意义。 电路的功率就是电阻消耗的功率，由电路的功率就是电阻消耗的功率，由 得得 RIP2 4014022IPR电路的阻抗电路的阻抗 1001100|IUZ由于由于 22|LXRZ 所以感抗所以感抗 65.9140100|2222RZXL则电感则电感mH9 .291H5014. 3265.912 fXLL例例2-19解解图图2-32V)15314sin(222

57、0 tuA)45314sin(25 tiAV455 IU15220 604445515220IUZ复阻抗复阻抗 )1 .38j22(由由 可知可知 ：CXRZj 22R 1 .38CXCXC 1 又又所以所以F6 .83F1 .3831411 CXC 功率功率W550W)60cos(5220cos UIPW550W22522 RIP或或例例2-20解解V)301000sin(2100 tu 8RmH20 LF125 Ci )1( jCLRZ 3 .5642.1412j8)820( j8)101251000110201000( j863电流相量电流相量A3 .2693. 6A3 .5642.14

58、30100 ZUI电流解析式电流解析式A)3 .261000sin(293. 6 ti有功功率有功功率W5 .384W3 .56cos93. 6100cos UIP无功功率无功功率var5 .576var3 .56sin93. 6100sin UIQ视在功率视在功率AV 693AV93. 6100UIS例例2-21解解三、感性负载与电容器的并联三、感性负载与电容器的并联为了提高感性负载的功率因数，常采用为了提高感性负载的功率因数，常采用在感性负载两端并联适当的电容器的方法，在感性负载两端并联适当的电容器的方法，这种方法不会改变负载原有的工作状态，但这种方法不会改变负载原有的工作状态，但可利用电

59、容和电感之间无功功率的互补性，可利用电容和电感之间无功功率的互补性，减少电源与负载间交换的无功功率，从而提减少电源与负载间交换的无功功率，从而提高电路的功率因数。高电路的功率因数。图图2-33感性负载和电容器后电路如图感性负载和电容器后电路如图2-33a2-33a所示，图所示，图2-33b2-33b是其相量图。是其相量图。由由图图2-33b2-33b知知)tan(tantantancossincossinsinsin21212211211 UPUPUPUPUPIIIC又因又因CUXUIC 代入上式代入上式可得可得)tan(tan21 UPCU即即)tan(tan212 UPC（2-272-27

60、）并联电容器前后电路消耗的有功功率是相等的并联电容器前后电路消耗的有功功率是相等的，所以，所以并联电容器前并联电容器前11cos UIP 11cos UPI 并联电容器后并联电容器后 2cosUIP 2cosUPI 图图2-33 2-33 a a所示电路中，有一感性负载的功率所示电路中，有一感性负载的功率P P=10kW=10kW，功率因数为，功率因数为0.650.65，电源电压为，电源电压为380V380V，频率为，频率为50Hz50Hz。若。若把功率因数提高到把功率因数提高到0.90.9，试求所需并联电容器的容量以及并联，试求所需并联电容器的容量以及并联电容前后电路的总电流。电容前后电路的